專題4.2因式分解的應(yīng)用【典例1】教科書中這樣寫道：“我們把多項式a2+2ab+b2及a2﹣2ab+b2叫做完全平方式”，如果一個多項式不是完全平方式，我們常做如下變形：先添加一個適當?shù)捻棧故阶又谐霈F(xiàn)完全平方式，再減去這個項，使整個式子的值不變，這種方法叫做配方法．配方法是一種重要的解決問題的數(shù)學方法，不僅可以將一個看似不能分解的多項式分解因式，還能解決一些與非負數(shù)有關(guān)的問題或求代數(shù)式最大值，最小值等．例如：分解因式x2+2x﹣3＝（x2+2x+1）﹣4＝（x+1）2﹣4，＝（x+1﹣2）（x+1+2）＝（x﹣1）（x+3），例如求代數(shù)式2x2+4x﹣6的最小值，2x2+4x﹣6＝2（x2+2x﹣3）＝2（x+1）2﹣8．可知當x＝﹣1時，2x2+4x﹣6有最小值，最小值是﹣8．根據(jù)閱讀材料用配方法解決下列問題：（1）分解因式：m2﹣4m﹣5＝；（2）當a，b為何值時，多項式a2+b2﹣4a+6b+18有最小值，并求出這個最小值．（3）當a，b為何值時，多項式a2﹣2ab+2b2﹣2a﹣4b+20有最小值，并求出這個最小值．【思路點撥】（1）將多項式加4再減4，利用配方法可得；（2）將多項式配方后可得結(jié)論；（3）將多項式配方后可得結(jié)論．【解題過程】解：（1）m2﹣4m﹣5＝m2﹣4m+4﹣9＝（m﹣2）2﹣9＝（m﹣2+3）（m﹣2﹣3）＝（m+1）（m﹣5），故答案為：（m+1）（m﹣5）．（2）∵a2+b2﹣4a+6b+18＝（a﹣2）2+（b+3）2+5，∴當a＝2，b＝﹣3時，多項式a2+b2﹣4a+6b+18有最小值5；（3）∵a2﹣2ab+2b2﹣2a﹣4b+20＝a2﹣2ab+b2﹣2（a﹣b）+1+b2﹣6b+9+10＝（a﹣b﹣1）2+（b﹣3）2+10，∴當a＝4，b＝3時，多項式a2﹣2ab+2b2﹣2a﹣4b+20有最小值10．1．（2021春?長安區(qū)期末）小明是一位密碼編譯愛好者，在他的密碼手冊中有這樣一條信息：x﹣y，a﹣b，5，x2﹣y2，a，x+y，a2﹣ab分別對應(yīng)下列七個字：會、城、我、美、愛、運、麗，現(xiàn)將5a2（x2﹣y2）﹣5ab（x2﹣y2）因式分解，分解結(jié)果經(jīng)密碼翻譯呈現(xiàn)準確的信息是（）A．我愛美麗城 B．我愛城運會 C．城運會我愛 D．我美城運會【思路點撥】利用提公因式法和平方差公式分解因式的結(jié)果為5a（x﹣y）（x+y）（a﹣b），然后找出對應(yīng)的漢字即可對各選項進行判斷．【解題過程】解：5a2（x2﹣y2）﹣5ab（x2﹣y2）＝5a（x2﹣y2）（a﹣b）＝5a（x﹣y）（x+y）（a﹣b），信息中的漢字有：我、愛、會、運、城．所以經(jīng)密碼翻譯呈現(xiàn)準確的信息是我愛城運會，故選：B．2．（2021秋?博興縣期末）已知a+b＝3，ab＝1，則多項式a2b+ab2﹣a﹣b的值為（）A．﹣1 B．0 C．3 D．6【思路點撥】根據(jù)分解因式的分組分解因式后整體代入即可求解．【解題過程】解：a2b+ab2﹣a﹣b＝（a2b﹣a）+（ab2﹣b）＝a（ab﹣1）+b（ab﹣1）＝（ab﹣1）（a+b）將a+b＝3，ab＝1代入，得原式＝0．故選：B．3．（2021秋?泉州期末）若實數(shù)a、b滿足a2+b2＝1，則ab+a+3b的最小值為（）A．