專題11三角形中的重要模型特殊三角形中的分類討論模型模型1、等腰三角形中的分類討論模型【知識(shí)儲(chǔ)備】凡是涉及等腰三角形邊、角、周長(zhǎng)、面積等問題，優(yōu)先考慮分類討論，再利用等腰三角形的性質(zhì)與三角形三邊關(guān)系解題即可。1）無圖需分類討論①已知邊長(zhǎng)度無法確定是底邊還是腰時(shí)要分類討論；②已知角度數(shù)無法確定是頂角還是底角時(shí)要分類討論；③遇高線需分高在△內(nèi)和△外兩類討論；④中線把等腰△周長(zhǎng)分成兩部分需分類討論。2）“兩定一動(dòng)”等腰三角形存在性問題：即：如圖：已知，兩點(diǎn)是定點(diǎn)，找一點(diǎn)構(gòu)成等腰方法：兩圓一線具體圖解：①當(dāng)時(shí)，以點(diǎn)為圓心，長(zhǎng)為半徑作⊙，點(diǎn)在⊙上（，除外）②當(dāng)時(shí)，以點(diǎn)為圓心，長(zhǎng)為半徑作⊙，點(diǎn)在⊙上（，除外）③當(dāng)時(shí)，作的中垂線，點(diǎn)在該中垂線上（除外）例1．（2023春·四川成都·八年級(jí)?？计谥校┮阎妊切蔚膬蛇呴L(zhǎng)分別是，，若，滿足，那么它的周長(zhǎng)是（）A．11 B．13 C．11或13 D．11或15【答案】C【分析】由已知等式，結(jié)合非負(fù)數(shù)的性質(zhì)求、的值，再根據(jù)、分別作為等腰三角形的腰，分類求解．【詳解】解：，，，，，解得：，，當(dāng)作腰時(shí)，三邊為3，3，5，符合三邊關(guān)系定理，周長(zhǎng)為：，當(dāng)作腰時(shí)，三邊為3，5，5，符合三邊關(guān)系定理，周長(zhǎng)為：，故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，三角形的三邊關(guān)系，非負(fù)數(shù)的性質(zhì)，關(guān)鍵是根據(jù)非負(fù)數(shù)的性質(zhì)求、的值，再根據(jù)或作為腰，分類求解．例2．（2023春·黑龍江佳木斯·八年級(jí)校考期中）一個(gè)等腰三角形的周長(zhǎng)為18cm，且一邊長(zhǎng)是4cm，則它的腰長(zhǎng)為（

）A．4cm B．7cm C．4cm或7cm D．全不對(duì)【答案】B【分析】根據(jù)等腰三角形的定義，兩腰相等，結(jié)合三角形的三邊關(guān)系，進(jìn)行求解即可．【詳解】解：當(dāng)cm為腰長(zhǎng)時(shí)，則底邊長(zhǎng)為cm，∵，不符合題意；∴cm為底邊長(zhǎng)，∴等腰三角形的腰長(zhǎng)為：；故選B．【點(diǎn)睛】本題考查等腰三角形的定義，三角形的三邊關(guān)系．解題的關(guān)鍵是掌握等腰三角形的兩腰相等，注意討論時(shí)要根據(jù)三角形的三邊關(guān)系，判斷能否構(gòu)成三角形．例3．（2023春·四川達(dá)州·八年級(jí)?？茧A段練習(xí)）等腰三角形的一個(gè)角是，則它頂角的度數(shù)是（）A． B．或 C．或 D．【答案】B【分析】根據(jù)三角形的內(nèi)角和為，進(jìn)行分類討論即可【詳解】解：①當(dāng)?shù)捉菫闀r(shí)，頂角，②當(dāng)頂角為時(shí)，頂角度數(shù)，綜上：頂角度數(shù)為或；故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了三角形的內(nèi)角和為，等腰三角形兩底角相等，解題的關(guān)鍵是書熟練掌握相關(guān)內(nèi)容．例3．（2023·四川廣安·八年級(jí)?？计谥校┑妊切蔚囊粋€(gè)外角為，則它的底角為（）A． B． C．或 D．以上都不是【答案】D【分析】等腰三角形的一個(gè)外角等于，則等腰三角形的一個(gè)內(nèi)角為，但已知沒有明確此角是頂角還是底角，所以應(yīng)分兩種情況進(jìn)行分類討論．【詳解】∵等腰三角形的一個(gè)外角等于，∴等腰三角形的一個(gè)內(nèi)角為，①當(dāng)為頂角時(shí)，其他兩角都為、，②當(dāng)為底角時(shí)，其他兩角為、，所以等腰三角形的底角可以是，也可以是．故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)和三角形的內(nèi)角和定理；在解決與等腰三角形有關(guān)的問題，由于等腰所具有的特殊性質(zhì)，很多題目在已知不明確的情況下，要進(jìn)行分類討論，才能正確解題，因此，解決和等腰三角形有關(guān)的邊角問題時(shí)，要仔細(xì)認(rèn)真，避免出錯(cuò)．例4．（2023·四川綿陽·八年級(jí)?？茧A段練習(xí)）等腰三角形一腰上的高與另一腰的夾角為，則等腰三角形的頂角度數(shù)為．【答案】或【分析】要注意分類討論，等腰三角形可能是銳角三角形也可能是鈍角三角形，然后根據(jù)三角形的內(nèi)角和以及三角形的外角的性質(zhì)即可求解．【詳解】解：若三角形為銳角三角形時(shí)，如圖，，，為高，即，此時(shí)，∴，若三角形為鈍角三角形時(shí)，如圖，，，為高，即，此時(shí)，綜上，等腰三角形的頂角的度數(shù)為或．故答案為：或．【點(diǎn)睛】本題主要考查了等腰三角形的性質(zhì)，三角形外角的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，解題的關(guān)鍵是根據(jù)題意畫出圖形，并注意分類討論．例5．（2023·山東濱州·八年級(jí)?？计谀┪覀兎Q網(wǎng)格線的交點(diǎn)為格點(diǎn)．如圖，在6行列的長(zhǎng)方形網(wǎng)格中有兩個(gè)格點(diǎn)A、B，連接，在網(wǎng)格中再找一個(gè)格點(diǎn)C，使得是等腰直角三角形，則滿足條件的格點(diǎn)C的個(gè)數(shù)是（

