1§4-3洛朗(Laurent)級(jí)數(shù)

本節(jié)主要討論函數(shù)在環(huán)域內(nèi)的級(jí)數(shù)展開問(wèn)題，并且討論它在積分計(jì)算中的應(yīng)用。級(jí)數(shù)是研究解析函數(shù)的性質(zhì)和計(jì)算其積分的重要工具

上一節(jié)泰勒(Taylor)級(jí)數(shù)是在f(z)在D內(nèi)解析，如果在D內(nèi)有奇點(diǎn)，如何將f(z)在奇點(diǎn)附近將f(z)展開，這是本節(jié)所要解決的問(wèn)題.此展式稱為洛朗(Laurent)級(jí)數(shù).

2負(fù)冪項(xiàng)部分正冪項(xiàng)部分主要部分解析部分同時(shí)收斂Laurent級(jí)數(shù)收斂1.問(wèn)題的引入3收斂半徑收斂域收斂半徑收斂域兩收斂域無(wú)公共部分,兩收斂域有公共部分R4結(jié)論:.常見的特殊圓環(huán)域:...5(1)任一冪級(jí)數(shù)，如果收斂，必在圓域內(nèi)收斂，且和函數(shù)在圓域內(nèi)解析。(2)在圓域內(nèi)的解析函數(shù)一定能展開成冪級(jí)數(shù)。對(duì)于Laurent級(jí)數(shù)，我們也有：如果Laurent級(jí)數(shù)收斂，必在圓環(huán)域內(nèi)收斂，且和函數(shù)在圓環(huán)域內(nèi)解析。自然的問(wèn)題是:在圓環(huán)域內(nèi)解析的函數(shù)是否可以能展開成Laurent級(jí)數(shù)?對(duì)于通常的冪級(jí)數(shù)，討論了下面兩個(gè)問(wèn)題:6定理1設(shè)函數(shù)在圓環(huán)內(nèi)解析，那么對(duì)D內(nèi)任意點(diǎn)z有2.

解析函數(shù)的洛朗展開定理C是環(huán)域內(nèi)任意一條圍繞點(diǎn)z0的正向簡(jiǎn)單閉路。其中，7

由于在圓所圍區(qū)域可能有奇點(diǎn)，因此，不能用Cauchy公式把系數(shù)記為：

討論：8注（解析函數(shù)的洛朗展開式唯一）在定理1的假設(shè)條件下，在D內(nèi)的羅朗展開式是唯一的.二、洛朗級(jí)數(shù)的性質(zhì)93.函數(shù)的Laurent展開式理論上應(yīng)該有兩種方法:

直接法與間接法

(1)直接展開法利用定理公式計(jì)算系數(shù)然后寫出這種方法只有在找不到更好方法時(shí)才用.10

根據(jù)解析函數(shù)Laurent級(jí)數(shù)展開式的唯一性,可運(yùn)用代數(shù)運(yùn)算、代換、求導(dǎo)和積分等方法去展開.(2)

間接展開法這一方法成為L(zhǎng)aurent級(jí)數(shù)展開的常用方法。

11例如，都不解析,而在圓環(huán)域及內(nèi)都解析.12也可以展開成級(jí)數(shù)：13給定函數(shù)與復(fù)平面內(nèi)的一點(diǎn)以后,函數(shù)在各個(gè)不同的圓環(huán)域中有不同的Laurent展開式回答：不矛盾.Laurent展開式是唯一的.問(wèn)題：這與laurent展開式的唯一性是否相矛盾?注意唯一性

:指函數(shù)在某一個(gè)給定的圓環(huán)域內(nèi)的(包括Taylor展開式作為其特例).14例1內(nèi)解析,把f(z)在這些區(qū)域內(nèi)展成Laurent級(jí)數(shù).解15oxy11612oxy由且仍有172oxy由此時(shí)18仍有19解

例220例3將函數(shù)內(nèi)展開成洛朗級(jí)數(shù).21令n=-1,得由解析函數(shù)的洛朗展開定理知22例求積分的值。解函數(shù)在內(nèi)解析，且在此圓環(huán)域內(nèi)，把它在此圓域內(nèi)展開得23

小結(jié)從冪級(jí)數(shù)來(lái)討論解析函數(shù)．本節(jié)討論解析函數(shù)的Laurent級(jí)數(shù)展開式。掌握Laurent級(jí)數(shù)的性質(zhì)學(xué)會(huì)應(yīng)用Laurent級(jí)數(shù)展開式計(jì)算積分重點(diǎn)：函數(shù)展開成Laurent級(jí)數(shù)24思考怎樣找函數(shù)展開成洛朗級(jí)數(shù)的收斂圓環(huán)？

要看在哪一點(diǎn)（奇點(diǎn)）的去心鄰域內(nèi)展開，再找最近奇點(diǎn)25復(fù)數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)充要條件必要條件冪級(jí)數(shù)收斂半徑R復(fù)變函數(shù)絕對(duì)收斂運(yùn)算與性質(zhì)收斂條件條件收斂復(fù)數(shù)列收斂半徑的計(jì)算Taylor級(jí)數(shù)Laurent級(jí)數(shù)第四章主要內(nèi)容261685.8.18生于英國(guó)米德爾塞克斯BrookTaylor簡(jiǎn)介

1709年后移居倫敦，獲法學(xué)碩士學(xué)位1712年當(dāng)選為英國(guó)皇家學(xué)會(huì)會(huì)員，并于兩年后獲法學(xué)博士學(xué)位泰勒定理開創(chuàng)了有限差分理論；亦使泰勒成了有限差分理論的奠基者。討論了微積分對(duì)一系列物理問(wèn)題之應(yīng)用，開創(chuàng)了研究弦振問(wèn)題之先河。此外，如論述常微分方程的奇異解，曲率問(wèn)題的研究等數(shù)學(xué)上的其他創(chuàng)造性工