第1頁(yè)（共1頁(yè)）2024-2025學(xué)年福建省泉州五中八年級(jí)（上）月考數(shù)學(xué)試卷（10月份）一、選擇題（單項(xiàng)選擇，每小題4分，共40分）．1．（4分）下列命題中，屬于真命題的是（）A．相等的角是對(duì)頂角 B．一個(gè)角的補(bǔ)角大于這個(gè)角 C．內(nèi)錯(cuò)角相等 D．一個(gè)三角形至少有兩個(gè)內(nèi)角是銳角2．（4分）下列定理中，沒(méi)有逆定理的是（）A．兩直線平行，同位角相等 B．全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等 C．全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等 D．在角的內(nèi)部，到角的兩邊距離相等的點(diǎn)在角的平分線上3．（4分）如圖，△ABC≌△AED，點(diǎn)D在BC邊上．若∠EAB＝50°（）A．50° B．60° C．65° D．30°4．（4分）根據(jù)下列已知條件，不能畫(huà)出唯一△ABC的是（）A．∠A＝60°，∠B＝45°，AB＝4 B．∠A＝30°，AB＝5，BC＝3 C．∠B＝60°，AB＝6，BC＝10 D．∠C＝90°，AB＝5，AC＝35．（4分）三條公路將A、B、C三個(gè)村莊連成一個(gè)如圖的三角形區(qū)域，如果在這個(gè)區(qū)域內(nèi)修建一個(gè)集貿(mào)市場(chǎng)，要使集貿(mào)市場(chǎng)到三條公路的距離相等（）A．三條高線的交點(diǎn) B．三條中線的交點(diǎn) C．三條角平分線的交點(diǎn) D．三邊垂直平分線的交點(diǎn)6．（4分）如圖，已知在△ABC中，AB＝AC，BF＝CD，CE＝BD（）A．90°﹣∠A B．90°﹣∠A C．180°﹣∠A D．45°﹣∠A7．（4分）如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，交AB于點(diǎn)E，連接AD，且∠CAD：∠BAD＝2：5，則∠ADC的度數(shù)是（）A．70° B．75° C．80° D．85°8．（4分）如圖在第一個(gè)△A1BC中，∠B＝40°，A1B＝BC，在邊A1B上任取一點(diǎn)D，延長(zhǎng)CA1到A2，使A1A2＝A1D，得到第二個(gè)△A1A2D，再在邊A2D上任取一點(diǎn)E，延長(zhǎng)A1A2到A3，使A2A3＝A2E，得到第3個(gè)△A2A3E．……如此類推，可得到第n個(gè)等腰三角形．則第n個(gè)等腰三角形中，以An為頂點(diǎn)的內(nèi)角的度數(shù)為（）A． B． C． D．9．（4分）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝4，AB＝5，E、F分別是AD，AC上的動(dòng)點(diǎn)（）A． B．5 C．3 D．10．（4分）如圖，在△ABC中，∠ABC＝60°，CE平分∠ACB交AB于點(diǎn)E，AD、CE交于點(diǎn)F．則下列說(shuō)法錯(cuò)誤的個(gè)數(shù)為（）①S△ABD＝S△ADC；②∠CFD＝60°；③S△CDF：S△AEF＝FC：AF；④AE＝AC﹣CD；⑤若BE＝AB，則CE是△ABC的高．A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．0個(gè)二、填空題（共6小題，每小題4分，共24分）11．（4分）把命題“互為相反數(shù)的兩個(gè)數(shù)的和為零”寫(xiě)成“如果…那么…”的形式：．12．（4分）用直尺和圓規(guī)作一個(gè)角等于已知角的示意圖如圖，根據(jù)△O′C'D'≌△OCD，可得∠A'O'B'＝∠AOB．13．（4分）在△ABC中，若∠A＝100°，∠B＝40°，則AB＝．