）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】C【分析】根據(jù)題意，結(jié)合圖形，分兩種情況討論：①為等腰直角底邊；②為等腰直角其中的一條腰．【詳解】如圖：分情況討論：①為等腰直角底邊時(shí)，符合條件的格點(diǎn)C點(diǎn)有2個(gè)；②為等腰直角其中的一條腰時(shí)，符合條件的格點(diǎn)C點(diǎn)有3個(gè)．故共有5個(gè)點(diǎn)，故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)和判定；解答本題關(guān)鍵是根據(jù)題意，畫出符合實(shí)際條件的圖形，數(shù)形結(jié)合的思想是數(shù)學(xué)解題中很重要的解題思想．例6．（2023·北京·八年級(jí)期中）Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=2，以AC為一邊．在△ABC外部作等腰直角三角形ACD，則線段BD的長(zhǎng)為____．【答案】或或．【分析】根據(jù)題意分類討論，①，②，③，分別作出圖形，再結(jié)合已知條件勾股定理求解即可．【詳解】解：①如圖，當(dāng)時(shí)，是等腰直角三角形，,，；②如圖，當(dāng)時(shí)，過點(diǎn)作，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，，，是等腰直角三角形，，，又，是等腰直角三角形，，在中，，，在中，，在中，；③如圖，當(dāng)時(shí)，，是等腰直角三角形，，在中，，在中，．綜上所述，的長(zhǎng)為：或或．故答案為：或或．【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理，等腰三角形的性質(zhì)，分類討論是解題的關(guān)鍵．例7．（2023·福建南平·八年級(jí)校考期中）已知△ABC中，如果過頂點(diǎn)B的一條直線把這個(gè)三角形分割成兩個(gè)三角形，其中一個(gè)為等腰三角形，另一個(gè)為直角三角形，則稱這條直線為△ABC的關(guān)于點(diǎn)B的二分割線．如圖1，Rt△ABC中，顯然直線BD是△ABC的關(guān)于點(diǎn)B的二分割線．在圖2的△ABC中，∠ABC＝110°，若直線BD是△ABC的關(guān)于點(diǎn)B的二分割線，則∠CDB的度數(shù)是．【答案】40°或90°或140°【分析】分三種情況討論，由等腰三角形的性質(zhì)和直角三角形的性質(zhì)可求解．【詳解】解：①如圖，當(dāng)∠DBC=90°，AD=BD時(shí)，直線BD是△ABC的關(guān)于點(diǎn)B的二分割線，∵∠ABC=110°，∠DBC=90°，∴∠ABD=20°，∵AD=BD，∴∠A=∠ABD=20°，∴∠CDB=∠A+∠ABD=40°；②如圖，當(dāng)∠BDC=90°，AD=BD時(shí)，直線BD是△ABC的關(guān)于點(diǎn)B的二分割線，或當(dāng)∠BDC=90°，CD=BD時(shí)，直線BD是△ABC的關(guān)于點(diǎn)B的二分割線，；③如圖，當(dāng)∠ABD=90°，CD=BD時(shí)，直線BD是△ABC的關(guān)于點(diǎn)B的二分割線，∵∠ABC=110°，∠ABD=90°，∴∠DBC=20°，∵CD=BD，∴∠C=∠DBC=20°，∴∠BDC=140°．綜上所述：當(dāng)∠BDC的度數(shù)是40°或90°或140°時(shí)，直線BD是△ABC的關(guān)于點(diǎn)B的二分割線．【點(diǎn)睛】本題是三角形綜合題，考查了等腰三角形的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，理解二分割線是本題關(guān)鍵．例8．（2023·四川成都·八年級(jí)校考期中）如圖，A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，，點(diǎn)P是x軸上一點(diǎn)，且為等腰三角形，則點(diǎn)P的坐標(biāo)為．【答案】或或或【分析】根據(jù)等腰三角形的判定，分①AB=BP；②AB=AP；③AP=BP三種情況求解即可．【詳解】∵為等腰三角形，①當(dāng)時(shí)，如圖①，∵，∴，∵，∴或；②當(dāng)時(shí)，如圖②作于C點(diǎn)，則，∵，∴，∵，∴，∴．③當(dāng)時(shí)，如圖③，作，∴，∴．綜上所述：點(diǎn)P的坐標(biāo)為或或或，故答案為：或或或．【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理、坐標(biāo)與圖形，熟練掌握等腰三角形的判定與性質(zhì)，靈活運(yùn)用分類討論的思想解決問題是解答的關(guān)鍵．例9．（2023·江蘇蘇州·八年級(jí)?？计谥校┤鐖D，中，，，，若點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，以每秒的速度沿折線運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為秒（）．

