2024年北京市高考數(shù)學(xué)試卷一、選擇題。共10小題，每小題4分，共40分。在每小題列出的四個(gè)選項(xiàng)中，選出符合題目要求的一項(xiàng)。1．已知集合，，則A． B． C． D．2．若復(fù)數(shù)滿足，則A． B． C． D．3．圓的圓心到的距離為A． B．2 C．3 D．4．在的展開式中，的系數(shù)為A．6 B． C．12 D．5．設(shè)，是向量，則“”是“或”的A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件6．設(shè)函數(shù)．已知，，且的最小值為，則A．1 B．2 C．3 D．47．生物豐富度指數(shù)是河流水質(zhì)的一個(gè)評(píng)價(jià)指標(biāo)，其中，分別表示河流中的生物種類數(shù)與生物個(gè)體總數(shù)．生物豐富度指數(shù)越大，水質(zhì)越好．如果某河流治理前后的生物種類數(shù)沒有變化，生物個(gè)體總數(shù)由變?yōu)?，生物豐富度指數(shù)由2.1提高到3.15，則A． B． C． D．8．如圖，在四棱錐中，底面是邊長為4的正方形，，，該棱錐的高為A．1 B．2 C． D．9．已知，，，是函數(shù)的圖象上兩個(gè)不同的點(diǎn)，則A． B． C． D．10．已知，，，是平面直角坐標(biāo)系中的點(diǎn)集．設(shè)是中兩點(diǎn)間的距離的最大值，是表示的圖形的面積，則A．， B．， C． D．二、填空題。共5小題，每小題5分，共25分。11．拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為．12．在平面直角坐標(biāo)系中，角與角均以為始邊，它們的終邊關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱．若，則的最大值為．13．若直線與雙曲線只有一個(gè)公共點(diǎn)，則的一個(gè)取值為．14．漢代劉歆設(shè)計(jì)的“銅嘉量”是龠、合、升、斗、斛五量合一的標(biāo)準(zhǔn)量器，其中升量器、斗量器、斛量器的形狀均可視為圓柱．若升、斗、斛量器的容積成公比為10的等比數(shù)列，底面直徑依次為，，325，且斛量器的高為，則斗量器的高為，升量器的高為．（不計(jì)量器的厚度）15．設(shè)與是兩個(gè)不同的無窮數(shù)列，且都不是常數(shù)列．記集合，，給出下列四個(gè)結(jié)論：①若與均為等差數(shù)列，則中最多有1個(gè)元素；②若與均為等比數(shù)列，則中最多有2個(gè)元素；③若為等差數(shù)列，為等比數(shù)列，則中最多有3個(gè)元素；④若為遞增數(shù)列，為遞減數(shù)列，則中最多有1個(gè)元素．其中正確結(jié)論的序號(hào)是．三、解答題。共6小題，共85分。解答應(yīng)寫出文字說明，演算步驟或證明過程。16．（10分）在中，內(nèi)角，，的對(duì)邊分別為，，，為鈍角，，．（1）求；（2）再從條件①、條件②、條件③這三個(gè)條件中選擇一個(gè)作為已知，使得存在，求的面積．條件①：；條件②：；條件③：．注：如果選擇的條件不符合要求，第（2）問得0分；如果選擇多個(gè)符合要求的條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分．17．（15分）如圖，在四棱錐，，，，點(diǎn)在上，且，．（1）若為線段的中點(diǎn)，求證：平面．（2）若平面，求平面與平面夾角的余弦值．18．（15分）某保險(xiǎn)公司為了解該公司某種保險(xiǎn)產(chǎn)品的索賠情況，從合同保險(xiǎn)期限屆滿的保單中隨機(jī)抽取1000份，記錄并整理這些保單的索賠情況，獲得數(shù)據(jù)如下表：索賠次數(shù)01234保單份數(shù)800100603010假設(shè)：一份保單的保費(fèi)為0.4萬元；前三次索賠時(shí)，保險(xiǎn)公司每次賠償0.8萬元；第四次索賠時(shí)，保險(xiǎn)公司賠償0.6萬元．假設(shè)不同保單的索賠次數(shù)相互獨(dú)立．