第06講多面體與旋轉(zhuǎn)體、柱體考點定位精講講練

考點一：多面體

考點二：旋轉(zhuǎn)體

考點三：棱柱

多面體與旋轉(zhuǎn)體、柱體

考點四：平面直觀圖

考點五：柱體的體積

考點六：柱體的表面積

一、多面體與旋轉(zhuǎn)體

1.多面體的概念

在數(shù)學(xué)中.我們把山上述平面多邊形（或二角形）圍成的封閉

幾何體叫做多面體?構(gòu)成多面體的各平面多邊形（或二角形）叫做

多面體的面.相鄰多邊形（或：角形）的公共邊叫做多面體的梭?棱

與棱的交點叫做多面體的頂點.

2、旋轉(zhuǎn)體的概念

平面上一條封閉曲線所圍成的區(qū)域繞著它所在平面上的一條定直線旋轉(zhuǎn)而形成的幾何體叫

做旋轉(zhuǎn)體，該定直線叫做旋轉(zhuǎn)體的軸；

二、棱柱

1.棱柱定義：如果一個多面體有兩個全等的多邊形的面互相平行，且不在這兩個面上的棱都

相互

平行，那么這個多面體叫做棱柱；

棱柱的兩個相互平行的面叫做棱柱的底面，其他的面叫做棱柱的側(cè)面;

棱柱的側(cè)面都是平行四邊形；

不在底面上的棱叫做棱柱的側(cè)棱；

兩個底面間的距離叫做棱柱的高.

直棱柱：側(cè)棱與底面垂直的棱柱叫做直棱柱，否者為斜棱柱。

正棱柱：底面是兩個正多邊形的直棱柱成為正棱柱

2、棱柱的分類：底面是三角形、四邊形、五邊形、……的棱柱分別叫做三棱柱、四棱柱、五

棱柱……

3、棱柱的表示方法：

①用表示底面的各頂點的字母表示棱柱，如下圖，四棱柱、五棱柱、六棱柱可分別表示為

ABCD—ABCR、ABCDE—ABCIREI、ABCDEF-A,B,C,

②用棱柱的對角線表示棱柱，如上圖，四棱柱可以表示為棱柱或棱柱等；五棱柱可

表示為棱柱AG、棱柱等；六棱柱可表示為棱柱AG、棱柱A。、棱柱等.

4、棱柱的性質(zhì)：棱柱的側(cè)棱相互平行.

要點詮釋：

有兩個面互相平行，其余各個面都是平行四邊形，這些面圍成的幾何體不一定是棱柱.如下

圖所示的幾何體滿足“有兩個面互相平行，其余各個面都是平行四邊形"這一?條件，但它不

判定一個幾何體是否是棱柱時，除了看它是否滿足：“有兩個面互相平行，其余各個面都

是平行四邊形”這兩個條件外，還要看其余平行四邊形中“每兩個相鄰的四邊形的公共邊都

互相平行”即“側(cè)棱互相平行”這一條件，不具備這一條件的幾何體不是棱柱.

二、圓柱

1.圓柱的定義：相矩形A6CZ）繞其一邊A5所在直線旋轉(zhuǎn)一周，所形成的的幾何體叫做圓柱;

AB

所在直線叫做圓柱的軸；

線段AD和3c旋轉(zhuǎn)而成的圓面叫做圓柱的底面；

線段旋轉(zhuǎn)而成的曲面叫做圓柱的側(cè)面；C。叫做圓柱側(cè)面的一條母線;

圓柱的兩個底面間的距離（即AB的長度）叫做圓柱的高

|「工質(zhì)】根據(jù)圓柱的形成過程易知：

①圓柱有無窮多條母線，且所有母線都

與軸平行；

②圓柱有兩個相互平行的底面.

三.多面體的直觀圖

斜：測間圖法：畫直觀圖時，規(guī)定在鉛垂方向和左右方向上線段的長度與其表示的真實

長度相等，而在前后方向上，線段的長度是其表示的真實長度的二分之一，根據(jù)這樣的

規(guī)定，我們可以畫出空間圖形的直觀圖，這樣的畫圖方法簡稱“斜二測”畫圖法.

如圖，是一個用斜二測方法畫的正方體的

直觀圖，y軸與z軸方向上的長度等于正；

方體邊長，x軸方向上的長度等于邊長一1

半

【注意】“斜二測”畫圖法有兩條重要性質(zhì)：1

①平行直線的直觀圖仍是平行直線；

②線段及其線段上定比分點的直觀圖保!

持原比例不戀.J

四.柱體的體積

柱體的體積：/=S底X/?（力為柱體的高）

圓柱的體積：％柱=S底（〃"分別為圓柱的高和底面半徑）

五.柱體的表面積

1.柱體的體積公式

棱柱的體積：棱柱的體積等于它的底面積S和高h(yuǎn)的乘積，即V梭產(chǎn)Sh.

圓柱的體積：底面半徑是r,高是h的圓柱的體積是VMMSh=n/h.

綜上，柱體的體積公式為V=Sh.

2.圓柱的表面積

（1）圓柱的側(cè)面積：圓柱的側(cè)面展開圖是一個矩形，如下圖，圓柱的底面半徑為r,母線長/,那

么這個矩形的長等于圓柱底面周長C=2nr,寬等于圓柱側(cè)面的母線長/（也是高），由此可得Smi

m-Cl=2nr/.

（2）圓柱的表面：S圓柱表=2萬/+2%〃=2〃r（r+/）.

；師點睛

考點一：多面體

例1.（2018?莆田第十五中學(xué)高三月考）下列幾何體丕是多面體的是（）

c.D.