(1)若點(diǎn)在上，且滿足，求此時(shí)的值；(2)若點(diǎn)恰好在的角平分線上，求此時(shí)的值：(3)在運(yùn)動(dòng)過程中，當(dāng)為何值時(shí)，為等腰三角形．【答案】(1)(2)或(3)或或或3【分析】（1）設(shè)，則，利用勾股定理求出，在中，依據(jù)，列方程求解即可得到的值．（2）如圖所示，當(dāng)點(diǎn)P在上時(shí)，過作于，設(shè)，則，在中，依據(jù)，列方程求解即可得到的值．當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)，點(diǎn)也在的角平分線上，此時(shí)，．（3）分四種情況：當(dāng)在上且時(shí)，當(dāng)在上且時(shí)，當(dāng)在上且時(shí)，當(dāng)在上且時(shí)，分別依據(jù)等腰三角形的性質(zhì)即可得到的值．【詳解】（1）解：如圖，設(shè)，則，

，，，，在中，由勾股定理得，，解得，，；（2）解：如圖所示，當(dāng)點(diǎn)P在上時(shí)，過作于，

平分，，，，在與中，，，，設(shè)，則，在中，由勾股定理得，，解得，，，當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)，點(diǎn)也在的角平分線上，此時(shí)，．綜上所述，點(diǎn)恰好在的角平分線上，的值為或．（3）解：分四種情況：①如圖，當(dāng)在上且時(shí)，∴，

∵，，，，是的中點(diǎn)，即，．②如圖，當(dāng)在上且時(shí)，∴．③如圖，當(dāng)在上且時(shí)，過作于，∵，∴，在中，由勾股定理得，，．④如圖，當(dāng)在上且時(shí)，則，．綜上所述，當(dāng)?shù)闹禐榛蚧蚧?時(shí)，為等腰三角形．【點(diǎn)睛】本題屬于三角形綜合題，考查了角平分線的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)以及勾股定理的綜合運(yùn)用．畫出圖形，利用分類討論的思想是解第（3）題的關(guān)鍵．例10．（2022春·四川成都·八年級(jí)?？计谥校┤鐖D，在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，經(jīng)過的直線交x軸正半軸于點(diǎn)B，交y軸于點(diǎn)，直線交x軸負(fù)半軸于點(diǎn)D，若的面積為

(1)求直線的表達(dá)式和點(diǎn)D的坐標(biāo)；(2)橫坐標(biāo)為m的點(diǎn)P在線段上（不與點(diǎn)重合），過點(diǎn)P作x軸的平行線交于點(diǎn)E，設(shè)的長(zhǎng)為，求y與m之間的函數(shù)關(guān)系式并直接寫出相應(yīng)的m取值范圍；(3)在（2）的條件下，在x軸上是否存在點(diǎn)F，使為等腰直角三角形？若存在求出點(diǎn)F的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．【答案】(1)(2)(3)存在，點(diǎn)F的坐標(biāo)為或或【分析】（1）據(jù)直線交軸正半軸于點(diǎn)，交軸于點(diǎn)，，設(shè)直線解析式為，把的坐標(biāo)代入求得的值，從而求得的坐標(biāo)，再根據(jù)三角形的面積建立方程求出的值，求出的值，從而求出點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）直接根據(jù)待定系數(shù)法求出的解析式，先根據(jù)的坐標(biāo)求出直線的解析式，將點(diǎn)的橫坐標(biāo)代入直線的解析式，求出的縱坐標(biāo)，將的縱坐標(biāo)代入直線的解析式就可以求出的橫坐標(biāo)，根據(jù)線段的和差關(guān)系就可以求出結(jié)論；（3）要使為等腰直角三角形，分三種情況分別以點(diǎn)為直角頂點(diǎn)，據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)求出（2）中的值，就可以求出點(diǎn)的坐標(biāo)．【詳解】（1）解：，∴設(shè)直線的解析式為，∵直線經(jīng)過，，，∴直線的解析式為，，，的面積為，，，，，直線的解析式為（2）解：設(shè)直線的解析式為，，∴，解得．∴直線的解析式為；∵點(diǎn)P在上，且橫坐標(biāo)為m，，軸，∴E的縱坐標(biāo)為，代入得，，解得，，的長(zhǎng)；即，；（3）解：在x軸上存在點(diǎn)F，使為等腰直角三角形，①當(dāng)時(shí)，如圖①，有，，，，解得，此時(shí)；②當(dāng)時(shí)，如圖②，有，的長(zhǎng)等于點(diǎn)E的縱坐標(biāo)，，，解得：，∴點(diǎn)E的橫坐標(biāo)為，∴；③當(dāng)時(shí)，如圖③，有，．，．作，點(diǎn)R為垂足，，，．同理，．∵點(diǎn)R與點(diǎn)E的縱坐標(biāo)相同，，∴，解得：，，∴點(diǎn)F的橫坐標(biāo)為，．綜上，在x軸上存在點(diǎn)F使為等腰直角三角形，點(diǎn)F的坐標(biāo)為或或．

