2.2.4點(diǎn)到直線的距離第二章平面解析幾何人教B版數(shù)學(xué)選擇性必修第一冊(cè)課標(biāo)定位素養(yǎng)闡釋1.掌握點(diǎn)到直線的距離公式,并能靈活運(yùn)用此公式解決距離問題.2.會(huì)求兩條平行直線的距離.3.重點(diǎn)提升數(shù)學(xué)運(yùn)算和邏輯推理素養(yǎng).自主預(yù)習(xí)新知導(dǎo)學(xué)一、點(diǎn)到直線的距離1.已知點(diǎn)P(x0,y0)是直線l:Ax+By+C=0外一點(diǎn),如何求P到直線l的距離?提示:可先求出過點(diǎn)P與l垂直的直線l1的方程,再求出l1與l的交點(diǎn)P0,則線段PP0的長(zhǎng)即為所求.也可以在l上取一點(diǎn)M(x1,y1),利用l的法向量n=(A,B)與2.若點(diǎn)P(x0,y0)到直線l:Ax+By+C=0的距離為d,則

.這稱為點(diǎn)到直線的距離公式.3.點(diǎn)O(0,0)到直線x+y+1=0的距離為

.

二、兩條平行直線之間的距離1.已知直線l1:4x-3y+2=0,l2:8x-6y+10=0.(1)直線l1與l2有什么關(guān)系?(2)若P,Q是直線l1上不同的兩點(diǎn),它們到直線l2的距離分別為d1,d2,則d1與d2有什么關(guān)系?(3)如何求直線l1與l2之間的距離?提示:(1)l1∥l2.(2)d1=d2.(3)在直線l1上取一點(diǎn)M,利用點(diǎn)到直線的距離公式求出點(diǎn)M到直線l2的距離就是直線l1與l2之間的距離.2.若直線l1:Ax+By+C1=0,l2:Ax+By+C2=0,則直線l1與l2之間的距離d=

.

3.直線l1:x+3y-1=0與l2:x+3y+1=0之間的距離為

.

【思考辨析】

判斷正誤.(正確的畫“√”,錯(cuò)誤的畫“×”)(1)點(diǎn)到直線的距離公式只適用于點(diǎn)在直線外的情況.(

)(2)點(diǎn)(1,1)到直線x=3的距離為2.(

)(3)直線4x-2y-1=0到直線4x-2y-3=0的距離為|-1-(-3)|=2.(

)(4)兩條平行直線之間的距離公式適用于任意兩條平行的直線.(

)×√×√合作探究釋疑解惑探究一點(diǎn)到直線的距離【例1】

已知直線l過點(diǎn)M(-2,1),且點(diǎn)A(-1,2),B(3,0)到直線l的距離相等,求直線l的方程.解:若直線l的斜率不存在時(shí),點(diǎn)A,B到l的距離不相等,不符合題意,則舍去.故直線l的斜率存在.設(shè)直線l的方程為y-1=k(x+2),即kx-y+2k+1=0.因?yàn)辄c(diǎn)A,B到l的距離相等,解得k=-或k=0.故l的方程為x+2y=0或y=1.1.使用點(diǎn)到直線的距離公式時(shí),先將直線的方程化為一般式.2.已知點(diǎn)到直線的距離求參數(shù)時(shí),只需根據(jù)公式列出方程,解方程即可.【變式訓(xùn)練1】

已知直線l過原點(diǎn),且點(diǎn)(2,1)到直線l的距離為1,求直線l的方程.解:由題意可知,直線l的斜率一定存在.又直線l過原點(diǎn),設(shè)其方程為y=kx,即kx-y=0.故直線l的方程為y=0或4x-3y=0.探究二兩條平行直線之間的距離【例2】

求兩條平行直線l1:3x+4y-10=0和l2:3x+4y-15=0之間的距離.求與直線l1:3x+4y-10=0平行,且距離為1的直線方程.解:因?yàn)樗笾本€與直線3x+4y-10=0平行,所以設(shè)所求直線方程為3x+4y+C=0(C≠-10).故所求直線方程為3x+4y-5=0或3x+4y-15=0.求兩條平行直線之間的距離的方法(1)轉(zhuǎn)化法:將兩條平行直線之間的距離轉(zhuǎn)化為其中一條直線上任意一點(diǎn)到另一條直線的距離.由于這種求法與點(diǎn)的選擇無關(guān),因此,常選取一個(gè)特殊點(diǎn),如直線與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)等,以便于運(yùn)算.(2)公式法:直接用公式

,但要注意兩直線方程中的x,y的系數(shù)必須分別相同.【變式訓(xùn)練2】

已知直線l1過點(diǎn)A(0,1),l2過點(diǎn)B(5,0),l1∥l2,且l1與l2的距離為5,求直線l1與l2的方程.解:當(dāng)l1,l2的斜率不存在,即l1:x=0,l2:x=5時(shí),滿足條件.當(dāng)l1,l2的斜率存在時(shí),設(shè)l1:y=kx+1,即kx-y+1=0,此時(shí)l1:12x-5y+5=0,l2:12x-5y-60=0.綜上所述,l1的方程為x=0,l2的方程為x=5或l1的方程為12x-5y+5=0,l2的方程為12x-5y-60=0.思想方法用數(shù)形結(jié)合思想求兩條平行直線之間的距離的最值問題【典例】

兩條互相平行的直線分別過點(diǎn)A(6,2)和B(-3,-1),如果兩條平行直線之間的距離為d,求:(1)d的取值范圍;(2)當(dāng)d取最大值時(shí),兩條直線的方程.圖①

圖②

如圖②,當(dāng)兩條平行直線與AB不垂直時(shí),分別繞點(diǎn)A,B轉(zhuǎn)動(dòng)兩條平行直線,可知兩條平行直線之間的距離d越來越接近于0.所以0<d≤3,故d的取值范圍是(0,3].解:(1)如圖①,當(dāng)兩條平行直線與AB垂直時(shí),兩條平行直線之間的距離最大,數(shù)形結(jié)合思想是數(shù)學(xué)中常用的思想方法.解決與距離有關(guān)的問題,常利用數(shù)形結(jié)合思想,借助圖形,可以直觀地看出距離的變化情況,進(jìn)而求出距離的取值范圍或最值等.【變式訓(xùn)練】

設(shè)x+2y=1,則x2+y2的最小值為

.

隨堂練習(xí)答案:C2.點(diǎn)(5,-3)到直線x+2=0的距離等于(

)A.7 B.5 C.3 D.2答案:A3.已知點(diǎn)P(x,y)在直線x+y-4=0上,O是坐標(biāo)原點(diǎn),則|OP|的最小值是

.

答案:CD5.已知直線l:12