【答案】A

【分析】根據(jù)多面體的定義判斷.

【詳解】A.該幾何體是球，是旋轉(zhuǎn)體;

B.該幾何體是三棱柱，是多面體；

C.該幾何體是棱臺，是多面體；

D.該幾何體是三棱錐，是多面體，

故選：A

例2.（2020?全國高一課時練習(xí)）指出圖中所示多面體的頂點數(shù)、棱數(shù)、面數(shù).

【答案】頂點數(shù)為7,棱數(shù)為12,面數(shù)為7.

【分析】從圖形直觀數(shù)出頂點、棱、面數(shù).

【詳解】幾體的上底面有3個頂點，下底面有4個頂點，共7個頂點；

頂點連線扣除對角線構(gòu)成棱，共12條；

共7個面.

【點睛】本題考查對空間幾何體的認(rèn)識，考查兒何體的點、棱、面的概念，屬于基礎(chǔ)題.

例3.（2020?全國高一課時練習(xí)）圓柱是不是多面體？為什么？

【答案】不是，詳見解析

【分析】利用多面體的定義，可知圓柱不是多面體.

【詳解】不是.因為多面體的各個面是平面多邊形.

【點睛】本題考查多面體的定義，考查對概念的理解，屬于基礎(chǔ)題.

例4.（2020?全國高一課時練習(xí)）是否存在既沒有面對角線也沒有體對角線的多面體？如果

存在，請舉出實例；如果不存在，請說明理由.

【答案】存在，圖像見解析

【分析】舉例四面體圖形，即可得到結(jié)論.

【詳解】有，如圖所示的四面體.

【點睛】本題考查直觀想象能力，考查對空間幾何體的認(rèn)識，屬于基礎(chǔ)題.

考點二：旋轉(zhuǎn)體

例1.（2020?運城市景勝中學(xué)高二期中（文））下列幾何體不是旋轉(zhuǎn)體的為（）

A.圓柱B.棱柱C.球D.圓臺

【答案】B

【分析】由旋轉(zhuǎn)體的概念逐項判斷即可得解.

【詳解】由題意，圓柱、球、圓臺均為旋轉(zhuǎn)體，棱柱為多面體.

故選：B.

例2.（2019?湖南岳陽市?高一期末）如圖，若直角梯形ABC。及其內(nèi)部各點繞邊AB所在

的直線旋轉(zhuǎn)360。，則得到的旋轉(zhuǎn)體是（）.

A.圓錐B.圓臺

C.圓錐與圓臺的組合體D.圓錐與圓柱的組合體

【答案】D

【分析】根據(jù)旋轉(zhuǎn)體：如題將直角三角形和?個矩形，直角三角形的?條直角邊與矩形-邊

重合，所構(gòu)成的梯形，繞梯形長底邊旋轉(zhuǎn)一周，即知所得旋轉(zhuǎn)體構(gòu)成.

【詳解】直角梯形ABCO及其內(nèi)部各點繞邊A3所在的直線旋轉(zhuǎn)360。，即幾何體是以4?為中

心軸線，上半部分是以4媯母線的圓錐，下半部分是比為底面半徑，）為高的圓柱.

故答案為：D

【點睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)體，根據(jù)平面圖形的旋轉(zhuǎn)可知對應(yīng)幾何體構(gòu)成，屬于簡單題.

例3.（2020?全國高一課時練習(xí)）能旋轉(zhuǎn)形成如圖所示的幾何體的平面圖形是

【答案】A

【分析】將小B、C、〃選項圖形繞對稱軸旋轉(zhuǎn)可知力選項符合題意.

【詳解】此幾何體白上向下是由一個圓錐、兩個圓臺和一個圓柱構(gòu)成，

是由力中的平面圖形旋轉(zhuǎn)形成的.

故選：A.

【點睛】本題考查平面圖形旋轉(zhuǎn)形成的幾何體，考查空間想象能力和推理能力，屬于簡單題.

考點三：棱柱

例1.(2020?南昌縣蓮塘第三中學(xué)高二月考?)如圖所示，下列四個兒何體:

【答案】B

【分析】根據(jù)棱柱的定義直接判斷出結(jié)果.

【詳解】棱柱的定義：有兩個面互相平行，其余各個面都是四邊形且每相鄰兩個四邊形的公

共邊都互相平行.

由此可知②中沒有互相平行的平面，所以不是棱柱，

故選：B.

【點睛】本題考查棱柱的定義，主要考查學(xué)生對棱柱概念的理解，難度容易.

例2.在直三棱柱4灰」45G中，AByLBQ,A3=CG=a,BC=b.

(i)設(shè)&分別為/a、比;的中點，求證：即〃平面肪C；

(2)求證：4d8；

(3)求點6到平面仍G的距離.

【難度】★★

【答案】(1)證明:：E、F分別為ABi、B&的中點，.?.EF〃AC.—AC,AEF/ZAC.:.

EF〃平面ABC.

(2)證明：；AB=CC,，AB=BB漢三棱柱為直三棱柱，，四邊形ABBA為正方形.連接AB則AB

1AB1.又；.AB」平面AiBG.AABilAtCi.又ACJ_AA”J_平面AIABBI.；.AC

±AB.

