2.5圓的方程課程標準學(xué)習(xí)目標（1）回顧確定圓的幾何要素,在平面直角坐標系中,探索并掌握圓的標準方程與一般方程。（1）理解圓的概念;（2）掌握圓的標準方程和一般方程；（3）會根據(jù)題意求圓的方程；（4）能夠利用圓的方程處理問題.（難點)知識點01圓的標準方程標準方程x-a2+y-b2=【即學(xué)即練1】過圓C:(x-1)2+y2=1外一點A．x-322C．(x-1)2+(y+1)【答案】D【分析】由已知求出所求圓的圓心和半徑，即可求得答案.【詳解】由圓C:(x-1)2+y2故以CP為直徑的圓的圓心為(2,1)，半徑為12故以CP為直徑的圓的方程為(x-2)2故選：D知識點02圓的一般方程(1)一般方程x(2)求圓方程的方法(i)待定系數(shù)法先設(shè)后求.確定一個圓需要三個獨立條件，若利用圓的標準方程，需求出a,b,r；若利用一般方程，需要求出D,E,F；(ii)直接法直接把圓心和半徑求出.要注意多利用圓的幾何性質(zhì)，如弦的中垂線必經(jīng)過原點，以此來確定圓心的位置.【即學(xué)即練2】圓心為1,-1且過原點的圓的一般方程是（

）A．x2+yC．x2+y【答案】D【分析】先求得圓的標準方程，化簡即可求得該圓的一般方程.【詳解】原點與1,-1的距離為2，則圓心為1,-1半徑為2的圓的方程為(x-1)2則該圓的一般方程是x故選：D【題型一：圓的方程】例1．方程x2A．4π B．9π C．8π D．【答案】B【分析】對方程配方整理，結(jié)合圓的標準方程求m的取值范圍，以及半徑的最大值，即可得結(jié)果.【詳解】由題意整理可得：x-m2則-m2+4m+5>0且圓的半徑r=-當且僅當m=2時，等號成立，即圓的半徑最大值為3，所以圓的最大面積為9π故選：B.變式11．若直線2x+y-1=0是圓x2+y+aA．(0,1) B．(0,-1) C．(0,12)【答案】A【分析】首先得到圓心坐標，即可得到圓心在直線上，從而求出參數(shù)的值.【詳解】圓x2+y+a因為直線2x+y-1=0是圓的一條對稱軸，所以圓心0,-a在直線2x+y-1=0上，所以2×0+-a-1=0，解得故圓心坐標為(0,1).故選：A.變式12．圓x2+y2-4x-4y-10=0A．36 B．82 C．62 D【答案】C【分析】求出圓心和半徑，則圓心到直線的距離加上半徑即為最大距離.【詳解】圓x2+y其圓心為2,2，半徑為32則圓x2+y2-2-62故選：C.變式13．圓x2+y2-2x-2y+1=0A．(x+1)2+(y-1)C．x2+(y-1)【答案】B【分析】把圓的一般方程化為標準方程，得圓心坐標和半徑，由對稱求出對稱圓的圓心，可得標準方程.【詳解】由圓x2+y則圓心坐標為(1,1)，半徑為1，設(shè)(1,1)關(guān)于直線x+y=1的對稱點為(a,b)，則b-1a-1=1a+1∴圓x2+y2-2x-2y+1=0故選：B．【方法技巧與總結(jié)】1圓的標準方程是x-a2+y-b2=r2圓的一般方程是x22可以利用配方法把圓的一般方程化為標準方程.【題型二：判斷點與圓的位置關(guān)系】例2．（多選）已知圓M的標準方程為(x-4)2+(y+3)A．圓M的圓心為4,-3 B．點1,0在圓內(nèi)C．圓M的半徑為5 D．點-3,1在圓內(nèi)【答案】ABC【分析】根據(jù)給定圓的方程，結(jié)合點與圓的位置關(guān)系逐項判斷作答.【詳解】圓M:(x-4)2+(y+3)2=25的圓心為由(1-4)2+(0+3)2=18<25由(-3-4)2+(1+3)2=65>25，得點故選：ABC變式21．已知圓C:x-12+y-12A．