【點(diǎn)睛】本題考查了等腰直角三角形的性質(zhì)，三角形的面積公式的運(yùn)用，待定系數(shù)法求一次函數(shù)的解析式模型2、直角三角形中的分類討論模型【知識(shí)儲(chǔ)備】凡是涉及直角三角形問題，優(yōu)先考慮直角頂點(diǎn)（或斜邊）分類討論，再利用直角三角形的性質(zhì)或勾股定理解題即可。1）無圖需分類討論：①已知邊長(zhǎng)度無法確定是直角邊還是斜邊時(shí)要分類討論；②已知無法確定是哪個(gè)角是直角時(shí)要分類討論（常見與折疊、旋轉(zhuǎn)中出現(xiàn)的直角三角形）。2）“兩定一動(dòng)”直角三角形存在性問題：（常見于與坐標(biāo)系綜合出題，后續(xù)會(huì)專題進(jìn)行講解）即：如圖：已知，兩點(diǎn)是定點(diǎn)，找一點(diǎn)構(gòu)成方法：兩線一圓具體圖解：①當(dāng)時(shí)，過點(diǎn)作的垂線，點(diǎn)在該垂線上（除外）②當(dāng)時(shí)，過點(diǎn)作的垂線，點(diǎn)在該垂線上（除外）。③當(dāng)時(shí)，以為直徑作圓，點(diǎn)在該圓上（，除外）。例1．（2023春·河南安陽·八年級(jí)校考期末）若三角形的兩邊長(zhǎng)為4和5，要使其成為直角三角形，則第三邊的長(zhǎng)為．【答案】3或/或3【分析】根據(jù)勾股定理逆定理：如果三角形兩條邊的平方和等于第三邊的平方，那么這個(gè)三角形就是直角三角形，再分5為斜邊或第三邊為斜邊兩種情況考慮，即可求出第三邊．【詳解】解：當(dāng)較大的數(shù)5為斜邊時(shí)，第三邊，當(dāng)?shù)谌厼樾边厱r(shí)，第三邊，故答案為：3或．【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理的逆定理，即如果三角形兩條邊的平方和等于第三邊的平方，那么這個(gè)三角形就是直角三角形，熟練掌握勾股定理的逆定理及分情況考慮是解題關(guān)鍵．例2．（2023春·河南鄭州·八年級(jí)校考期中）如圖，是的角平分線，是的高，，，點(diǎn)F為邊上一點(diǎn)，當(dāng)為直角三角形時(shí)，則的度數(shù)為．【答案】或【分析】分情況討論：①當(dāng)時(shí)，②當(dāng)時(shí)，根據(jù)角平分線和三角形高線的定義分別求解即可．【詳解】解：如圖所示，當(dāng)時(shí)，∵是的角平分線，，∴，∴中，；如圖，當(dāng)時(shí)，同理可得，∵，∴，∴，綜上所述：的度數(shù)為或．故答案為：或．【點(diǎn)睛】本題考查角平分線和高線的定義，三角形外角的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，掌握分類討論的思想是解題的關(guān)鍵．例3．（2022秋·河南新鄉(xiāng)·八年級(jí)?？计谀┤鐖D，在4×4的正方形網(wǎng)格中有兩個(gè)格點(diǎn)A，B，連接AB，在網(wǎng)格中再找一個(gè)格點(diǎn)C，使得△ABC是等腰直角三角形，則滿足條件的格點(diǎn)C的個(gè)數(shù)是（

