專題04特殊的平行四邊形中的最值模型之將軍飲馬模型“白日登山望烽火，黃昏飲馬傍交河”，這是唐代詩人李頎《古從軍行》里的一句詩，由此卻引申出一系列非常有趣的數(shù)學問題，通常稱為“將軍飲馬”。將軍飲馬問題從本質上來看是由軸對稱衍生而來，主要考查轉化與化歸等的數(shù)學思想。在各類考試中都以中高檔題為主，本專題就特殊的平行四邊形背景下的將軍飲馬問題進行梳理及對應試題分析，方便掌握。在解決將軍飲馬問題主要依據是：兩點之間，線段最短；垂線段最短；涉及的基本方法還有：利用軸對稱變換化歸到“三角形兩邊之和大于第三邊”、“三角形兩邊之差小于第三邊”等。模型1.求兩條線段和的最小值（將軍飲馬模型）【模型解讀】在一條直線m上，求一點P，使PA+PB最??；（1）點A、B在直線m兩側：（2）點A、B在直線同側：【最值原理】兩點之間線段最短。上圖中A’是A關于直線m的對稱點。例1．（2022·山東德州·統(tǒng)考中考真題）如圖，正方形的邊長為6，點在上，，點是對角線上的一個動點，則的最小值是（

）

A． B． C． D．例2．（2023上·山東青島·八年級?？甲灾髡猩┤鐖D，正方形的邊長為6，點E，F(xiàn)分別為邊，上兩點，，平分，連接，分別交，于點G，M，點P是線段上的一個動點，過點P作，垂足為N，連接，則下列結論正確的個數(shù)是（

）①；②；③的最小值為；④三角形的面積是．

A．1個 B．2個 C．3個 D．4個例3．（2023上·吉林長春·八年級校考期中）如圖，是的邊的中點，是對角線上一點．若，則的最小值是（

）

A．1 B．2 C． D．4例4．（2023下·江蘇·八年級專題練習）如圖，已知菱形的面積為20，邊長為5，點、分別是邊、上的動點，且，連接、，、和點不重合，則的最小值為（

）

A． B． C．10 D．例5．（2023下·湖北武漢·八年級?？计谥校┤鐖D，在矩形中，，若在上各取一個點M，N，連接，則的最小值為（

）

A．6 B．8 C．12 D．16例6．（2023·遼寧盤錦·統(tǒng)考中考真題）如圖，四邊形是矩形，，，點P是邊上一點（不與點A，D重合），連接．點M，N分別是的中點，連接，，，點E在邊上，，則的最小值是（

）

A． B．3 C． D．例7．（2023上·福建龍巖·九年級?？计谥校┤鐖D，在平行四邊形中，，，，點E是邊上且．F是邊上的一個動點，將線段繞點E逆時針旋轉，得到，連接、，則的最小值．模型2.求多條線段和（周長）最小值【模型解讀】在直線m、n上分別找兩點P、Q，使PA+PQ+QB最小。（1）兩個點都在直線外側：（2）一個點在內側，一個點在外側：（3）兩個點都在內側：（4）臺球兩次碰壁模型1）已知點A、B位于直線m,n的內側，在直線n、m分別上求點D、E點，使得圍成的四邊形ADEB周長最短.2）已知點A位于直線m,n的內側,在直線m、n分別上求點P、Q點PA+PQ+QA周長最短.【最值原理】兩點之間線段最短。例1．（2023·四川廣元·一模）如圖，已知正方形邊長為3，點E在邊上且，點P，Q分別是邊，的動點（均不與頂點重合），當四邊形的周長取最小值時，四邊形的面積是（

）A． B． C． D．例2．（2023.無錫市初三數(shù)學期中試卷）方法感悟：如圖①，在矩形中，，是否在邊上分別存在點G、H，使得四邊形的周長最小？若存在，求出它周長的最小值；若不存在，請說明理由．問題解決：例3．（2023春·湖北黃石·八年級統(tǒng)考期中）如圖，在矩形中，，，、分別是和上的兩個動點，為的中點，則的最小值是________；例4．（2023上·江蘇蘇州·八年級?？茧A段練習）如圖，，在的同側，，，，為的中點．若，則長的最大值是（