14．（4分）如圖，在等邊△ABC中，D為邊AC上一點(diǎn)，將△BCD繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°，得到△BAE，若BC＝20，BD＝18．15．（4分）如圖，若∠ABC的平分線與∠ACB外角∠ACD的平分線相交于點(diǎn)P，連接AP，則∠PAC＝．16．（4分）一個(gè)三角形有一內(nèi)角為48°，如果經(jīng)過(guò)其一個(gè)頂點(diǎn)作直線能把其分成兩個(gè)等腰三角形，那么它的最大內(nèi)角可能是．三．解答題（共9小題）17．已知：如圖，點(diǎn)B、F、C、E在一條直線上，∠A＝∠D求證：△ABC≌△DEF．18．如圖，AB＝CD，AC＝BD19．如圖，AD是△ABC的角平分線，DE、DF分別是△ABD和△ACD的高20．如圖，AB∥CD，BE平分∠ABC，求證：BC＝AB+CD．21．如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°．線段EF是由線段AB平移得到的，△EFD是以EF為斜邊的等腰直角三角形，且點(diǎn)D恰好在AC的延長(zhǎng)線上．（1）求證：∠ADE＝∠DFC；（2）求證：CD＝BF．22．如圖，在△ABC中，AB＝AC，過(guò)點(diǎn)D作DE⊥BC交BC于點(diǎn)E，交CA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F．（1）試判斷△ADF的形狀，并說(shuō)明理由；（2）若AF＝BE＝2，∠F＝30°，求△ABC的周長(zhǎng)．23．證明“全等三角形的對(duì)應(yīng)角的平分線相等”．要求：將已有圖形根據(jù)題意補(bǔ)充完整，并據(jù)此寫(xiě)出已知、求證和證明過(guò)程．24．已知，CD是經(jīng)過(guò)∠BCA頂點(diǎn)C的一條直線，CA＝CB，且∠BEC＝∠CFA＝α．（1）如圖1，若直線CD經(jīng)過(guò)∠BCA的內(nèi)部，且E、F在射線CD上，∠α＝90°，則BECF；EF|BE﹣AF|（填“＞”、“＜”或“＝”）（2）如圖2，若0°＜∠BCA＜180°，請(qǐng)?zhí)砑右粋€(gè)關(guān)于∠α與∠BCA關(guān)系的條件，使（1），并證明兩個(gè)結(jié)論成立；（3）如圖3，若直線CD經(jīng)過(guò)∠BCA的外部，若∠BCA＝∠α，并予以證明．25．已知：等腰Rt△ABC和等腰Rt△ADE中，AB＝AC，AE＝AD（1）如圖1，延長(zhǎng)DE交BC于點(diǎn)F，若∠BAE＝68°；（2）如圖2，連接EC、BD，延長(zhǎng)EA交BD于點(diǎn)M，求證：點(diǎn)M為BD中點(diǎn)；（3）如圖3，連接EC、BD，點(diǎn)G是CE的中點(diǎn)，交BD于點(diǎn)H，AG＝9，直接寫(xiě)出△AEC的面積．

2024-2025學(xué)年福建省泉州五中八年級(jí)（上）月考數(shù)學(xué)試卷（10月份）參考答案與試題解析一、選擇題（單項(xiàng)選擇，每小題4分，共40分）．1．（4分）下列命題中，屬于真命題的是（）A．相等的角是對(duì)頂角 B．一個(gè)角的補(bǔ)角大于這個(gè)角 C．內(nèi)錯(cuò)角相等 D．一個(gè)三角形至少有兩個(gè)內(nèi)角是銳角【解答】解：A、相等的角不一定是對(duì)頂角，不符合題意；B、一個(gè)角的補(bǔ)角不一定大于這個(gè)角，原命題是假命題；C、兩直線平行，原命題是假命題；D、一個(gè)三角形至少有兩個(gè)內(nèi)角是銳角，符合題意；故選：D．2．（4分）下列定理中，沒(méi)有逆定理的是（）A．兩直線平行，同位角相等 B．全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等 C．