第二講：集合的表示

W【學(xué)習(xí)目標(biāo)】

1.初步掌握集合的兩種表示方法——列舉法、描述法，感受集合語(yǔ)言的意義和作用;

2.會(huì)用集合的兩種表示方法表示一些簡(jiǎn)單集合.

【基礎(chǔ)知識(shí)】

一、集合的表示

(1)列舉法

把集合的所有元素一一列舉出來(lái)，并用花括號(hào){}括起來(lái)表示集合的方法叫做列舉法.

(2)描述法

一般地，設(shè)A是一個(gè)集合，把集合A中所有具有共同特征p(x)的元素x所組成的集合表示為{xeR|/?(%)},

這種表示集合的方法稱(chēng)為描述法.

(3)Venn圖

用平面上封閉曲線(xiàn)的內(nèi)部代表集合，這種圖稱(chēng)為Venn圖.

《當(dāng)【考點(diǎn)剖析】

考點(diǎn)一：用列舉法表示集合

fYi例L用列舉法表示下列給定的集合：

(1)不大于10的非負(fù)偶數(shù)組成的集合A；

(2)小于8的質(zhì)數(shù)組成的集合8；

(3)方程f_2x_3=0的實(shí)數(shù)根組成的集合C；

(4)方程組4'的解集。.

x-y=2

解：(1)不大于10的非負(fù)偶數(shù)有0,2,4,6,8,10,

所以A={0,2,4,6,8,10}.

(2)小于8的質(zhì)數(shù)有2,3,5,7,

所以8={2,3,5,7}.

(3)方程x2—3=0的實(shí)數(shù)根為一1,3,

所以C={-1,3}.

x+y=4,x—3,

(4)方程組，的解為

y=L

所以方程組的解集D={(3,1)).

變式訓(xùn)練1：用列舉法表示下列集合：

(1)方程f=2x的所有實(shí)數(shù)解組成的集合；

(2)直線(xiàn)y=2x+1與y軸的交點(diǎn)所組成的集合；

(3)由所有正整數(shù)構(gòu)成的集合.

解：(1)方程x2=2x的解是x=0或x=2,所以方程的解組成的集合為{0,2}.

(2)將x=0代入y=2x+l,得y=l,即交點(diǎn)是(0,1),故交點(diǎn)組成的集合是{(0,1)}.

(3)正整數(shù)有1,2,3,…，所求集合為{1,2,3,…}.

考點(diǎn)二：用描述法表示集合

文字描述；式子描述

(1)不等式2x—3<1的解組成的集合A；

(2)被3除余2的正整數(shù)的集合B；

(3)C={2,4,6,8,10}；

(4)平面直角坐標(biāo)系中第二象限內(nèi)的點(diǎn)組成的集合。.

解：(1)不等式2x—3<1的解組成的集合為4,則集合A中的元素是數(shù)，設(shè)代表元素為x,則x滿(mǎn)足2%—3<1,

則A={R2x-3<l},MPA={X|X<2}.

(2)設(shè)被3除余2的數(shù)為x,則x=3〃+2,"GZ.但元素為正整數(shù)，故x=3〃+2,“WN.所以被3除余2的正

整數(shù)的集合B={xk=3〃+2,”GN}.

(3)設(shè)偶數(shù)為x,則x=2〃，〃GZ.但元素是24,6,8,10,所以x=2〃,“W5,〃右1<所以。=(.很=2〃，"W5,

(4)平面直角坐標(biāo)系中第二象限內(nèi)的點(diǎn)的橫坐標(biāo)為負(fù)，縱坐標(biāo)為正，即x<0,故第二象限內(nèi)的點(diǎn)的集合

為O={(x,y)|x<0,y>0}.

變式訓(xùn)練1：用描述法表示下列集合：

(1)比1大又比10小的實(shí)數(shù)組成的集合；

(2)不等式3x+4>2x的所有解；

(3)到兩坐標(biāo)軸距離相等的點(diǎn)的集合.

解：(1)可以表示成{xGR|l〈E10}.

(2)可以表示成(x|3x+422x},即{x|x》一4}.

(3)可以表示成{(x,y)|x±y=O}.

考點(diǎn)三：集合的表示綜合

例3.下列命題中正確的（）

①0與｛0｝表示同一個(gè)集合;

②由1,2,3組成的集合可表示為｛1,2,3｝或｛3,2,1）；

③方程（x-l）2（x-2）=0的所有解的集合可表示為｛l,l,2｝；

④集合｛x14<x<5｝可以用列舉法表示.

