2022年上海市高考數(shù)學總復習：立體幾何

1.如圖，在四棱錐尸-ABCO中，底面ABCO為正方形，布_1_底面48C。，PA=AB,E為

尸8的中點，尸為線段BC上的動點.

(I)求證：平面4EF_L平面P8C；

(II)求二面角P-DC-E的余弦值.

第1頁共115頁

2.如圖，在四棱錐S-A8CO中，底面ABC。為矩形，△SAD為等腰直角三角形，SA=SD

=2A/2,AB=2,戶是BC的中點，二面角S-AO-B的大小等于120°.

(1)在AO上是否存在點E,使得平面SEF_L平面A8CQ,若存在，求出點E的位置;

若不存在，請說明理由；

(2)求直線SA與平面SBC所成角的正弦值.

第2頁共115頁

3.如圖，三棱錐E-8。中，△ECO為正三角形，平面ECO平面。CD,BC=DC=^BD

=2,M,N分別是線段￡。和8。的中點.

(I)求點C到平面BOE的距離；

(II)求直線EN與平面MCB所成角的正弦值.

第3頁共115頁

4.如圖，在三楂柱48C-48cl中，平面平面ABC,/XABC和△Ah4C都是正

三角形，。是4B的中點

(1)求證：BG〃平面Ai￡>C；

(2)求直線48與平面OCG所成角的正切值.

第4頁共115頁

5.如圖，在等腰直角三角形4。尸中，已知A=%,AO=3,B,C分別是A尸，。尸上的點,

E是C。的中點，KBC//AD.現(xiàn)將△PBC沿BC折起，使得點P在平面A8C。上的射影

為點A.

(1)若8,。分別是4P、OP的中點，求證：平面用C_L平面PCD

(2)請判斷是否存在一種折法,使得直線PR與平面ARCD所成角的余弦值是直線PR

與平面外上所成角的正弦值的"倍？若存在，求出AB的長；若不存在，請說明理由.

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6.在直三棱柱ABC-43cl中，N84C=90°,AC=AB=AA\=2f設(shè)點M,N,P分別是

AB,BC,0Ci的中點.

(I)證明：A4i〃平面PMN；

(ID若。為A4i上的動點，試判斷三棱錐P-QMN的體積是否為定值？并說明理由.

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7.在多面體ABCCMiBi中，四邊形A8814為菱形，BC//B\C\,BC=\B\C\,A\C\=A\A,

ABLBiC,N3]6A=60°,平面A83|Ai_L平面ABC.

(1)在棱人5上是否存在點0,使得48_1_平面8|。。？若存在，請給予證明；若不存在,

請說明理由.

(2)求二面角G-AC-B的正弦值.

第7頁共115頁

8.在四棱錐P-ABC。中，側(cè)面以。_1_底面ABC。，PA=AD=DC=f),AC=6或，A8=3,

CD〃平面BAB,ZP4D=60°.

(I)求證：平面PCZXL平面PBC：

(II)求二面角P-BC-D的余弦值.

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9.如圖，己知四棱錐S-ABCD的底面是邊長為2的正方形，且平面SAOJ_平面ABCD,M,

N分別為棱4。，BC的中點，SA=SD,SA.LSD,P,Q為側(cè)棱SO上的三:等分點（點尸

靠近點S）.

（1）求證：PN〃平面MQC：

（2）求多面體MPQCN的體積.

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10.如圖，四邊形M4BC中，ZXABC是等腰直角三角形，ACA.BC,/XMAC是邊長為2的

正三角形，以4c為折痕，將AMAC向上折疊到△D4C的位置，使點。在平面ABC內(nèi)

的射影在A8上，再將△MAC向下折疊到△E4C的位置，使平面￡AC_L平面A8C,形成

幾何體DABCE.

(1)點F在BC上,若。尸〃平面E4C,求點尸的位置；

(2)求直線48與平面E8C所成角的余弦值.