﹣3 B．﹣2 C．1 D．3【思路點撥】由a2+b2＝1，可得a2≤1，b2≤1，﹣1≤a≤1，﹣1≤b≤1，然后通過因式分解的應(yīng)用將原式變形為（b+1）（a+3）﹣3，從而分析其最值．【解題過程】解：∵a2+b2＝1，∴a2≤1，b2≤1，∴﹣1≤a≤1，﹣1≤b≤1，∴ab+a+3b＝a（b+1）+3（b+1）﹣3＝（b+1）（a+3）﹣3，又∵a+3＞0，b+1≥0，∴當b+1＝0，即b＝﹣1時，原式有最小值為﹣3，故選：A．4．（2021春?永嘉縣校級期末）已知x3+x2+x+1＝0，則x2019+x2018+x2017+…+x+1的值是（）A．0 B．1 C．﹣1 D．2【思路點撥】多項式x2019+x2018+x2017+x2016+…+x4+x3+x2+x+1共有2020項，從第一項起每4項一組，每組都含有x3+x2+x+1，于是分解后得到（x3+x2+x+1）（x2016+…+x4+1），然后利用整體代入的方法計算．【解題過程】解：∵x3+x2+x+1＝0，∴x2019+x2018+x2017+x2016+…+x4+x3+x2+x+1＝x2016（x3+x2+x+1）+…+（x3+x2+x+1）＝（x3+x2+x+1）（x2016+…+x4+1）＝0．故選：A．5．（2021秋?如皋市校級月考）已知a2（b+c）＝b2（a+c）＝2021，且a、b、c互不相等，則c2（a+b）﹣2020＝（）A．0 B．1 C．2020 D．2021【思路點撥】先通過已知等式，找到a，b，c的關(guān)系再求值．【解題過程】解：∵a2（b+c）＝b2（a+c）．∴a2b+a2c﹣ab2﹣b2c＝0．∴ab（a﹣b）+c（a+b）（a﹣b）＝0．∴（a﹣b）（ab+ac+bc）＝0．∵a≠b．∴ab+ac+bc=0，即ab+ac=bc．∵a2（b+c）＝2021．∴a（ab+ac）＝2021．∴a（﹣bc）＝2021．∴﹣abc＝2021．∴abc＝﹣2021．∴原式＝c（ac+bc）﹣2020＝c（﹣ab）﹣2020＝﹣abc﹣2020＝2021﹣2020＝1．故選：B．6．（2021春?高州市月考）已知：a＝2020x+2019，b＝2020x+2020，c＝2020x+2021，則代數(shù)式a2+b2+c2﹣ab﹣ac﹣bc的值為（）A．0 B．1 C．2 D．3【思路點撥】由題意：a﹣b＝﹣1，a﹣c＝﹣2，b﹣c＝﹣1，設(shè)S＝a2+b2+c2﹣ab﹣ac﹣bc，則2S＝2a2+2b2+2c2﹣2ab﹣2ac﹣2bc，將式子的右邊進行因式分解變形，結(jié)論可得．【解題過程】解：∵a＝2020x+2019，b＝2020x+2020，c＝2020x+2021，∴a﹣b＝﹣1，a﹣c＝﹣2，b﹣c＝﹣1．設(shè)S＝a2+b2+c2﹣ab﹣ac﹣bc，則2S＝2a2+2b2+2c2﹣2ab﹣2ac﹣2bc．∵2a2+2b2+2c2﹣2ab﹣2ac﹣2bc＝a2﹣2ab+b2+a2﹣2ac+c2+b2﹣2bc+c2＝（a﹣b）2+（a﹣c）2+（b﹣c）2＝（﹣1）2+（﹣2）2+（﹣1）2＝6，∴S＝3．∴a2+b2+c2﹣ab﹣ac﹣bc＝3．故選：D．7．（2021春?南京月考）若A＝11×996×1005，B＝1004×997×11，則B﹣A的值88．【思路點撥】根據(jù)A＝11×996×1005，B＝1004×997×11，可以求得B﹣A的值，本題得以解決．