拓展五：導(dǎo)數(shù)中的隱零點(diǎn)問(wèn)題（精講）目錄第一部分：知識(shí)點(diǎn)精準(zhǔn)記憶第二部分：典型例題剖析第一部分：知識(shí)點(diǎn)精準(zhǔn)記憶第一部分：知識(shí)點(diǎn)精準(zhǔn)記憶1、不含參函數(shù)的隱零點(diǎn)問(wèn)題已知不含參函數(shù)，導(dǎo)函數(shù)方程的根存在，卻無(wú)法求出，設(shè)方程的根為，則有：①關(guān)系式成立；②注意確定的合適范圍.2、含參函數(shù)的隱零點(diǎn)問(wèn)題已知含參函數(shù)，其中為參數(shù)，導(dǎo)函數(shù)方程的根存在，卻無(wú)法求出，設(shè)方程的根為，則有①有關(guān)系式成立，該關(guān)系式給出了的關(guān)系；②注意確定的合適范圍，往往和的范圍有關(guān).3、函數(shù)零點(diǎn)的存在性（1）函數(shù)零點(diǎn)存在性定理：設(shè)函數(shù)在閉區(qū)間上連續(xù)，且，那么在開區(qū)間內(nèi)至少有函數(shù)的一個(gè)零點(diǎn)，即至少有一點(diǎn)，使得.①若，則的零點(diǎn)不一定只有一個(gè)，可以有多個(gè)②若，那么在不一定有零點(diǎn)③若在有零點(diǎn)，則不一定必須異號(hào)(3)若在上是單調(diào)函數(shù)且連續(xù)，則在的零點(diǎn)唯一.第二部分：第二部分：典型例題剖析1．（2022·湖北·高三階段練習(xí)）已知函數(shù)，其中實(shí)數(shù).(1)當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的單調(diào)性；(2)若函數(shù)有唯一零點(diǎn)，求的值.【答案】(1)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減(2)（1），令在上單調(diào)遞增，即在上單調(diào)遞增令，則，令，則在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增（2）令在上單調(diào)遞增，即在上單調(diào)遞增設(shè)，則當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞增當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞減所以所以，即所以又，所以存在唯一的，使得，即（1）當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞減當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增所以，又因?yàn)楹瘮?shù)有唯一的零點(diǎn)，所以，即（2）由（1）（2）得即令又因?yàn)樗院瘮?shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增而，則代入（1）得綜上：2．（2022·北京朝陽(yáng)·高三階段練習(xí)）己知函數(shù)．(1)若不等式恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；(2)判斷函數(shù)的零點(diǎn)的個(gè)數(shù)【答案】(1)；(2)當(dāng)或時(shí)，函數(shù)無(wú)零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，函數(shù)有一個(gè)零點(diǎn)．（1）因?yàn)椋?，①若，因?yàn)?，所有，所以，不符合題意；②若，由，令，因?yàn)?，設(shè)方程兩根為，則，不妨設(shè)，當(dāng)時(shí)，在上，，單調(diào)遞增，，不合題意；所以，故，即，這時(shí)，在上，，單調(diào)遞減，所以恒成立；綜上，a的取值范圍是；（2）當(dāng)時(shí)，因?yàn)?，所有，所以，函?shù)無(wú)零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，（i）若，則，即，由（1）知，在上單調(diào)遞增，上單調(diào)遞減，，由，可知,又，所以存在使，所以當(dāng)時(shí)，有一個(gè)零點(diǎn)；（ii）若，即時(shí)，則在上單調(diào)遞減，，無(wú)零點(diǎn)；綜上，當(dāng)或時(shí)，函數(shù)無(wú)零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，函數(shù)有一個(gè)零點(diǎn)．3．（2022·河南省駐馬店高級(jí)中學(xué)模擬預(yù)測(cè)（理））已知，R．(1)討論函數(shù)的單調(diào)性；(2)若對(duì)任意的，恒成立，求整數(shù)a的最小值．【答案】(1)分類討論見(jiàn)解析(2)2（1）由題意得的定義域?yàn)椋?，①時(shí)，，在內(nèi)單調(diào)遞減，②時(shí)，令得或（舍）當(dāng)，單調(diào)遞減當(dāng)，，單調(diào)遞增．（2）由題意得，整理得，因?yàn)?