海洋石油污染清理的優(yōu)化問題摘要:本文對于清理海洋石油污染所需雇傭清潔隊的數(shù)目及總支出的最優(yōu)解問題，應(yīng)用高等數(shù)學(xué)里線性規(guī)劃的知識，建立數(shù)學(xué)模型，對于問題一我們提出了合理的假設(shè),對其建立了數(shù)學(xué)模型并運用了lingo數(shù)學(xué)軟件包對其進行了求解.對于問題二與問題三,我們首先對題中所給的數(shù)據(jù)進行了規(guī)范化的數(shù)學(xué)分析，并根據(jù)分析結(jié)果對清潔隊每周清潔海岸線長度及罰金數(shù)額的靈敏性進行了分析，分別得到了最優(yōu)的額外雇傭清潔隊的數(shù)目關(guān)于清潔隊每周清潔海岸線長度的靈敏性、公司的總支出關(guān)于清潔隊每周清潔海岸線長度的靈敏性，公司用來清理漏油的總天數(shù)關(guān)于罰金數(shù)額的靈敏性、公司的總支出關(guān)于罰金數(shù)額的靈敏性結(jié)果，均與假設(shè)分析及事實相符。對于問題四，我們在問題三公司用來清理漏油的總天數(shù)關(guān)于罰金數(shù)額的靈敏性的基礎(chǔ)上，重新構(gòu)思了有關(guān)判定罰金數(shù)額是否合理的標準的假設(shè)模型，并進行了分析，得出了合理的分析結(jié)果。本文最大的特色是對原問題作出了合理假設(shè)，將實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，并用適當?shù)姆椒ń⒘讼鄳?yīng)的數(shù)學(xué)模型，并盡量避開不可預(yù)知因素對我們建立數(shù)學(xué)模型的影響，通過對對實際問題的優(yōu)化，由簡易到復(fù)雜，層層遞進地考慮所求的最優(yōu)解問題，但始終沒有離開實際數(shù)據(jù)，時時回歸實際數(shù)據(jù)以驗證模型，得出與實際相吻合的結(jié)論。一．問題的提出一處石油泄漏污染了200英里的太平洋海岸線，所屬石油公司被責(zé)令在14天內(nèi)將其清除，逾期則要被處以10000美元/天的罰款。當?shù)氐那鍧嶊犆恐芸梢郧鍧?英里的海岸線，耗資500美元/天。額外雇傭清潔隊則要付每支清潔隊18000美元的費用和500美元/天的清潔費用。（1）為使公司的總支出費用最低，應(yīng)該額外雇傭多少支清潔隊？并求出清潔費用。（2）討論清潔隊每周清潔海岸線長度的靈敏性。分別考慮最優(yōu)的額外雇用清潔隊的數(shù)目和公司的總支出。（3）討論罰金數(shù)額的靈敏性。分別考慮公司用來清理漏油的總天數(shù)和公司的總支出。（4）石油公司認為罰金過高而提起上訴。假設(shè)處以罰金的唯一目的是為了促使石油公司及時清理泄漏的石油，那么罰金的數(shù)額是否過高？二.問題的假設(shè)1.當?shù)厍鍧嶊牶凸蛡蚯鍧嶊犕瑫r開工同時完成.2.石油污染的海域在清理過程中不會擴散.3.當?shù)厍鍧嶊犞挥幸恢?4.所用天數(shù)為整數(shù)。5泄漏的石油污染的太平洋海岸線為200英里。6超過規(guī)定的時間(14天)清理完泄漏的石油處以10000美元/天的罰款。7每支清潔隊每周可以清潔5英里的海岸線。8每支清潔隊每天的工資為500美元。9額外雇傭的清潔隊每支需付款18000美元。三.符號說明d清潔隊一周清理長度(單位:英里)m逾期每天罰款數(shù)(單位:美元)P公司所要支付的總費用單位(單位:美元)s所需雇傭額外清潔隊數(shù)（單位：支）t清潔隊工作的天數(shù)（單位：天）四問題分析這個問題的目標是使總的支出費用最低，總的支出費用與清理完石油所需的天數(shù)和額外雇傭的清潔隊數(shù)量有關(guān)。而且，所屬石油公司被責(zé)令在14天內(nèi)將石油清除，逾期則要被處以10000美元/天的罰款。因此，應(yīng)該考慮在14天以內(nèi)和超過14天將石油清理完這兩種情況下的總支出費用。五建立模型模型一：P=500t+18000s+500st(t<=14)5t(s+1)/7=>200模型二：P=500t+18000s+500st+10000(t-14)(t>14)5t(s+1)/7=>200六模型求解模型一：目標函數(shù)minP(t,s)=500t+18000s+500st約束條件5t(s+1)/7=>200t<=14用lingo數(shù)學(xué)軟件求解，結(jié)果如下：Localoptimalsolutionfound.Objectivevalue:482000.0Extendedsolversteps:5totalsolveriterations:106VariableValueReducedCostt14.000000.000000R19.000000.000000RowslackorsurplusDualPrice1482000.0-1.000000214.000000.00000030.00000025714.29419.000000.00000050.1001276E-05-357.1429由上述結(jié)果可知，在清潔時間不超過14天的情況下，額外雇用19支隊伍，清潔時間14天時總費用最小，為482000.0美元。