）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【答案】C【分析】根據(jù)題意，結(jié)合圖形，分兩種情況討論：①AB為等腰直角△ABC底邊；②AB為等腰直角△ABC其中的一條腰．【詳解】解：如圖：分情況討論：①AB為等腰直角△ABC底邊時(shí)，符合條件的C點(diǎn)有0個(gè)；②AB為等腰直角△ABC其中的一條腰時(shí)，符合條件的C點(diǎn)有3個(gè)．∵，，∴，，，∴，，都是等腰直角三角形，故共有3個(gè)點(diǎn)，故選C．【點(diǎn)睛】本題考查了等腰直角三角形的判定；解答本題關(guān)鍵是根據(jù)題意，畫出符合實(shí)際條件的圖形，數(shù)形結(jié)合的思想是數(shù)學(xué)解題中很重要的解題思想．例4．（2022·江西九江·八年級(jí)期末）已知在平面直角坐標(biāo)系中A（﹣2，0）、B（2，0）、C（0，2）．點(diǎn)P在x軸上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)A、B、C三點(diǎn)中任意兩點(diǎn)構(gòu)成直角三角形時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)為________．【答案】（0，0），（，0），（﹣2，0）【分析】因?yàn)辄c(diǎn)P、A、B在x軸上，所以P、A、B三點(diǎn)不能構(gòu)成三角形．再分Rt△PAC和Tt△PBC兩種情況進(jìn)行分析即可．【詳解】解：∵點(diǎn)P、A、B在x軸上，∴P、A、B三點(diǎn)不能構(gòu)成三角形．設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（m，0）．當(dāng)△PAC為直角三角形時(shí)，①∠APC＝90°，易知點(diǎn)P在原點(diǎn)處坐標(biāo)為（0，0）；②∠ACP＝90°時(shí)，如圖，∵∠ACP＝90°∴AC2＋PC2＝AP2，，解得，m＝，∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（，0）；當(dāng)△PBC為直角三角形時(shí)，①∠BPC＝90°，易知點(diǎn)P在原點(diǎn)處坐標(biāo)為（0，0）；②∠BCP＝90°時(shí)，∵∠BCP＝90°，CO⊥PB，∴PO＝BO＝2，∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（﹣2，0）．綜上所述點(diǎn)P的坐標(biāo)為（0，0），（，0），（﹣2，0）．【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理及其逆定理，涉及到了數(shù)形結(jié)合和分類討論思想．解題的關(guān)鍵是不重復(fù)不遺漏的進(jìn)行分類．例5．（2022秋·遼寧丹東·八年級(jí)校考期中）在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝4，以AC為一邊，在△ABC外作等腰直角△ACD，則線段BD的長(zhǎng)為．【答案】或或【分析】根據(jù)題意分類討論，①，②，③，分別作出圖形，再結(jié)合已知條件勾股定理求解即可．【詳解】①如圖，當(dāng)時(shí)，是等腰直角三角形，,②如圖，當(dāng)時(shí)，過點(diǎn)作，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，，是等腰直角三角形，，又是等腰直角三角形在中，在中，在中，③如圖，當(dāng)時(shí)，是等腰直角三角形，，在中，在中，綜上所述，的長(zhǎng)為：或或【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理，等腰三角形的性質(zhì)，分類討論是解題的關(guān)鍵．例6.（2023春·山東東營(yíng)·八年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，長(zhǎng)方形中，，，點(diǎn)為射線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，若與關(guān)于直線對(duì)稱，若為直角三角形，則的長(zhǎng)為．【答案】2或18【分析】分點(diǎn)在線段上，點(diǎn)在線段的延長(zhǎng)線上兩種情況討論，由題意可得，，，，根據(jù)勾股定理和全等三角形的性質(zhì)，可求的長(zhǎng)．【詳解】解：若點(diǎn)在線段上，若與△關(guān)于直線對(duì)稱，，，，△為直角三角形，，，，，，點(diǎn)，點(diǎn)，點(diǎn)共線，在中，．，，若點(diǎn)在線段的延長(zhǎng)線上，且點(diǎn)在上，若與△關(guān)于直線對(duì)稱，，，在△中，，，，，且，，△，，，故答案為：2或18．【點(diǎn)睛】本題考查了矩形的性質(zhì)，軸對(duì)稱的性質(zhì)，勾股定理，全等三角形的判定和性質(zhì)，熟練運(yùn)用這些性質(zhì)解決問題是本題的關(guān)鍵例7.（2023秋·浙江紹興·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在中，，，點(diǎn)D是邊上的點(diǎn)，將沿折疊得到，線段與邊交于點(diǎn)F．若為直角，則的長(zhǎng)是．【答案】/【分析】過點(diǎn)A作于點(diǎn)G，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可得，從而得到，進(jìn)而得到，再由折疊的性質(zhì)可得，從而得到，進(jìn)而得到，即可求解．【詳解】解：如圖，過點(diǎn)A作于點(diǎn)G，∵，，∴，∴，∴，∵將沿折疊得到，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∴．故答案為：【點(diǎn)睛】本題主要考查了等腰三角形的判定和性質(zhì)，圖形的折疊問題，直角三角形的性質(zhì)，勾股定理等知識(shí)，熟練掌握等腰三角形的判定和性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，勾股定理是解題的關(guān)鍵．例8．（2023秋·河南商丘·八年級(jí)校考期中）如圖，中，cm，現(xiàn)有兩點(diǎn)M、N分別從點(diǎn)A、點(diǎn)B同時(shí)出發(fā)，沿三角形的邊運(yùn)動(dòng)，已知點(diǎn)M的速度為，點(diǎn)N的速度為．當(dāng)點(diǎn)N第一次到達(dá)B點(diǎn)時(shí)，M、N同時(shí)停止運(yùn)動(dòng)．