全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等 D．在角的內(nèi)部，到角的兩邊距離相等的點(diǎn)在角的平分線上【解答】解：兩直線平行，同位角相等的逆命題是同位角相等，正確；全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等的逆命題是對(duì)應(yīng)邊相等的兩個(gè)三角形全等，正確；全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等的逆命題是對(duì)應(yīng)角相等的兩個(gè)三角形全等，錯(cuò)誤；在角的內(nèi)部，到角的兩邊距離相等的點(diǎn)在角的平分線上的逆命題是角的平分線上的點(diǎn)到角的兩邊距離相等，D有逆定理；故選：C．3．（4分）如圖，△ABC≌△AED，點(diǎn)D在BC邊上．若∠EAB＝50°（）A．50° B．60° C．65° D．30°【解答】解：∵△ABC≌△AED，∴∠BAC＝∠EAD，∠EDA＝∠C，∴∠DAC＝∠EAB＝50°，∴∠ADE＝∠ADC＝∠C＝65°，故選：C．4．（4分）根據(jù)下列已知條件，不能畫(huà)出唯一△ABC的是（）A．∠A＝60°，∠B＝45°，AB＝4 B．∠A＝30°，AB＝5，BC＝3 C．∠B＝60°，AB＝6，BC＝10 D．∠C＝90°，AB＝5，AC＝3【解答】解：A、∵∠A＝60°，AB＝4，∴可以畫(huà)出唯一的三角形，原選項(xiàng)不符合題意；B、∵∠A＝30°，BC＝3，BC的夾角，∴可以畫(huà)出多個(gè)三角形，原選項(xiàng)符合題意；C、∵∠B＝60°，BC＝10，∴可以畫(huà)出唯一的三角形，原選項(xiàng)不符合題意；D、∵∠C＝90°，AC＝7，∴可以畫(huà)出唯一的三角形，原選項(xiàng)不符合題意；故選：B．5．（4分）三條公路將A、B、C三個(gè)村莊連成一個(gè)如圖的三角形區(qū)域，如果在這個(gè)區(qū)域內(nèi)修建一個(gè)集貿(mào)市場(chǎng)，要使集貿(mào)市場(chǎng)到三條公路的距離相等（）A．三條高線的交點(diǎn) B．三條中線的交點(diǎn) C．三條角平分線的交點(diǎn) D．三邊垂直平分線的交點(diǎn)【解答】解：在這個(gè)區(qū)域內(nèi)修建一個(gè)集貿(mào)市場(chǎng)，要使集貿(mào)市場(chǎng)到三條公路的距離相等，根據(jù)角平分線的性質(zhì)，集貿(mào)市場(chǎng)應(yīng)建在∠A、∠C的角平分線的交點(diǎn)處．故選：C．6．（4分）如圖，已知在△ABC中，AB＝AC，BF＝CD，CE＝BD（）A．90°﹣∠A B．90°﹣∠A C．180°﹣∠A D．45°﹣∠A【解答】解：∵AB＝AC，∴∠B＝∠C°，在△BDF和△CED中，，∴△BDF≌△CED（SAS），∴∠BFD＝∠CDE，∴∠FDB+∠EDC＝∠FDB+∠BFD＝180°﹣∠B＝180°﹣＝90°+，則∠EDF＝180°﹣（∠FDB+∠EDC）＝90°﹣∠A．故選：B．7．（4分）如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，交AB于點(diǎn)E，連接AD，且∠CAD：∠BAD＝2：5，則∠ADC的度數(shù)是（）A．70° B．75° C．80° D．85°【解答】解：設(shè)∠CAD＝2x°，∠BAD＝5x°，∵AB的垂直平分線是DE，∴BD＝AD，∴∠BAD＝∠B，即∠B＝5x°，∵∠C＝90°，∴∠CAB+∠B＝90°，∴2x+5x+7x＝90，解得：x＝，即∠B＝∠BAD＝（）°，∴∠ADC＝∠B+∠BAD＝（）°+（，故選：B．8．