(3)解：；AB〃AB,...AB〃平面ABC.，A倒平面ABG的距離等于B倒平面ABG的距離.過A/乍

A￡_LAG于點G,?.,蝕_1平面人度向，AABlAiG.從而AGJ_平面ABG,

故4G即為所求的距離，即AiG=qJ旅一/。

b

考點四：平面直觀圖

例1.如圖所示，正方形如式的邊長為1,它是水平放置的一個平面圖形的直觀圖，則原圖形

的周長是()

A.6B.8

C.2+3鏡D.2+2/

y

【思路點撥】由斜二測畫法的規(guī)則知在己知圖形平行于鬧的線段，在直觀圖中畫成平行于x'

軸，長度保持不變，已知圖形平行于海的線段，在直觀圖中畫成平行于了軸，且長度為原來

一半.

［答案］B

【解析】根據(jù)水平放置平面圖形的直觀圖的畫法，可得原圖形是一個平行四邊形，如圖，對

角線08=2季,0A=\,

【總結(jié)升華】本題考查的知識點是平面圖形的直觀圖，其中斜二測畫法的規(guī)則，能夠幫助我

們快速的在直觀圖面積和原圖面積之間進(jìn)行轉(zhuǎn)化.

例2.用斜二測畫法畫邊長為2的正三角形的直觀圖時，如果在已知圖形中取的x軸和正三角形

的一邊平行，則這個正三角形的直觀圖的面積是.

【思路點撥】根據(jù)斜二測畫法與平面直觀圖的關(guān)系進(jìn)行求解即可.

【解析】如圖B'C是邊長為2的正二角形4式的直觀圖，

則4B'=2,CD'為正三角形4%的高功的一半，

即。。'=，工6=且，

22

則高C'E=C'O'sin45°=立x^=如，

224

三角形B'C的面積為』x2x"=".

244

故答案為：—.

4

【總結(jié)升華】本題主要考查斜二測畫法的應(yīng)用，要求熟練掌握斜二測對應(yīng)邊長的對應(yīng)關(guān)系，

比較基礎(chǔ).

考點五：柱體的體積

例1.（2021?安徽滁州市?高二期末（理））一個圓柱的軸截面是一個面積為16的正方形，

則該圓柱的體積是（）

A.647rB.32萬

C.167rD.8萬

【答案】C

【分析】根據(jù)題意，求得圓柱的底面直徑和高，代入公式，即可求得答案.

【詳解】因為軸截面的面積為16,所以圓柱的底面直徑和高均為4,

所以圓柱的體積V=4-22x4=16;r.

故選：C

例2.（2019?浙江杭州市?杭州四中高二期中）已知一個正方體棱長為1,則它的體積為（）

A.1B.4C.6D.8

【答案】A

【分析】根據(jù)棱長為"的正方體的體積公式V=〃，求解即可.

【詳解】?.?正方體的棱長為1

?1.該正方體的體積V=F=i

故選：A

【點睛】本題考查正方體的體積公式，屬于容易題.

例3.（2020?黑龍江鶴崗市?鶴崗一中高二月考（文））已知一個正方體和一個圓柱等高,

并且側(cè)面積相等，則這個正方體和圓柱的體積之比為（）

【答案】B

【分析】設(shè)正方體的棱長為。，根據(jù)側(cè)面枳相等，可得圓柱的底面半徑為夫=生，再根據(jù)體

枳公式可得答案.

【詳解】設(shè)正方體的棱長為“，則圓柱的高為。，設(shè)圓柱的底面半徑為E，

則正方體的側(cè)面積為4a2,圓柱的側(cè)面枳為2萬,

所以4。-=2兀Ra>所以R=—，

所以正方體和圓柱的體積之比為T-

7i:R-a7ia-

故選：B.

【點睛】本題考查了正方體和圓柱的側(cè)面積與體積公式，屬于基礎(chǔ)題.

例4.（2021?安徽蕪湖市?高二期末（理））高為犯〃（m<〃）的兩圓柱體枳分別為訝口力

其側(cè)面面積相等，則匕與匕的大小關(guān)系是（）

A.K,>Kc.K,<KD.不確定

【答案】A

Vn

【分析】根據(jù)體積公式表示底面半徑，再由側(cè)面積相等列等式化簡得于=—>1，從而可判

匕m

斷.

【詳解】設(shè)高為加,〃（加<"）的兩圓柱的底面半徑分別為小小

所以萬=匕“，肛=K，

所以X、M3=、匹,

根據(jù)側(cè)面積相等可得：24（=2兀今〃=>2萬m=2乃,

remV兀n

Vn

整理得寸=一＞1,所以匕＞匕.

Vnm

故選:A.

例5.（2020?攀枝花市第十五中學(xué)校高二期中（文））已知圓柱的上下底面的中心分別為

,過直線QU的平面截該圓柱所得的截面是面積為36的正方形，則該圓柱的體積為

【答案】54%

【分析】由軸截面是正方形，易求底面半徑和高，則圓柱的體積易求.

【詳解】解：因為軸截面是正方形，且面積是36,

所以圓柱的底面直徑和高都是6

V-7tr'h=x32x6=54^

故答案為：54萬

【點睛】考查圓柱的軸截面和其體積的求法，是基礎(chǔ)題.

例6.（2020?重慶市第七中學(xué)校高二期中）已知正方體的表面積為24,則該正方體的體積為

【答案】8

【分析】根據(jù)正方體表面積公式得到邊長，進(jìn)而得到體積公式.

【詳解】正方體的表面積是24,設(shè)邊長為&則表面積為6片=24=＞。=2，

則該正方體的體積為〃=23=8.

故答案為：8.

例7.（2020?懷仁市第一中學(xué)校云東校區(qū)高二月考（理））已知一個圓柱的側(cè)面積等于表面

積的一半，且其軸截面的周長是18,則該圓柱的體積是______.

