知識(shí)點(diǎn)一復(fù)數(shù)的概念【基礎(chǔ)指數(shù)框架】1.形如的數(shù)叫復(fù)數(shù)，其中為虛數(shù)單位，、分別為復(fù)數(shù)的實(shí)部和虛部；2.對(duì)于復(fù)數(shù)，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)為實(shí)數(shù)，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)為實(shí)數(shù)0，當(dāng)時(shí)為虛數(shù)，當(dāng)且時(shí)為純虛數(shù)；3.平面直角坐標(biāo)系可用來表示復(fù)平面，軸稱為實(shí)軸，軸稱為虛軸.實(shí)軸上的點(diǎn)都表示實(shí)數(shù)，除原點(diǎn)外虛軸上的點(diǎn)都表示虛數(shù)；4.復(fù)數(shù)與復(fù)平面上的點(diǎn)一一對(duì)應(yīng)；5.復(fù)數(shù)與平面向量一一對(duì)應(yīng).的模稱為復(fù)數(shù)的模或絕對(duì)值，記作或，即；6.對(duì)于復(fù)數(shù)，稱為復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)，記作.【例題分析】例1．（2024春?鐵東區(qū)校級(jí)月考）復(fù)數(shù)虛部是A． B．1 C． D．例2．（2024春?和平區(qū)校級(jí)月考）已知復(fù)數(shù)為純虛數(shù)，則實(shí)數(shù)A． B． C．2 D．例3．（2024?香坊區(qū)校級(jí)四模）已知是虛數(shù)單位，若為純虛數(shù)，則實(shí)數(shù)的值為A．0 B．1 C．2 D．例4．（2024春?臺(tái)州期中?多選）在復(fù)平面內(nèi)，下列說法正確的是A． B． C．若，則 D．若復(fù)數(shù)滿足，則是虛數(shù)例5．（2024?開封模擬?多選）已知復(fù)數(shù)，（其中是虛數(shù)單位，，，若為純虛數(shù)，則A． B． C． D．【變式訓(xùn)練】1．（2024春?浦東新區(qū)校級(jí)月考）已知為虛數(shù)單位，則復(fù)數(shù)的實(shí)部為．2．（2024春?忻城縣校級(jí)期中）復(fù)數(shù)為虛數(shù)單位）的虛部為A．2 B． C． D．3．（2024?新鄉(xiāng)三模）已知為純虛數(shù)，則A．3 B． C． D．4．（2024春?重慶期中?多選）下列命題中，真命題為A．復(fù)數(shù)為純虛數(shù)的充要條件是 B．復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)為 C．復(fù)數(shù)的虛部為 D．復(fù)數(shù)，則5．（2024春?興化市期中?多選）對(duì)于復(fù)數(shù)，則下列結(jié)論中錯(cuò)誤的是A．若，則為純虛數(shù) B．若，則， C．若，則為實(shí)數(shù) D．若，則不是復(fù)數(shù)

知識(shí)點(diǎn)二復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算【基礎(chǔ)指數(shù)框架】1.對(duì)于復(fù)數(shù)，（1）；；（2）===；（3）=.【例題分析】1．（2024?新高考Ⅰ）若，則A． B． C． D．2．（2024?北京）若復(fù)數(shù)滿足，則A． B． C． D．3．（2024?甲卷）設(shè)，則A． B．1 C． D．24．（2024?甲卷）設(shè)，則A． B． C．10 D．5．（2023?新高考Ⅱ）在復(fù)平面內(nèi)，對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限6．（2023?新高考Ⅰ）已知，則A． B． C．0 D．17．（2024?上海）已知虛數(shù)，其實(shí)部為1，且，則實(shí)數(shù)為．8．（2023?天津）已知是虛數(shù)單位，化簡(jiǎn)的結(jié)果為．

【變式訓(xùn)練】1．（2023?北京）在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)是，則的共軛復(fù)數(shù)A． B． C． D．2．（2023?甲卷）若復(fù)數(shù)，，則A． B．0 C．1 D．23．（2023?乙卷）A．1 B．2 C． D．54．（2022?浙江）已知，，為虛數(shù)單位），則A．， B．， C．， D．，5．（2022?北京）若復(fù)數(shù)滿足，則A．1 B．5 C．7 D．256．（2022?甲卷）若，則A． B． C． D．7．（2022?新高考Ⅰ）若，則A． B． C．1 D．28．（2022?乙卷）已知，且，其中，為實(shí)數(shù)，則A．， B．， C．， D．，

知識(shí)點(diǎn)三復(fù)數(shù)的幾何應(yīng)用、代數(shù)應(yīng)用與周期性【基礎(chǔ)指數(shù)框架】1.在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)解二次方程對(duì)于二次方程，，；若，則，如.2.周期性：若，則；；；.3.幾何意義：設(shè),則滿足的點(diǎn)的集合表示的圖形為以為圓心，半徑為的圓.【例題分析】例1．（2023?乙卷）設(shè)，則A． B． C． D．例2．（2024?安康模擬）若滿足，對(duì)應(yīng)的點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的點(diǎn)為，則對(duì)應(yīng)的為A． B． C． D．例3．（2024?襄城區(qū)校級(jí)模擬）已知復(fù)數(shù)是虛數(shù)單位，，則的最小值是A． B． C． D．1例4．（2024?吉林四模）已知復(fù)數(shù)滿足，則復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的軌跡為A．線段 B．圓 C．橢圓 D．雙曲線例5．（2024?陽(yáng)泉三模）已知是實(shí)系數(shù)方程的一個(gè)復(fù)數(shù)根，則A． B． C．1 D．9例6．（2024?江蘇模擬）已知是虛數(shù)單位）是方程的根，則A． B． C． D．