（4分）如圖在第一個(gè)△A1BC中，∠B＝40°，A1B＝BC，在邊A1B上任取一點(diǎn)D，延長(zhǎng)CA1到A2，使A1A2＝A1D，得到第二個(gè)△A1A2D，再在邊A2D上任取一點(diǎn)E，延長(zhǎng)A1A2到A3，使A2A3＝A2E，得到第3個(gè)△A2A3E．……如此類推，可得到第n個(gè)等腰三角形．則第n個(gè)等腰三角形中，以An為頂點(diǎn)的內(nèi)角的度數(shù)為（）A． B． C． D．【解答】解：在△CBA1中，∠B＝40°，A1B＝CB，∴∠BA4C＝＝70°，∵A1A3＝A1D，∠BA1C是△A5A2D的外角，∴∠DA2A2＝∠BA8C＝×70°，同理可得∠EA8A2＝（）2×70°，∠FA4A4＝（）3×70°，∴第n個(gè)三角形中以An為頂點(diǎn)的內(nèi)角度數(shù)是（）n﹣4×70°．故選：C．9．（4分）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝4，AB＝5，E、F分別是AD，AC上的動(dòng)點(diǎn)（）A． B．5 C．3 D．【解答】解：在AB上取一點(diǎn)G，使AG＝AF，∵∠CAD＝∠BAD，AE＝AE，∴△AEF≌△AEG（SAS），∴FE＝EG，∴CE+EF＝CE+EG，則最小值時(shí)CG垂直AB時(shí)，CG的長(zhǎng)度，CG＝．故選：D．10．（4分）如圖，在△ABC中，∠ABC＝60°，CE平分∠ACB交AB于點(diǎn)E，AD、CE交于點(diǎn)F．則下列說(shuō)法錯(cuò)誤的個(gè)數(shù)為（）①S△ABD＝S△ADC；②∠CFD＝60°；③S△CDF：S△AEF＝FC：AF；④AE＝AC﹣CD；⑤若BE＝AB，則CE是△ABC的高．A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．0個(gè)【解答】解：①當(dāng)AD是△ABC的中線時(shí)，S△ABD＝S△ADC，而AD平分∠BAC，故①錯(cuò)誤；②在△ABC中，∠ABC＝60°，∴∠ACB+∠CAB＝120°，∵AD平分∠BAC，CE平分∠ACB，∴∠FCA＝ACBCAB，∴∠AFC＝180°﹣（∠FCA+∠FAC）＝180°﹣（∠ACB+∠CAB）＝120°，∴∠CFD＝60°；故②正確；③如圖1，作∠AFC的平分線交AC于點(diǎn)G，GH⊥AF于點(diǎn)G，H，∴GH＝GM，∴S△AGF：S△FGC＝AF：FC，∵∠AFC＝120°，∴∠AFG＝∠CFG＝60°，∴∠AFE＝60°，∴∠AFG＝∠CFG＝∠AFE＝60°，∵∠EAF＝∠GAF，∠DCF＝∠GCF，∴△AEF≌△AGF（ASA），△CDF≌△CGF（ASA），∴S△AEF：S△FDC＝AF：FC，故③正確；④∵△AEF≌△AGF（ASA），△CDF≌△CGF（ASA），∴AE＝AG，CD＝CG，∴CD+AE＝CG+AG＝AC，∴AE＝AC﹣CD，故④正確；⑤如圖2，延長(zhǎng)CE至G，連接BG，∵BE＝AB，∴AB＝2BE＝6AE，∴AE＝BE，∵∠AEC＝∠BEG，∴△ACE≌△BGE（SAS），∴∠ACE＝∠G，CE＝GE，∵CE為角平分線，∴∠ACE＝∠BCE，∴∠BCE＝∠G，∴BC＝BG，∵CE＝GE，∴BE⊥CE，∴CE是△ABC的高，故⑤正確；綜上所述：正確的有②③④⑤，錯(cuò)誤的有①，故選：A．二、填空題（共6小題，每小題4分，共24分）11．（4分）把命題“互為相反數(shù)的兩個(gè)數(shù)的和為零”寫(xiě)成“如果…那么…”的形式：如果兩個(gè)數(shù)互為相反數(shù)，那么這兩個(gè)數(shù)的和為零．【解答】解：命題“互為相反數(shù)的兩個(gè)數(shù)的和為零”寫(xiě)成“如果…那么…”的形式為：如果兩個(gè)數(shù)互為相反數(shù)，那么這兩個(gè)數(shù)的和為零，故答案為：如果兩個(gè)數(shù)互為相反數(shù)，那么這兩個(gè)數(shù)的和為零．