用頻率估計(jì)概率．（1）估計(jì)一份保單索賠次數(shù)不少于2的概率；（2）一份保單的毛利潤定義為這份保單的保費(fèi)與賠償總金額之差．記為一份保單的毛利潤，估計(jì)的數(shù)學(xué)期望；如果無索賠的保單的保費(fèi)減少，有索賠的保單的保費(fèi)增加，試比較這種情況下一份保單毛利潤的數(shù)學(xué)期望估計(jì)值與中估計(jì)值的大小，（結(jié)論不要求證明）19．（15分）已知橢圓方程，以橢圓的焦點(diǎn)和短軸端點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形是邊長為2的正方形．過點(diǎn)，且斜率存在的直線與橢圓交于不同的兩點(diǎn)，，過點(diǎn)和的直線與橢圓的另一個(gè)交點(diǎn)為．（1）求橢圓的方程及離心率；（2）若直線的斜率為0，求的值．20．（15分）設(shè)函數(shù)，直線是曲線在點(diǎn)，處的切線．（1）當(dāng)，求單調(diào)區(qū)間；（2）證明：不經(jīng)過；（3）當(dāng)時(shí)，設(shè)點(diǎn)，，，，，為與軸的交點(diǎn)，與分別表示和的面積．是否存在點(diǎn)使得成立？若存在，這樣的點(diǎn)有幾個(gè)？（參考數(shù)據(jù)：，，21．（15分）已知集合，，，，，，，，，，，且為偶數(shù)．給定數(shù)列，，，和序列，，，，其中，，，，2，，，對(duì)數(shù)列進(jìn)行如下變換：將的第，，，項(xiàng)均加1，其余項(xiàng)不變，得到的數(shù)列記作（A）；將（A）的第，，，項(xiàng)均加1，其余項(xiàng)不變，得到的數(shù)列記作（A）；；以此類推，得到數(shù)列（A），簡記為（A）．（1）給定數(shù)列，3，2，4，6，3，1，9和序列，3，5，，，4，6，，，3，5，，寫出（A）；（2）是否存在序列，使得（A）為，，，，，，，？若存在，寫出一個(gè)，若不存在，請(qǐng)說明理由；（3）若數(shù)列的各項(xiàng)均為正整數(shù)，且為偶數(shù)，求證：“存在序列，使得（A）的各項(xiàng)都相等”的充要條件為“”．

2024年北京市高考數(shù)學(xué)試卷參考答案與試題解析一、選擇題。共10小題，每小題4分，共40分。在每小題列出的四個(gè)選項(xiàng)中，選出符合題目要求的一項(xiàng)。1．已知集合，，則A． B． C． D．【解析】：集合，，則．故選：．2．若復(fù)數(shù)滿足，則A． B． C． D．【解析】：，則．故選：．3．圓的圓心到的距離為A． B．2 C．3 D．【解析】：圓的圓心，圓的圓心到的距離：．故選：．4．在的展開式中，的系數(shù)為A．6 B． C．12 D．【解析】：解法一：的通項(xiàng)公式為：，，可得，二項(xiàng)展開式中的系數(shù)：．故選：．解法二：【山東濱州楊成武補(bǔ)解】的展開式中含的項(xiàng)是由中任意取2個(gè)括號(hào)內(nèi)的與剩余的2個(gè)括號(hào)內(nèi)的相乘得到的,(題眼)所以的展開式中含的項(xiàng)為,所以的展開式中的系數(shù)為6.5．設(shè)，是向量，則“”是“或”的A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【解析】：，則，即，不能推出或，充分性不成立，或能推出，必要性成立，故“”是“或”的必要不充分條件．故選：．6．設(shè)函數(shù)．已知，，且的最小值為，則A．1 B．2 C．3 D．4【解析】：因?yàn)椋瑒t為函數(shù)的最小值，為函數(shù)的最大值，又，所以，．故選：．7．生物豐富度指數(shù)是河流水質(zhì)的一個(gè)評(píng)價(jià)指標(biāo)，其中，分別表示河流中的生物種類數(shù)與生物個(gè)體總數(shù)．生物豐富度指數(shù)越大，水質(zhì)越好．如果某河流治理前后的生物種類數(shù)沒有變化，生物個(gè)體總數(shù)由變?yōu)?，生物豐富度指數(shù)由2.1提高到3.15，則A． B． C． D．