0,0 B．1,0C．2,1 D．1【答案】D【分析】將每一個點的坐標代入圓方程求解驗證即可.【詳解】對于A，因為0-12+0-12=2>1對于B，因為1-12+0-12=1對于C，因為2-12+1-12=1對于D，因為12-12+12故選：D變式22．點M1(6,-6),M2(-5,-1),【答案】答案見解析【分析】將點的坐標代入圓的方程的左端與半徑的平方比較大小即可.【詳解】圓心為(2,-3),r因為(6-2)2+(-6+3)因為(-5-2)2+(-1+3)因為(3-2)2+(1+3)2【方法技巧與總結(jié)】點A(m,n)與圓C當m-a2+n-b當m-a2+n-b當m-a2+n-b2【題型三：求圓的標準方程】例3．若圓C經(jīng)過點A(2,5)，B(4,3)，且圓心在直線l:2x+y-7=0上，則圓C的方程為（

）A．(x-3)2+(y-6)C．(x-2)2+(y-3)【答案】B【分析】用待定系數(shù)法設(shè)出圓的標準方程，結(jié)合題意計算即可得.【詳解】設(shè)該圓方程為(x-a)2則圓心為a,b，有2a+b-7=0，將點A(2,5)，B(4,3)代入，有2-a2+5+2a-7兩式相減得12a-24=0，即有a=2，則b=7-2a=3，r2故該圓方程為(x-2)2故選：B.變式31．過點-1,1和1,3，且圓心在x軸上的圓的方程為（

）A．x2+yC．x-12+y【答案】D【分析】借助待定系數(shù)法計算即可得.【詳解】令該圓圓心為a,0，半徑為r，則該圓方程為x-a2則有-1-a2+1=r故該圓方程為x-22故選：D.變式32．已知點A(-4,-2)，B-4,2，C-2,2，則△ABC外接圓的方程是（A．x2+(y-3)C．x2+(y+3)【答案】B【分析】根據(jù)條件可得△ABC是直角三角形，求出圓的圓心與半徑，寫出圓的標準方程即可．【詳解】由題BA得△ABC是直角三角形，且BA⊥BC，所以圓的半徑為12AC=所以△ABC外接圓的方程為x+32故選：B.變式33．已知圓C過三點1,3,(1)求圓C的方程；(2)斜率為1的直線l與圓C交于M，N兩點，若△CMN為等腰直角三角形，求直線l的方程．【答案】(1)x-1(2)x-y+2=0或x-y-8=0【分析】（1）根據(jù)圓過點1,3,1,-7，得到圓心在y=（2）設(shè)直線l的方程為：x-y+c=0，根據(jù)△CMN為等腰直角三角形，由圓心到直線的距離d=|c+3|2【詳解】（1）解：因為圓過點1,3,1,-7，故圓心在設(shè)圓心坐標x,-2，則x-12+25=x-4故其半徑r=(x-1)故圓的方程為：x-12（2）設(shè)直線l的方程為：x-y+c=0，因為△CMN為等腰直角三角形，∴圓心到直線的距離d=5?22=解得c=2或－8，所以l：x-y+2=0或x-y-8=0【方法技巧與總結(jié)】求圓方程的方法(i)待定系數(shù)法先設(shè)后求.確定一個圓需要三個獨立條件，若利用圓的標準方程，需求出a,b,r；若利用一般方程，需要求出D,E,F；(ii)直接法直接把圓心和半徑求出.要注意多利用圓的幾何性質(zhì)，如弦的中垂線必經(jīng)過原點，以此來確定圓心的位置.【題型四：圓過定點問題】例4．圓C:x2+y2+ax-2ay-5=0恒過的定點為（