(1)點(diǎn)M、N運(yùn)動(dòng)幾秒后，M、N兩點(diǎn)重合？(2)點(diǎn)M、N運(yùn)動(dòng)幾秒后，可得到等邊三角形？(3)當(dāng)點(diǎn)M、N在邊上運(yùn)動(dòng)時(shí)，能否得到以為底邊的等腰三角形？如存在，請(qǐng)求出此時(shí)M、N運(yùn)動(dòng)的時(shí)間．(4)點(diǎn)M、N運(yùn)動(dòng)______________________后，可得到直角三角形．【答案】(1)6(2)2(3)存在，此時(shí)M、N運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為8秒(4)或或或9秒【分析】（1）首先設(shè)點(diǎn)M、N運(yùn)動(dòng)x秒后，M、N兩點(diǎn)重合，表示出M、N的運(yùn)動(dòng)路程，N的運(yùn)動(dòng)路程比M的運(yùn)動(dòng)路程多6cm，列出方程求解即可；（2）根據(jù)題意設(shè)點(diǎn)M、N運(yùn)動(dòng)t秒后，可得到等邊三角形，然后表示出，的長(zhǎng)，由于，所以只要，就是等邊三角形；（3）首先假設(shè)是等腰三角形，可證出，可得，設(shè)出運(yùn)動(dòng)時(shí)間，表示出、、的長(zhǎng)，列出方程，可解出未知數(shù)的值；（4）分點(diǎn)N在、、上運(yùn)動(dòng)的三種情況，再分別就是和，列方程求解可得．【詳解】（1）解：設(shè)點(diǎn)M、N運(yùn)動(dòng)x秒后，M、N兩點(diǎn)重合，則，解得：，即當(dāng)點(diǎn)M、N運(yùn)動(dòng)6秒后，M、N兩點(diǎn)重合；（2）解：設(shè)點(diǎn)M、N運(yùn)動(dòng)t秒后，可得到等邊三角形，如圖1，，，，，∵，當(dāng)時(shí)，是等邊三角形，∴，解得，∴點(diǎn)M、N運(yùn)動(dòng)2秒后，可得到等邊三角形；（3）解：當(dāng)點(diǎn)M、N在邊上運(yùn)動(dòng)時(shí)，可以得到以為底邊的等腰三角形，由（1）知6秒時(shí)M、N兩點(diǎn)重合，恰好在C處，如圖2，假設(shè)是等腰三角形，∴，∴，∴，∵，∴是等邊三角形，∴，在和中，∵，，，∴（AAS），∴，∴，解得，符合題意，所以假設(shè)成立，當(dāng)點(diǎn)M、N運(yùn)動(dòng)8秒時(shí)，可以得到以為底邊的等腰三角形；（4）解：當(dāng)點(diǎn)N在上運(yùn)動(dòng)時(shí)，如圖3，，，，，若，∵，，∴，∵，∴，即，解得；如圖4，若，由得，解得；當(dāng)點(diǎn)N在上運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)M也在上，此時(shí)A、M、N不能構(gòu)成三角形；當(dāng)點(diǎn)N在上運(yùn)動(dòng)時(shí)，如圖5，當(dāng)點(diǎn)N位于中點(diǎn)處時(shí)，由是等邊三角形知，即是直角三角形，則，解得；如圖6，當(dāng)點(diǎn)M位于中點(diǎn)處時(shí)，由是等邊直角三角形知，即是直角三角形，則；綜上，當(dāng)，，，9時(shí)，可得到直角三角形．【點(diǎn)睛】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)及判定和直角三角形的定義與性質(zhì)，關(guān)鍵是根據(jù)題意設(shè)出未知數(shù)，理清線段之間的數(shù)量關(guān)系．例9．（2023秋·河南漯河·八年級(jí)?？计谀┤鐖D，等邊三角形中，D、E分別是、邊上的點(diǎn)，，與相交于點(diǎn)P，，Q是射線上的動(dòng)點(diǎn)．

(1)圖中共有__________組全等，請(qǐng)選擇其中的一組全等予以證明．(2)若為直角三角形，求的值．【答案】(1)2，證明見解析(2)2或8【分析】（1）利用等邊三角形的性質(zhì)，以及證明即可；（2）分為直角，兩種情況，結(jié)合30度角的直角三角形的性質(zhì)，進(jìn)行求解即可．【詳解】（1）解：圖中有2組全等，；證明：∵等邊三角形，∴，∵，∴，在和中，，∴；在和中，，∴；（2）解：∵，∴，∴，∵Q是射線上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)為直角三角形時(shí)：①當(dāng)時(shí)，如圖，則：，∴；

