北京市昌平區(qū)東方紅學(xué)校2024—2025學(xué)年高三第一學(xué)期開(kāi)學(xué)考試數(shù)學(xué)試卷考生注意：1.本試卷共3頁(yè)，三大題21小題；卷面滿(mǎn)分150分.2.考試時(shí)間120分鐘.3.一律用藍(lán)、黑色筆答題，一律答在答題紙上.第一部分（選擇題共40分）一、選擇題：共10小題，每小題4分，共40分，在每小題的四個(gè)選項(xiàng)中，選出符合題目要求的一項(xiàng).1.若集合，，則（）A. B.C. D.2.已知復(fù)數(shù)（是虛數(shù)單位），則的虛部是（）A.1 B. C. D.3.二項(xiàng)式的展開(kāi)式中常數(shù)項(xiàng)是（）A.1 B.4 C.6 D.04.設(shè)，是非零向量，則“或”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件5.直線被圓所截的弦長(zhǎng)為（）A.1 B. C.2 D.36.將函數(shù)圖象上的所有點(diǎn)向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，得到函數(shù)的圖象，則（）A. B.在上單調(diào)遞增C.在上的最小值為 D.直線是圖象的一條對(duì)稱(chēng)軸7.若一圓錐的側(cè)面展開(kāi)圖的圓心角為，則該圓錐的母線與底面所成角的余弦值為（）A. B. C. D.8.已知，分別為雙曲線：（，）的左、右焦點(diǎn)，過(guò)的直線與雙曲線的左支交于，兩點(diǎn)，若，，則雙曲線的焦距為（）A. B. C. D.9.函數(shù)，若對(duì)任意，（），都有成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（）A. B. C. D.10.已知集合，若且互不相等，則使得指數(shù)函數(shù)，對(duì)數(shù)函數(shù)，冪函數(shù)中至少有兩個(gè)函數(shù)在上單調(diào)遞減的有序數(shù)對(duì)的個(gè)數(shù)是（）A.36 B.42 C.72 D.84二、填空題：本題共5小題，每小題5分，共25分.11.函數(shù)的定義域是______.12.已知雙曲線：，則的右焦點(diǎn)的坐標(biāo)為_(kāi)_____，的焦點(diǎn)到其漸近線的距離是______.13.在中，若，，，則______.14.已知兩點(diǎn)，.點(diǎn)滿(mǎn)足，則的面積是______；的一個(gè)取值為_(kāi)_____.15.若存在常數(shù)和，使得函數(shù)和對(duì)其公共定義域上的任意實(shí)數(shù)都滿(mǎn)足：和恒成立或（和恒成立），則稱(chēng)此直線為和的“隔離直線”.已知函數(shù)，（），有下列命題：①直線為和的“隔離直線”.②若為和的“隔離直線”，則的范圍為.③存在實(shí)數(shù)，使得和有且僅有唯一的“隔離直線”.④和之間一定存在“隔離直線”，且的最小值為.其中所有正確命題的序號(hào)是______.三、解答題共6小題，共85分，解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，演算步驟或證明過(guò)程.16.（本題滿(mǎn)分12分）如圖，在三棱柱中，平面，，分別為，的中點(diǎn)，，.（1）求證：平面；（2）求直線與平面所成角的正弦值.17.（本題滿(mǎn)分14分）已知函數(shù)，其中.再?gòu)臈l件①、條件②、條件③中選擇一個(gè)作為已知，使存在，并完成下列兩個(gè)問(wèn)題.（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）當(dāng)時(shí)，若曲線與直線恰有一個(gè)公共點(diǎn)，求的取值范圍.條件①：；條件②：是的一個(gè)零點(diǎn)；條件③：.注：如果選擇多個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分.18.（本題滿(mǎn)分14分）在校運(yùn)動(dòng)會(huì)上，只有甲、乙、丙三名同學(xué)參加鉛球比賽，比賽成績(jī)達(dá)到以上（含）的同學(xué)將獲得優(yōu)秀獎(jiǎng).為預(yù)測(cè)獲得優(yōu)秀獎(jiǎng)的人數(shù)及冠軍得主，收集了甲、乙、丙以往的比賽成績(jī)，并整理得到如下數(shù)據(jù)（單位：）：甲：9.80，9.70，9.55，9.54，9.48，9.42，9.40，9.35，9.30，9.25；乙：9.78，9.56，9.51，9.36，9.32，9.23；丙：9.85，9.65，9.20，9.16.假設(shè)用頻率估計(jì)概率，且甲、乙、丙的比賽成績(jī)相互獨(dú)立.（1）估計(jì)甲在校運(yùn)動(dòng)會(huì)鉛球比賽中獲得優(yōu)秀獎(jiǎng)的概率；（2）設(shè)是甲、乙、丙在校運(yùn)動(dòng)會(huì)鉛球比賽中獲得優(yōu)秀獎(jiǎng)的總?cè)藬?shù)，估計(jì)的數(shù)學(xué)期望；（3）在校運(yùn)動(dòng)會(huì)鉛球比賽中，甲、乙、丙誰(shuí)獲得冠軍的概率估計(jì)值最大？（結(jié)論不要求證明）19.（本題滿(mǎn)分15分）已知橢圓：（）的一個(gè)頂點(diǎn)為，焦距為.（1）求橢圓的方程；（2）過(guò)點(diǎn)作斜率為的直線與橢圓交于不同的兩點(diǎn)，，直線，分別與軸交于點(diǎn)，，當(dāng)時(shí)，求的值.20.（本題滿(mǎn)分15分）已知函數(shù).（1）求曲線在點(diǎn)處的切線方程；（2）設(shè)，討論函數(shù)在上的單調(diào)性；（3）證明：對(duì)任意的，有.21.（本題滿(mǎn)分15分）已知是無(wú)窮數(shù)列.給出兩個(gè)性質(zhì)：①對(duì)于中任意兩項(xiàng)，（），在中都存在一項(xiàng)，使；②對(duì)于中任意項(xiàng)（），在中都存在兩項(xiàng)，