【解題過程】解：∵A＝11×996×1005，B＝1004×997×11，∴B﹣A＝1004×997×11﹣11×996×1005＝[（1005﹣1）×（996+1）﹣996×1005]×11＝（1005×996+1005﹣996﹣1﹣996×1005）×11＝8×11＝88，故答案為：88．8．（2021春?鄞州區(qū)校級期末）已知724﹣1可被40至50之間的兩個整數(shù)整除，這兩個整數(shù)是48，43．【思路點撥】利用平方差公式，對已知的多項式進行因式分解即可得出結(jié)論．【解題過程】解：724﹣1＝（712+1）（712﹣1）＝（712+1）（76+1）（76﹣1）＝（712+1）（76+1）（73+1）（73﹣1）＝（712+1）（76+1）（7+1）（72﹣7×1+1）（7﹣1）（72+7×1+1）＝（712+1）（76+1）×8×43×6×57＝（712+1）（76+1）×48×43×57，∵724﹣1可被40至50之間的兩個整數(shù)整除，∴這兩個整數(shù)是48，43．故答案為：48，43．9．（2020秋?衛(wèi)輝市期末）若△ABC的三邊長是a、b、c，且a2+b2+c2＝ab+bc+ac，則這個三角形形狀是等邊三角形．【思路點撥】利用完全平方公式，將等式轉(zhuǎn)化為12（a﹣b）2+12（b﹣c）2+12（c﹣a【解題過程】解：∵a2+b2+c2＝ab+bc+ac，∴a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ac＝0，∴12（a﹣b）2+12（b﹣c）2+12（c﹣a∴a﹣b＝0，b﹣c＝0，c﹣a＝0，∴a＝b＝c，∴△ABC是等邊三角形，故答案為：等邊．10．（2020秋?九龍縣期末）若a2+a﹣1＝0，則a4+a3﹣2a2﹣a+2016的值為2015．【思路點撥】將所求式子變形，然后將a2+a﹣1＝0代入，即可解答本題．【解題過程】解：∵a2+a﹣1＝0，∴a4+a3﹣2a2﹣a+2016＝a2（a2+a﹣1）﹣（a2+a﹣1）+2015＝a2×0﹣0+2015＝0+0+2015＝2015，故答案為：2015．11．（2020秋?崇川區(qū)期末）已知實數(shù)m，n滿足n＝km+3，（m2﹣2m+5）（n2﹣4n+8）＝16，則k＝﹣1．【思路點撥】已知等式括號中配方后，利用非負數(shù)的性質(zhì)確定出m與n的值，即可求出k的值．【解題過程】解：∵（m2﹣2m+5）（n2﹣4n+8）＝16∴[（m2﹣2m+1）+4][（n2﹣4n+4）+4]＝16，即[（m﹣1）2+4][（n﹣2）2+4]＝16，∵（m﹣1）2≥0，（n﹣2）2≥0，且4×4＝16，∴m﹣1＝0，n﹣2＝0，解得：m＝1，n＝2，代入n＝km+3得：2＝k+3，解得：k＝﹣1．故答案為：﹣1．12．（2021春?奉化區(qū)校級期末）若m2＝n+2020，n2＝m+2020（m≠n），那么代數(shù)式m3﹣2mn+n3的值﹣2020．【思路點撥】由已知條件求得m+n＝﹣1，m2﹣n＝2020，n2﹣m＝2020，再將原式化成m（m2﹣n）+n（n2﹣m），連接兩次代值計算便可得出答案．【解題過程】解：∵m2＝n+2020，n2＝m+2020，∴m2﹣n2＝n﹣m，∴（m+n）（m﹣n）＝n﹣m，∵m≠n，∴m+n＝﹣1，∵m2＝n+2020，n2＝m+2020，∴m2﹣n＝2020，n2﹣m＝2020，∴原式＝m3﹣mn﹣mn+n3＝m（m2﹣n）+n（n2﹣m）＝2020m+2020n＝2020（m+n）＝2020×（﹣1）＝﹣2020．