②當(dāng)時(shí)，如圖，則：，∴．綜上：．【點(diǎn)睛】本題考查等邊三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，含30度角的直角三角形．熟練掌握等邊三角形的性質(zhì)，證明三角形全等，是解題的關(guān)鍵．例10．（2023·四川成都·八年級(jí)校考期末）如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（4，4），點(diǎn)B的坐標(biāo)為（0，2）．（1）求直線AB的解析式；（2）以點(diǎn)A為直角頂點(diǎn)作∠CAD=90°，射線AC交x軸的負(fù)半軸于點(diǎn)C，射線AD交y軸的負(fù)半軸于點(diǎn)D．當(dāng)∠CAD繞著點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)時(shí)，OCOD的值是否發(fā)生變化？若不變，求出它的值；若變化，求出它的變化范圍；（3）如圖2，點(diǎn)M（4，0）和N（2，0）是x軸上的兩個(gè)點(diǎn)，點(diǎn)P是直線AB上一點(diǎn)．當(dāng)△PMN是直角三角形時(shí)，請(qǐng)求出滿足條件的所有點(diǎn)P的坐標(biāo)．【答案】（1）直線AB的解析式為：y=x+2；（2）（2）不變．理由見解析；（3）點(diǎn)P的坐標(biāo)為（4，4）或（2，1）或（，+2）或（，+2）．【分析】（1）設(shè)直線AB解析式為y=kx+b，把A與B坐標(biāo)代入列出方程組，求出方程組的解得到k與b的值，即可確定出直線AB解析式；（2）當(dāng)∠CAD繞著點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)時(shí)，OCOD的值不變，理由為：過A作AE垂直于x軸，AF垂直于y軸，利用同角的余角相等得到一對(duì)角相等，求出A的坐標(biāo)得到AE=AF，再由已知直角相等，利用ASA得到三角形AEC與三角形AFD全等，利用全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等得到EC=FD，進(jìn)而求出OCOD的值即可；（3）分三種情況考慮：①當(dāng)M為直角頂點(diǎn)時(shí)；②N為直角頂點(diǎn)時(shí)；③P為直角頂點(diǎn)時(shí)；分別求出P坐標(biāo)即可．【詳解】（1）設(shè)直線AB的解析式為：y=kx+b（k≠0），∵點(diǎn)A（4，4），點(diǎn)B（0，2）在直線AB上，∴，解得：．∴直線AB的解析式為：y=x+2；（2）不變．理由如下：過點(diǎn)A分別作x軸，y軸的垂線，垂足分別為E，F(xiàn)（如答圖1），可得∠AEC=∠AFD=90°，又∵∠BOC=90°，∴∠EAF=90°，即∠DAE+∠DAF=90°，∵∠CAD=90°，即∠DAE+∠CAE=90°，∴∠CAE=∠DAF，∵A（4，4），∴OE=AF=AE=OF=4，在△AEC和△AFD中，，∴△AEC≌△AFD（ASA），∴EC=FD，∴OCOD=（OE+EC）（FDOF）=OE+OF=8，則OCOD的值不發(fā)生變化，值為8；（3）①當(dāng)M為直角頂點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為4，∵點(diǎn)P在直線AB上，將x=4代入y=x+2得，y=4，∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為P（4，4）；②當(dāng)N為直角頂點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為2，∵點(diǎn)P在直線AB上，將x=2代入y=x+2得，y=1，∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為P（2，1）；③當(dāng)P為直角頂點(diǎn)時(shí)，∵點(diǎn)P在直線AB上，可設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（x，x+2），則MP2=（x+4）2+（x+2）2，NP2=（x2）2+（x+2）2，在Rt△PMN中，MP2+NP2=MN2，MN=6，∴（x+4）2+（x+2）2+（x2）2+（x+2）2=62，解得：x1=，x2=，∴P（，+2）或（，+2），綜上所述，滿足條件的所有點(diǎn)P的坐標(biāo)為（4，4）或（2，1）或（，+2）或（，+2）．【點(diǎn)睛】此題屬于一次函數(shù)綜合題，涉及的知識(shí)有：待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式，坐標(biāo)與圖形性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，利用了分類討論的思想，熟練掌握性質(zhì)及定理是解本題的關(guān)鍵．課后專項(xiàng)訓(xùn)練1．（2023·福建龍巖·八年級(jí)校考期中）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)，，若點(diǎn)C在x軸上，且為等腰三角形，則滿足條件的點(diǎn)C的個(gè)數(shù)為（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】D【分析】分為、，三種情況畫圖判斷即可．【詳解】解：如圖所示：當(dāng)時(shí)，符合條件的點(diǎn)有2個(gè)；當(dāng)時(shí)，符合條件的點(diǎn)有1個(gè)；當(dāng)，即當(dāng)點(diǎn)C在的垂直平分線上時(shí)，符合條件的點(diǎn)有一個(gè)．符合條件的點(diǎn)C有4個(gè)．故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形的定義，線段垂直平分線的性質(zhì)，熟練掌握線段垂直平分線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．2．（2022·山東青島·統(tǒng)考二模）在平面直角坐標(biāo)系中，為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)的坐標(biāo)為，若為軸上一點(diǎn)，且使得為等腰三角形，則滿足條件的點(diǎn)有（

）A．2個(gè) B．3個(gè) C．4個(gè) D．5個(gè)【答案】A【分析】分別以O(shè)、A為圓心，以O(shè)A長(zhǎng)為半徑作圓，與x軸交點(diǎn)即為所求點(diǎn)M，再作線段OA的垂直平分線，與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)也是所求的點(diǎn)M，作出圖形，利用數(shù)形結(jié)合求解即可．【詳解】解：如圖，滿足條件的點(diǎn)M的個(gè)數(shù)為2．故選A．【點(diǎn)睛】本題考查了坐標(biāo)與圖形的性質(zhì)及等腰三角形的判定；對(duì)于底和腰不等的等腰三角形，若條件中沒有明確哪邊是底哪邊是腰時(shí)，應(yīng)在符合三角形三邊關(guān)系的前提下分類討論．3．（2022·安徽淮北·九年級(jí)階段練習(xí)）如圖，在中，，，．若點(diǎn)P為直線BC上一點(diǎn)，且為等腰三角形，則符合條件的點(diǎn)P有（