12．（4分）用直尺和圓規(guī)作一個(gè)角等于已知角的示意圖如圖，根據(jù)△O′C'D'≌△OCD，可得∠A'O'B'＝∠AOBSSS．【解答】解：由作圖痕跡得OD＝OD′，OC＝OC′，所以△O′C′D′≌△OCD（SSS），所以∠A′O′B′＝∠AOB．故答案為：SSS．13．（4分）在△ABC中，若∠A＝100°，∠B＝40°，則AB＝5．【解答】解：在△ABC中，∠A＝100°，∴∠C＝180°﹣100°﹣40°＝40°，∴∠C＝∠B，∵AC＝5，∴AB＝5．故答案為：2．14．（4分）如圖，在等邊△ABC中，D為邊AC上一點(diǎn)，將△BCD繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°，得到△BAE，若BC＝20，BD＝1838．【解答】解：∵△BCD繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°，得到△BAE，∴△BCD≌△BAE，∠ABC＝∠DBE＝60°，∴DB＝BE，AE＝CD，∴△BDE是等邊三角形，∴DE＝BD＝18，∴△AED的周長(zhǎng)＝DE+AD+AE＝18+CD+AD＝18+AC＝38，故答案為：38．15．（4分）如圖，若∠ABC的平分線與∠ACB外角∠ACD的平分線相交于點(diǎn)P，連接AP，則∠PAC＝50°．【解答】解：延長(zhǎng)BA，作PN⊥BD于N，PM⊥AC于M，設(shè)∠PCD＝x°，∵CP平分∠ACD，∴∠ACP＝∠PCD＝x°，PM＝PN，∵BP平分∠ABC，∴∠ABP＝∠PBC，PF＝PN，∴PF＝PM，∵∠BPC＝40°，∴∠ABP＝∠PBC＝（x﹣40）°，∴∠BAC＝∠ACD﹣∠ABC＝2x°﹣（x°﹣40°）﹣（x°﹣40°）＝80°，∴∠CAF＝100°，在Rt△PFA和Rt△PMA中，，∴Rt△PFA≌Rt△PMA（HL），∴，故答案為：50°．16．（4分）一個(gè)三角形有一內(nèi)角為48°，如果經(jīng)過(guò)其一個(gè)頂點(diǎn)作直線能把其分成兩個(gè)等腰三角形，那么它的最大內(nèi)角可能是88°，90°，99°，108°，116°．【解答】解：如圖①所示，當(dāng)∠BAC＝48°時(shí)當(dāng)∠ACB＝48°時(shí)，有以下4種情況，故答案為：88°，90°，108°三．解答題（共9小題）17．已知：如圖，點(diǎn)B、F、C、E在一條直線上，∠A＝∠D求證：△ABC≌△DEF．【解答】證明：∵AC∥DF，∴∠ACB＝∠DFE，在△ABC和△DEF中，∴△ABC≌△DEF（ASA）．18．如圖，AB＝CD，AC＝BD【解答】證明：在△ABC和△DCB中，，∴△ABC≌△DCB（SSS），∴∠ACB＝∠DBC，∴OB＝OC．即△BOC是等腰三角形．19．如圖，AD是△ABC的角平分線，DE、DF分別是△ABD和△ACD的高【解答】證明：設(shè)AD、EF的交點(diǎn)為K，∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，∴DE＝DF．∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴∠AED＝∠AFD＝90°，在Rt△ADE和Rt△ADF中，，∴Rt△ADE≌Rt△ADF（HL），∴AE＝AF．∵AD是△ABC的角平分線∴AD是線段EF的垂直平分線．20．如圖，AB∥CD，BE平分∠ABC，求證：BC＝AB+CD．【解答】解：如圖，延長(zhǎng)CD∵AB∥CD，∴∠BAE＝∠ADF，∠ABE＝∠EFD，∵點(diǎn)E為AD中點(diǎn)，∴AE＝DE，又∵∠BEA＝∠FED，∴△ABE≌△DFE（ASA），∴AB＝DF，∵BE平分∠ABC，∴∠ABE＝∠CBE，∴∠CBE＝∠F，∴BC＝FC＝CD+DF＝CD+AB，∴BC＝AB+CD．