第21章重積分§1二重積分的概念一、平面圖形的面積xoy內(nèi)面積外面積思考題:二、二重積分的定義及其存在性解法:

類似定積分解決問(wèn)題的思想1.曲頂柱體的體積

給定曲頂柱體:底：

xoy

面上的有界閉區(qū)域D頂:

連續(xù)曲面?zhèn)让妫阂訢

的邊界為準(zhǔn)線,母線平行于z軸的柱面求其體積.1)“分割〞用任意曲線網(wǎng)分D為n個(gè)區(qū)域以它們?yōu)榈装亚斨w分為n

個(gè)小曲頂柱體2)“近似代替〞在每個(gè)3)“求和〞那么中任取一點(diǎn)4)“取極限〞其中積分和定義2I是一個(gè)確定的數(shù)，在D上可積,在D上的二重積分.記作積分和積分域被積函數(shù)積分表達(dá)式面積元素是定義在可求面積的有界閉區(qū)域D上的函數(shù),

定義三、二重積分的性質(zhì)(k

為常數(shù))那么4.假設(shè)在D上5.特別,由于6.設(shè)D的面積為

,那么有7.(二重積分的中值定理)在閉區(qū)域D上

為D的面積,那么至少存在一點(diǎn)使連續(xù),簡(jiǎn)單直接應(yīng)用

作業(yè)：P217,1,3,5.§2直角坐標(biāo)系下二重積分的計(jì)算那么稱D為X–型區(qū)域。假設(shè)D為Y–型區(qū)域那么說(shuō)明:(1)假設(shè)積分區(qū)域既是X–型區(qū)域又是Y–型區(qū)域,為計(jì)算方便,可選擇積分序,必要時(shí)還可以交換積分序.那么有(2)假設(shè)積分域較復(fù)雜,可將它分成假設(shè)干X-型域或Y-型域,那么例2.

計(jì)算其中D是直線y＝1,x＝2,及y＝x

所圍的閉區(qū)域.解法1.將D看作X–型區(qū)域,那么解法2.將D看作Y–型區(qū)域,那么練習(xí)2.計(jì)算其中D是拋物線所圍成的閉區(qū)域.解:為計(jì)算簡(jiǎn)便,先對(duì)x后對(duì)y積分,及直線那么補(bǔ)充：交換積分順序.解積分區(qū)域如圖解原式作業(yè)：P222,1(1)(3),2(1)(3),3(1)(3),4.§3格林公式、曲線積分與路線的無(wú)關(guān)性區(qū)域D分類單連通區(qū)域多連通區(qū)域域D邊界L的正向:域的內(nèi)部靠左定理1.

設(shè)區(qū)域D

是由分段光滑正向曲線L圍成,那么有(格林公式)函數(shù)在D上具有連續(xù)一階偏導(dǎo)數(shù),一、格林公式證明:1)假設(shè)D既是X-型區(qū)域,又是Y-型區(qū)域,且那么即同理可證①②①、②兩式相加得:2)假設(shè)D不滿足以上條件,那么可通過(guò)加輔助線將其分割為有限個(gè)上述形式的區(qū)域,如圖證畢格林公式例1.設(shè)L是一條分段光滑的閉曲線,證明證:

令那么利用格林公式,得例2.

計(jì)算其中L為上半從O(0,0)到A(4,0).解:為了使用格林公式,添加輔助線段它與L

所圍原式圓周區(qū)域?yàn)镈,那么格林公式推論:正向閉曲線L所圍區(qū)域D的面積例如,橢圓所圍面積練習(xí)2.

計(jì)算其中D是以O(shè)(0,0),A(1,1),

B(0,1)為頂點(diǎn)的三角形閉域.解:

令,那么利用格林公式,有例3.

計(jì)算其中L為一無(wú)重點(diǎn)且不過(guò)原點(diǎn)的分段光滑正向閉曲線.解:

令設(shè)L所圍區(qū)域?yàn)镈,由格林公式知在D內(nèi)作圓周取逆時(shí)針?lè)较?,對(duì)區(qū)域應(yīng)用格記L和

lˉ

所圍的區(qū)域?yàn)榱止?得作業(yè)：P231,1(1)(2),2(1),8.二、曲線積分與路線無(wú)關(guān)的等價(jià)條件定理21.12

設(shè)D是單連通域

,在D內(nèi)具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù),(1)沿D中任意光滑閉曲線

L,有(2)對(duì)D中任一分段光滑曲線

L,曲線積分(3)(4)在D內(nèi)每一點(diǎn)都有與路徑無(wú)關(guān),只與起止點(diǎn)有關(guān).函數(shù)那么以下幾個(gè)條件等價(jià):在D內(nèi)是某一函數(shù)的全微分,即思考？注:積分與路徑無(wú)關(guān)時(shí),曲線積分可記為證明(1)(2)設(shè)為D內(nèi)任意兩條由A到B

