2.2.1

基本不等式(第1課時)目錄情境創(chuàng)設導入課題1探尋方法證明公式2初試公式辨析理解3鞏固強化綜合提升4一、情境創(chuàng)設導入課題情境創(chuàng)設導入課題動手小實驗

步驟二：此時靠攏的兩張紙張的下半部分可看成一個矩形，其相鄰兩邊長分別為

，

，故矩形的面積為

；≤準備好兩個正方形紙張，記面積分別為

，

.步驟一：把兩張紙沿對角線對折，把對折后的兩部分紙張沿對角線靠攏，則兩部分的總面積為

；步驟三：由圖顯然可得：矩形面積不大于整個面積.情境創(chuàng)設導入課題重要不等式：對任意實數

，有

當且僅當

時，等號成立.問題1

如果

，分別用

代替重要不等式中的可以得到什么結論？取得等號的條件是什么？

當且僅當

時，等號成立.情境創(chuàng)設導入課題

稱

為基本不等式，當且僅當

時，等號成立.

其中

叫做正數

的算數平均數，

叫做正數

的幾何平均數.

文字語言：兩個正數的算數平均數不小于它們的幾何平均數.

它可以作為不等式理論的基本定理，成為支撐許多重要結果的基石，也是解決許多最值問題的有力用具.

(均值不等式)二、探尋方法證明公式二、探尋方法證明公式問題2

有哪些方法可以證明基本不等式？方法一：（作差法）

方法二：

要證

①①要證

只要證

②②要證

只要證

③③要證

只要證

④要證

只要證

④⑤顯然

成立，當且僅當

時，

中等號成立.

⑤⑤當且僅當

時，等號成立.

執(zhí)果索因（分析法）探尋方法證明公式問題3

如圖，是圓

的直徑，點是上一點，

，.過點作垂直于的弦，連接，.則：基本不等式的幾何解釋：圓的半徑不小于弦長的一半.

（1）如何用a,b表示

?

（2）如何用a,b表示

?（3）

與

的大小關系怎樣?

即：ABCEabOD探尋方法證明公式已知

，

當且僅當

時，等號成立.基本不等式的特點：1.其成立條件是兩數皆為正；2.其結構為不等式一邊是兩數之和一邊是兩數之積；3.等號成立的條件是兩數相等。

基本不等式：三、初試公式辨析理解初試公式辨析理解例1已知

，求函數

的最小值.解：因為

，所以

當且僅當

，即

時，等號成立，因此所求的最小值為.問題4.例1中

換成

是否成立？不等式中的1

是否為函數的最小值？

初試公式辨析理解練習題

判斷正誤：（1）已知

，則

的最小值為2；（

）（2）已知

則

的最小值為

；（

）

（3）函數

的最大值為5.（

）解：

當且僅當

時等號成立;解：(2)由

得

所以

當且僅當

時，等號成立;解：(3)由

得

所以當且僅當

時，等號成立.

初試公式辨析理解練習題

判斷正誤：（1）已知

，則

的最小值為2；（

）（2）已知

則

的最小值為

；（

）

（3）函數

的最大值為5.（

）問題5.觀察題目中的代數式的形式，和最值有什么關系？可以證明嗎？初試公式辨析理解

例2已知

都是正數，求證：（1）如果積

等于定值

,那么當

時，和

有最小值

；（2）如果和

等于定值

,那么當

時，積

有最大值.證明：因為

都是正數，所以.（1）當積

等于定值

時,所以當且僅當

時，上式等號成立.于是，當

時，和

有最小值.初試公式辨析理解例2已知

都是正數，求證：（1）如果積

等于定值

,那么當

時，和

有最小值

；（2）如果和

等于定值

,那么當

時，積

有最大值.證明：因為

都是正數，所以.（2）當和

等于定值

時,所以當且僅當

時，上式等號成立.于是，當

時，積

有最大值.

積定和最小，和定積最大初試公式辨析理解問題6用基本不等式求最值的條件是什么？正定等

為正實數

積或和為定值

等號成立時

相等“一正、二定、三相等”四、鞏固強化綜合提升鞏固強化綜合提升例3某工廠要建造一個長方體無蓋貯水池，其容積為

，深為.如果池底每平方米的造價為150元，池壁每平方米的造價為120元，那么怎么設計水池能使總造價最低？最低造價是多少？鞏固強化綜合提升當且僅當

時，上式等號成立.所以

故將貯水池的池底設計成為邊長為40

的正方形時總造價最低，最低總造價為

元.例3.某工廠要建造一個長方體無蓋貯水池，其容積為

，深為.如果池底每平方米的造價為150元，池壁每平方米的造價為120元，那么怎么設計水池能使總造價最低？最低造價是多少？解：

設貯水池池底的相鄰兩條邊的邊長分別

水池的總造價為

元.根據題意，有

由容積為

，可得

即鞏固強化綜合提升課堂小結1.知識內容：一個公式、兩個模型、三項注意；一個公式：,當且僅當

時，等號成立;兩個模型：積定和最小