【解析】：根據(jù)個(gè)體總數(shù)由變?yōu)榭闪惺?，，，所以，約分可得，故，所以．故選：．8．如圖，在四棱錐中，底面是邊長為4的正方形，，，該棱錐的高為A．1 B．2 C． D．【解析】：由題意知為正三角形，因?yàn)?，所以，分別取，的中點(diǎn)，，連接，，，則，，，則，所以，過點(diǎn)作，垂足為．易知，，，平面，且，所以平面．又平面，所以．又，，平面，，所以平面，所以為四棱錐的高，因?yàn)?，所以．故選：．9．已知，，，是函數(shù)的圖象上兩個(gè)不同的點(diǎn)，則A． B． C． D．【解析】：，，，是上的點(diǎn)，則，，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，故，兩邊同時(shí)取對(duì)數(shù)可得，．故選：．10．已知，，，是平面直角坐標(biāo)系中的點(diǎn)集．設(shè)是中兩點(diǎn)間的距離的最大值，是表示的圖形的面積，則A．， B．， C． D．【解析】：集合，，表示的圖形如下圖陰影部分所示，由圖象可知，，．故選：．二、填空題。共5小題，每小題5分，共25分。11．拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為．【解析】：拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)是．故答案為：．12．在平面直角坐標(biāo)系中，角與角均以為始邊，它們的終邊關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱．若，則的最大值為．【解析】：與的終邊關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱可得，，，，，，，所以，，故當(dāng)，，時(shí)，的最大值為．故答案為：．13．若直線與雙曲線只有一個(gè)公共點(diǎn)，則的一個(gè)取值為（或．【解析】：聯(lián)立，化簡可得，因?yàn)橹本€與雙曲線只有一個(gè)公共點(diǎn)，故，或△，解得或無解，當(dāng)時(shí)，符合題意．故答案為：（或．14．漢代劉歆設(shè)計(jì)的“銅嘉量”是龠、合、升、斗、斛五量合一的標(biāo)準(zhǔn)量器，其中升量器、斗量器、斛量器的形狀均可視為圓柱．若升、斗、斛量器的容積成公比為10的等比數(shù)列，底面直徑依次為，，325，且斛量器的高為，則斗量器的高為23，升量器的高為．（不計(jì)量器的厚度）【解析】：斛量器的體積為，則斗量器的體積為，所以斗量器的高為；設(shè)升量器的高為，由升量器的體積為，解得，所以升量器的高為；所以升量器、斗量器的高度分別，．故答案為：23，57.5．15．設(shè)與是兩個(gè)不同的無窮數(shù)列，且都不是常數(shù)列．記集合，，給出下列四個(gè)結(jié)論：①若與均為等差數(shù)列，則中最多有1個(gè)元素；②若與均為等比數(shù)列，則中最多有2個(gè)元素；③若為等差數(shù)列，為等比數(shù)列，則中最多有3個(gè)元素；④若為遞增數(shù)列，為遞減數(shù)列，則中最多有1個(gè)元素．其中正確結(jié)論的序號(hào)是①③④．【解析】：對(duì)于①，，均為等差數(shù)列，，，不為常數(shù)列且各項(xiàng)均不相同，故它們的散點(diǎn)圖分布在直線上，而兩條直線至多有一個(gè)公共點(diǎn)，所以中至多一個(gè)元素，故①正確；對(duì)于②，令，，滿足，均為等比數(shù)列，但當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，，此時(shí)中有無窮多個(gè)元素，故②錯(cuò)誤；對(duì)于③，設(shè)，，若中至少四個(gè)元素，則關(guān)于的方程至少有4個(gè)不同的正數(shù)解，若，，考慮關(guān)于的方程奇數(shù)解的個(gè)數(shù)和偶數(shù)解的個(gè)數(shù)，當(dāng)有偶數(shù)解，此方程即為，方程至多有兩個(gè)偶數(shù)解，且有兩個(gè)偶數(shù)解時(shí)，否則，因?yàn)?