的有向分段光滑曲線,那么(根據(jù)條件(1))證明(2)(3)在D內(nèi)取定點(diǎn)因曲線積分那么同理可證和任一點(diǎn)B(x,y),與路徑無(wú)關(guān),故有函數(shù)證明

(3)(4)設(shè)存在函數(shù)

u(x,y)使得那么P,Q在D內(nèi)具有連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù),從而在D內(nèi)每一點(diǎn)都有證明

(4)(1)設(shè)L為D中任一分段光滑閉曲線,(如圖),所以利用格林公式,得所圍區(qū)域?yàn)樽C畢說(shuō)明:根據(jù)定理2,假設(shè)在某區(qū)域內(nèi)那么2)求曲線積分時(shí),可利用格林公式簡(jiǎn)化計(jì)算,3)可用積分法求du=

Pdx+Qdy在域D內(nèi)的原函數(shù):及動(dòng)點(diǎn)或那么原函數(shù)為假設(shè)積分路徑不是閉曲線,可添加輔助線;取定點(diǎn)1)計(jì)算曲線積分時(shí),可選擇方便的積分路徑;例4.

驗(yàn)證是某個(gè)函數(shù)的全微分,并求出這個(gè)函數(shù).證:

設(shè)那么由定理2可知,存在函數(shù)u(x,y)使。。例5.

驗(yàn)證在右半平面(x>0)內(nèi)存在原函數(shù),并求出它.證:

令那么由定理2

可知存在原函數(shù)或作業(yè)：P231,5(2)(3),6(1).§4二重積分的變換公式一、二重積分的變量變換公式練習(xí)1.

計(jì)算其中D是x

軸y

軸和直線所圍成的閉域.解:令那么例2.計(jì)算由所圍成的閉區(qū)域D

的面積S.解:D的面積令練習(xí)2.求由所圍成的閉區(qū)域D

的面積S.解:令那么解:令那么作業(yè)：P242,3(2),4,6(1).二、用極坐標(biāo)計(jì)算二重積分1、直角坐標(biāo)轉(zhuǎn)化為極坐標(biāo).2、化累次積分那么設(shè)設(shè)那么例4.計(jì)算其中解:

在極坐標(biāo)系下原式的原函數(shù)不是初等函數(shù),故此題無(wú)法用直角由于故坐標(biāo)計(jì)算.解例5.

求球體被圓柱面所截得的(含在柱面內(nèi)的)立體的體積.解:

設(shè)由對(duì)稱性可知練習(xí)3.

求其中D

為由圓所圍成的及直線平面閉區(qū)域.解：例6.

試計(jì)算橢球體解:由對(duì)稱性令那么D的原象為的體積V.作業(yè)：P242,1(2),2(1)(3),5(2).“第21章重積分〞的習(xí)題課〔1〕一、內(nèi)容要求1、了解二重積分的概念和性質(zhì)2、掌握利用直角坐標(biāo)系、極坐標(biāo)系計(jì)算二重積分的方法，會(huì)利用坐標(biāo)變換計(jì)算二重積分3、掌握格林公式及應(yīng)用，會(huì)曲線積分與路線無(wú)關(guān)的條件及應(yīng)用4、了解三重積分的概念和性質(zhì)5、掌握利用直角坐標(biāo)系、柱面坐標(biāo)系和球坐標(biāo)系計(jì)算三重積分的方法，會(huì)利用坐標(biāo)變換計(jì)算三重積分6、會(huì)重積分在幾何、物理上的簡(jiǎn)單應(yīng)用1.求以下二重積分二、練習(xí)解:

證明:2.提示:

左端積分區(qū)域如圖,交換積分順序即可證得.3.

求球體被圓柱面所截得的(含在柱面內(nèi)的)立體的體積.解:

設(shè)由對(duì)稱性可知4.

計(jì)算二重積分其中:(1)D為圓域(2)D由直線解:(1)

利用對(duì)稱性.圍成.(2)

積分域如圖:將D分為添加輔助線利用對(duì)稱性,得5.計(jì)算二重積分在第一象限局部.解:(1)兩局部,那么其中D為圓域把與D分成作輔助線(2)提示:兩局部說(shuō)明:假設(shè)不用對(duì)稱性,需分塊積分以去掉絕對(duì)值符號(hào).作輔助線將D分成6.

計(jì)算其中L

是沿逆時(shí)針?lè)较蛞栽c(diǎn)為中心