）A．-2,1,(2,-1) B．C．-1,-2,(1,2) D【答案】D【分析】將方程進行變形整理，解方程組即可求得結(jié)果.【詳解】圓C:x2+由x-2y=0x2+y2故圓C恒過定點-2,-1,故選：D．變式41．圓x2+y【答案】1,1【分析】分離參數(shù)，即可列方程組求解.【詳解】圓方程化為mx-1由x-1=0,x2+y2-2y=0,故答案為：1,1變式42．對任意實數(shù)m，圓x2+y【答案】1,1或1【分析】由已知得x2+y【詳解】解：x2+y令x2+y2-2=03x+6y-9=0，解得x=1，所以定點的坐標是1,1或15故答案為：1,1或15變式43．已知曲線C：1+ax(1)當a取何值時，方程表示圓？(2)求證：不論a為何值，曲線C必過兩定點．【答案】(1)a≠-1；(2)證明見解析；【分析】（1）當a=-1時，方程為x+2y=0表示一條直線，當a≠-1時，化簡整理已知方程，可知滿足圓的方程；（2）將已知方程整理為x2+【詳解】（1）當a=-1時，方程為x+2y=0表示一條直線．當a≠-1時，(1+a)x整理得(x-2由于4+16a所以a≠-1時，方程表示圓.（2）證明：方程變形為x2由于a取任何值，上式都成立，則有x2解得x=0y=0或x=所以曲線C必過定點A0,0，B即無論a為何值，曲線C必過兩定點．【方法技巧與總結(jié)】類似滿足x2+y2+mx-2y-m=0(m為參數(shù))要求定點，把含m和不含m的項分開，如x2則定點滿足方程組x2【題型五：定點到圓上的最值問題】例5．已知A-1,-1，B-2,0，C6,-2，點P是圓E:x2A．32+37 BC．33+37 D【答案】D【分析】設(shè)Pa,b，則PA2【詳解】點A-1,-1，B-2,0，C6,-2則|PA|2+|PB|因為點P在圓E:x所以a-12+b-12表示圓所以a-12+b-1即PA2+PB故選：D﹒變式51．若點Px,y是圓C:x2+y2-8x+6y+16=0上一點A．2 B．4 C．6 D．8【答案】B【分析】根據(jù)圓外一定點到圓上一點距離的平方的幾何意義進行求解即可.【詳解】圓C:x2+x2+y2表示點P因為CO=所以x2+y故選：B.變式52．已知x,y滿足(x-2)2+(y-3)2=2A．22,42 B．8,32 C．2【答案】D【分析】根據(jù)題意由圓中幾何意義求解表達式范圍即可.【詳解】由題知x2設(shè)Px,y為圓C:設(shè)Q-1,0因為(-1-2)2+(0-3)2>2則x2+2x+y2=|PQ|2因為CQ=32，圓C半徑所以CQ-r≤PQ所以7≤|PQ|故選：D變式53．已知點P3,4，A、B是圓C:x2+y2=4上的兩個動點，且滿足AB=2，A．5-3 B．5+3 C．3 D【答案】B【分析】分析可知，點M在以原點為圓心，半徑為3的圓x2+y2=3上運動，利用圓的幾何性質(zhì)可知，當M為射線PO與圓【詳解】如下圖所示：圓C的圓心為原點，半徑為2，因為A、B是圓C:x2+y2=4上的兩個動點，且滿足由垂徑定理可知，OM⊥AB，則OM=所以，點M在以原點為圓心，半徑為3的圓x2則PM≤當且僅當M為射線PO與圓x2故PM的最大值為5+3故選：B.變式54．在平面直角坐標系xOy中，已知直線l：x-ay-1=0與圓C：x2+y2-2x+4y-4=0交于A,BA．21+2 B．21+3 C．【答案】A【分析】根據(jù)題意分析可知直線l過定點P1,0，取線段AB的中點D，可知點D的軌跡為以CP的中點M1,-1為圓心，半徑R=【詳解】由題意可知：直線l：x-ay-1=0過定點P1,0圓C：x2+y可知圓心為C1,-2，半徑r=3取線段AB的中點D，則CD⊥AB，可知點D的軌跡為以CP的中點M1,-1為圓心，半徑R=