）．A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【答案】D【分析】根據(jù)勾股定理求出AB，分為三種情況：①AB＝AP，②AB＝BP，③AP＝BP，得出即可．【詳解】解：在△ABC中，∠B=90°，BC＝8，AC＝6，由勾股定理的：，如圖，以點(diǎn)A為圓心，以10為半徑畫圓，交直線BC于兩點(diǎn)，即點(diǎn)B和點(diǎn)P1；以點(diǎn)B為圓心，以10為半徑畫圓，交直線BC于兩點(diǎn)，即點(diǎn)P2和P3；作線段AB的垂直平分線交直線BC與一點(diǎn)，即點(diǎn)P4；即共4個(gè)點(diǎn)，故選：D【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形的判定和勾股定理的應(yīng)用，關(guān)鍵要用分類討論的思想．4．（2022·四川廣元·八年級(jí)期末）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠CAB=36°，以C為原點(diǎn)，C所在直線為y軸，BC所在直線為x軸建立平面直角坐標(biāo)系，在坐標(biāo)軸上取一點(diǎn)M使△MAB為等腰三角形，符合條件的M點(diǎn)有（

）A．6個(gè)B．7個(gè)C．8個(gè)D．9個(gè)【答案】C【分析】根據(jù)等腰三角形的判定，“在同一三角形中，有兩條邊相等的三角形是等腰三角形（簡(jiǎn)稱：在同一三角形中，等邊對(duì)等角）”分三種情況解答即可．【詳解】解：如圖，①以A為圓心，AB為半徑畫圓，交直線AC有二點(diǎn)M1，M2，交BC有一點(diǎn)M3，（此時(shí)AB＝AM）；②以B為圓心，BA為半徑畫圓，交直線BC有二點(diǎn)M5，M4，交AC有一點(diǎn)M6（此時(shí)BM＝BA）．③AB的垂直平分線交AC一點(diǎn)M7（MA＝MB），交直線BC于點(diǎn)M8；∴符合條件的點(diǎn)有8個(gè)．故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形的判定；構(gòu)造等腰三角形時(shí)本著截取相同的線段就能作出等腰三角形來，思考要全面，做到不重不漏．5．（2023·四川涼山·八年級(jí)校考期中）等腰三角形一腰上的高與另一腰的夾角是，則底角是．【答案】或【分析】等腰三角形的高相對(duì)于三角形有三種位置關(guān)系：三角形的內(nèi)部、三角形的邊上、三角形的外部，根據(jù)條件可知第二種高在三角形的邊上這種情況不成立，因而應(yīng)分兩種情況進(jìn)行討論即可得解．【詳解】解：①當(dāng)高在三角形內(nèi)部時(shí)，如圖：∵，∴，∵，∴，∴；②當(dāng)高在三角形外部時(shí)，如圖：∵，∴，∵，∴，∴．∴綜上所述，底角是或．故答案是：或．【點(diǎn)睛】本題主要考查了與三角形的高有關(guān)的計(jì)算、直角三角形兩銳角互余、三角形外角的性質(zhì)三角形的分類以及等腰三角形的性質(zhì)，熟記三角形的高相對(duì)于三角形的三種位置關(guān)系是解題的關(guān)鍵．6．（2023春·四川達(dá)州·八年級(jí)校考階段練習(xí)）我們規(guī)定：等腰三角形的頂角與一個(gè)底角度數(shù)的比值叫作等腰三角形的“特征值”，記作k．若，則該等腰三角形的頂角為度．【答案】90【分析】根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和三角形的內(nèi)角和即可得到結(jié)論．【詳解】解：∵，∴設(shè)頂角，則底角，∴，∴，∴該等腰三角形的頂角為，故答案為：90．【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，掌握等腰三角形的兩底角相等是解題的關(guān)鍵．7．（2022·河南平頂山·八年級(jí)期末）如圖，中，，，的平分線與線段交于點(diǎn)，且有，點(diǎn)是線段上的動(dòng)點(diǎn)（與A、不重合），連接，當(dāng)是等腰三角形時(shí)，則的長(zhǎng)為___________．【答案】4或【分析】現(xiàn)根據(jù)已知條件得出，再根據(jù)BC=6，分別求出AB、AC、BD、AD、CD的長(zhǎng)，然后分類討論即可．【詳解】解：∵ABC中BD平分ABC，∴CBD=ABD，∵BD=AD，∴ABD=BAD，∴CBD=ABD=BAD，∵ACB=90°，∴CBD+ABD+BAD=90°，∴CBD=ABD=BAD=30°,∵BC=6，∴AB=2BC=12，AC=，∵，且BC=6，∴BD=2CD，∵BD2=CD2+BC2，即(2CD)2=CD2+62，∴CD=，BD==AD；（1）當(dāng)BE=BD=時(shí)，如圖：（2）當(dāng)BE=DE，如圖：∵BE=DE，∴EDB=ABD=30°，∴AED=EDB+ABD=60°，∴ADE=180°AEDA=180°60°30°=90°，∴ADE為直角三角形，又∵且AD=，∴DE=4，∴BE=4；（3）當(dāng)BD=DE，時(shí)，點(diǎn)E與A重合，不符合題意；綜上所述，BE為4或．故答案為：4或．【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)和判定，勾股定理的應(yīng)用，30°直角三角形的性質(zhì)的應(yīng)用，按三種不同的情況進(jìn)行討論是解題的關(guān)鍵．8．（2023·上虞市初二月考）在如圖所示的三角形中，∠A＝30°，點(diǎn)P和點(diǎn)Q分別是邊AC和BC上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，分別連接BP和PQ，把△ABC分割成三個(gè)三角形△ABP，△BPQ，△P