，所以原命題等價(jià)于在區(qū)間內(nèi)恒成立，令，則，令，易知在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增，又，，故存在唯一的，使得，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；故當(dāng)時(shí)，函數(shù)有極大值，也即為最大值，，故，又，故，又a為整數(shù)，故a的最小整數(shù)值為4．（2022·四川·模擬預(yù)測(cè)（理））已知函數(shù).（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；（2）若函數(shù)在上恒成立，求證：.（注：）【答案】（1）當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞；當(dāng)時(shí)，數(shù)在上單調(diào)遞增；在上單調(diào)遞減；（2）證明見(jiàn)解析.【詳解】（1）由題知函數(shù)的定義域?yàn)?，①?dāng)時(shí)，，此時(shí)函數(shù)在上單調(diào)遞；②當(dāng)時(shí)，令，得；令，得，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增；在上單調(diào)遞減；綜上，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞；當(dāng)時(shí)，數(shù)在上單調(diào)遞增；在上單調(diào)遞減；（2）由題意，在上恒成立，可化為在上恒成立，設(shè)，則設(shè)，則，所以在上單調(diào)遞增，又，所以方程有且只有一個(gè)實(shí)根，且，，所以在上，，單調(diào)遞減，在上，，單調(diào)遞增，所以函數(shù)的最小值為，從而.5．（2022·四川省宜賓市第四中學(xué)校模擬預(yù)測(cè)（文））已知函數(shù).(1)若有兩個(gè)極值點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；(2)當(dāng)時(shí)，證明：.【答案】(1)(2)證明見(jiàn)解析（1）的定義域?yàn)?，，由題意在上有兩解，即，即有兩解.令，即的圖象與直線有兩個(gè)交點(diǎn).，得，當(dāng)時(shí)，，遞增；當(dāng)時(shí)，，遞減，，，時(shí)，；時(shí)，，，，a的取值范圍是.（2）當(dāng)時(shí)，，即證，即證，令，，令，則，當(dāng)時(shí)，，在遞增.，，存在唯一的，使得，當(dāng)時(shí)，，遞減；當(dāng)時(shí)，，遞增，.又，，，，，.6．（2022·黑龍江·哈爾濱三中模擬預(yù)測(cè)（文））已知.(1)若在區(qū)間上有且僅有一個(gè)極值點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍；(2)在（1）的條件下，證明.【答案】(1)(2)證明見(jiàn)解析(1)解：，因?yàn)樵趨^(qū)間上有且僅有一個(gè)極值點(diǎn)，所以在區(qū)間上有且僅有一個(gè)零點(diǎn)，設(shè)，當(dāng)單調(diào)遞減，因?yàn)?，故只需，所?2)解：由（1）知，在區(qū)間上有且僅有一個(gè)極值點(diǎn)，所以，即，所以所以，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以，即，證畢.7．（2022·江西師大附中三模（文））已知函數(shù)（e是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，）.(1)設(shè)的導(dǎo)函數(shù)為，試討論的單調(diào)性；(2)當(dāng)時(shí)，若是的極大值點(diǎn)，判斷并證明與大小關(guān)系.【答案】(1)答案見(jiàn)解析(2)，證明見(jiàn)解析（1）∵，∴令，則.①若，則，所以單調(diào)遞增；②若，則當(dāng)時(shí)，，所以所以單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，所以單調(diào)遞增；綜上，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增.（2）由（1）知，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；∵，且故存在兩個(gè)零點(diǎn)且.的符號(hào)及的單調(diào)性如下表所示：x+00+↗極大↘極小↗由于是的一個(gè)零點(diǎn)，故，所以于是，∵，∴所以.8．（2022·遼寧·撫順市第二中學(xué)三模）已知函數(shù)(1)當(dāng)時(shí)，證明函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)；(2)當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞減，證明【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)證明見(jiàn)解析(1)定義域?yàn)楫?dāng)時(shí)令∵時(shí)，，單調(diào)遞減，時(shí)，，單調(diào)遞增所以使此時(shí)時(shí)，，單調(diào)遞增，時(shí)，，單調(diào)遞減時(shí)，，單調(diào)遞增∴是函數(shù)的兩個(gè)極值點(diǎn)．