可得OA+當且僅當D在OM的延長線上時，等號成立，所以O(shè)A+OB的最大值為故選：A.【方法技巧與總結(jié)】點A(m,n)與圓x-a2+y-b2=r2上點P的距離為PA，則PA【題型六：與圓有關(guān)的軌跡問題】例6．若A，B是平面內(nèi)不同的兩定點，動點P滿足PAPB=k（k>0且k≠1），則點P的軌跡是一個圓，這個軌跡最先由古希臘數(shù)學(xué)家阿波羅尼斯發(fā)現(xiàn)，故稱阿波羅尼斯圓，簡稱阿氏圓．已知點A1,0，C4,0，D4,9，動點P滿足PA【答案】6【分析】根據(jù)阿波羅尼斯圓定義可確定PAPC=12，利用三角形三邊關(guān)系可知當A，D，P【詳解】設(shè)Px,y，則PAPC=則P是圓C：x2由PAPC=12故2PD當且僅當A，D，P三點共線，且A在DP之間時取得最大值．又因為AD=所以2PD-PC故答案為：610變式61．已知O0,0，A3,0，動點Px,y滿足PAPO=2A．x-12+yC．x+12+y【答案】C【分析】根據(jù)題意列出等式并化簡即可.【詳解】由題可知|PA|所以(x-3)2化簡得(x+1)2故選：C,變式62．在平面直角坐標系xOy中，已知點A0,1,B2,1，動點P滿足PA?PBA．1 B．2 C．2 D．2【答案】D【分析】求出點P的軌跡是以1,1為圓心，半徑為1的圓，再利用圓上點到定點距離的最值求法可得結(jié)果.【詳解】設(shè)Px,y，易知PA由PA?PB=0可得-x即動點P的軌跡是以1,1為圓心，半徑為1的圓，又O0,0，可得OP的最大值為O0,0到圓心即OPmax故選：D變式63．已知直線y=kx+mkm≠0與x軸和y軸分別交于A，B兩點，且AB=22，動點C滿足CA⊥CB，則當k，m變化時，點C到點DA．42 B．32 C．22【答案】B【分析】先求得A，B兩點坐標，根據(jù)AB=22得到(-mk)2【詳解】由y=kx+m(km≠0)，得A(-mk,0),B(0,m)，由AB由CA⊥CB，得AC?BC=0，設(shè)C(x,y)即(x+m2k)設(shè)該動圓圓心為(x',y')，即有整理得：x'2+y'2=2點D1,1與圓x'2+y'2=2上點所以最大值為[1-(-1)]2故選：B

【點睛】思路點睛：涉及與圓相離的圖形F上的點與圓上點的距離最值問題，轉(zhuǎn)化為圖形F上的點與圓心距離加或減圓半徑求解.一、單選題1．在平面直角坐標系中，圓心為1,0，半徑為2的圓的方程是（

）A．x-12+yC．x-12+y【答案】C【分析】由圓心和半徑直接確定圓的方程.【詳解】由題意可得方程為x-12故選：C.2.已知點A1,0，B1,2與圓O：x2A．點A與點B都在圓O外B．點A在圓O外，點B在圓O內(nèi)C．點A在圓O內(nèi)，點B在圓O外D．點A與點B都在圓O內(nèi)【答案】C【分析】將點A，B代入圓的方程，根據(jù)點與圓位置關(guān)系的判斷方法，即可得解.【詳解】將A1,0代入圓x2+所以點A在圓O內(nèi)；將B1,2代入圓x可得12+22>4故選：C．3.圓C:x-12+y2A．1 B．2 C．2 D．2【答案】B【分析】根據(jù)條件得到圓心為(1,0)，再利用點到直線的距離公式，即可求解.【詳解】因為圓C:x-12+所以圓心到直線y=x-3的距離為d=1-3故選：B.4.以點C-1,-5為圓心，并與x軸相切的圓的方程是（

A．(x+1)2+(y+5)C．(x-1)2+(y-5)【答案】D【分析】由題意確定圓的半徑，即可求解.【詳解】解：由題意，圓心坐標為點C-1,-5，半徑為5則圓的方程為(x+1)故選：D．5.M(x,y)為圓C:x2+y2-4x-2y+1=0上任意一點，且點A．5 B．9 C．8 D．7【答案】D【分析】得到圓心B2,1和半徑r=2，進而求出|MQ|的最大值為BQ+r【詳解】圓C:x2+其圓心為B2,1，半徑為r=2