【答案】27K

【分析】設(shè)圓柱的底面圓的半徑為「，高為力，由題意兩個條件可列出關(guān)于兩個未知數(shù)的方

程組，進(jìn)而可求出r=/?=3,即可求圓柱的體積.

2nrh_1

【詳解】解：設(shè)圓柱的底面圓的半徑為「，高為/?.由題意可得（2口2+2兀而―5,解得

2（2r+/7）=18

r=h=3,

則該圓柱的體積是兀2=27兀.

故答案為：27兀.

【點睛】本題考查了圓柱體積的求解，考查了圓柱的側(cè)面積.本題的關(guān)鍵是求出圓柱底面圓的

半徑和高.本題的難點在于軸截面的周長這一條件的理解.

例8.（2020?臺州市三梅中學(xué)高二月考）已知圓柱的底面半徑長為1,母線長為2,求它的側(cè)

面積和體積.

【答案】47,2萬

【分析】圓柱的底面半徑為r=l，母線長與高為4=/=2,根據(jù)側(cè)面積為S=2）〃，體積為

1/=^^能求出結(jié)果.

【詳解】?.?圓柱的底面半徑為r=l，母線長為/=2,

所以圓柱的高等于母線長〃=/=2

???圓柱的側(cè)面積為S=2?！?2兀x1x2=4兀；

圓柱的積為V=nr'h=兀><Fx2=2兀.

【點睛】本題考查圓柱的側(cè)面積與體積的求法，考查圓柱的性質(zhì)等基礎(chǔ)知識，考查運算求解

能力，是基礎(chǔ)題.

例9.（2020?河北黃驊中學(xué)）有一堆規(guī)格相同的鐵制（鐵的密度為7.8g/cm，）六角螺帽共

重6kg,已知該種規(guī)格的螺帽底面是正六邊形，邊長是12mm,內(nèi)孔直徑為10mm,高為

10mm,

（1）求一個六角螺帽的體積；（精確到O.OOlcn?）

（2）問這堆六角螺帽大約有多少個？

（參考數(shù)據(jù)：乃=3.14,石=1.73,2.952x7.8a23,1.083x7.8y8.45）

【答案】（1）2.952（cm3）；（2）261個.

【分析】（1）利用六棱柱的體積減去圓柱的體積即得解；

（2）計算6x1000+（7.8x2.952）即得解.

【詳解】（1）由題得V=￥x（12）2x6xl0-3.14x（與）xlO

=3736.8—785

=2951.8?2952(mm3)=2.952(cm3)

(2)這堆螺帽的個數(shù)為：6x1000-(7.8x2.952)?261(個)

答：每個螺帽的體積為2.952cm'，共有261個螺帽.

【點睛】本題主要考查空間幾何體的體積的計算，意在考查學(xué)生對這些知識的理解掌握水平.

例10.(2019?北京大學(xué)附屬中學(xué)新疆分校高二月考)已知一個長方體共一頂點的三個面的

面積分別是應(yīng)、仆、瓜,

(1)求這個長方體的對角線長。

(2)求這個長方體的的體積

【答案】⑴指⑵"

【分析】(1)設(shè)此長方體的極長分別為a,b,c,則=he-V3,皿=逐，解出a,b,

c,再利用長方體的對角線長1=J(&)2+(百尸+/即可.

(2)由(1)知a,b,c,利用長方體體積公式即可得到結(jié)果.

【詳解】(1)設(shè)此長方體的棱長分別為a,b,c,則h=0，he=4?>,ac=娓，可得abc=逐

，解得c=b，a=&,b=l.

這個長方體的對角線長】=J(a)2+(G)2+12

(2)由(1)可知:V=abc=#.

【點睛】熟練掌握長方體的側(cè)面積、時角線長及體積計算公式是解題的關(guān)鍵.

例11.(2021?上海高二專題練習(xí))如圖，直三棱柱內(nèi)接于高為垃的圓柱中，己知NAC8=90。,

AA'^s/2,BC=AC=\,。為A5的中點，求：

(1)圓柱的全面積和體積；

(2)求直線AC與平面AB2A所成的角的大小.

【答案】（1）S=3兀'V=避■兀；（2）arcsin.

26

【分析】（1）先求出底面半徑,再根據(jù)上下底面積與側(cè)面積之和求解全面積與體積即可.

⑵連接AC,A'O,CO,再證明立線AC與平面ABB'A!所成的角為NCA'O,再求得A'C4

CO的長求解即可.

【詳解】⑴易得底面直徑AB=V5,故全面積S=2/rx曰J+兀xjixji=3兀.

（/yYB

體積V=7XX.y/2=71.

I2）2

（2）連接A'C,A'O,CO,因為5C=AC=1,故COLA8,又44」平面ABC,故A4UCO.

又A4'c45=A,故CO，平面ABB'A.

故直線AC與平面所成的角為NC4'O.

6桓■廣

“0=3,AC=7^71=6.心."4。=蟲=3=逅，

2A'C6

【點睛】本題主要考查了圓柱的表面積與體積的求解，同時也考查了線面角的求解，需要根據(jù)

題意證明出線面垂直,進(jìn)而得出線面角.屬于基礎(chǔ)題.

考點六：柱體的表面積

例1.（2020?全國高二）已知正四棱柱（即底面是正方形的直棱柱）的底面邊長為3cm,側(cè)面

的對角線長是3石0加，則這個正四棱柱的表面積為

A.90cm2B.36加cm1C.12cm1D.54cm2

【答案】A

【分析】求出側(cè)棱長，再求出側(cè)面積和兩個底面積，即可得表面積.