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11.如圖，直三棱柱BC/中，。為EH的中點，AB=BF,BF_CF,AB=BF=CF=

2.

(I)求證：AF-LBH；

(ID求平面AOC與平面ABC所成角的余弦值.

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12.在如圖所示的幾何體中，四邊形48co是菱形，NB4D=120°,AE_L平面ABC。，AE

//CF.

(1)求證：。尸〃平面ABE；

(2)若AO=AE=2Cr=2,求該幾何體的表面積.

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13.如圖，在四棱錐P-ABCD中，△附。是等邊三角形，平面以DJ■平面ABCD,底面

ABCD是直角梯形，AD//BC,已知AD=2BC=4,ZBAD=60°.

(I)若E為雨的中點，求證：BE〃平面PCQ：

(II)求二面角B-PC-D的正弦值.

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14.已知在平行四邊形4BC。中，A￡>=2,AB=y/3,ZADC=如圖，DE//CF,且OE

=3,CF=4,ZDCF=且平面ABC。J_平面。E/.

(I)求證：ACJ?平面CDEF；

(II)求二面角。-AE-C的余弦值.

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15.如圖，已知四棱錐P-ABC。中，AD//BC,AB=CD,AD=2BC=2PC=2,PD=W，

ZADC=60°.

(1)求證：BPLCD；

(2)若BP=VL求直線PC與平面出。所成角的正弦值.

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16.如圖，在四棱錐P-ABCD中，△%。是等邊三角形，平面％D_L平面ABCD,底面

是直角梯形，AD//BC,已知4D=28c=4,ZBAD=60°.

(I)若E為的中點，求證：BE〃平面PCQ；

(II)求四棱錐P-ABCD的體積.

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17.如圖，在直三棱柱ABC-46cl中，AB=BC=AA\fABA.BC,。為A8的中點，上為

BC上一點,滿足CE=2E3.

(1)求證：4c〃平面BiDE：

(2)求二面角Bi-A\C-Ci的余弦值.

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18.已知在平行四邊形ABC。中：40=2,AB=V3,NAOC=*如圖，DE//CF,且OE

=3,CF=4,ZDCF=p且平面48CD_L平面CQEF.

(I)求證：AC_L平面CDEF；

(II)求四棱錐尸-4BCD的體積.

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19.如圖所示，在四棱錐E-ABCD中，四邊形ABCD是直角梯形,AB=AE=BC=1AD=1,

BC//AD,AE_L平面ABC。，ZBAD=90°,N為OE的中點.

(1)求證：NC〃平面EAB；

(2)求二面角A?CN?D的余弦值.

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20.如圖，在多面體4BCOE/中，四邊形ABC。、四邊形ACFE均為菱形，ZBAD=ZEAC

=120°.

(1)求證：平面8。尸"L平面ACFE；

(2)若BE=DE,求二面角C-3尸-E的余弦值.

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21.如圖所示，在三棱錐ABC。中，AB=BC=BD=2,4。=2』，NCBA=NCBD=^,點

E,尸分別為A。，80的中點.

(I)求證：平面ACOJ_平面BCE；

(II)求四面體CDE/的體積.

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22.如圖，在棱長為3的正方體中，過頂點作平面a交A4于E點，交BBi于F點、,使

得4E=1,BF={.

(I)求證：AC〃平面a；

(II)求點。到平面a的距離.

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23.已知△ABC,AB=BC,NCE4=60°,沿著邊C8把△ABC進行翻折，使平面48c與

平面￡>BC垂直，△D8C可由△ABC翻折得到.回答下列問題.

（I）直線AC與平面A8。所成角的余弦值；

（II）二面角A-BD-C的余弦值.

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24.如圖，四棱錐P-ABCD,底面四邊形ABCO為梯形，且滿足AD=1,AB=CD=3,BC

=4且PD_L底面A8CD.設(shè)平面力。與平面PBC的交錢為/.

(I)求/與平面POC所成的角；

(II)己知PO=1,求平面砂18與平面PDC所成的銳二面角的余弦值.

