專題5.5三角函數(shù)真題訓練1．（2021年全國高考乙卷數(shù)學（文）試題）函數(shù)的最小正周期和最大值分別是（

）A．和 B．和2 C．和 D．和22．（2022年新高考浙江數(shù)學高考真題）為了得到函數(shù)的圖象，只要把函數(shù)圖象上所有的點（

）A．向左平移個單位長度 B．向右平移個單位長度C．向左平移個單位長度 D．向右平移個單位長度3．（2022年新高考天津數(shù)學高考真題）已知，關于該函數(shù)有下列四個說法：①的最小正周期為；②在上單調(diào)遞增；③當時，的取值范圍為；④的圖象可由的圖象向左平移個單位長度得到．以上四個說法中，正確的個數(shù)為（

）A． B． C． D．4．（2023年高考全國甲卷數(shù)學（理）真題）“”是“”的（

）A．充分條件但不是必要條件 B．必要條件但不是充分條件C．充要條件 D．既不是充分條件也不是必要條件5．（2021年全國高考乙卷數(shù)學（文）試題）（

）A． B． C． D．6．（2021年全國高考乙卷數(shù)學（理）試題）把函數(shù)圖像上所有點的橫坐標縮短到原來的倍，縱坐標不變，再把所得曲線向右平移個單位長度，得到函數(shù)的圖像，則（

）A． B．C． D．7．（2022年高考全國甲卷數(shù)學（文）真題）將函數(shù)的圖像向左平移個單位長度后得到曲線C，若C關于y軸對稱，則的最小值是（

）A． B． C． D．8．（2022年新高考全國II卷數(shù)學真題）若，則（

）A． B．C． D．9．（2022年新高考浙江數(shù)學高考真題）設，則“”是“”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件10．（2023年新課標全國Ⅱ卷數(shù)學真題）已知為銳角，，則（

）．A． B． C． D．11．（2023年新課標全國Ⅰ卷數(shù)學真題）已知，則（

）．A． B． C． D．12．（2023年高考全國甲卷數(shù)學（文）真題）已知為函數(shù)向左平移個單位所得函數(shù)，則與的交點個數(shù)為（

）A．1 B．2 C．3 D．413．（2023年高考全國乙卷數(shù)學（理）真題）已知函數(shù)在區(qū)間單調(diào)遞增，直線和為函數(shù)的圖像的兩條對稱軸，則（

）A． B． C． D．14．（2021年全國新高考I卷數(shù)學試題）若，則（

）A． B． C． D．15．（2021年全國新高考I卷數(shù)學試題）下列區(qū)間中，函數(shù)單調(diào)遞增的區(qū)間是（

）A． B． C． D．16．（2021年全國高考甲卷數(shù)學（文）試題）若，則（

）A． B． C． D．17．（2022年新高考全國I卷數(shù)學真題）記函數(shù)的最小正周期為T．若，且的圖象關于點中心對稱，則（

）A．1 B． C． D．318．（2022年高考全國甲卷數(shù)學（理）真題）沈括的《夢溪筆談》是中國古代科技史上的杰作，其中收錄了計算圓弧長度的“會圓術”，如圖，是以O為圓心，OA為半徑的圓弧，C是AB的中點，D在上，．“會圓術”給出的弧長的近似值s的計算公式：．當時，（

）A． B． C． D．19．（2021年全國高考甲卷數(shù)學（理）試題）已知函數(shù)的部分圖像如圖所示，則滿足條件的最小正整數(shù)x為________．20．（2023年高考全國乙卷數(shù)學（文）真題）若，則________．21．（2022年高考全國乙卷數(shù)學（理）真題）記函數(shù)的最小正周期為T，若，為的零點，則的最小值為____________．22．（2023年新課標全國Ⅰ卷數(shù)學真題）已知函數(shù)在區(qū)間有且僅有3個零點，則的取值范圍是________．23．（2023年新課標全國Ⅱ卷數(shù)學真題）已知函數(shù)，如圖A，B是直線與曲線的兩個交點，若，則______．