【詳解】由題意側(cè)棱長為7（3A/5）2-32=6.

所以表面積為：5=4x3x6+2x32=90（。/）.

故選：A.

【點睛】本題考查棱柱的表面積，解題關(guān)鍵是求出側(cè)棱長.

例2.（2020?黑龍江哈師大青岡實驗中學(xué)高二開學(xué)考試）長方體一個頂點上的三條棱長分別

為3,4,a,表面積為108,則a等于（）

A.2B.3C.5D.6

【答案】D

【分析】利用長方體表面積的計算方法直接計算即可.

【詳解】長方體?個頂點上的三條棱長分別為3,4,a,則長方體的表面積為

3x4x2+2x4a+2x3a=108,解得a=6,

故選：D

【點睛】本題考查長方體表面積的計算方法，屬于簡單題.

例3.（2020?全國高二）已知直三棱柱ABC-AB'C'中，底面為等邊三角形，。為8C的

中點，平面截該三棱柱所得的截面是面積為9的正方形，則該三棱柱的側(cè)面積是（）

A.6A/3B.96C.18^/3D.3073

【答案】C

【分析】求出正三角形的邊長和直三棱柱的側(cè)楂長，即得該三棱柱的側(cè)面積.

【詳解】由題得截面正方形的邊長為3,

所以直三棱柱的側(cè)棱為3,底面正三角形的高為3,

所以底面正三角形的邊長為26，

所以該三棱柱的側(cè)面積是3x273x3=1873.

故選：C

【點睛】本題主要考查棱柱的側(cè)面積的計算和截面問題，意在考查學(xué)生對這些知識的理解掌

握水平，屬于基礎(chǔ)題.

例4.（2020?重慶市清華中學(xué)校高二月考）如果圓柱的底面半徑為2,高為4,那么它的側(cè)

面積等于（）

A.16萬B.207rC.244D.127r

【答案】A

【分析】利用圓柱的側(cè)面積公式可得結(jié)果.

【詳解】由題意可知，圓柱的側(cè)面積為2%x2x4=16萬.

故選：A.

例5.(2020?浙江省東陽中學(xué)高二月考)圓柱的母線長為5cm,底面半徑為2cm,則圓柱

的側(cè)面積為()

A.20^cm2B.lO^cm2C.28萬cm?D.14^-cm2

【答案】A

【分析】根據(jù)圓柱的側(cè)面積公式計算即可.

【詳解】圓柱的母線長為5cm,底面半徑為2cm,

則圓柱的側(cè)面積為S側(cè)=2萬x2x5=20^-(cm2).

故選：A

【點睛】本小題主要考查圓柱的側(cè)面枳公式，屬于基礎(chǔ)題.

例6.(2021?上海高二專題練習(xí))長方體的12條棱的總長度為56，",表面積為112,/,那么

長方體的對角線長為rn

【答案】25

【分析】設(shè)出該長方體的長寬高分別為a,b,c,由己知有：4(a+6+c)=56,

2(ab+bc+ca)=112,解之可得出對角線的長.

【詳解】設(shè)該長方體的長寬高分別為a,b,c,則有：4(a+b+c)=56,即a+b+c=14?一①

2{ab+hc+cd)=112,gpab+be+ca-56,??②

a2+b2+c2=(a+h+c)2-2(ah+bc+ca)=142-112=84

長方體的對角線的長為：^a2+h2+c2=病=2721，

故答案：2&L

【點睛】本題考查長方體的邊長，表面積，對角線之間的關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題.

例7.(2020?江西贛州市?高二期中(理))己知正六棱柱的高為2,底面邊長為1,則該正

六棱柱表面積為.

【答案】12+3百

【分析】分別求解底面的正六邊形面積與側(cè)面的六個矩形面積求和即可.

［詳解】正六棱柱的高為2,底面邊長為1,

故正六棱柱的底為由6個全等的邊長為1的等邊三角形構(gòu)成.

且正六棱柱的側(cè)面積為%=6X1X2=12,

正六棱柱的底面積為&=2x6x!xlxlxsi〃工=，

23

所以圓柱的表面積為：&=12+36,

【點睛】本題主要考查了正六棱柱的表面積問題,注意正六邊形轉(zhuǎn)換為六個正三角形進(jìn)行面積

的求解.屬于基礎(chǔ)題型.

例8.（2019?上海大學(xué)附屬中學(xué)高二月考）已知一個直四棱柱底面是邊長為2c加<J菱形，高

是3c?例則此直四棱柱的側(cè)面積為________cm2.

【答案】24

【分析】由直四棱柱的性質(zhì)直接求側(cè)面積即可.

【詳解】直四棱柱底面/靦是邊長為2的菱形，且四個側(cè)面全等

...該直四棱柱的側(cè)面積為S=4X2X3=24.

故答案為：24.

【點睛】本題考查了空間幾何體的性質(zhì)與面積的計算問題，是基礎(chǔ)題.

例9.（2020?江蘇無錫市?高二期末）某種圓柱形飲料罐的容積為定值，當(dāng)?shù)酌姘霃絉與它

的高〃的比值為______時，可以使它的用料最省.

【答案】—

2

【分析】首先設(shè)這種圓柱形飲料罐的容積為V,得到丫=萬/?2/，再求出其表面積的等式，

由基本不等式知S最小時的條件為2萬々=',進(jìn)而聯(lián)立以上兩個等式求得底面半徑R與它

的高〃的比值.