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25.如圖，在三棱臺ABC-A'B'C中，已知平面ABB'A'J_平面ABC,AC1BC,Z

CBA=*四邊形AB5'A'是等腰梯形，AB-2A'B'-2BB',E,尸分別為AB,A'

c的中點.

(1)求證：EF1AC；

(2)求直線"與平面ACC'4'所成角的正弦值.

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26.如圖，△ABC為正三角形，半圓。以線段8C為直徑，。是能上的動點(不包括點8,

C),平面平面BCD.

(1)是否存在點。，使得BQ_L4C?若存在，求出點。的位置；若不存在，請說明理由.

(2)若NC5O=30°,求二面角AO-C的余弦值.

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27.如圖，△48C是正三角形，D,E,產(chǎn)分別是線段AB,BC,AC的中點，現(xiàn)將AA。產(chǎn)和

△CE戶分別沿著。尸，E尸折起，使得4。兩點在P點重合，得到四棱錐尸-B￡7%>.

(1)證明：平面PB尸_L平面BEFDx

(2)設(shè)正三角形A8C的邊長為4,求三棱錐尸的體積.

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28.如圖，在四棱錐尸-A8CO中，底面A8CO為正方形，△以。為等邊三角形，平面BAD

_L平面PCD.

(I)證明：直線CZ)_L平面以

(II)若A3=2,。為線段P3的中點，求三棱錐。PCD的體積.

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29.如圖，在四棱錐P-ABC。中，AD//BC,ADLAB,并且BC=2AD=2AB=2,PM=察

點P在平面ABCD內(nèi)的投影恰為BD的中點M.

(I)證明：BP_L平面尸8；

(II)求點A到平面PCO的距離.

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30.如圖，在四棱錐P-A8CD中，已知以，平面ABCD,且四邊形A8C。為直角梯形，Z

ABC-zlBAD=^AD-2,AB-BC-X.

(1)當四棱錐P-ABC。的體積為1時，求異面直線AC與PD所成角的大?。?/p>

(2)求證：CD_L平面以C.

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31.如圖所示，在三棱錐A-BCD中，AB=BC=BD=2,4。=2百，NCBA=4CBD=

點E,尸分別為4。，8力的中點.

(I)求證：E尸〃平面A8C；

(II)求平面BCE與平面AC尸所成銳二面角的余弦值.

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32.如圖，在四棱錐P-48CO中，AD//BC,ADA.AB,并且BC=2AO=2AB,點P在平

面ABCD內(nèi)的投影恰為BD的中點M.

(I)證明：。。，平面必。：

(II)若PM=A。，求直線以與。所成角的余弦值.

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33.如圖，在三棱錐P-4BC1中，B4_L底面ABC,△ABC是邊長為2的正三角形，側(cè)棱尸B

與底面所成的角為

4

(1)求三棱錐P-ABC的體積V;

(2)若。為P8的中點，求異面直線以與CO所成角的大小.

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34.如圖1,在三棱柱ABC-4及。中，已知AB=AC=\fAA\=2,且44_1_平

面43C,過4,Ci，B三點作平面截此三棱柱，械得一個三棱錐和一個四棱錐（如圖2）.

（I）求異面直線8。與A4i所成角的大?。ńY(jié)果用反三角函數(shù)表示）;

（2）求四棱錐B-ACGAi的體積和表面積.

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35.如圖，在矩形ABC。中，將△ACO沿對角線AC折起，使點。到達點E的位置，且AE

.LBE.

(1)求證：平面平面4BC；

Q1r

(2)若BC=3,三棱錐8-4EC的體積為:，求點上到平面4BC的距離.

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36.如圖，在直三棱柱ABC-A151cl中，△A8C是正三角形，點。在棱上，且58[=

3B\D,點E為aCi的中點.

(1)證明：平面41?！闬1_平面8。。由1；

(2)若BBT=3A,48=2,求點C到平面4OE的距離.