【變式訓(xùn)練】1．（2023?甲卷）A． B．1 C． D．2．（2024?邵陽(yáng)模擬）已知復(fù)數(shù)滿足：，其中是虛數(shù)單位，則的值為A． B．1 C．2 D．43．（2024?全國(guó)二模）已知復(fù)數(shù)滿足，則在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限4．（2024?泰州模擬）若復(fù)數(shù)滿足，則的最小值為A． B． C．1 D．5．（2024?廣東模擬）已知，為方程的兩個(gè)虛根，則A． B． C． D．6．（2024?棗莊模擬）已知復(fù)數(shù)是方程的一個(gè)根，則實(shí)數(shù)A． B．5 C． D．6

知識(shí)點(diǎn)四復(fù)數(shù)的三角表示【基礎(chǔ)指數(shù)框架】1.復(fù)數(shù)的三角表示一般地，任何一個(gè)復(fù)數(shù)都可以表示成的形式.其中，是復(fù)數(shù)的模;是以軸的非負(fù)半軸為始邊，向量所在射線(射線)為終邊的角，叫做復(fù)數(shù)之的輻角.叫做復(fù)數(shù)的三角表示式，簡(jiǎn)稱三角形式.為了與三角形式區(qū)分開來，叫做復(fù)數(shù)的代數(shù)表示式，簡(jiǎn)稱代數(shù)形式.（任何一個(gè)不為零的復(fù)數(shù)輻角有無(wú)數(shù)多個(gè)，且相差的整數(shù)倍，我們規(guī)定在范圍內(nèi)的輻角的值為輻角的主值，記為）.2.復(fù)數(shù)乘、除的三角表示及其幾何意義：對(duì)于復(fù)數(shù)，（1）；（2）.【例題分析】例1．（2023·全國(guó)·高一專題練習(xí)）以下不滿足復(fù)數(shù)的三角形式的是（

）A． B．C． D．例2．（2023·江蘇·高一專題練習(xí)）復(fù)數(shù)化成三角形式，正確的是（

）A． B．C． D．例3．（2022秋·內(nèi)蒙古赤峰·高二?？计谀W拉公式（其中為虛數(shù)單位，）將指數(shù)函數(shù)的定義域擴(kuò)大到復(fù)數(shù)，建立了三角函數(shù)與指數(shù)函數(shù)的關(guān)聯(lián)，在復(fù)變函數(shù)論中占有非常重要的地位，被譽(yù)為數(shù)學(xué)中的天橋.依據(jù)歐拉公式，則（

）A．=0 B．為實(shí)數(shù)C． D．復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第三象限例4．（2023春·全國(guó)·高一專題練習(xí)）計(jì)算：．【變式訓(xùn)練】1．（2023·高二課時(shí)練習(xí)）復(fù)數(shù)－i的三角形式是（

）A． B． C． D．2．（2022春·江西南昌·高一?？计谥校?fù)數(shù)的三角形式是（

）A． B．C． D．3．（2023春·全國(guó)·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）任何一個(gè)復(fù)數(shù)都可以表示成的形式，通常稱之為復(fù)數(shù)的三角形式．法國(guó)數(shù)學(xué)家棣莫弗發(fā)現(xiàn)：，我們稱這個(gè)結(jié)論為棣莫弗定理．則（

）A．1 B． C． D．i4．（2023春·全國(guó)·高一專題練習(xí)）計(jì)算：(1)；(2).

知識(shí)點(diǎn)五以復(fù)數(shù)為背景的綜合計(jì)算【例題分析】例1．（2024?山東模擬?多選）已知，為方程的兩根，則A． B． C． D．例2．（2024春?深圳月考?多選）已知復(fù)數(shù)，，下列結(jié)論正確的有A．若，則 B．若，則 C．若復(fù)數(shù)滿足，則在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的軌跡為圓 D．若是關(guān)于的方程的一個(gè)根，則例3．（2024春?耒陽(yáng)市期中?多選）若復(fù)數(shù)，則下列命題是真命題的是A． B． C． D．若是關(guān)于的方程的根，則例4．（2024春?聊城期中?多選）已知，為方程的兩個(gè)不相等的復(fù)數(shù)根，則A． B．時(shí)，較大的根為 C．時(shí)， D．例5．（2024?江門模擬?多選）下列說法正確的是A．， B． C．若，，則的最小值為1 D．若是關(guān)于的方程的根，則例6．（2024?天河區(qū)校級(jí)模擬?多選）已知復(fù)數(shù)，，則下列結(jié)論正確的是A．方程表示的在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)點(diǎn)的軌跡是圓 B．方程表示的在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)點(diǎn)的軌跡是橢圓 C．方程表示的在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)點(diǎn)的軌跡是雙曲線的一支 D．方程表示的在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)