-2024學(xué)年上海市婁山中學(xué)九年級（上）期中數(shù)學(xué)試卷一、選擇題（本大題共6題，每題4分，滿分24分）1．（4分）下列各組線段中，成比例線段的組是A．，，， B．，，， C．，，， D．，，，2．（4分）下列命題一定正確的是A．兩個等腰三角形一定相似 B．兩個等邊三角形一定相似 C．兩個直角三角形一定相似 D．兩個含有角的三角形一定相似3．（4分）在中，，，，那么邊的長為A． B． C． D．4．（4分）下列命題中，錯誤的是A．如果或，那么 B．如果、為實(shí)數(shù)，那么 C．如果為實(shí)數(shù)），那么 D．如果或，那么5．（4分）已知：在中，，，，則的值A(chǔ)．只有1個 B．可以有2個 C．可以有3個 D．無數(shù)個6．（4分）如圖，在正方形中，點(diǎn)為邊上的一個動點(diǎn)（與點(diǎn)、不重合），，交對角線于點(diǎn)，交對角線于點(diǎn)，交邊于點(diǎn)，那么下列結(jié)論中，錯誤的是A． B． C． D．二、填空題（本大題共12題，每題4分，共48分）7．（4分）已知，那么．8．（4分）在比例尺是的地圖上，歡樂谷和迪士尼之間的距離是，那么歡樂谷和迪士尼的實(shí)際距離是．9．（4分）已知點(diǎn)是線段上的一點(diǎn)，且，如果，那么的長是．10．（4分）在中，若中線和中線相交于，則．11．（4分）如果為單位向量，與方向相反，且長度是3，那么（用表示）．12．（4分）如圖，，已知，，則．13．（4分）如圖，已知在梯形中，，分別交邊、于點(diǎn)、，如果，，，那么的長．14．（4分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)有一點(diǎn)，那么與軸正半軸的夾角的正弦值．15．（4分）如圖，在△中，邊，高，四邊形是內(nèi)接矩形，交于，設(shè)，則矩形的面積與的函數(shù)關(guān)系式．16．（4分）如圖，土坡是一個梯形，，斜坡長130米，坡度是，沿走上平臺，可以坐電梯直達(dá)矩形觀景臺頂部，在點(diǎn)觀察坡底點(diǎn)，俯角是，則觀景臺的垂直高度為米．17．（4分）如圖，在矩形中，，點(diǎn)在邊上，把沿直線翻折，使點(diǎn)落在對角線上的點(diǎn)處，聯(lián)結(jié)．如果點(diǎn)、、在同一條直線上，那么的長是．18．（4分）在每個小正方形的邊長都為1的網(wǎng)格圖形中，每個小正方形的頂點(diǎn)稱為格點(diǎn)，頂點(diǎn)都是格點(diǎn)的三角形稱為格點(diǎn)三角形．如圖，已知是的網(wǎng)格圖形中的格點(diǎn)三角形，則該圖中所有與相似的格點(diǎn)三角形中，最大的三角形面積是．三、解答題（本大題共7題，滿分78分）19．（10分）計(jì)算：．20．（10分）如圖，已知在△中，，，點(diǎn)是邊上的一點(diǎn)，．（1）試用和表示，即；（2）在圖中分別作出向量在、方向上的分向量，并分別用、表示（寫出結(jié)論，不要求寫作法）．21．（10分）如圖，已知在中，點(diǎn)、、分別在邊、、上，，，如果，的面積是20，求的面積．22．（10分）如圖，已知在中，，，點(diǎn)為邊延長線上一點(diǎn)，，聯(lián)結(jié)．求的正切值．23．（10分）某次臺風(fēng)來襲時，一棵筆直且垂直于地面的大樹被刮傾斜后在處折斷倒在地上，樹的頂部恰好接觸到地面處，測得，，米，求這棵大樹的高．（結(jié)果精確到0.1米）（參考數(shù)據(jù)：，，，24．（14分）如圖，已知在△中，，平分，，點(diǎn)在線段的延長線上，聯(lián)結(jié)，交于點(diǎn)，且．（1）求證：；（2）求證：．25．（14分）已知：如圖1，在梯形中，，，，，，點(diǎn)在邊上，且，，交于點(diǎn)，點(diǎn)、分別在射線和線段上．（1）求線段的長；（2）如圖2，當(dāng)點(diǎn)在線段上，且，設(shè)，，求關(guān)于的函數(shù)解析式，并寫出它的定義域；（3）如果為等腰直角三角形，求線段的長．