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37.如圖所示，在直三棱柱ABC-AdiG中，底面是等腰直角三角形，ZACB=90°,CA

=CB=CCi=2.點D,功分別是棱AC,ACi的中點.

(1)求證：D,B,Bi，D\四點共面；

(2)求直線BC\與平面DBBiDi所成角的大小.

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38.如圖，在四棱錐S-ABC。中，底面ABCD是等腰梯形,A8〃。,CD=2AB=4,AD=瓜

△SCD是等腰宜角三角形，SC=SD,SA=3.

(I)證明：平面SCO_L平面4BCZ)；

(II)若平面SAD與平面SCB的交線為I,求二面角C-1-D的余弦值.

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39.如圖，在矩形ABC。中，將△AC。沿對角線AC折起，使點。到達點E的位置，且AE

-LBE.

(1)求證：平面A8E_L平面4BC：

(2)若石8=夕，三棱錐B-AEC的體積為三一,求二面角E-AC-8的余弦值.

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40.如圖，在三棱柱ABC-A由1。中，P,Q分別是AAi，CB上一點，且AP=2%],CQ

=2QB.

(1)證明：AQ〃平面CPBi；

(2)若三棱柱A8C-48C1為直三棱柱，且A4i=3,BC=BA=V15,AC=26求點

B到平面CPBT的距離.

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41.如圖，在四棱錐尸-A8CD中，底面48C。是正方形，AB=2,PO_L平面4BCD,PB

與底面488所成的角為45°,過AD的平面分別與PC交于點E,F.

(I)求證：EF±DC；

2V2IPEI

(II)若二面角P-4O-E所成角的余弦值為亍’求函的值.

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42.在四棱柱/WCO-44iCi￡>i中，四邊形48co是平行四邊形，AA\=AC=\,ZABC=

30°,BC=2,平面ANWAiJL平面4BCD,M,N分別為4C，的中點.

(I)求證：MN〃平面AiBCi；

(II)若cosN4CB=*,求二面角C-MN-。的余弦值.

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43.如圖所示，三棱柱ABC-AIBCI中，平面4CCi4_L平面ABC,AA|_LAC,AA\=AB=

BC=2,D,Di分別為AC,AiG的中點，且NR4C=30°.

(I)求證：O￡>i_L8C；

(II)求二面角Bi-DA\-Ci的余弦值.

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44.如圖，四棱錐P-A8CO的底面為正方形，PC=PA=^PD=V5AD.E,尸分別是出,

P。的中點.

(1)證明：E/_L平面PCD；

(II)求二面角A-CE-F的余弦值.

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45.如圖，在四棱錐尸-ABCD中，等邊三角形以。所在平面與梯形ABC。所在平面垂直,

且CD//AB,AD=BD=2,DC=y8=V2,點G為4PAD的重心，AC與BD交于點M.

(1)求證：GM〃平面尸8；

(2)求點C到平面P8。的距離.

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46.如圖，直三棱柱4BiCi-4BC中，AB=AC=1,Z.BAC=44=4,點M為線段4A

的中點.

（1）求直三棱柱A\B\C\-ABC的體積;

（2）求異面直線8W與小。所成的角的大小.（結(jié)果用反三角表示）

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47.如圖，已知直角梯形A8CD,BC//AD,BC=CD=2,AO=4,/BCD=90。，點E為

AD的中點，觀將三角形ABE沿BE折疊，得到四棱錐4-BCDE,其中NAED=120°,

點M為Ab的中點.

(1)求證：AB〃平面EMC；

(2)若點N為8C的中點，求四面體WMNB的體積.

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48.如圖，在三棱錐P-48C中，△ABC為正三角形，點。，E分別為AC,外的中點，其

中PA=PB=442,PC=AC=4.