A.只有①和④B.只有②和③

C.只有②D.以上語(yǔ)句都不對(duì)

【答案】C

【詳解】

①｛0｝表示元素為。的集合，而0只表示一個(gè)元素，故①錯(cuò)誤；

②符合集合中元素的無(wú)序性，正確；

③不符合集合中元素的互異性，錯(cuò)誤；

④中元素有無(wú)窮多個(gè)，不能一一列舉，故不能用列舉法表示.

故選：C.

變式訓(xùn)練方程組14xx+—Vy==19的解集是（）

A.(2,-1)B.(―1,2)C.{(-1,2)}D.{(2,-1)}

【答案】D

【詳解】

x+y=1①

兩式相加可得5x=10,所以x=2,

4尤-y=9②

將x=2代入x+y=l可得y=_l,

x=2

所以《

y=-i

所以方程組.9的解集是{（2,T）}'

故選：D

變式訓(xùn)練2：下列集合恰有2個(gè)元素的集合是（）

A.{爐一x=0}B.{x|y=x2-x}

。{ylV-y=。}D.3y=/一行

【答案】c

【詳解】

*2-8=0}不是集合；

{x|y=x2-x）=/?,{>'l/-y=O}={O,l},{yIy=/-燈=[—1,+oo）,

4

所以選C.

變式訓(xùn)練3：已知集合4={。+1,。-1,/一3},若1"，則實(shí)數(shù)。的值為

【答案】0或-2

【詳解】

因?yàn)閘eA,則a+l=l或a-l=l或/一3=1，

當(dāng)a+l=l時(shí)，a=0,A={1,-1,-3）,符合題意；

當(dāng)a—1=1時(shí)，a=2,A={3,1,1）,不滿(mǎn)足集合中元素的互異性，舍去；

當(dāng)/一3=1時(shí)，a=-2或8=2（舍）

當(dāng)。=一2時(shí)，4={-1,一3,1},符合題意；

綜上所述：。=0或。=一2,

故答案為：0或-2

考點(diǎn)四：元素個(gè)數(shù)

相同元素根據(jù)互異性，只能計(jì)算一次（主要考查互異性）

例4.設(shè)集合A={l,2,3},B={4,5},C={x+y|xeA,yeB},則。中元素的個(gè)數(shù)為()

A.3B.4C.5D.6

【答案】B

【詳解】

時(shí)，x+y的值依次為5,6,6,7,7,8,有4個(gè)不同值,即C={5,6,7,8},因此C中有4個(gè)元素.

故選：B.

變式訓(xùn)練1：已知集合A={1,2},3={2,4},則集合M={z\z^x-y,x&A,y^B}中元素的個(gè)數(shù)為()

A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)

【答案】C

【詳解】

因?yàn)榧螦={1,2},B={2,4},

所以集合"={2,4,8},

故選：C

變式訓(xùn)練2：設(shè)集合4={(工,刈乂+|丁區(qū)1,%€2,”2},則A中元素的個(gè)數(shù)為()

A.3B.4C.5D.6

【答案】C

【詳解】

因?yàn)閄GZ,所以當(dāng)x=0時(shí)，由兇+3?l,ywZ可得：y=O,±l；

當(dāng)％=1時(shí)，由國(guó)+3Wl,yeZ可得：y=0；

當(dāng)％=-1時(shí)，由國(guó)+|y|Wl,yeZ可得：y=0,

當(dāng)xwZ,國(guó)＞1時(shí)，由N+|y|〈l,yeZ可知：不存在整數(shù)y使該不等式成立，

所以A={(0,0),(0,1),(0,-1),(1,0),(-1,0)},

因此A中元素的個(gè)數(shù)為5.

故選：C

8

變式訓(xùn)練3：集合A={x|V—7%<0戶(hù)6可*},則BTyl’eN'yeA}中元素的個(gè)數(shù)為（）

A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)

【答案】C

【詳解】

j8八

由已知得A={x|x?-7x<0,xeN*}={1,2,3,4,5,6},又B=<y|—eN*,yeA>={1,2,4},所以

,8*]

8={y|-eN4卜中元素的個(gè)數(shù)為3個(gè).

IyJ

故選：c.