參考答案一、選擇題（本大題共6題，每題4分，滿分24分）1．（4分）下列各組線段中，成比例線段的組是A．，，， B．，，， C．，，， D．，，，解：、，不成比例線段；、，不成比例線段；、，成比例線段；、，不成比例線段．故選：．2．（4分）下列命題一定正確的是A．兩個等腰三角形一定相似 B．兩個等邊三角形一定相似 C．兩個直角三角形一定相似 D．兩個含有角的三角形一定相似解：、等腰三角形的角度不一定相等，各邊也不一定對應(yīng)成比例，故不正確；、兩個等邊三角形的各角度都為，所以兩個三角形相似，故正確；、兩個直角三角形只有一個直角可以確定相等，其他兩個角度未知，故不正確；、兩個含角的三角形只有一對角可以確定相等，其他兩個角度未知故不正確；故選：．3．（4分）在中，，，，那么邊的長為A． B． C． D．解：，，，則，．故選：．4．（4分）下列命題中，錯誤的是A．如果或，那么 B．如果、為實(shí)數(shù)，那么 C．如果為實(shí)數(shù)），那么 D．如果或，那么解：由題意，或，，選項(xiàng)正確，不符合題意．、為實(shí)數(shù)，，選項(xiàng)正確，不符合題意．為實(shí)數(shù)），，錯誤，時，不成立，選項(xiàng)錯誤，符合題意．或，，選項(xiàng)正確，不符合題意．故選：．5．（4分）已知：在中，，，，則的值A(chǔ)．只有1個 B．可以有2個 C．可以有3個 D．無數(shù)個解：如圖，過作于，在中，，，，，，，或，故選：．6．（4分）如圖，在正方形中，點(diǎn)為邊上的一個動點(diǎn)（與點(diǎn)、不重合），，交對角線于點(diǎn)，交對角線于點(diǎn)，交邊于點(diǎn)，那么下列結(jié)論中，錯誤的是A． B． C． D．解：四邊形是正方形，，，，，故選項(xiàng)不合題意；，，，故選項(xiàng)不合題意；，，，，又，，故選項(xiàng)不合題意；，，，與不相似，故選項(xiàng)符合題意；故選：．二、填空題（本大題共12題，每題4分，共48分）7．（4分）已知，那么．解：，，；故答案為：．8．（4分）在比例尺是的地圖上，歡樂谷和迪士尼之間的距離是，那么歡樂谷和迪士尼的實(shí)際距離是45．解：設(shè)歡樂谷與迪士尼的實(shí)際距離為，地圖上的距離與實(shí)際距離的比等于比例尺，，，歡樂谷與迪士尼的實(shí)際距離為，即．故答案為：45．9．（4分）已知點(diǎn)是線段上的一點(diǎn)，且，如果，那么的長是．解：設(shè)的距離為，則，根據(jù)題意列方式：，，整理得：，，，，根據(jù)求根公式，解出，（舍去）．故答案為：．10．（4分）在中，若中線和中線相交于，則．解：、分別是三角形的中線，是的重心，，，．故答案為．11．（4分）如果為單位向量，與方向相反，且長度是3，那么（用表示）．解：的長度為3，向量是單位向量，，與單位向量的方向相反，．故答案為：．12．（4分）如圖，，已知，，則26．解：，，，，，，，，，故答案為：26．13．（4分）如圖，已知在梯形中，，分別交邊、于點(diǎn)、，如果，，，那么的長4．