(1)證明：平面BOE_L平面ABC：

V6

(2)若點?是線段AC上異于點D的一點，直線AE與平面BEF所成角的正弦值為:

4

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49.如圖，在四棱錐尸-A8CD中，四邊形ABC。是梯形，AB//CD,AB_L8C,且%=P。

=BC=CD=T,AB=2,PC-V5.

(1)證明：8。_1_平面附。；

(2)求直線AO與平面PBC所成角的正弦值.

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50.在四棱錐P-45c。中，PA=PC=2,底面ABC。是菱形，AB=2g,NABC=60°.

(I)求證：ACA.PB,

(II)求四棱錐P-ABC。的體積.

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2022年上海市高考數(shù)學總復習：立體幾何

參考答案與試題解析

1.如圖，在四棱錐P-ABC。中，底面ABCD為正方形，B4_L底面A8CD,PA=AB,E為

PB的中點，產(chǎn)為線段BC上的動點.

(I)求證：平面4E/LL平面P8G

(II)求二面角P-DC-E的余弦值.

【解答】(I)證明：因為以=4B,E為PB中點、,所以4/工LP8,

因為出，平面A8C。，所以以J_BC,

由8C_LA8,所以8C_L平面陰B,所以3C_LAE,又AE_LPB,BCC\PB=B,

所以AE_L平面尸8C,

平面A￡EL平面P8C.

(H)解：法1：取雨中點G,連結(jié)GE,GD,由GE〃A8,CO〃AB,

所以G七〃C￡>,故GEu平面EDC,

因為以JL平面ABC。，所以以_LCD,

由AOJLCO,所以COJ?平面B4。，所以CO_LPD,GD1CD,

所以NPOG為二面角的平面角，

在△以。中，PG=1,PD=2yf2,GD=底所以cos/POG=

法2：以A為原點,AB,A。，AP為x,y,z軸，建立空間直角坐標系，

可得P(0,0,2),D(0,2,0),C(2,2,0),E(1,0,1),

設(shè)平面PCD的一個法向量為n=(X1，yi，Z]),

平面ECO的一個法向量為就=(X2,”，Z2),

U=0,m=(o,L2),

第51頁共115頁

所以c°se=4M=零，

|時|n|10

3x/l0

即二面角尸-00￡：的余弦值為17「.

2.如圖，在四棱錐S-ABCO中，底面A8CD為矩形，/XSAD為等腰直角三角形，SA=SD

=2V2,4B=2,尸是8c的中點，二面角S-AO-8的大小等于120°.

（1）在4。上是否存在點E,使得平面SERL平面ABCD,若存在，求出點E的位置；

若不存在，請說明理由；

（2）求直線SA與平面S5c所成角的正弦值.

【解答】解：（1）在線段A。上存在點E滿足題意，且E為AD的中點.

如圖，連接EF,SE,SF,

???四邊形A3C。是矩形，???43_LAO,

又E、”分別是人。、8C的中點，

：.EF//AB,ADLEF,

???△SAD為等腰直角三角形，SA=SD,E為A。的中點，

第52頁共115頁

：.SELAD,

?：SEC\EF=E,SE、E產(chǎn)u平面SE產(chǎn)，

，A￡>_L平面SEF,

???AOu平面ABCD,?,?平面S￡F_L平面ABCD,

故A。上存在中點E,使得平I!SEF_L平面ABC。.

.??/SEP為二面角S-4。-3的平面角，即NSE尸=120°.

以E為原點,EA,石戶所在的直線分別為％、y軸，作&J_平面ABC。，建立如圖所示的

空間直角坐標系，

在等腰RtZXSAO中，SA=SD=2V2,AAD=4,SE=2,

：.S(0,-I,V3),A(2,0,0),B(2,2,0),C(-2,2,0),

：.SA=(2,1,-V3),SB=(2,3,-V3),SC=(-2,3,-V3),

設(shè)平面甌的法向量煽=G,y,z),則巧理=°,即產(chǎn)+3y—V5j=0,

U.SC=0l-2x+3y-V3z=0

令y=l,則x=0,z=V3,An=(0>1,V3),

設(shè)直線SA與平面SBC所成角為仇

eTT昌盛1-3J2

則sin8=|cosVS4n>\=\-^-^\=\-==—\=

\SA-|n|V4+1+3X2'

故直線SA與平面SBC所成角的正弦值為”.