24．（2021年全國高考甲卷數(shù)學（文）試題）已知函數(shù)的部分圖像如圖所示，則_______________.25．（2022年新高考浙江數(shù)學高考真題）若，則__________，_________．

專題5.5三角函數(shù)真題訓練1．（2021年全國高考乙卷數(shù)學（文）試題）函數(shù)的最小正周期和最大值分別是（

）A．和 B．和2 C．和 D．和2【答案】C【分析】利用輔助角公式化簡，結合三角函數(shù)周期性和值域求得函數(shù)的最小正周期和最大值.【詳解】由題，，所以的最小正周期為，最大值為.故選：C．2．（2022年新高考浙江數(shù)學高考真題）為了得到函數(shù)的圖象，只要把函數(shù)圖象上所有的點（

）A．向左平移個單位長度 B．向右平移個單位長度C．向左平移個單位長度 D．向右平移個單位長度【答案】D【分析】根據(jù)三角函數(shù)圖象的變換法則即可求出．【詳解】因為，所以把函數(shù)圖象上的所有點向右平移個單位長度即可得到函數(shù)的圖象．故選：D.

3．（2022年新高考天津數(shù)學高考真題）已知，關于該函數(shù)有下列四個說法：①的最小正周期為；②在上單調(diào)遞增；③當時，的取值范圍為；④的圖象可由的圖象向左平移個單位長度得到．以上四個說法中，正確的個數(shù)為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)，以及變換法則即可判斷各說法的真假．【詳解】因為，所以的最小正周期為，①不正確；令，而在上遞增，所以在上單調(diào)遞增，②正確；因為，，所以，③不正確；由于，所以的圖象可由的圖象向右平移個單位長度得到，④不正確．故選：A．4．（2023年高考全國甲卷數(shù)學（理）真題）“”是“”的（

）A．充分條件但不是必要條件 B．必要條件但不是充分條件C．充要條件 D．既不是充分條件也不是必要條件【答案】B【分析】根據(jù)充分條件、必要條件的概念及同角三角函數(shù)的基本關系得解.【詳解】當時，例如但，即推不出；當時，，即能推出.綜上可知，是成立的必要不充分條件.故選：B5．（2021年全國高考乙卷數(shù)學（文）試題）（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】由題意結合誘導公式可得，再由二倍角公式即可得解.【詳解】由題意，.故選：D.6．（2021年全國高考乙卷數(shù)學（理）試題）把函數(shù)圖像上所有點的橫坐標縮短到原來的倍，縱坐標不變，再把所得曲線向右平移個單位長度，得到函數(shù)的圖像，則（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】解法一：從函數(shù)的圖象出發(fā)，按照已知的變換順序，逐次變換，得到，即得，再利用換元思想求得的解析表達式；解法二：從函數(shù)出發(fā)，逆向?qū)嵤└鞑阶儞Q，利用平移伸縮變換法則得到的解析表達式.【詳解】解法一：函數(shù)圖象上所有點的橫坐標縮短到原來的倍，縱坐標不變，得到的圖象，再把所得曲線向右平移個單位長度，應當?shù)玫降膱D象，根據(jù)已知得到了函數(shù)的圖象，所以，令,則,所以,所以；解法二：由已知的函數(shù)逆向變換，第一步：向左平移個單位長度，得到的圖象，第二步：圖象上所有點的橫坐標伸長到原來的2倍，縱坐標不變，得到的圖象，即為的圖象，所以.故選：B.7．（2022年高考全國甲卷數(shù)學（文）真題）將函數(shù)的圖像向左平移個單位長度后得到曲線C，若C關于y軸對稱，則的最小值是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】先由平移求出曲線的解析式，再結合對稱性得，即可求出的最小值.【詳解】由題意知：曲線為，又關于軸對稱，則，解得，又，故當時，的最小值為.故選：C.8．（2022年新高考全國II卷數(shù)學真題）若，則（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】由兩角和差的正余弦公式化簡，結合同角三角函數(shù)的商數(shù)關系即可得解.【詳解】[方法一]：直接法由已知得：,即：，即：所以故選：C[方法二]：特殊值排除法解法一:設β=0則sinα+cosα=0，取，排除A,B；再取α=0則sinβ+cosβ=2sinβ，取β，排除D；選C.[方法三]：三角恒等變換所以即故選：C.9．（2022年新高考浙江數(shù)學高考真題）設，則“”是“”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】A【分析】由三角函數(shù)的性質(zhì)結合充分條件、必要條件的定義即可得解.【詳解】因為可得：當時，，充分性成立；當時，，必要性不成立；所以當，是的充分不必要條件.故選：A.10．（2023年新課標全國Ⅱ卷數(shù)學真題）已知為銳角，，則（

