第05講直線的一般式方程課程標準學習目標①理解與掌握直線的一般式方程的形式及條件.會求直線的一般式方程。②能準確的將直線的五種形式的方程進行形式上的轉換.理解直線的代數(shù)形式與幾何意義。③會用直線的一般式進行有關的直線位置的判定與參數(shù)的求解，能解決與直線有關的綜合問題。通過本節(jié)課的學習要求能掌握直線一般式方程的形式，會求直線一般式方程，能進行五種形式直線方程的相互轉換，并能處理與直線位置有關的問題，并能解決與之有關的綜合問題.知識點01：直線的一般式方程定義:關于,的二元一次方程都表示一條直線.我們把關于,的二元一次方程(其中,不同時為0)叫做直線的一般式方程,簡稱一般式.說明：1．、不全為零才能表示一條直線，若、全為零則不能表示一條直線.當時，方程可變形為，它表示過點，斜率為的直線．當，時，方程可變形為，即，它表示一條與軸垂直的直線．由上可知，關于、的二元一次方程，它都表示一條直線．2．在平面直角坐標系中，一個關于、的二元一次方程對應著唯一的一條直線，反過來，一條直線可以對應著無數(shù)個關于、的一次方程.3.解題時,如無特殊說明,應把最終結果化為一般式.【即學即練1】（多選）（2324高二上·河北石家莊·階段練習）下列命題中錯誤的是（

）A．若直線的傾斜角為鈍角，則其斜率一定為負數(shù) B．任何直線都存在斜率和傾斜角C．直線的一般式方程為 D．任何一條直線至少要經(jīng)過兩個象限知識點02：直線的一般式方程與其它形式方程的互化【即學即練2】（2324高二上·河南南陽·階段練習）已知，則邊所在直線的方程為（）A． B．C． D．知識點03：直線系方程1．平行直線系方程把平面內具有相同方向的直線的全體稱為平行直線系.一般地，與直線平行的直線系方程都可表示為(其中為參數(shù)且≠C)，然后依據(jù)題設中另一個條件來確定的值.【即學即練3】（2324高二下·上?！て谀┻^點且平行于直線的直線方程為.2．垂直直線系方程一般地，與直線垂直的直線系方程都可表示為(其中為參數(shù)），然后依據(jù)題設中的另一個條件來確定的值.【即學即練4】（2324高二上·云南臨滄·階段練習）已知直線經(jīng)過點，且與直線垂直，則直線的方程是（

）A． B．C． D．題型01直線的一般式方程及其辨析【典例1】（2324高三上·山東青島·期末）對于直線，下列選項正確的為（

）A．直線傾斜角為B．直線在軸上的截距為C．直線的一個方向向量為D．直線經(jīng)過第二象限【典例2】（多選）（2324高二上·寧夏銀川·期中）直線（A，B不同時為0）下列說法正確的是（

）A．則該直線與兩坐標軸都相交 B．，則該直線與軸平行C．則該直線為軸所在直線 D．，則該直線過原點【典例3】（2122高二上·遼寧大連·階段練習）已知方程．(1)求該方程表示一條直線的條件；(2)當m為何實數(shù)時，方程表示的直線斜率不存在？求出這時的直線方程；(3)已知方程表示的直線l在x軸上的截距為，求實數(shù)m的值；(4)若方程表示的直線l的傾斜角是45°，求實數(shù)m的值．【變式1】（多選）（2024高三·全國·專題練習）（多選）下列結論正確的是（）A．經(jīng)過點P（－2，5），且斜率為－的直線的方程是3x－4y＋26＝0B．過點M（－3，5）且在兩坐標軸上的截距互為相反數(shù)的直線方程為x－y＋8＝0C．過點（x1，y1），（x2，y2）的直線的方程為（y－y1）（x2－x1）＝（y2－y1）（x－x1）D．任意一條不過點（0，2）的直線均可用方程mx＋n（y－2）＝1形式表示【變式2】（多選）（2324高二上·貴州·開學考試）已知直線（不同時為0），則（

）A．當時，與軸垂直B．當時，與軸重合C．當時，過原點D．當時，的傾斜角為銳角【變式3】（多選）（2324高二上·貴州貴陽·期中）已知直線，其中不全為0，則下列說法正確的是（

）A．當時，過坐標原點B．當時，的傾斜角為銳角C．當時，和軸平行D．若直線過點，直線的方程可化為題型02直線的一般式方程與其他形式的相互轉化【典例1】（2324高二上·河北邢臺·期末）已知經(jīng)過點的直線的一個方向向量為，則的方程為（