3.如圖，三棱錐E-8CO中，△￡07)為正三角形，平面ECZXL平面8CQ,BC=DC=^BD

=2,M,N分別是線段和8。的中點.

(I)求點C到平面七的距離；

(II)求直線EN與平面MC8所成角的正弦值.

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￡

【解答】解：（I）'??平面上CD_L平面8CO,且△EC。為正三角形，8=2,

點E到平面BCD的距離為代，

???8C=DC=￥BO=2,???△88是等腰直角三角形，

S〉BCD=如UDC=2.

在△8OE中，BE=BD=2V2,D￡=2,

:.S&BDE尸ax2xy/7=y/7.

設(shè)C到平面BDE的距離為d,

,**VE-BCD=VC-BDE^

.\!XV3X2=1XJXV7,解得

2\[21

故點C到平面BDE的距離為7-.

（ID以。為原點，CD、所在的直線分別為x、），軸，作Cz_L平面38,建立如圖

所示的空間直角坐標系，

…36「

則B(0,2,0),C(0,0,0),D(2,0,0),M(-,0,—),E(1,0,V3),N(1,

22

1,0),

TT3T

:,EN=(0,1,-V3),CM=(-,0,—),CB=(0,2,0),

22

(tr(3y[3

>5=0,即尹+^z=0,

n?CB=0(2y=0

令x=L則y=0,z=—V3,=(1?0>—V3),

設(shè)直線EN與平面MBC所成角為仇

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-?tENn33

則sin0=|cos<EN,n>|=|—~~-1=亍萬=五，

|EN|-|n|NX/，

3

故直線EN與平面MBC所成角的正弦值為：

4.如圖，在三棱柱ABC-AiBiG中，平面AiACG_L平面ABC,△ABC和△4AC都是正

三角形，。是AB的中點

（1）求證：8G〃平面4OC；

（2）求直線AB與平面。。。所成角的正切值.

【解答】（1）證明：連接4G，交4C于E,連接OE,

???四邊形AiACG是平行四邊形，

???￡：是AC1的中點，

???￡）是A3的中點,：.DE//BC\t

???。氏平面4。（7,BGC平面AiOC,

???BC〃平面4DC.

（2）解：取AC的中點0,連接AiO,BO,

???△4BC和△AiAC都是正三角形,：.A\O±ACtBOA.AC,

■:平面A\ACC\1平面ABC,平面AiACGn平面ABC=AC,

???4O_L平面ABC,，AiO_LB。，

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以。為原點，OB、OC、OA\所在直線分別為x、y、2軸建立如圖所示的空間直角坐標系,

—V31

設(shè)4c=2,則A（0,-1,0）,B（V3,0,0）,C（0,1,0）,D（―,-一0）,C\（0,

22

2,V3),

35

X?X

TLTV3O1=(J

一-

??AB=(V3,1,0),CD=(—，—27V-2Z

2

3

?T-O

cf-y

1n=

即2

Z)*

設(shè)平面DCC\的法向量為n=(x,y,1T'TD15

nDg=

X+-

2

令x=3,則y=V5,z=?1,An=(3,V3,-1),

設(shè)直線A8與平面DCCi所成的角為。,則sin。=|cos<AB,n>\=|一一\=|-y.==|=

\AB\\n\2XV9+3+1

2/3

/.tan0=2\/3,

故直線AB與平面DCCi所成角的正切值為26.