）．A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)二倍角公式（或者半角公式）即可求出．【詳解】因為，而為銳角，解得：．故選：D．11．（2023年新課標全國Ⅰ卷數(shù)學真題）已知，則（

）．A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)給定條件，利用和角、差角的正弦公式求出，再利用二倍角的余弦公式計算作答.【詳解】因為，而，因此，則，所以.故選：B【點睛】方法點睛：三角函數(shù)求值的類型及方法（1）“給角求值”：一般所給出的角都是非特殊角，從表面來看較難，但非特殊角與特殊角總有一定關系．解題時，要利用觀察得到的關系，結合三角函數(shù)公式轉(zhuǎn)化為特殊角的三角函數(shù)．（2）“給值求值”：給出某些角的三角函數(shù)值，求另外一些角的三角函數(shù)值，解題關鍵在于“變角”，使其角相同或具有某種關系．（3）“給值求角”：實質(zhì)上也轉(zhuǎn)化為“給值求值”，關鍵也是變角，把所求角用含已知角的式子表示，由所得的函數(shù)值結合該函數(shù)的單調(diào)區(qū)間求得角，有時要壓縮角的取值范圍．12．（2023年高考全國甲卷數(shù)學（文）真題）已知為函數(shù)向左平移個單位所得函數(shù)，則與的交點個數(shù)為（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【分析】先利用三角函數(shù)平移的性質(zhì)求得，再作出與的部分大致圖像，考慮特殊點處與的大小關系，從而精確圖像，由此得解.【詳解】因為向左平移個單位所得函數(shù)為，所以，而顯然過與兩點，作出與的部分大致圖像如下，

考慮，即處與的大小關系，當時，，；當時，，；當時，，；所以由圖可知，與的交點個數(shù)為.故選：C.13．（2023年高考全國乙卷數(shù)學（理）真題）已知函數(shù)在區(qū)間單調(diào)遞增，直線和為函數(shù)的圖像的兩條對稱軸，則（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)題意分別求出其周期，再根據(jù)其最小值求出初相，代入即可得到答案.【詳解】因為在區(qū)間單調(diào)遞增，所以，且，則，，當時，取得最小值，則，，則，，不妨取，則，則，故選：D.14．（2021年全國新高考I卷數(shù)學試題）若，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】將式子先利用二倍角公式和平方關系配方化簡，然后增添分母()，進行齊次化處理，化為正切的表達式，代入即可得到結果．【詳解】將式子進行齊次化處理得：．故選：C．【點睛】易錯點睛：本題如果利用，求出的值，可能還需要分象限討論其正負，通過齊次化處理，可以避開了這一討論．15．（2021年全國新高考I卷數(shù)學試題）下列區(qū)間中，函數(shù)單調(diào)遞增的區(qū)間是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】解不等式，利用賦值法可得出結論.【詳解】因為函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，對于函數(shù)，由，解得，取，可得函數(shù)的一個單調(diào)遞增區(qū)間為，則，，A選項滿足條件，B不滿足條件；取，可得函數(shù)的一個單調(diào)遞增區(qū)間為，且，，CD選項均不滿足條件.故選：A.【點睛】方法點睛：求較為復雜的三角函數(shù)的單調(diào)區(qū)間時，首先化簡成形式，再求的單調(diào)區(qū)間，只需把看作一個整體代入的相應單調(diào)區(qū)間內(nèi)即可，注意要先把化為正數(shù)．16．（2021年全國高考甲卷數(shù)學（文）試題）若，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由二倍角公式可得，再結合已知可求得，利用同角三角函數(shù)的基本關系即可求解.【詳解】，，，，解得，，.故選：A.【點睛】關鍵點睛：本題考查三角函數(shù)的化簡問題，解題的關鍵是利用二倍角公式化簡求出.17．（2022年新高考全國I卷數(shù)學真題）記函數(shù)的最小正周期為T．若，且的圖象關于點中心對稱，則（