解：過點(diǎn)作交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，，，四邊形是平行四邊形，四邊形是平行四邊形，．．，．，△△，，，，．故答案為：4．14．（4分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)有一點(diǎn)，那么與軸正半軸的夾角的正弦值．解：過點(diǎn)作軸于點(diǎn)，，，，，與軸正半軸所夾的角的正弦值為：．故答案為：．15．（4分）如圖，在△中，邊，高，四邊形是內(nèi)接矩形，交于，設(shè)，則矩形的面積與的函數(shù)關(guān)系式．解：四邊形是內(nèi)接矩形，，，四邊形為矩形，，，，，，△△，，即，整理得：，，即．故答案為：．16．（4分）如圖，土坡是一個梯形，，斜坡長130米，坡度是，沿走上平臺，可以坐電梯直達(dá)矩形觀景臺頂部，在點(diǎn)觀察坡底點(diǎn)，俯角是，則觀景臺的垂直高度為70米．解：如圖，斜坡長130米，坡度是，，設(shè)米，米，，，解得或（舍去），米，米，，，，米，（米．故答案為：70．17．（4分）如圖，在矩形中，，點(diǎn)在邊上，把沿直線翻折，使點(diǎn)落在對角線上的點(diǎn)處，聯(lián)結(jié)．如果點(diǎn)、、在同一條直線上，那么的長是．解：四邊形是矩形，，，，，設(shè)，則，把沿直線翻折，使點(diǎn)落在對角線上的點(diǎn)處，，，，，，，，，，（舍去），，，故答案為：．18．（4分）在每個小正方形的邊長都為1的網(wǎng)格圖形中，每個小正方形的頂點(diǎn)稱為格點(diǎn)，頂點(diǎn)都是格點(diǎn)的三角形稱為格點(diǎn)三角形．如圖，已知是的網(wǎng)格圖形中的格點(diǎn)三角形，則該圖中所有與相似的格點(diǎn)三角形中，最大的三角形面積是4.5．解：圖中所有與相似的格點(diǎn)三角形中，最大的△如圖所示：，故答案為4.5．三、解答題（本大題共7題，滿分78分）19．（10分）計(jì)算：．解：原式．20．（10分）如圖，已知在△中，，，點(diǎn)是邊上的一點(diǎn)，．（1）試用和表示，即；（2）在圖中分別作出向量在、方向上的分向量，并分別用、表示（寫出結(jié)論，不要求寫作法）．解：（1），，，故答案為：；（2）如圖，，即為所求．，，，，同理可得，．21．（10分）如圖，已知在中，點(diǎn)、、分別在邊、、上，，，如果，的面積是20，求的面積．解：，，，，，，，四邊形是平行四邊形，，，，．22．（10分）如圖，已知在中，，，點(diǎn)為邊延長線上一點(diǎn)，，聯(lián)結(jié)．求的正切值．解：過點(diǎn)作于，在中解得，則，，23．（10分）某次臺風(fēng)來襲時，一棵筆直且垂直于地面的大樹被刮傾斜后在處折斷倒在地上，樹的頂部恰好接觸到地面處，測得，，米，求這棵大樹的高．（結(jié)果精確到0.1米）（參考數(shù)據(jù)：，，，解：過點(diǎn)作于點(diǎn)，則．在中，，，，，，在中，，，，（米．答：這棵大樹原來的高度約是9.2米．24．（14分）如圖，已知在△中，，平分，，點(diǎn)在線段的延長線上，聯(lián)結(jié)，交于點(diǎn)，且．（1）求證：；（2）求證：．【解答】證明：（1），，，，，，△△，，．（2），，，，△△，，，，△△，，，，．25．（14分）已知：如圖1，在梯形中，，，，，，點(diǎn)在邊上，且，，交于點(diǎn)，點(diǎn)、分別在射線和線段上．（1）求線段的長；（2）如圖2，當(dāng)點(diǎn)在線段上，且，設(shè)，，求關(guān)于的函數(shù)解析式，并寫出