5.如圖，在等腰直角三角形AOP中，己知AO=3,B,C分別是AP,OP上的點,

七是CO的中點，KBC//AD.現(xiàn)將△PBC沿8c折起，使得點尸在平面A8CO上的射影

（1）若B,C分別是AP、。P的中點，求證：平面以CJ_平面PCD

（2）請判斷是否存在一種折法，使得直線PB與平面ABCD所成角的余弦值是直線PB

與平面所成角的正弦值的等倍？若存在，求出AB的長；若不存在，請說明理由.

【解答】（1）證明：???點尸在平面A8CO上的射影為點A,

，用J_平面ABCO,

???CDu平面ABC。，???用_LCD,

???等腰RtZXAOP,且。為。尸的中點,

/.AC±CD,

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?.?B4nAe=A,BA、ACu平面BAG

...CD_L平面PAC,

又CQu平面PC。，???平面B4C_L平面PCD

(2)解：???m_1平面”。，

???NA8P為直線尸8與平面4BCD所成的角，設(shè)其大小為a,則cosa=囂

過點8作3M_LAE,交4E于點M,連接PM,

???雨_L平面48cO,：,PALBM,

又AEGB4=A,AE.%u平面抬E,

???80_1_平面PAE,

NBPM為直線PB與平面PAE所成的角，設(shè)其大小為p,則sinp二墨,

???直線尸8與平面48。所成憑的余弦值是直線PB與平面以E所成角的正弦值的拶倍,

:.cosa=^|^sinp,即AB=專%M,

設(shè)A8=l(0</<3),則BM=言r,DE=1cD=|PD=冬，

設(shè)NA8M=NQAE=0,

DE—

在△4QE中，由正弦定理知,

sinz.DAEsinZ.AED

得sink占。s。,

sindsin(—■-。)

*.*sin20+cos20=I?且(0,—

2

?c6—t

..COS0=1,^=>

J2產(chǎn)-121+36

，3M=1?6T),

j2t2-12t+36

又BM=

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???rJ6二？=高,化簡整理得，2?+/-3=0,解得/=1或一，(舍負)，

，2^-12￡+36V262

故當AB=l時，直線PB與平面ABCD所成角的余弦值是直線PB與平面PAE所成角的

正弦值的手倍.

6.在直三棱柱A5C-4B[C]中，N8AC=90°,AC=AB=AA\=2t設(shè)點M,N,P分別是

AB,BC,BiCj的中點.

(I)證明：〃平面PMN；

(ID若。為A4i上的動點，試判斷三棱錐P-QMN的體積是否為定值？并說明理由.

【解答】(I)證明：1點M,N,P分別是A8,BC,5C1的中點，，PN〃CCi,

又?.?M〃CCi，?"Ai〃PN,

???44|《平面尸的，PNu平面PMN,

，A4i〃平面PMN；

(II)解：如圖，連接4MAP,

根據(jù)等體積法可知，Vp-QMN=VQ-PMN，

由(I)可知，A41〃平面PMN,

又。為A4上的動點，AV0-PMN=VA-PMN=Vp-AMN，

S4AMN=2X1X1=2，

即Vp-QMN=VQ-PMN=VA-PMN=Vp-AMN=1X2X|=

???若。為AAl上的動點，則三棱錐P-QMN的體積定值點

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1

7.在多面體ABCCiAiBi中，四邊形ABBiAi為菱形，BC//B\C\,BC=^B\C\,AiG=44,

ABLBiC,ZB\BA=60°,平面ABBMi1?平面ABC.

(1)在棱A5上是否存在點O,使得AB_L平面8iOC?若存在，請給予證明：若不存在,

請說明理由.

(2)求二面角G?4C?8的正弦值.

【解答】解：(1)在棱AB上存在點O(。為棱AB的中點)，使得A8_1_平面810c.

理由如下：

連接43，???四邊形為菱形，且NB]8A=60°,

???△A8]8是等邊三角形，

又。為48的中點，：.BiO±AB,

VA51S1C,B\OQB\C=BitBQu平面BiOC,BiCu平面BiOC,

?"B_L平面BiOC.