）A．1 B． C． D．3【答案】A【分析】由三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)可求得參數(shù)，進而可得函數(shù)解析式，代入即可得解.【詳解】由函數(shù)的最小正周期T滿足，得，解得，又因為函數(shù)圖象關于點對稱，所以，且，所以，所以，，所以.故選：A18．（2022年高考全國甲卷數(shù)學（理）真題）沈括的《夢溪筆談》是中國古代科技史上的杰作，其中收錄了計算圓弧長度的“會圓術”，如圖，是以O為圓心，OA為半徑的圓弧，C是AB的中點，D在上，．“會圓術”給出的弧長的近似值s的計算公式：．當時，（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】連接，分別求出，再根據(jù)題中公式即可得出答案.【詳解】解：如圖，連接，因為是的中點，所以，又，所以三點共線，即，又，所以，則，故，所以.故選：B.19．（2021年全國高考甲卷數(shù)學（理）試題）已知函數(shù)的部分圖像如圖所示，則滿足條件的最小正整數(shù)x為________．【答案】2【分析】先根據(jù)圖象求出函數(shù)的解析式，再求出的值，然后求解三角不等式可得最小正整數(shù)或驗證數(shù)值可得.【詳解】由圖可知，即，所以；由五點法可得，即；所以.因為，；所以由可得或；因為，所以，方法一：結合圖形可知，最小正整數(shù)應該滿足，即，解得，令，可得，可得的最小正整數(shù)為2.方法二：結合圖形可知，最小正整數(shù)應該滿足，又，符合題意，可得的最小正整數(shù)為2.故答案為：2.【點睛】關鍵點睛：根據(jù)圖象求解函數(shù)的解析式是本題求解的關鍵，根據(jù)周期求解，根據(jù)特殊點求解.20．（2023年高考全國乙卷數(shù)學（文）真題）若，則________．【答案】【分析】根據(jù)同角三角關系求，進而可得結果.【詳解】因為，則，又因為，則，且，解得或（舍去），所以.故答案為：.21．（2022年高考全國乙卷數(shù)學（理）真題）記函數(shù)的最小正周期為T，若，為的零點，則的最小值為____________．【答案】【分析】首先表示出，根據(jù)求出，再根據(jù)為函數(shù)的零點，即可求出的取值，從而得解；【詳解】解：因為，（，）所以最小正周期，因為，又，所以，即，又為的零點，所以，解得，因為，所以當時；故答案為：22．（2023年新課標全國Ⅰ卷數(shù)學真題）已知函數(shù)在區(qū)間有且僅有3個零點，則的取值范圍是________．【答案】【分析】令，得有3個根，從而結合余弦函數(shù)的圖像性質(zhì)即可得解.【詳解】因為，所以，令，則有3個根，令，則有3個根，其中，結合余弦函數(shù)的圖像性質(zhì)可得，故，故答案為：.23．（2023年新課標全國Ⅱ卷數(shù)學真題）已知函數(shù)，如圖A，B是直線與曲線的兩個交點，若，則______．

【答案】【分析】設，依題可得，，結合的解可得，，從而得到的值，再根據(jù)以及，即可得，進而求得．【詳解】設，由可得，由可