）A． B．C． D．【典例2】（2324高二上·寧夏銀川·期末）傾斜角為，在軸上的截距是的直線方程為.（寫成一般式方程）【典例3】（2024高二上·全國·專題練習）根據(jù)下列條件求直線的一般式方程．(1)直線的斜率為，且經(jīng)過點；(2)斜率為，且在軸上的截距為；(3)經(jīng)過兩點,；(4)在軸上的截距分別為．【變式1】（2324高二上·海南·期末）已知直線的方向向量為，且經(jīng)過點，則的方程為（

）A． B．C． D．【變式2】（2324高二上·廣東佛山·期末）斜率為，且經(jīng)過點的直線方程為（

）A． B．C． D．【變式3】（2324高二上·廣東珠?！て谀┮阎娜齻€頂點是，，．(1)求邊上的中線的直線方程；(2)求邊上的高的直線方程(3)求AC邊的垂直平分線題型03根據(jù)直線平行求參數(shù)【典例1】（2324高三上·廣東深圳·階段練習）已知直線與直線互相平行，則實數(shù)的值（

）A．2 B．2或1 C．2 D．1【典例2】（2324高三上·山東青島·期末）“”是“直線與平行”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【典例3】（2324高二上·甘肅·期末）若直線和直線平行，則（

）A．或 B．或C． D．【典例4】（2324高二上·吉林遼源·期末）已知直線，直線，且，則的值為.【變式1】（2324高二上·廣西百色·期末）若直線和平行，則的值為（

）A． B．C．或 D．【變式2】（2324高二上·河北石家莊·階段練習）若直線與平行，則（

）A．1 B． C．1或 D．【變式3】（2324高二上·福建福州·階段練習）已知直線，，，則“”的必要不充分條件是（

）A． B．C．或 D．【變式4】（2324高二上·四川瀘州·期中）若直線與直線平行，則實數(shù)等于（

）A． B． C．或 D．題型04根據(jù)直線垂直求參數(shù)【典例1】（2324高二下·上海·階段練習）“”是“直線與直線相互垂直”的（

）條件A．充分非必要 B．必要非充分 C．充要 D．既非充分也非必要【典例2】（2324高二上·江蘇鎮(zhèn)江·期中）已知直線，，若，則實數(shù)（

）A．2 B． C． D．【典例3】（2324高三下·云南曲靖·階段練習）若，為正實數(shù)，直線與直線互相垂直，則的最大值為.【典例4】（2324高二·全國·課后作業(yè)）已知直線，直線，且，求m的值．【變式1】（2324高二上·福建福州·期末）若直線與直線垂直，則實數(shù)a的取值是（

）A．或 B．C． D．【變式2】（2324高二上·江蘇連云港·階段練習）設為實數(shù)，若直線垂直于直線，則（

）A．0或3 B．0 C．3 D．3【變式3】（2324高二上·安徽亳州·階段練習）已知直線：與：互相垂直，則實數(shù)（

）A．1 B． C．1或 D．1或2【變式4】（2324高二上·貴州黔西·期中）已知直線和直線互相垂直，則實數(shù)的值為．題型05由兩條直線平行求方程【典例1】（2024·山東·二模）已知直線與直線平行，且在軸上的截距是，則直線的方程是（

）．A． B．C． D．【典例2】（2324高二上·青海西寧·期末）經(jīng)過點，且與直線平行的直線方程是（

）A． B．C． D．【典例3】（2324高二上·上?！るA段練習）過點且與直線平行的直線的方程為.【變式1】（2324高二下·江西·開學考試）過點且與直線平行的直線方程是（

）A． B．C． D．【變式2】（2024高二上·全國·專題練習）過點且與平行的直線方程是（

）A． B．C． D．【變式3】（2324高二上·上?！て谀┮阎本€與直線具有相同的法向量，且經(jīng)過點，則直線的一般式方程為.題型06由兩條直線垂直求方程【典例1】（2324高二上·廣西南寧·階段練習）過點且垂直于直線的直線方程為（）A． B．C． D．【典例2】（2324高二上·湖北·期末）過點且與直線垂直的直線方程是（

）A． B． C． D．【典例3】（2324高二上·寧夏銀川·期末）過點且與直線垂直的直線方程是.【變式1】（2324高二上·浙江金華·期末）過點且與直線垂直的直線方程是（