21．如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°．線段EF是由線段AB平移得到的，△EFD是以EF為斜邊的等腰直角三角形，且點(diǎn)D恰好在AC的延長(zhǎng)線上．（1）求證：∠ADE＝∠DFC；（2）求證：CD＝BF．【解答】（1）證明：∵∠ACB＝90°，∴∠ACB＝∠CDF+∠DFC＝90°，∵△EFD是以EF為斜邊的等腰直角三角形，∴∠EDF＝90°，DE＝FD，∵∠EDF＝∠ADE+∠CDF＝90°，∴∠ADE＝∠DFC；（2）連接AE，∵線段EF是由線段AB平移得到的，∴EF∥AB，EF＝AB，∴四邊形ABFE是平行四邊形，∴AE∥BC，AE＝BF，∴∠DAE＝∠BCA＝90°，∴∠DAE＝∠FCD，在△ADE和△CFD中，，∴△ADE≌△CFD（AAS），∴AE＝CD，∵AE＝BF，∴CD＝BF．22．如圖，在△ABC中，AB＝AC，過(guò)點(diǎn)D作DE⊥BC交BC于點(diǎn)E，交CA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F．（1）試判斷△ADF的形狀，并說(shuō)明理由；（2）若AF＝BE＝2，∠F＝30°，求△ABC的周長(zhǎng)．【解答】解：（1）∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，∵FE⊥BC，∴∠F+∠C＝90°，∠BDE+∠B＝90°，∴∠F＝∠BDE，而∠BDE＝∠FDA，∴∠F＝∠FDA，∴AF＝AD，∴△ADF是等腰三角形；（2）∵AF＝AD＝2，∠F＝30°，∴∠ADF＝∠F＝30°，∵DE⊥BC，∴∠DEB＝90°，∴DB＝2BE＝7，∴AB＝AD+DB＝6，∵∠F＝30°，∴∠C＝60°，∵AB＝AC，∴△ABC是等邊三角形，∴△ABC的周長(zhǎng)為18．23．證明“全等三角形的對(duì)應(yīng)角的平分線相等”．要求：將已有圖形根據(jù)題意補(bǔ)充完整，并據(jù)此寫(xiě)出已知、求證和證明過(guò)程．【解答】解：如圖，已知：△ABC≌△A′B′C′，AD，求證：AD＝A′D′，證明：∵△ABC≌△A′B′C′，∴∠B＝∠B′，AB＝A′B′，∵AD、A′D′分別是∠BAC和∠B′A′C′的角平分線，∴∠BAD＝∠BAC，，∴∠BAD＝∠B′A′D′，在△BAD和△B′A′D中，，∴△BAD≌△B′A′D′（ASA），∴AD＝A′D′．24．已知，CD是經(jīng)過(guò)∠BCA頂點(diǎn)C的一條直線，CA＝CB，且∠BEC＝∠CFA＝α．（1）如圖1，若直線CD經(jīng)過(guò)∠BCA的內(nèi)部，且E、F在射線CD上，∠α＝90°，則BE＝CF；EF＝|BE﹣AF|（填“＞”、“＜”或“＝”）（2）如圖2，若0°＜∠BCA＜180°，請(qǐng)?zhí)砑右粋€(gè)關(guān)于∠α與∠BCA關(guān)系的條件，使（1），并證明兩個(gè)結(jié)論成立；（3）如圖3，若直線CD經(jīng)過(guò)∠BCA的外部，若∠BCA＝∠α，并予以證明．【解答】解：（1）在圖1中，∵∠BCA＝∠BEC＝∠AFC＝90°，∴∠BCE+∠ACF＝90°，∠ACF+∠CAF＝90°，∴∠BCE＝∠CAF，在△BCE和△CAF中，，∴△BCE≌△CAF（AAS），∴BE＝CF，CE＝AF，∴EF＝|CF﹣CE|＝|BE﹣AF|，故答案為＝，＝．（2）在圖2中，添加的條件為∠α+∠BCA＝180°，∴∠CFA+∠BCA＝180°，∴∠CFA+∠BCE+∠ACF＝180°，∵∠CFA+∠ACF+∠CAF＝180°，∴∠BCE＝∠CAF，在△在△BCE和△CAF中，，∴△BCE≌△CAF，∴BE＝CF，CE＝AF，∴EF＝|CF﹣CE|＝|BE﹣AF|．（3）EF＝BE+AF．理由是：如圖6中，∵∠BEC＝∠CFA＝∠a，∠a＝