故答案為：﹣2020．13．（2021秋?二道區(qū)校級月考）已知兩個數(shù)a，b（a＞b），若a+b＝4，a2+b2＝10，求a2b﹣ab2的值．【思路點撥】把a+b＝4兩邊平方，利用完全平方公式展開，再把a2+b2＝10代入求出ab的值，然后再利用完全平方公式求出（a﹣b）2的值，根據(jù)a＞b，求出算術(shù)平方根即可得a﹣b，然后將a2b﹣ab2因式分解成ab（a﹣b），最后將ab，a﹣b的值代入即可求出答案．【解題過程】解：∵a+b＝4，∴a2+2ab+b2＝16，∵a2+b2＝10，∴2ab＝16﹣10＝6，∴ab＝3，∴（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2＝10﹣6＝4，∵a＞b，∴a﹣b＝2，∴a2b﹣ab2＝ab（a﹣b）＝3×2＝6．14．（2021秋?潮安區(qū)期末）已知a，b，c是△ABC的三邊長，且滿足a2+b2﹣4a﹣8b+20＝0，c＝3cm，求△ABC的周長．【思路點撥】先對含a、b的方程配方，利用非負數(shù)的和為0，求出a、b，再求周長．【解題過程】解：∵a2+b2﹣4a﹣8b+20＝0∴a2﹣4a+4+b2﹣8b+16＝0∴（a﹣2）2+（b﹣4）2＝0，又∵（a﹣2）2≥0，（b﹣4）2≥0∴a﹣2＝0，b﹣4＝0，∴a＝2，b＝4，∴△ABC的周長為a+b+c＝2+4+3＝9（cm）．答：△ABC的周長為9cm．15．（2021春?廣陵區(qū)校級期中）閱讀材料并回答問題：如圖，有足夠多的邊長為a的小正方形卡片（A類）、長為a寬為b的長方形卡片（B類）以及邊長為b的大正方形卡片（C類），發(fā)現(xiàn)利用圖①中的三種卡片各若干可以拼出一些長方形來解釋某些等式，比如圖②可以解釋為：（a+2b）（a+b）＝a2+3ab+2b2．（1）取圖①中卡片若干張（A、B、C三種卡片都要取到）拼成一個長方形，使其面積為（2a+b）（a+2b），在虛框Ⅰ中畫出圖形，并根據(jù)圖形回答（2a+b）（a+2b）＝2a2+5ab+2b2．（2）取圖①中卡片若干張（A、B、C三種卡片都要取到）拼成一個長方形，使其面積為a2+5ab+6b2．①你的圖中需要A類、B類、C類卡片共12張．②根據(jù)圖形，可將多項式a2+5ab+6b2分解因式為（a+2b）（a+3b）．（3）試在虛框Ⅱ中畫出一個幾何圖形，結(jié)合面積表示，把多項式b2﹣3ab+2a2因式分解．【思路點撥】（1）根據(jù)長方形的長和寬得出每個圖形的個數(shù)，然后再根據(jù)圖②的提示拼出長方形，把每個圖形的面積都加起來即是長方形的面積；（2）①根據(jù)a2+5ab+6b2可得出A類、B類、C類的個數(shù)；②由長方形的面積公式即可得出結(jié)論；（3）根據(jù)多項式b2﹣3ab+2a2可確定A類、B類、C類的個數(shù)，然后把它們拼成一個長方形，再由長方形的面積公式即可因式分解．