考點(diǎn)五：元素個(gè)數(shù)（求參）

相同元素根據(jù)互異性，只能計(jì)算一個(gè)（主要考查互異性）

d」5.已知集合4=5|以2+2x+i=0,aeR}只有一個(gè)元素，則。的取值集合為（）

A.{1}B.{0}C.{O,-l,l}D.{0,1}

【答案】D

【詳解】

解：①當(dāng)。=0時(shí)，A={-；},此時(shí)滿(mǎn)足條件；

②當(dāng)時(shí)，A+1只有?個(gè)元素的話(huà)，A=4-4。=0，解得。=1,

綜上，。的取值集合為{0，1}.

故選:D.

變式訓(xùn)練1：已知集合4=卜辰2-31+1=0}中有且只有一個(gè)元素，則實(shí)數(shù)〃的取值集合是（）

O1Q

A.{0,—}B.{0,—}C.{0}D.{—}

434

【答案】A

【詳解】

當(dāng)。=0時(shí)-，A={x|a?_3x+l=o}={x|-3x+l=o}={g},符合題意;

當(dāng)aH0時(shí)，若集合A={x|分2_3x+l=0}中有且只有一個(gè)元素，

9

則△=9-4。=0,解得。二一；

4

9

所以實(shí)數(shù)〃的取值集合是

故選：A.

aba24-b

變式訓(xùn)練2：式子同+歷［+圖+而［的所有可能取值組成的集合為—

【答案】{2,0}

【詳解】

因?yàn)镴工，

所以6c0,

aha24-b

當(dāng)a>o時(shí)，n+nj+rn+n=Ti=2>

同IM卜|

aba2yf-b

++n

當(dāng)時(shí)'OMR

所以式子

故答案為:{250}

變式訓(xùn)練3：已知集合4=卜|斯2-3x+2=0,xeR,ae

(1)若A是空集，求。的取值范圍；

(2)若A中只有一個(gè)元素，求。的值，并求集合A;

(3)若A中至多有一個(gè)元素，求。的取值范圍

【答案】⑴+8）；⑵當(dāng)a=0時(shí)，A={|}：當(dāng)a=g時(shí)，A=g}；（3）{0}ug，+8）?

83838

【詳解】

9

（1）若A是空集，則方程辦2一31+2=0無(wú)解此時(shí)QWO,』=9-8aV0即

o

9

所以〃的取值范圍為（三,+8）

（2）若A中只有一個(gè)元素

則方程ax?一3彳+2=0有且只有一個(gè)實(shí)根

當(dāng)a=0時(shí)方程為一元一次方程，滿(mǎn)足條件

9

=

當(dāng)a#0,此時(shí)』=9-8a=0,解得:8-

9

/.a=0或a=—

8

2、94

當(dāng)〃=0時(shí)，A={—}；當(dāng)。=一時(shí)，A={—}

383

（3）若A中至多只有一個(gè)元素，則A為空集，或有且只有一個(gè)元素

o

由（1）,（2）得滿(mǎn)足條件的a的取值范圍是{0}U^,+8）.

8

考點(diǎn)六：集合新定義

例6.給定集合A，若對(duì)于任意a、b&A,有a+beA,且a—heA,則稱(chēng)集合A為閉集合，給

出如下三個(gè)結(jié)論：

①集合A={T,—2,0,2,4}為閉集合；

②集合A={〃|〃=3火?eZ}為閉集合；

③若集合4、4為閉集合，則4UA2為閉集合.

其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是（）

A.0B.1C.2D.3

【答案】B

【詳解】

對(duì)于命題①，取a=2,6=4則。一6=6定A,則集合A={T,-2,0,2,4}不是閉集合，①錯(cuò)誤;

對(duì)于命題②，任取％、”2eA,則存在k1、k2eZ,使得〃]=3k\,%=3k2,

且匕+22GZ,k、—卜eZ,所以，勺+%=3((+&)wA,q=3(4-&)wA,

所以，集合A={〃|〃=3NZwZ}為閉集合，②正確；

對(duì)于命題③，若集合4、4為閉集合，取4={川〃=3左,％wZ},A,={m|/n=2r,ZGZ},

則Au&={x|x=3Z或x=2k,kGZ),

取3GA，2G4,貝ij3+2=5叫(A%),3-2=1e(4uA,),

所以，集合4不是閉集合，③錯(cuò)誤.

因此，正確的結(jié)論個(gè)數(shù)為1.

故選：B.