）A． B． C． D．【變式2】（2324高二上·北京·期中）經(jīng)過點且與直線垂直的直線方程為.【變式3】（2324高二上·福建福州·期末）過點與直線垂直的直線的方程是.題型07直線過定點問題【典例1】（2324高二上·北京·期中）已知直線l的方程為，則直線l（）A．恒過點且不垂直x軸B．恒過點且不垂直y軸C．恒過點且不垂直x軸D．恒過點且不垂直y軸【典例2】（2324高二上·全國·課后作業(yè)）不論為何實數(shù)，直線恒過第象限.【典例3】（2324高二上·陜西安康·期末）直線恒過定點．【變式1】（2324高二下·上海寶山·期末）若無論實數(shù)取何值，直線都經(jīng)過一個定點，則該定點坐標為.【變式2】（2324高二上·福建泉州·期末）直線恒過定點.【變式3】（2024高三·全國·專題練習）當m變化時，直線（m＋2）x＋（2－m）y＋4＝0恒過定點.題型08直線綜合【典例1】（2024·山東濰坊·模擬預測）已知直線：與直線，且，則的最小值為（

）A．12 B． C．15 D．【典例2】（2324高二下·上?！て谥校┮阎c，．(1)設，若直線與直線垂直，求的值；(2)求過點且與直線夾角的余弦值為的直線方程．【典例3】（2324高二上·貴州·階段練習）已知直線的方程為.(1)證明：不論為何值，直線過定點.(2)過（1）中點，且與直線垂直的直線與兩坐標軸的正半軸所圍成的三角形的面積最小時，求直線的方程.【變式1】（2024·河北滄州·三模）光從介質1射入介質2發(fā)生折射時，入射角與折射角的正弦之比叫作介質2相對介質1的折射率.如圖，一個折射率為的圓柱形材料，其橫截面圓心在坐標原點，一束光以的入射角從空氣中射入點，該光線再次返回空氣中時，其所在直線的方程為.【變式2】（2024高三·全國·專題練習）已知直線方程為(m－1)x＋(m＋2)y－3－3m＝0.(1)求證：無論m為何值，直線一定經(jīng)過第一象限；(2)若直線分別與x軸、y軸的正半軸交于A，B兩點，求△AOB面積的最小值及此時直線的方程.【變式3】（2324高二上·上海嘉定·期末）已知方程（）．(1)求該方程表示直線的條件；(2)當為何實數(shù)時，方程表示的直線斜率不存在？求出此時的直線方程；(3)直線是否過定點，若存在直線過定點，求出此定點，若不存在，說明理由．A夯實基礎B能力提升A夯實基礎一、單選題1．（2324高二上·安徽馬鞍山·階段練習）過點，傾斜角為的直線方程是（

）A． B．C． D．2．（2324高二下·云南·開學考試）已知直線的傾斜角與直線的傾斜角互補，則（

）A． B． C． D．3．（2324高二下·浙江·階段練習）已知直線：，：，若，則m的值為（

）A．1 B．－3 C．1或－3 D．－1或34．（2324高二上·北京石景山·期末）已知直線，直線.若，則實數(shù)（

）A． B． C． D．35．（2324高二上·貴州遵義·期末）已知直線過點，且傾斜角為直線傾斜角的一半，則直線的方程為（

）A． B．C． D．6．（上海市虹口區(qū)20232024學年高二下學期期末學生學習能力診斷測試數(shù)學試卷）已知兩條直線和，以下說法正確的是（

）.A． B．與重合C． D．與的夾角為7．（2024·安徽·模擬預測）“”是“直線與直線平行”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件8．（2024·四川·模擬預測）已知直線經(jīng)過點，則的最小值為（

）A．4 B．8 C．9 D．二、多選題9．（2324高二上·福建漳州·期末）已知直線，，則（

）A．過定點 B．當時，C．當時， D．當時，的斜率不存在10．（2324高二上·河北唐山·期末）已知直線與，則（

）A．若，則兩直線垂直 B．若兩直線平行，則C．直線恒過定點 D．直線在兩坐標軸上的截距相等三、填空題11．（2324高二上·北京·階段練習）若直線與直線垂直，則.12．（2024高二上·全國·專題練習）已知兩點，動點在線段上運動，則的取值范圍為．四、解答題13．（2324高二上·北京·期中）已知的頂點坐標分別是，，，為邊的中點.(1)求中線的方程；(2)求經(jīng)過點且與直線平行的直線方程.14．（2324高二上·江西九江·期末）（1）直線與直線平行，求的值；（2）直線