【解題過程】解：（1）拼出一個長為2b+a，寬為2a+b的長方形需要A類圖形2個，B類圖形5個，C類圖形2個，拼出的長方形如下：根據(jù)圖象可知，長方形的面積為2a2+5ab+2b2，∴（2a+b）（a+2b）＝2a2+5ab+2b2，故答案為2a2+5ab+2b2；（2）①由a2+5ab+6b2可得需要A類、B類、C類圖形共1+5+6＝12個，故答案為12；②∵一個A類圖形，5個B類圖形，6個C類圖形可拼如下圖形，由圖象可知，長方形的面積可表示為（a+2b）（a+3b），∴a2+5ab+6b2＝（a+2b）（a+3b），故答案為（a+2b）（a+3b）；（3）根據(jù)b2﹣3ab+2a2可知需要A類圖象2個，B類圖形3個，C類圖形一個，拼出的圖形如下：由圖象可知b2﹣3ab+2a2＝（b﹣a）（b﹣2a）．16．（2021秋?滑縣期末）人教版八年級數(shù)學上冊教材中這樣寫道：“我們把多項式a2+2ab+b2及a2﹣2ab+b2這樣的式子叫做完全平方式”．如果一個多項式不是完全平方式，我們常做如下變形：先添加一個適當?shù)捻?，使式子中出現(xiàn)完全平方式，再減去這個項，使整個式子的值不變，這種方法叫做配方法．配方法是一種亞要的解決問題的數(shù)學方法，不僅可以將一個看似不能分解的多項式分解因式，還能解決一些與非負數(shù)有關(guān)的問題或求代數(shù)式的最大值、最小值等．例如：分解因式x2+2x﹣3．原式＝（x2+2x+1﹣1）﹣3＝（x+1）2﹣4＝（x+1+2）（x+1﹣2）＝（x+3）（x﹣1）．求代數(shù)式2x2+4x﹣6的最小值．2x2+4x﹣6＝2（x2+2x+1﹣1）﹣6＝2（x+1）2﹣8，可知當x＝﹣1時，2x2+4x﹣6有最小值﹣8．根據(jù)閱讀材料用配方法解決下列問題：（1）填空：x2﹣6x+9＝（x﹣3）2；2m2+4m＝2（m+1）2﹣2；（2）利用配方法分解因式：x2+4x﹣12；（3）當x為何值時，多項式﹣2x2﹣4x+8有最大值？并求出這個最大值．【思路點撥】（1）兩式利用完全平方公式判斷即可得到結(jié)果；（2）原式變形后，利用完全平方公式配方得到結(jié)果，分解即可；（3）原式變形后，利用完全平方公式變形，再利用非負數(shù)的性質(zhì)得出有最大值，并求出最大值即可．【解題過程】解：（1）x2﹣6x+9＝（x﹣3）2；2m2+4m＝2（m+1）2﹣2；故答案為：9，2；（2）原式＝x2+4x+4﹣16＝（x+2）2﹣16＝（x+2+4）（x+2﹣4）＝（x+6）（x﹣2）；（3）原式＝﹣2（x2+2x）+8＝﹣2（x2+2x+1）+10＝﹣2（x+1）2+10，∵（x+1）2≥0，∴﹣（x+1）2≤0，即﹣2（x+1）2+10≤10，則當x＝﹣1時，多項式﹣2x2﹣4x+8有最大值，最大值為10．17．（2021春?碑林區(qū)校級期中）在全國中學生編程比賽中，我校學子用“因式分解法”生成密碼的方法：將一個多項式因式分解，如將多項式x3﹣4x分解結(jié)果為x（x+2）（x﹣2）．當x＝20時，x﹣2＝18，x+2＝22，此時可得到數(shù)字密碼201822，或者是182022等．（1）根據(jù)上述方法，當x＝16，y＝4時，對于多項式x3﹣xy2分解因式后可以形成哪些數(shù)字密碼（寫出兩個即可）？（2）將多項式x3+（m﹣n）x2+nx因式分解后，利用題目中所示的方法，當x＝10時可以得到密碼101213，求m、n的值．【思路點撥】（1）先將多項式x3﹣xy2分解因式，利用題干中的方法即可得出結(jié)論；（2）由于密碼為101213，x＝10，可得多項式x3+（m﹣n）x2+nx因式分解后的式子為x（x+2）（x+3），因為多項式x3+（m﹣n）x2+nx＝x[x2+（m﹣n）x+n]，所以x2+（m﹣n）x+n＝（x+2）（x+3），將（x+2）（x+3）展開后結(jié)論可得．