變式訓(xùn)練1：已知集合A中的元素均為整數(shù)，對(duì)于左eA,如果左一1￡A且左+leA,那么稱(chēng)左是A的一

個(gè)“孤立元”.給定集合5={1,2,3,4,5,6,7,8},由S中的3個(gè)元素構(gòu)成的所有集合中，不含“孤立元”

的集合共有個(gè).

答案：6

解析：依題意可知，所謂不含“孤立元”的集合就是集合中的3個(gè)元素必須是3個(gè)相鄰的正整數(shù)，故所求

的集合為{123},{2,3,4},{3,4,5},{4,5,6},{5,6,7},{6,7,8},共6個(gè).

變式訓(xùn)練2：已知集合A={x|x=3“+l,nGZ},B={x\x=3n+2,neZ},M-{x\x=6n+3,neZ].

(1)若加eM,則是否存在aeAbeB,使加=a+6成立？

(2)對(duì)于任意aeA,Z?e8,是否一定存在meA/,使。+人="？證明你的結(jié)論.

解：(1)設(shè)"?=6k+3=3Z+l+3k+2(&eZ),

令a=3R+l(kWZ),6=3k+2(&GZ),則

故若,則存在bGB,使成立.

(2)設(shè)a=3k+l,b=3l+2,k,/GZ,則a+b=3伏+/)+3,k,/ez.

當(dāng)A+/=2p(pGZ)時(shí)，a+b=6p+3G/W,此時(shí)存在MGM,使a+b=，〃成立；當(dāng)々+/=2p+IS6Z)時(shí)，a+

h=6p+6^M,此時(shí)不存在?使成立.

故對(duì)于任意。WA,b&B,不一定存在mWA/,使a+0=m.

【真題演練】

1、【2018新課標(biāo)2,理1】已知集合4={（工,力|好+y2?3,%€2,丁€2},則4中元素的個(gè)數(shù)為（）

A.9B.8C.5D.4

【答案】A

【解析】r/+'243,...x2<3i...xGz,x=-l,0,1,當(dāng)％=—1時(shí)，y=-l,0,1:當(dāng)x=0時(shí)，

y=-l,0,1；當(dāng)x=-l時(shí)，y=-l,0,1；所以共有9個(gè)，選A.

2、【2013山東，理1】已知?集合A={0,l,2},則集合5={x-y|x€AywA}中元素的個(gè)數(shù)是（）

A.1B.3C.5D.9

【答案】C

【解析】x=0,y=0,1,2,%->=0,-1,一2：x=l,y=0,l,2,x-y=l,0,-l；

x=2,y=0,l,2,x-y=2,1,0.5中的元素為-2,-1,0,1,2共5個(gè)，故選C.

3、【2013江西，理1］若集合A={xeH|o?+ox+l=0}中只有一個(gè)元素，則a=（）

A.4B.2C.0D.0或4

【答案】A

【解析】當(dāng)a=O時(shí)，1=0不合，當(dāng)a/OB寸，△=（）,則。=4,故選A.

4、【2012江西，理1］若集合A={-1,1},B={0,2},則集合{z［z=x+y,xeA,yeB}中的元素的個(gè)

數(shù)為（）

A.5B.4C.3D.2

【答案】C

【解析】根據(jù)題意，容易看出X+〉只能取一1,1,3等3個(gè)數(shù)值.故共有3個(gè)元素，故選C.

5、【2012天津，文9】集合A={xeR||x-2K5}中的最小整數(shù)為.

【答案】-3

【解析】不等式|無(wú)一2|45,即一5WX-2W5,-3<x<7,所以集合A=3一3Wx47},所以最小的

整數(shù)為—3.

【當(dāng)堂小結(jié)】

1.知識(shí)清單：

（1）用列舉法和描述法表示集合.

(2)兩種表示法的綜合應(yīng)用.

2.方法歸納：等價(jià)轉(zhuǎn)化、分類(lèi)討論.

3.常見(jiàn)誤區(qū)：點(diǎn)集與數(shù)集的區(qū)別.

H■

2y-x=7

1、若用列舉法表示集合A={(%))I卜尸2)'則下列表示正確的是,)

A.{x=T,y=3}B.{(-1,3)}C.{3,-1}D.{-1,3}

【答案】B

【詳解】

2y-x=lx=-l

由，可得Vb=3c

x+y=2

用列舉法表示為：{(-1,3)},

故選:B.