【詳解】

解：設(shè)這種圓柱形飲料罐的容積為V,則

V=%R2」t，

這種圓柱形飲料罐的表面積為：

2

S=+2兀R?〃=2萬肥+R?==2^7?+—=2兀R?+-+->3d2兀R?.K.K

兀片RRRNRR

=3而獷，

V

當(dāng)且僅當(dāng)2萬&9二一時等式成立，也即S取得最小值，

R

,V

此時聯(lián)立V=萬發(fā)/與2兀R?=又得:

R_]_

~h~2，

故答案為：—.

【點睛】本題主要考查圓柱體的體積和表面積，考查由基本不等式求最小值等知識點，考查

運算求解能力，屬于基礎(chǔ)題型.

例10.（2020?攀枝花市第十五中學(xué)校高二期中（文））若長方體的三個面的面積分別是

V2cm2,V3cm2,V6cm2,求：

（1）長方體的體對角線的長；

（2）長方體的表面積.

【答案】（1）娓cm.（2）=（2>/2+273+2y/6）cnr

【分析】（1）設(shè)長方體的長，寬，高分別為“cm,反m,em,根據(jù)已知條件列出方程，求出a,b,c,

即可求出對角線；

（2）根據(jù)己知條件，即可求解.

【詳解】（1）設(shè)長方體的長，寬，高分別為acm,Am,em,如圖.

ab=y/2,卜=6

可令，be=G,解得，b=1,

BD：=DD；+BD2=DD；+AD2+AB2=a2+b2+c2=6,

：.BDX-V6cm'.該長方體的體對角線長為"cm.

（2）S表=（2&+2石+26）cn?.

【點睛】本題考查長方體面的面積與邊長的關(guān)系，明確長方體的對角線與長、寬、高的關(guān)系,

屬于基礎(chǔ)題.

例11.（2019?浙江杭州市?杭州四中高二期中）已知正三棱柱ABC-44&底面邊長為2,

高為2.求（1）此三棱柱的體積；（2）此三棱柱的表面積.

【答案】（1）2百

（2）12+2百

【分析】（1）先求出％^=石,再根據(jù)柱體的體積公式V=5〃，求解即可.

（2）求每個面的面積再相加，即可.

【詳解】（1）?.?正二棱柱ABC-A4G底面邊長為2

S"=1AC?sinABAC=gx2x2xsin60°=6

???正三棱柱ABC—AMG高為/?=2

二匕BC-A4G=S^BC?〃=0x2=26

（2）?.?正三棱柱ABC-A5cl底面邊長為2,高為2.

每個側(cè)面都是邊長為2的正方形，即所有側(cè)面的面積和為3x2x2=12

???正三棱柱—底面邊長為2.

S/M8C=5刖渴。=百

正二棱柱—的表面積為S=12+2道.

【點睛】本題考查正三棱柱的體積與表面積，屬于較易題.

例12.（2019?青海西寧市?西寧四中高二月考）如圖，在底面邊長為"的正三棱柱ABC-A4G

中，B4=6，D是AC的中點。

（1）求證：44//平面。86；

（2）求正三棱柱ABC-A4G的體積及表面積。

Q53

【答案】（D見解析，（2）

42

【分析】（1）設(shè)B,CCBG=O,根據(jù)0D為aACBi的中位線，故有AB/OD,再利用直線和平面平

行的判定定理證得ABi〃平面GBD；

（2）利用棱柱的體積與表面積公式計算即可.

【詳解】（1）設(shè)B￡CB&=0,則由正三棱柱ABC-ABC的性質(zhì)可得0為BC的中點.

再根據(jù)D為AC的中點，可得0D為△ACBi的中位線，故有AB/0D.

而ODu平面C,BDAB犀平面GBD,故有ABi〃平面GBD.

（2）V=S.ABC-AA=—=jo?,

S=2x—3儲+3ax6-3-a2+3ay/a.

42

【點睛】本題主要考查直線和平面平行的判定定理的應(yīng)用，柱體的體積與表面積的計算，屬

于基礎(chǔ)題.

例13.（2019?佛山市榮山中學(xué)高二期中）如圖所示，圓柱。。中，母線AB與底面垂直，BC

是。。的直徑，點。是。。的圓周上異于3,C的點.

（1）求證：平面平面ADC；

（2）若BD=2,CD=4,AC=6,求圓柱。。的表面積.

【答案】⑴證明見解析;（2）（班+10卜

【分析】（1）推導(dǎo)出ABLCD，BDVCD,從而平面曲，由此能證明平面A3。，

平面AOC.

（2）由勾股定理求出BC,AB，由此能求出圓柱。。的表面積.

【詳解】證明：（1）由已知可知平面BCD,COu平面BCD,

AB±CD

???點。是。。的圓周上異于異于8,C的點，BC是。。的直徑，

.?.N8OC是直角，即

又?.?ABu平面B￡）u平面ABp\BD=B,

\C0A平面ABD,

?.?CDu平面ADC,

二平面ABD_L平面ADC.

（2）在RtABCD中，BD=2,CD=4,NBDC=90°,

BC=siBD2+CD-=V22+42=26，

由（1）知AB_L平面BCD，BCu平面BC。，

AB±BC,即NA3C=90°

AB=-JAC2-BC2=762-（2>/5）2=4

圓柱。。的表面積為：

S/=%+2%=2雙與+2萬?（與）2=（84+10卜.

【點睛】本題考查面面垂直的證明，考查圓柱的表面積的求法，解題時要認(rèn)真審題，注意空

間思維能力的培養(yǎng)，屬于中檔題.