【解題過程】解：（1）∵x3﹣xy2＝x（x+y）（x﹣y），又∵當x＝16，y＝4時，x+y＝20，x﹣y＝12，∴可得到數(shù)字密碼為：162012或161220；（2）∵x＝10，得到的密碼為101213，∴多項式x3+（m﹣n）x2+nx可分解為x（x+2）（x+3），∵x3+（m﹣n）x2+nx＝x[x2+（m﹣n）x+n]，∴x2+（m﹣n）x+n＝（x+2）（x+3）．∵（x+2）（x+3）＝x2+5x+6，∴n＝6，m﹣n＝5，∴m＝11．∴m＝11，n＝6．18．（2021秋?江北區(qū)期末）閱讀下列材料，解決后面兩個問題：對于一個四位正整數(shù)（各數(shù)位上的數(shù)字都不為零），若將它的千位上的數(shù)字移到個位數(shù)字的后面，將得到一個新的四位正整數(shù)，則稱新數(shù)為原數(shù)的“變形數(shù)”．例如：1234的“變形數(shù)”為2341，6789的“變形數(shù)”為7896．（1）請寫出1999的“變形數(shù)”，并判斷1999的“變形數(shù)”與它的差能否被9整除？說明理由．（2）任意一個四位正整數(shù)與其“變形數(shù)”的差都能被9整除嗎？說明理由．【思路點撥】（1）根據(jù)“變形數(shù)”的定義可寫1999的“變形數(shù)”，再求差即可判斷；（2）設(shè)一個四位正整數(shù)的千位數(shù)字是x，百位數(shù)字是a，十位數(shù)字是b，個位數(shù)字是c（其中x，a，b，c都是不為零的數(shù)字），分別表示這個數(shù)和它的“變形數(shù)”，再求差即可判斷．【解題過程】（1）解：1999的“變形數(shù)“為9991，1999的“變形數(shù)”與它的差能被9整除，理由如下：它們的差9為9991﹣1999＝7992，∵7992＝888×9，∴它們的差能被9整除；（2）證明：任意一個四位正整數(shù)與其變形數(shù)的差都能被9整除，理由如下：設(shè)一個四位正整數(shù)的千位數(shù)字是x，百位數(shù)字是a，十位數(shù)字是b，個位數(shù)字是c（其中x，a，b，c都是不為零的數(shù)字），則這個數(shù)為1000x+100a+10b+c，它的“變形數(shù)”為1000a+100b+10c+x，∴它們的差為：1000a+100b+10c+x﹣（1000x+100a+10b+c）＝1000a+100b+10c+x﹣1000x﹣100a﹣10b﹣c＝900a+90b+9c﹣999x＝9（100a+10b+c﹣111x），∵x，a，b，c都是不為零的數(shù)，∴9（100a+10b+c﹣111x）一定能夠被9整除，∴任意一個四位正整數(shù)與其“變形數(shù)”的差都能被9整除．19．（2021春?當涂縣期末）閱讀下列材料：定義任意兩個實數(shù)a，b，按規(guī)則p＝ab﹣a+b擴充得到一個新數(shù)p，稱所得的新數(shù)p為a，b的“衍生數(shù)”．（1）若a＝2，b＝﹣3，則a，b的“衍生數(shù)”p＝﹣11．（2）若a＝﹣m﹣3，b＝m，求a，b的“衍生數(shù)”p的最大值．【思路點撥】（1）根據(jù)“衍生數(shù)”的定義，直接算出p即可；