）

A．8 B．10 C．12 D．14模型3.求兩條線段差最大值【模型解讀】在一條直線m上，求一點P，使PA與PB的差最大；（1）點A、B在直線m同側：延長AB交直線m于點P，根據三角形兩邊之差小于第三邊，P’A-P’B＜AB，而PA-PB=AB此時最大，因此點P為所求的點。（2）點A、B在直線m異側：過B作關于直線m的對稱點B’,連接AB’交點直線m于P,此時PB=PB’，PA-PB最大值為AB’【最值原理】三角形兩邊之差小于第三邊。例1．（2023·廣東·九年級專題練習）如圖，在菱形ABCD中，AB＝6，，AC與BD交于點O，點N在AC上且AN＝2，點M在BC上且BM＝BC，P為對角線BD上一點，則PM﹣PN的最大值為．例2．（2023春·湖南永州·八年級統(tǒng)考期中）如圖，在矩形中，，O為對角線的中點，點P在邊上，且，點Q在邊上，連接與，則的最大值為____________，的最小值為__________．例3．（2023·浙江·八年級專題練習）如圖，四邊形中，，，，點為直線左側平面上一點，的面積為，則的最大值為．課后專項訓練1．（2023·湖北鄂州·二模）如圖，矩形中，，點在上，且，點分別為邊上的動點，將沿直線翻折得到，連接，則的最小值為（

）

A．5 B． C． D．2．（2023·河南信陽·校考三模）如圖，菱形，，邊長為4，點E在上，且，F(xiàn)為對角線上一動點，則的最小值為（

）

A． B． C． D．43．（2023下·浙江杭州·八年級校聯(lián)考期中）如圖，矩形中，，，點E、F分別是、上的動點，，則的最小值是（）

A． B．12 C． D．164．（2023下·江蘇連云港·八年級?？茧A段練習）如圖正方形的面積為，是等邊三角形，點在正方形內，在對角線上有一動點，要使最小，則這個最小值為(

)A． B． C． D．5．（2023下·廣西欽州·八年級?？茧A段練習）已知點、，點在軸上，則最大值為（

）A． B． C． D．6．（2023·廣東深圳·校聯(lián)考模擬預測）如圖，點是正方形內部一個動點，且，，則的最小值為（

）

A． B． C． D．7．（2023·重慶北碚·九年級?？奸_學考試）如圖，矩形中，，點是矩形內一動點，且，則的最小值是（

）A．B．C．D．8．（2023上·安徽滁州·九年級校聯(lián)考期中）如圖，菱形的邊長為4，且于點為上一點，且的周長最小，則的周長的最小值為（

）A． B． C． D．9．（2023下·四川資陽·八年級?？茧A段練習）如圖，四邊形是菱形，對角線相交于點O，，點P是上一動點，點E是的中點，則的最小值為．

10．（2023·湖南·統(tǒng)考一模）如圖，正方形的邊長為，點在上且，為對角線上一動點，則周長的最小值為．11．（2023下·四川成都·八年級?？计谥校┰谥?，點為邊上一點，將沿著翻折得到，點為中點，連接、，若，，，則的最小值為．

12．（2023下·內蒙古呼和浩特·八年級統(tǒng)考期末）如圖，四邊形是矩形紙片，，對折矩形紙片，使與重合，折痕為，展平后再過點折疊矩形紙片，使點落在上的點處，折痕為；再次展平，連接，．則，若為線段上一動點，是的中點，則的最小值是．

13．（2023·廣西·九年級校考階段練習）如圖，在矩形中，，，動點，分別從點，以相同的速度同時出發(fā)，沿，向終點，運動，連接，，則的最小值是．

14．（2023上·江蘇宿遷·八年級統(tǒng)考期中）如圖，，在的同側，點A在線段上，，，則的最大值是．

15．（2023上·福建三明·九年級校考階段練習）如圖，在正方形中，點F為中點，點E在對角線上運動，若，則長的最大值為．

16．（2023·湖北·統(tǒng)考二模）如圖，已知，正中，，將沿翻折，得到，連接，交于點，點在上，且，是的中點，是上的一個動點，則的最大值為．17．（2023·山東日照·?？级＃┤鐖D，在邊長為1的正方形中，E為邊上一動點（點E，B不重合），以為直角邊在直線上方作等腰直角三角形，，連接，則在點E的運動過程中，周長的最小值是______．

18．（2023·湖北武漢·校聯(lián)考模擬預測）如圖，己知長方體，是棱上任意一點，是側面對角線上一點，則的最小值是________．

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