則|MQ|的最大值為BQ+r=故選：D6.已知點M2,4，若過點N4,0的直線l與圓C:x-62+y2=9交于A．12 B．82 C．10 D．【答案】A【分析】設(shè)AB中點Px,y，根據(jù)垂徑定理可得點P的軌跡方程，進而可得MP的取值范圍，又MA+【詳解】設(shè)AB中點Px,y，則CP=x-6,y所以CP?即x-52所以點P的軌跡為以E5,0為圓心，1所以ME-1≤MP≤所以4≤MP又MA+所以MA+MB的最大值為故選：A.7.在平面直角坐標系內(nèi)，曲線x2=y+1與x軸相交于A，B兩點，P是平面內(nèi)一點，且滿足PA=2PBA．3 B．23 C．2 D．【答案】D【分析】根據(jù)題意不妨取A1,0,B-1,0，進而求點【詳解】對于曲線x2=y+1，令y=0，即可得x=±1，不妨取A1,0,B-1,0設(shè)Px,y，因為PA=2整理得x+32可知點P的軌跡是以-3,0為圓心，半徑為22所以△PAB面積的最大值是12故選：D.8.已知直線l1：mx+y+4=0與直線l2：x-my-6-4m=0交于點Px0,A．4 B．8 C．32 D．64【答案】D【分析】首先根據(jù)已知條件得到直線l1恒過定點B(0,4)，直線l2恒過定點A(6,-4)，且l1⊥l2，根據(jù)交點P【詳解】由題知：直線l1:mx+y+4=0恒過定點直線l2:x-my-6-4m=0化簡為：x-m(y+4)-6=0，當y=-4時，x=6，直線恒過點當m=0時，直線l2的斜率不存在，直線l1的斜率k1當m≠0時，k1=-m，k2=1綜上：直線l1恒過定點B(0,-4)，直線l2恒過定點A(6,-4)，且因為直線l1與直線l2交于點所以點P在以AB為直徑的圓上，線段AB的中點坐標為C3,-4且AB=6，則其軌跡方程為(x-3)2+(y+4)2因為x02+則dmax=r+|OC|=8，所以x故選：D.二、多選題9．下列說法正確的是（

）A．圓x-12+y-22B．圓x+22+y2C．圓x-32+y+D．圓x+22+y+22【答案】AC【分析】根據(jù)圓的標準方程特征即可求得圓心和半徑.【詳解】圓x-12+y-22=5的圓心為1,2圓x+22+y2=b2圓x-32+y+22=2圓x+22+y+22=5的圓心為-2,-2故選：AC.10.已知圓C經(jīng)過點A0,0、B2,0，△ABC為直角三角形，則圓C的方程為（A．x-12+y-1C．x-12+y-1【答案】BC【分析】設(shè)圓心Ca,b，由題意可知，CA=CB，AC2+BC2=AB2，求出a【詳解】設(shè)圓心Ca,b，由題意可知，CA=CB，即a因為△ABC為直角三角形，則∠ACB為直角三角形，則AC2即a2+b2+a-22圓心為C1,±1，因此，圓C的方程為x-12+故選：BC.11.已知圓C:x2+y2A．圓心C的坐標為2,7B．若點Pm,m+1在圓C上，則直線PQ的斜率為C．點Q在圓C外D．若M是圓C上任一點，則MQ的取值范圍為22【答案】ACD【分析】根據(jù)題意轉(zhuǎn)化為圓的標準方程，由圓心坐標可判斷A選項，通過點Pm,m+1代入圓的方程求得m的值，進而由斜率公式可求PQ的斜率并可判斷B選項，點與圓的位置關(guān)系可判斷C選項，利用圓心到Q-2,3的距離可得MQ的取值范圍并可判斷【詳解】將把C:x2+則C2,7對于A：圓心C的坐標為2,7，故A正確；對于B：當點Pm,m+1在圓C上，則有m-2化簡得m2-8m+16=0，解得即P4,5，所以直線PQ的斜率為3-5-2-4=對于C：因為-2-22+3-72>8，所以點Q對于D：因為CQ=-2-22+所以42-22≤MQ≤4故選：ACD.