(2)由(1)知，AB_L平面BOC,???AB_LOC,

又平面ABBA_L平面ABC,平面ABB\A\n平面A8C=48,

???OC_L平面A8814，OCLBQ,

以O(shè)為坐標原點，OB,OC,所在直線為x,y,z軸，建立空間直角坐標系，

取81cl的中點￡連接CE,由題意知幾何體ABC-是三棱柱，

取中點D,連接DE,則OCIIDEII

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設(shè)/Vh=2,則O(0,0,0),A(-1,0,0),C(0,1,0),B\(0,0,V5),Al(-

2,0,V3),

：.OCX=0%]+B工i+A，i=OBX+20A+2OC=(0,0,V3)+2(-1,0,0)+2(0,

1,0)=(-2,2,V3),

ACi(-2,2,V3),AC=(1,1,0),ACX=(-1,2,V3),

設(shè)平面ACCi的法向量瓶=(x.y,z),

則pg=>+y=。，取L],得薪=(],?],V3),

m-AC1=-x+2y+V3z=0

平面48。的一個法向量％=(0,0,1),

設(shè)一面角Ci-AC-A的平面角為a

則8,9=黯=強疝0=)T

Vio

???二面角Ci-AC-B的正弦值為《一.

8.在四棱錐尸-ABCO中，側(cè)面秒1O_L底面4BCO,PA=AD=DC=6,AC=6a,AB=3,

CO〃平面雨&ZMD=60°.

(I)求證：平面PC￡>_L平面P8C；

(II)求二面角P-BC-D的余弦值.

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D

B

222

【解答】解：（I）證明：*：AD=DC=6,AC=6V2,：.AD+DC=ACf：.ADA.DC,

???側(cè)面底面ABCD,側(cè)面外。0底面ABCD=AD,

???CO_L平面BA。，:POu平面力。，：.CDLPD,

取PC和OC的中點分別為M和N,連接MMBM,

則MN〃2。，:,CDLMN,

?.?CO〃平面必從C?！ㄆ矫鍭BCQ,平面以80平面48co=48,

:.CD〃AB,

???48=NO=3,???四邊形A8NZ）為平行四邊形，

：.BN//AD,:?CDLBN,

?:BNCMN=N,，CD_L平面8MN,

??,5Mu平面5MM:.CD工BM,

???8_1_平面以。，且孫u平面雨。，

：,ABLPA,即△網(wǎng)8為直角三角形，PB=&2+32=3后

?:PB=BC,且M是PC的中點，工PC工BM,

VFCflCD=C,平面PC。，

?；BMu平面PBC,，平面PCD_L平面PBC.

（II）在△%。中，=40=6,ZMD=60°,

???△布。為等邊三角形，PD=6,

取AD的中點。，連接P0,，尸。_LAO,且尸。=V62-32=3顯,

???平面B4OJ?平面4BC。，平面外。n平面A8CO=4D,??.PO_L平面ABC。，

過點P作PHJLBC,交BC于點H,連接OH,

則NPHO即為三面角P-BC-O的平面角，

?:PD=CD=6,CD±PD,???△PDC為等腰直角三角形，

PC=VCD2+PD2=V62+62=6A/2,

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???由（I）知PB=BC=3>/5,M為尸。的中點，???BM_LPC,

在RtZXBMC中，BM=y/BCz-MC2=J（3圖z_?⑨2=3同

在△PBC中，S^PBC=^xBMxPC=^PHBC,

解得PH=等，

,i?“sP0373/IO

則m倒11/p"°=而=返=',

-s-

???氐△尸"。中，NPHO為銳角,

/.cosZPHO=洛

4

V6

???二面角P-8C-。的余弦值為了.

4

9.如圖，已知四棱錐S-A8CO的底面是邊長為2的正方形，且平面SADJ?平面ABCD,M,

N分別為棱40,BC的中點，SA=SD,SALSD,P,Q為側(cè)棱上的三等分點（點P

靠近點S）.

（1）求證：PN〃平面MQC；

（2）求多面