2、已知集合A={1,2,345},B={(x,>)|xeA,)，€A,x+ycA},則集合3中所含元素的個(gè)數(shù)為()

A.4B.6C.8D.10

【答案】D

【詳解】

因?yàn)榧螦={123,4.5},

所以B={(x,y)|xeA,yeA,x+yeA}={(l,l),(l,2),(l,3),(l,4),(2/),(2,2),(2,3),(3,l),(3,2),(4,l)}共含有10個(gè)元素.

故選：D.

3、已知集合A={-2,2},B^{m\m^x+y,x&A,y^A\,則集合8等于()

A.{-4,4}B.{—4,0,4}C.{-4,0}D.{0}

【答案】B

【詳解】

因?yàn)閤eAyeA,所以x=±2,y=±2,

當(dāng)戶(hù)一2,y=—2時(shí)，???=—4；

當(dāng)x=-2,y=2時(shí)，m=0；

當(dāng)*=2,y==2時(shí)，昨4；

當(dāng)段=2,y=-2時(shí)m=0,

所以居{Y,0,4},

故選：B

4、已知3?a+2M?+2},則實(shí)數(shù)a的值為（）

A.1或-1B.1C.-1D.-1或0

【答案】C

【詳解】

當(dāng)。+2=3時(shí)-，得a=l,此時(shí)/+2=3,不滿(mǎn)集合中元素的互異性，不合題意；

當(dāng)/+2=3時(shí)，得。=±1，若。=1,則a+2=3,不滿(mǎn)集合中元素的互異性，不合題意：若。=一1,則

tz+2=1,滿(mǎn)足3e{a+2,〃-+2}.

故選：C

5、下列四個(gè)命題：①{0}是空集；②若acN,則一。任N；③集合&￡R|x2—2x+l=0}含有兩個(gè)元素；

④集合{xeQ|geN}是有限集.其中正確命題的個(gè)數(shù)是（）

X

A.1B.2C.3D.0

【答案】D

【詳解】

①{0}是含有一個(gè)元素0的集合，不是空集，所以①不正確；

②當(dāng)a=0時(shí)，OWN,所以②不正確；

③因?yàn)橛蓌2—2x+l=0,得xl=x2=l,所以{x￡R|x2—2x+l=0}={1},所以③不正確；

④當(dāng)X為正整數(shù)的倒數(shù)時(shí)，9eN,所以是無(wú)限集，所以④不正確.

xIxJ

故選：D

6、若集合{x|"2-x+i=o}中只有一個(gè)元素，則實(shí)數(shù)。的值為（）

1-I

A.-B.0C.4D.0或一

44

【答案】D

【詳解】

當(dāng)a=（）時(shí)，［辰2—X+1=0}={X|1—X=0}={1},合乎題意：

當(dāng)aH（）時(shí)，關(guān)于％的方程辦2一%+1=0有兩個(gè)相等的實(shí)根，則八=1-4a=0,解得a=‘.

4

綜上所述，q=0或1.

4

故選：D.

7、設(shè)P是一個(gè)數(shù)集,且至少含有兩個(gè)元素.若對(duì)任意的a,heP,都有a+b,a-b,ab,^-eP（除數(shù)人羊0）,

b

則稱(chēng)P是一個(gè)數(shù)域，例如有理數(shù)集。是一個(gè)數(shù)域，有下列說(shuō)法正確的是（）

A.數(shù)域必含有0,1兩個(gè)數(shù)；

B.整數(shù)集是數(shù)域；

C.若有理數(shù)集QqM,則數(shù)集M必為數(shù)域；

D.數(shù)域必為無(wú)限集.

【答案】AD

【詳解】

ffl

數(shù)集P有兩個(gè)元素m,N,則一定有m—m=0,—=1（設(shè)小/0）,A正確；

m

因?yàn)?GZ,2GZ,-^Z,所以整數(shù)集不是數(shù)域，B不正確；

2

令數(shù)集〃=Qu{6},貝也cM，但1+6e用，所以C不正確；

數(shù)域中有1,一定有1+1=2,1+2=3,遞推下去，可知數(shù)域必為無(wú)限集，D正確.

故選：AD

8、設(shè)P是一個(gè)數(shù)集，且至少含有兩個(gè)數(shù)，若對(duì)任意a、beP,都有a+5、a-方、ah.feP（除數(shù)歷口））

b

則稱(chēng)數(shù)集尸是一個(gè)數(shù)域.例如有理數(shù)集。是數(shù)域；數(shù)集/=｛。+人0|a力e。｝也是數(shù)域.下列命題是真

命題的是()

A.整數(shù)集是數(shù)域