，單調(diào)性相反，方程至多一個(gè)偶數(shù)解，當(dāng)有奇數(shù)解，此方程即為，方程至多有兩個(gè)奇數(shù)解，且有兩個(gè)奇數(shù)解時(shí)，即，否則，因?yàn)?，單調(diào)性相反，方程至多一個(gè)奇數(shù)解，因?yàn)椋豢赡芡瑫r(shí)成立，若，，則由和的散點(diǎn)圖可得關(guān)于的方程至多有兩個(gè)不同的解，矛盾；故不可能有4個(gè)不同的正數(shù)解，故③正確．對(duì)于④，因?yàn)闉閱握{(diào)遞增，為遞減數(shù)列，，，不為常數(shù)列且各項(xiàng)均不相同，前者散點(diǎn)圖呈上升趨勢，后者的散點(diǎn)圖呈下降趨勢，兩者至多一個(gè)交點(diǎn)，故④正確．故答案為：①③④．三、解答題。共6小題，共85分。解答應(yīng)寫出文字說明，演算步驟或證明過程。16．（10分）在中，內(nèi)角，，的對(duì)邊分別為，，，為鈍角，，．（1）求；（2）再從條件①、條件②、條件③這三個(gè)條件中選擇一個(gè)作為已知，使得存在，求的面積．條件①：；條件②：；條件③：．注：如果選擇的條件不符合要求，第（2）問得0分；如果選擇多個(gè)符合要求的條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分．【解析】：（1）因?yàn)?，因?yàn)闉殁g角，所以為銳角，，所以，在中，由正弦定理得，因?yàn)椋?，因?yàn)闉殁g角，所以．（2）若選條件①，因?yàn)?，，所以，與矛盾，此時(shí)不存在，故條件①不符合要求，不選①；若選條件②，因?yàn)椋?，在中，由正弦定理得，所以，又，所以的面積為；若選條件③，由（1）知，因?yàn)?，所以，由余弦定理得，即，解得，所以的面積為．17．（15分）如圖，在四棱錐，，，，點(diǎn)在上，且，．（1）若為線段的中點(diǎn)，求證：平面．（2）若平面，求平面與平面夾角的余弦值．【解答】（1）證明：如圖，設(shè)為的中點(diǎn)，連接，，因?yàn)槭侵悬c(diǎn)，所以，且，因?yàn)椋?，，，所以四邊形為平行四邊形，，且，所以，且，即四邊形為平行四邊形，所以，因?yàn)槠矫妫矫?，所以平面．?）解：因?yàn)槠矫?，所以平面，，，相互垂直，以為坐?biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，0，，，，，，，，，0，，，2，，所以，0，，，1，，，0，，，2，，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，，，則，取，則，2，，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，，，則，取，則，1，，設(shè)平面與平面夾角為，則解法二：（如圖）延長相交于，設(shè)平面與平面夾角即二面角為，設(shè),,.則根據(jù)三射線定理有：。其中在中易知：，∵平面，∴，在中有,，中由余弦定理有：，代入得：=+=。18．（15分）某保險(xiǎn)公司為了解該公司某種保險(xiǎn)產(chǎn)品的索賠情況，從合同保險(xiǎn)期限屆滿的保單中隨機(jī)抽取1000份，記錄并整理這些保單的索賠情況，獲得數(shù)據(jù)如下表：索賠次數(shù)01234保單份數(shù)800100603010假設(shè)：一份保單的保費(fèi)為0.4萬元；前三次索賠時(shí)，保險(xiǎn)公司每次賠償0.8萬元；第四次索賠時(shí)，保險(xiǎn)公司賠償0.6萬元．假設(shè)不同保單的索賠次數(shù)相互獨(dú)立．用頻率估計(jì)概率．（1）估計(jì)一份保單索賠次數(shù)不少于2的概率；（2）一份保單的毛利潤定義為這份保單的保費(fèi)與賠償總金額之差．