三、填空題12．已知方程x2+y2+2x-6y+m2【答案】-2,22【分析】將圓的一般方程化為標準方程，得到-m2+4>0，求出m的取值范圍，并根據(jù)【詳解】該方程可化為圓的標準方程(x+1)2由-m2+4>0因為-m所以該圓的半徑的最大值為4=2故答案為：-2,2，213.已知圓C：x+22+y-42=1，則圓心C到直線l【答案】5【分析】求出圓心坐標，與直線l過定點坐標，再求兩點間的距離，即可得解.【詳解】圓C：x+22+y-42=1直線l：kx+y-k=0，即kx-1+y=0，令x-1=0y=0所以直線l過定點A1,0，則圓心到直線的最大距離為AC故答案為：514.圓心在直線l:x-2y-3=0上，且經(jīng)過點A(2,-3)，B(-2,-5)的圓的方程為．【答案】x+1【分析】直線l和線段AB的垂直平分線的交點是圓心，圓心到A點的距離為半徑，可得圓的方程.【詳解】圓經(jīng)過點A(2,-3)和B(-2,-5)，kAB=12，所以線段AB的垂直平分線的方程是y=-2x-4．聯(lián)立方程組x-2y-3=0y=-2x-4，解得x=-1所以，圓心坐標為C-1,-2，半徑r=所以，此圓的標準方程是x+12故答案為：x+12四、解答題15．判斷2x2+2y【答案】答案見解析【分析】根據(jù)圓的一般方程對表達式進行判斷即可得出結(jié)論.【詳解】易知2x2+2y滿足D2+E2-4F對于x2+y216.已知△ABC的三個頂點的坐標為A2,1，B4,7，(1)求△ABC的面積；(2)求△ABC的外接圓的標準方程.【答案】(1)20(2)x【分析】（1）根據(jù)點點距離公式可判斷三角形為等腰三角形，即可根據(jù)面積公式求解，（2）根據(jù)直角三角形的性質(zhì)確定外接圓圓心和半徑，即可求解方程.【詳解】（1）AB=2-42+1-7由于AB=所以△ABC為以BC為斜邊的等腰直角三角形，可得BC中點D0,5所以S△ABC=12（2）由（1）知AB⊥AC.所以外接圓圓心恰好為BC中點D0,5，半徑r=所以三角形外接圓標準方程為x217.已知⊙A關(guān)于直線y=x對稱，點O0,0，N4,0都在⊙A(1)求線段ON垂直平分線的方程；(2)求⊙A的標準方程【答案】(1)x=2(2)x-2【分析】（1）求線段ON的中點，且斜率不存在，寫出方程；（2）解法一：由題意，設(shè)x-a2解法二：求出直線ON與直線y=x的交點為圓心，可得方程.【詳解】（1）因為點O0,0，N所以線段ON的中點為E因為直線ON的斜率為k=0，所以O(shè)N垂直平分線的斜率不存在.所以O(shè)N垂直平分線的方程為x=2；（2）解法一：因為⊙A關(guān)于直線y=x對稱，則可設(shè)⊙A的方程為x-a2又因為點O0,0，N4,0在⊙A上，所以解得a=2r=2所以⊙A的標準方程為x-22解法二：因為直線ON與直線y=x的交點為圓心，由y=xx=2，解得x=2故圓心A2,2又因為r=2-0所以⊙A的標準方程為x-2218.在平面直角坐標系xOy中，設(shè)二次函數(shù)fx=x(1)求實數(shù)b的取值范圍；(2)請問圓C是否經(jīng)過某定點（其坐標與b無關(guān)）？請證明你的結(jié)論.【答案】(1){b|b<1，且b≠0}(2)過定點(0,1)和(-2,1)，證明見解析.【分析】（1）由題意可令x=0得拋物線與y軸交點是(0,b)，得出方程f(x)=x2+2x+b=0，再由根的判別式（2）設(shè)出所求圓的一般方程，根據(jù)題意可分別令y=0和令x=0代入得出D,E,F與b的關(guān)系，從而得出含