能力提升

1.（2020?重慶市第七中學(xué)校）用斜二測畫法得到某三角形的水平放置的直觀圖是一個等腰

直角三角形（如圖所示，其中的X'軸表示水平方向），斜邊長逝，則原三角形的面積為（）

X

A.旺B.V2C.2D.2正

2

【答案】B

【分析】根據(jù)斜二測畫法中直觀圖與原圖形面積的關(guān)系求解.

【詳解】由題意直觀圖是斜邊長亞的等腰直角三角形，則直角邊長為1,面積為

S'=-xlx1=—,

22

e=JL=lxJ_=J2

所以原圖形的面積為272

彳

故選：B.

2.（2020?合肥市第十一中學(xué)高二期中（理））一個平面圖形的斜二測畫法的直觀圖是一個

直角邊為。的等腰直角三角形，則原圖形的面積為（）

A.也/B.2缶2C.—a2D.拉/

24

【答案】D

【分析】先計算出直觀圖的面積，再根據(jù)原圖面積S與直觀圖的面積S'的關(guān)系為S=2&'，

即可求解.

【詳解】解：?.?平面圖形的斜二測畫法的直觀圖是一個直角邊為。的等腰直角三角形，

:.S'=-a-,

2

則原圖形的面積S=2&x'/=夜/

2

故選：D.

3.（2020?六安市城南中學(xué)高二期中（文））水平放置的AABC的斜二測直觀圖如圖所示,

已知3'C'=4,A'C'=3,則AA5c的面積為（）

【答案】A

【分析】根據(jù)直觀圖還原三角形A6C，得H；AA5C的形狀和邊長，再計算面積即可.

【詳解】解：由斜二測間法規(guī)則知ACLBC，即AABC為直角三角形，

其中AC=3,BC=8,所以S,ABC=LX3X8=12,

故選：A.

4.（2020?廣東佛山市?南海中學(xué)高二月考）如圖，在水平放置的三角形的直觀圖中，DC是

VAEC'中8C'邊上的點，且3'D'>CZ>',A'D'//O'y',B'C〃OY,那么A?,A'D'，AC'

三條線段對應(yīng)原圖形中線段AB,AO,4。中（）

A.最長的是AB,最短的是ACB.最長的是A3,最短的是A。

C.最長的是AC,最短的是ABD.最長的是AD,最短的是AC

【答案】B

【分析】由直觀圖，結(jié)合斜二測畫水平放置的平面圖形直觀圖的規(guī)則可得答案.

【詳解】由直觀圖還原原圖形如圖，

A

BDC

因為小〃'〃/'軸，根據(jù)斜二測畫法規(guī)則，在原圖形中應(yīng)有4A6C,且皿〉DC

所以4?>AC>4),

故AABC中線段AB,AD,AC中最長的是AB>最短的是A。，

故選：B

二、填空題

5.(2021?浙江麗水市?高二月考)一個三角形的斜二測畫法的直觀圖是一個邊長為。的正

三角形，則原三角形的面積等于.

【答案】凡2

2

【分析】根據(jù)斜二測畫法畫平面圖形的直觀圖的規(guī)則，可以得出一個平面圖形的面積S與它

的直觀圖的面積S'之間的關(guān)系是9=也5,先求出宜觀圖即正三角形的面積，根據(jù)比值求出

4

原三角形的面積即可.

【詳解】解：根據(jù)斜二測畫法畫平面圖形的直觀圖的規(guī)則，可以得出一個平面圖形的面積S與

它的直觀圖的面積S'之間的關(guān)系是9=立S,

4

旦2

本題中直觀圖的面積為匕xaxsin6(r=旦②，所以原三角形的面積等于與_=冬2

24>/￡2

V

故答案為：Jia?

2

【點睛】考查學(xué)生靈活運用據(jù)斜二測畫法畫平面圖形的直觀圖的規(guī)則，可以得出一個平面圖

形的面積S與它的直觀圖的面積S'之間的關(guān)系是￡=也S.

6.（2020?江西高二期中（文））某水平放置的平面圖形的斜二測直觀圖是等腰梯形，它是

底角為45。，腰和上底長均為1的等腰梯形，則該平面圖形的周長為—.

【答案】4+V2+V6

【分析】分別作出圖形的直觀圖與平面圖形，根據(jù)兩者的長度關(guān)系即可求解平面圖形周長.

【詳解】

⑴（2）

如圖過點。0作，D'E'LB'C，則四邊形是一個內(nèi)角為45°的平行四邊形且

BE=1,A3'=1,ACE'。'中，NC'E7）'=45°,O'E'=43'=1,。左'=近，則對應(yīng)可得四

邊形ABED是矩形且BE=1,AB=2,△CEO是直角三角形，

NCED=90,DE=2,CEf,DC7DU+E。=店乃=庭

所以梯形的周長為AB+AO+OC+C3=4+g+灰.

故答案為：4+V2+V6

7.（2020?重慶市鳳鳴山中學(xué)高二期中）已知AA3c的直觀圖如下所示，其中|O'A[=|O'3[=1

【分析】由斜二測畫法：橫等縱半，結(jié)合已知條件，即可求OC,A5,進(jìn)而求AABC的面

【詳解】由題意知：在用A4'C'3'中，O'C'=1,

由斜二測間法，知：直角坐標(biāo)系中OC=2,AB=ABf=2,

:.S——-0C-AB=2.

AHADRC2

故答案為：2.

三、解答題

8.（2020?全國高二）如圖,正方形的邊長為1CR,它是水平放置的一個平面圖形的

直觀圖.請畫出原來的平面圖形的形狀,并求原圖形的周長與面積.

【答案】原圖見解析，8cm,2五cm1

【分析】根據(jù)直觀圖與原圖像的邊角關(guān)系建系畫圖即可.