記為一份保單的毛利潤，估計(jì)的數(shù)學(xué)期望；如果無索賠的保單的保費(fèi)減少，有索賠的保單的保費(fèi)增加，試比較這種情況下一份保單毛利潤的數(shù)學(xué)期望估計(jì)值與中估計(jì)值的大小，（結(jié)論不要求證明）【解析】：（1）解法一：設(shè)為“隨機(jī)抽取一單，賠償不少于2次”，由題設(shè)中的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)可得；解法二：【山東楊成武補(bǔ)解】利用對(duì)立事件解決設(shè)為“隨機(jī)抽取一單，賠償不少于2次”由索賠次數(shù)不少于兩次，利用對(duì)立事件的概念可得：。（2）設(shè)為賠付金額，則可取0，0.8，1.6，2.4，3，由題可得，，，，，所以，因?yàn)槊麧櫴潜ＹM(fèi)與賠償金額之差，故（萬元）；由知未賠償?shù)母怕蕿?，至少賠償一次的概率為，故保費(fèi)的變化為，設(shè)為保單下一保險(xiǎn)期的毛利潤，故（萬元）．所以．19．（15分）已知橢圓方程，以橢圓的焦點(diǎn)和短軸端點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形是邊長為2的正方形．過點(diǎn)，且斜率存在的直線與橢圓交于不同的兩點(diǎn)，，過點(diǎn)和的直線與橢圓的另一個(gè)交點(diǎn)為．（1）求橢圓的方程及離心率；（2）若直線的斜率為0，求的值．【解析】：（1）橢圓方程，焦點(diǎn)和短軸端點(diǎn)構(gòu)成邊長為2的正方形，則，故，解得；，所以橢圓方程為，離心率為；（2）顯然直線斜率存在，否則，重合，直線斜率不存在與題意矛盾，同樣直線斜率不為0，否則直線與橢圓無交點(diǎn)，矛盾，設(shè)，，，，，，聯(lián)立，化簡并整理得，由題意可知，△，即，應(yīng)滿足，由韋達(dá)定理可知，，，若直線斜率為0，由橢圓的對(duì)稱性可設(shè)，，故，令，則，解得，此時(shí)滿足，解得或，綜上所述，滿足題意，此時(shí)的取值范圍為或．20．（15分）設(shè)函數(shù)，直線是曲線在點(diǎn)，處的切線．（1）當(dāng)，求單調(diào)區(qū)間；（2）證明：不經(jīng)過；（3）當(dāng)時(shí)，設(shè)點(diǎn)，，，，，為與軸的交點(diǎn)，與分別表示和的面積．是否存在點(diǎn)使得成立？若存在，這樣的點(diǎn)有幾個(gè)？（參考數(shù)據(jù)：，，【解析】：（1），，當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞減，當(dāng)，，在上單調(diào)遞增，則的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為．（2），的斜率為，故切線方程為，代入，，，，則，，令，若過，則在存在零點(diǎn)．，故在上單調(diào)遞增，，不滿足假設(shè)，故不過．（3），，，，設(shè)與軸交點(diǎn)為，時(shí)，若，則此時(shí)與必有交點(diǎn)，與切線定義矛盾．由（2）知，，則切線的方程為，令，則，，則，，記，滿足條件的有幾個(gè)即有幾個(gè)零點(diǎn)．，時(shí)，，單調(diào)遞減；時(shí)，，單調(diào)遞增；時(shí)，，單調(diào)遞減；，，（4），，由零點(diǎn)存在性定理及的單調(diào)性，在上必有一個(gè)零點(diǎn)，在上必有一個(gè)零點(diǎn)．綜上所述，有兩個(gè)零點(diǎn)，即滿足的有兩個(gè)．21．（15分）已知集合，，，，，，，，，，，且為偶數(shù)．給定數(shù)列，，，和序列，，，，其中，，，，2，，，對(duì)數(shù)列進(jìn)行如下變換：將的第，，，項(xiàng)均加1，其余項(xiàng)不變，得到的數(shù)列記作（A）；將（A）的第，，，項(xiàng)均加1，其余項(xiàng)不變，得到的數(shù)列記作（A）；；以此類推，得到數(shù)列（A），簡記為（A）．（1）給定數(shù)列，3，2，4，6，3，1，9和序列，3，5，，，4，6，，，3，5，，寫出（A）；（2）是否存在序列，使得（A）為，，，，，，，？若存在，寫出一個(gè)，若不存在，請(qǐng)說明理由；（3）若數(shù)列的各項(xiàng)均為正整數(shù)，且為偶數(shù)，求證：“存在序列，使得（A）的各項(xiàng)都相等”的充要條件為“”．