(2)∵在上單調(diào)遞減∴恒成立∴恒成立①時(shí)，令∵，∴∴在單調(diào)遞減，∴又∵∴，∴②時(shí)，，∵，∴∴，∴又∵，∴令令，∴∴單調(diào)遞減，∵使，即時(shí)，單調(diào)遞增時(shí)，單調(diào)遞減∴∴∴，∴綜上9．（2022·河南·模擬預(yù)測(cè)（理））已知函數(shù)，.(1)若，求函數(shù)的最大值；(2)若函數(shù)的一個(gè)極值點(diǎn)為，求證：.【答案】(1)1(2)證明見(jiàn)解析(1)函數(shù)的其定義域?yàn)椋?，，所以，由，得；由，得，所以的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為，所以.(2)，則由題意知，解得，經(jīng)檢驗(yàn)，符合題意，所以，所以要證，即證.令，則.令.則在上單調(diào)遞增，因?yàn)椋?，所以，使得，即，所以?dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.所以.又因?yàn)?，即，所以，所以，即，?10．（2022·陜西·交大附中模擬預(yù)測(cè)（文））已知函數(shù)．(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；(2)若，對(duì)任意的恒成立，求m的最大值．【答案】(1)遞增區(qū)間為，遞減區(qū)間為(2)3(1)函數(shù)的定義域?yàn)?，由，令可得，?dāng)時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞增，∴函數(shù)的遞增區(qū)間為，遞減區(qū)間為．(2)當(dāng)時(shí)，不等式可化為，設(shè)，由已知可得，又，令，則，∴在上為增函數(shù)，又，，∴存在，使得，即．當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞增，∴，∴，∴m的最大值為3．11．（2022·海南·嘉積中學(xué)模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù).(1)判斷函數(shù)的單調(diào)性；(2)若對(duì)于任意的，都有，求整數(shù)的最大值.【答案】(1)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；(2)3.（1）的定義域?yàn)?，求?dǎo)得：，令，則，令，則，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.（2），，令，，則，由（1）知，在上單調(diào)遞增，且，則在區(qū)間內(nèi)存在唯一的零點(diǎn)，使，即，則當(dāng)時(shí)，，，有在上單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，，在上單調(diào)遞增，于是得，因此，，所以整數(shù)的最大值為3.12．（2022·北京·北師大實(shí)驗(yàn)中學(xué)模擬預(yù)測(cè)）設(shè)函數(shù).(1)若曲線在點(diǎn)處的切線斜率為1，求實(shí)數(shù)的值；(2)求的單調(diào)區(qū)間；(3)若，為整數(shù)，且當(dāng)時(shí)，恒成立，求的最大值.【答案】(1)(2)答案見(jiàn)解析(3)最大值為2(1)由已知條件得，在點(diǎn)處的切線斜率為，即，(2)的定義域?yàn)?，若，則，則在上單調(diào)遞增；若，由得，由得，則單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為；(3)由得，整理得，當(dāng)時(shí)，，即令，則.令，由（2）知，函數(shù)在上單調(diào)遞增，其中，，∵由零點(diǎn)存在性定理可知在上存在唯一的零點(diǎn)，即，∴在上，在上，∴在上，在上，∴在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，∴在上的最小值為，又∵，∴，即，∴，且為整數(shù)，∴的最大值.13．（2022·陜西·模擬預(yù)測(cè)（文））已知函數(shù).（1）討論的單調(diào)性；（2）當(dāng)時(shí)，設(shè)函數(shù)，若對(duì)任意的恒成立，求b的最小值.【答案】（1）單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為；（2）.【詳解】（1）因?yàn)椋?，?dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，故的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為.（2）由，因?yàn)閷?duì)任意的恒成立，對(duì)任意的恒成立，構(gòu)造函數(shù)，.∵，∴，且單調(diào)遞增，∵，，∴一定存在唯一的，使得.即，.∴在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.∴.∵，∴b的最小值為.14．（2022·四川省內(nèi)江市第六中學(xué)模擬預(yù)測(cè)（文））已知函數(shù)，其中.（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，求函