【詳解】如圖,建立平面直角坐標(biāo)系》郎,在崩上取04=0,4=卜加；在諭上取

OB=20'8'=2yf2cm?在過點砸坤ll的平行線上取BC=B'C'=1cm'

連接。A,B,偌點，即得到原圖形.易知，四邊形/比為平行四邊形，

OC=YJOB2+BC==3（cm）,

平行四邊形的比的周長為（3+1）x2=8（CM）,面積S=1x2夜=272（czn2）.

【點睛】本題主要考查了直觀圖的畫法與四邊形面積和周長的求法,屬于基礎(chǔ)題型.

9.（全國高二課時練習(xí)）如圖所示，四邊形力靦是一個梯形，CD//AB,CD=Bgl,△力如為

等腰直角三角形，聞勺中點，試求梯形冰平放置的直觀圖的面積.

372

【答案】

8

【解析】在梯形ABCD中，AB=2,高OD=1,梯形ABCD水平放置的直觀圖仍為梯形，且上底CD

和下底AB的長度都不變，如圖所示，在直觀圖中，O'D'=-0D,梯形的高D'E'=立，

臉榭

于是梯形A'B'C'D'的面積為工X（l+2）X?g=亞.

筮4窗

考點：平面圖形的直觀圖.

10.（北京高二期中（理））正三棱柱ABC-45cl中，。是6c上一點，若AO,8c.

（1）若底面邊長為。，側(cè)棱長為6,求該正三棱柱的表面積、體積.

（2）求證：4為|平面4。6.

【答案】（1）S=2aFab，V^—a2b（2）見解析

24

試題分析：（D由等邊三角形、矩形的面積公式可得柱體的表面積；由體積公式可得柱體的

體積。（2）由題意可證得點D為BC的中點，連A。，交AG于。點，則點o為4c的中點，連

接OC,可得ODIIA8,從而可證得A/II平面AOC一

試題解析：（1）在正三棱柱ABC-48cl中，AABC為等邊三角形，

???AABC的邊長為a,

?G_J32

?'^.ABC=^~Cl'

正三棱柱的表面面積S=2x-^/+3ab=-^a2+3ab,

42

體積V=Sxh=crb.

△AR”。C4

（2）證明：ADA.BC，AB=AC,

.?.點D為BC的中點。

連接AC,交AC；于。點，則點。為AC的中點。

連接。。，

在AACB中，。，。分別為AC,BC中點，

OD\\A,B,

又ODu平面ADC,,AB0平面ADQ,

：.4￡||平面ADC一

11.(上海高二期末)已知圓柱的底面半徑為r,上底面和下底面的圓心分別為。1和0,正方

形48切內(nèi)接于下底面圓0,&A與母線所成的角為30°.

(1)試用承示圓柱的表面積S；

(2)若圓柱的體積為9萬，求點旗J平面QAB的距離.

【答案】⑴2（百+1）萬尸

⑵氈~

7

【分析】（1）利用已知條件，通過求解三角形推出圓柱的高，然后求解圓柱的表面積S.

（2）利用圓柱的體積，求出底面半徑，通過心的尸以歸，求解點終IJ平面龐7?的距離.

【詳解】解：（1）???。力與母線所成的角為30°,AO=r,所以QO=gr,

圓柱的表面積S=2"/+2萬rxGr=2（6+1）n-

（2）?圓柱的體積為9n,乃/xGr=9萬，,r=6.

%-ABD=]xS^ADBxOtO=—x-x2廠x6r=6x—=3.

Sq、AB=；x"x,9+：='

VxSX￡ld

D-OtAB-~^AB--'

【點睛】本題考查空間點線面的距離的求法，幾何體的體積的求法，考查了直角三角形的解

法，是基礎(chǔ)題.

12.（2019?上海復(fù)旦附中高二期中）如圖，已知點P在圓柱。。的底面圓。上，44OP=120°，

圓。的直徑A6=4,圓柱的高。。=3.

(1)求圓柱的表面積；

(2)求點A到平面4/。的距離；

(3)求直線從尸與AB所成的角.

【答案】(1)20萬；(2)?；(3)arccos—

27

【分析】(1)根據(jù)圓柱的表面積=側(cè)面積+底面積X2；

(2)根據(jù)等體積法，由匕-4"=匕一A”求出點A到平面A/。的距離；

(3)山AB耳，AB與4尸所成角即為A4與4尸所成角，通過余弦定理求出ZPA4的

大小即可.

【詳解】

(1)QAB是圓0的直徑

:.AP±PB

?.?NAOP=120°

NBAP=30°,ZABP=60°

又OB=OP=LAB=2

2

BP=2,AP=2+

圓柱的表面積為S=ITIxOB2+^-xABxAA^=2乃x2?+乃x4x3=20乃

2

（2）?.-A,O=7M+A02=

AP=y]A^+AP2=y[2i,OP=2

A.P-+OP1-\O2_V21

/.cosZ71PO=

12APOP7

2V7

/.sin/A|尸。=~^r

■.SAOP=-xy/2lx2x^-^243

廠27

設(shè)點A到平血4尸。的距離為d

由^\-AOP~匕.AOP,得

—x—x2x2Gx—x3=—x2^3xd

3223

3

解得d

2

3

???點A到平面APO的距離為-

(3)???A8//A4

AB與AP所成角即為AA與AP所成角,

聯(lián)結(jié)p片，則為=JPT+M?=歷，PB]=JPB2+BB；=岳，

E4j+A42Pg2V21

..cosPAB

]l2xPAjx