模型二:目標函數(shù)minP(s,t)=500t+18000s+500st+10000(t-14)約束條件5t(s+1)/7=>200t<=14同樣用lingo軟件求解結(jié)果如下：Localoptimalsolutionfound.Objectivevalue:430998.9Extendedsolversteps:5totalsolveriterations:131VariableValueReducedCostt22.449940.000000R11.472190.000000RowslackorsurplusDualPrice1430998.9-1.000000222.449940.00000038.4499440.000000411.472190.00000050.7149401E-07-260.3567根據(jù)問題假設(shè)s，t必須為整數(shù)，為此我們在目標值附近取值s=10,11,12;t=21,22,23.能滿足5t(s+1)/7=>200的只有s=12,t=22;s=12,t=23.將這兩組值帶入P(s,t)=500t+18000s+500st+10000(t-14)中，求得值分別為：439000.0，455500.0。從結(jié)果中可分析當額外雇傭清潔工對數(shù)為12支，清潔時間為22天的時候可使公司總的清潔費用最小。七．清潔隊每周清潔海岸線長度的靈敏性分析在此實際問題中，我們沒有絕對準確的信息，即使建立了一個完美的精確的模型，我們也采用了較簡單和易于處理的近似方法，因此在此我們必須考察數(shù)學(xué)模型的穩(wěn)健性：即即使數(shù)學(xué)模型不完全正確，由其導(dǎo)出的結(jié)果仍然正確。在建模過程中我們提出了兩種類型的假設(shè)：（1）數(shù)據(jù)假設(shè)；（2）其它假設(shè)。由于我們不能保證這些假設(shè)都是完全正確的，因此我們需要考慮所得結(jié)果對每一條假設(shè)的敏感程度，此問題中的數(shù)據(jù)是由測量、觀察甚至猜測得到，因此需要考慮數(shù)據(jù)的不準確的可能性。有些數(shù)據(jù)的具有相當大的確定性，如雇傭清潔隊的費用，清潔隊的清潔效率，清潔每天的耗資等；有些數(shù)據(jù)的確定性更低，如受污染的海岸線長度，罰金數(shù)額等。在模型2（最優(yōu)解）的情況下（1）考慮公司用來清理漏油的總天數(shù)t不變，清潔隊每周清潔海岸線長度d發(fā)生變化時，最優(yōu)的額外雇傭清潔隊的數(shù)目s關(guān)于清潔隊每周清潔海岸線長度d的靈敏性。d（英里/周）s（支）d（英里/周）s（支）414.969.6511.7通過上表我們可以觀察可得：每周清理海岸線增加的d增加1%，雇傭隊數(shù)減少的s減小1.0036%，清潔海岸線的變化只是引起雇傭?qū)?shù)的微小變化，所以我們可以從表中得到最佳的雇傭?qū)?shù)。(2）考慮額外雇傭?qū)?shù)s（支）不變，清潔隊每周清潔海岸線長度d發(fā)生變化時，公司的總支出P（美元）關(guān)于清潔隊每周清潔海岸線長度d的靈敏性。d（英里/周）P（美元）d（英里/周）P（美元）4520230.86372153.85431384.6通過上表我們可以觀察可得：每周清理海岸線增加的d增加1%，總支出增加0.8238%，清潔海岸線的變化只是引起總支出的微小變化，所以我們可以從表中得到最少的總支出。八．罰金數(shù)額的靈敏性分析在模型2（存在最優(yōu)解）的情況下：（1）考慮清潔隊每周清潔海岸線長度及額外雇傭的清潔隊數(shù)目s（支）不變，罰金數(shù)額發(fā)生變化時，清理漏油的總天數(shù)t（天）關(guān)于罰金數(shù)額m（美元）的靈敏性。m（美元/天）t（天）m（美元/天）t（天）900022.51100021.51000022罰金數(shù)m增加1%，清理漏油的總天數(shù)t減少0.02%，影響較小，原結(jié)果可用。（2）考慮額外雇傭?qū)?shù)s（支）及公司用來清理漏油的總天數(shù)t不變，罰金數(shù)額m發(fā)生變化時，公司的總支出P（美元）關(guān)于罰金數(shù)額m的靈敏性。m（美元/天）P（美元）m（美元/天）P（美元）9000431000.011000447000.010000439000.0罰金數(shù)m增加1