《實(shí)變函數(shù)》教學(xué)大綱課程名稱：實(shí)變函數(shù)英文名稱：FunctionsofRealVariables課程編號(hào)：F035091111學(xué)分：4總學(xué)時(shí)/課內(nèi)實(shí)踐學(xué)時(shí)：64/0課程性質(zhì)：必修課程開(kāi)課單位：數(shù)理科學(xué)與工程學(xué)院數(shù)學(xué)系基層教學(xué)組織適應(yīng)對(duì)象：信息與計(jì)算科學(xué)專業(yè)一、課程簡(jiǎn)介實(shí)變函數(shù)是信息與計(jì)算科學(xué)的重要專業(yè)核心基礎(chǔ)課之一，主要講述勒貝格積分理論。它不僅是數(shù)學(xué)分析中經(jīng)典黎曼積分的改進(jìn)與完善，更是學(xué)生進(jìn)一步學(xué)習(xí)泛函分析、概率論和偏微分方程等后繼專業(yè)課程的基礎(chǔ)。本課程的內(nèi)容主要包括：集合，點(diǎn)集，測(cè)度論，可測(cè)函數(shù)，積分論。本課程的教學(xué)以講授為主，輔以習(xí)題練習(xí)與學(xué)生自主自學(xué)。在課程中，思政元素的融入體現(xiàn)在通過(guò)數(shù)學(xué)家們的事跡，弘揚(yáng)科學(xué)精神與學(xué)術(shù)誠(chéng)信，增強(qiáng)學(xué)生的責(zé)任感與使命感。同時(shí)，結(jié)合中華優(yōu)秀傳統(tǒng)文化和現(xiàn)代科學(xué)成就，培養(yǎng)學(xué)生的文化自信?？己朔绞桨ㄆ谀┛荚嚭推綍r(shí)作業(yè)，強(qiáng)調(diào)理論理解與實(shí)際問(wèn)題解決能力的培養(yǎng)。FunctionsofRealVariablesisacorefoundationalcourseinInformationandComputationalScience,focusingprimarilyonthetheoryofLebesgueintegration.ItservesasanextensionandrefinementoftheclassicalRiemannintegralintroducedin"MathematicalAnalysis,"anditprovidestheessentialfoundationforadvancedcoursessuchasFunctionalAnalysis,ProbabilityTheory,andPartialDifferentialEquations.Themaintopicsofthiscourseincludesets,pointsets,measuretheory,measurablefunctions,andintegrationtheory.Thecourseisprimarilylecture-based,supplementedbyproblem-solvingexercisesandself-directedlearningbystudents.Theintegrationofideologicalandpoliticalelementsintothecourseisachievedbysharingthestoriesofmathematicians,promotingscientificspiritandacademicintegrity,andenhancingstudents'senseofresponsibilityandmission.Additionally,bylinkingChinesetraditionalculturewithmodernscientificachievements,thecourseaimstofosterstudents'culturalconfidence.Theassessmentincludesafinalexamandregularassignments,withanemphasisonunderstandingtheoreticalconceptsanddevelopingproblem-solvingskills.二、課程目標(biāo)1．通過(guò)實(shí)變函數(shù)的學(xué)習(xí)，培養(yǎng)學(xué)生的科學(xué)素養(yǎng)和嚴(yán)謹(jǐn)?shù)膶W(xué)術(shù)態(tài)度，增強(qiáng)對(duì)數(shù)學(xué)在科學(xué)技術(shù)及日常生活中應(yīng)用的認(rèn)識(shí)，激發(fā)探索精神與創(chuàng)新能力。2．學(xué)生將掌握實(shí)變函數(shù)的基本概念和理論，如集合論基礎(chǔ)、測(cè)度理論、可測(cè)函數(shù)與Lebesgue積分，并理解其與微積分、函數(shù)分析、概率論等其他數(shù)學(xué)分支的聯(lián)系。3．課程旨在提升學(xué)生的邏輯思維和抽象思維能力，培養(yǎng)獨(dú)立解決復(fù)雜數(shù)學(xué)問(wèn)題的能力，增強(qiáng)研究與數(shù)學(xué)表達(dá)能力。1.Thiscourseaimstocultivatestudents'scientificliteracyandrigorousacademicattitudethroughthestudyofrealfunctions,enhancingtheirunderstandingoftheapplicationofmathematicsinscience,technology,anddailylife,andinspiringexplorationandinnovation.2.Studentswillgraspfundamentalconceptsandtheoriesofrealfunctions,includingsettheoryfoundations,measuretheory,measurablefunctions,andtheLebesgueintegral,andunderstandtheirconnectionswithotherbranchesofmathematicssuchascalculus,functionalanalysis,andprobabilitytheory.3.Thecoursealsoaimstodevelopstudents'logicalandabstractthinkingskills,enhancetheirabilitytoindependentlysolvecomplexmathematicalproblems,andstrengthentheirresearchandmathematicalcommunicationabilities.三、課程目標(biāo)與畢業(yè)要求對(duì)應(yīng)關(guān)系本課程的課程目標(biāo)對(duì)信息與計(jì)算科學(xué)專業(yè)畢業(yè)要求指標(biāo)點(diǎn)的支撐情況如表1所示：表1課程目標(biāo)與畢業(yè)要求對(duì)應(yīng)關(guān)系畢業(yè)要求指標(biāo)點(diǎn)課程目標(biāo)畢業(yè)要求1：知識(shí)要求具有扎實(shí)的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)，掌握信息科學(xué)、計(jì)算科學(xué)和計(jì)算機(jī)科學(xué)的基本理論和基本知識(shí)課程目標(biāo)2畢業(yè)要求2：能力要求通過(guò)系統(tǒng)的數(shù)學(xué)思維訓(xùn)練，掌握數(shù)學(xué)科學(xué)的思想方法，具有扎實(shí)的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)和較強(qiáng)的數(shù)學(xué)語(yǔ)言表達(dá)能力課程目標(biāo)3畢業(yè)要求3：素質(zhì)要求具有正確的人生觀、價(jià)值觀和道德觀，愛(ài)國(guó)、誠(chéng)信、友善、守法，具有高度的社會(huì)責(zé)任感；具有良好的心理素質(zhì)和積極的人生態(tài)度。課程目標(biāo)1四、課程教學(xué)安排課程共有5項(xiàng)教學(xué)內(nèi)容，具體安排如下。表2：課程教學(xué)安排表序號(hào)教學(xué)內(nèi)容思政元素課堂教學(xué)學(xué)時(shí)實(shí)驗(yàn)/實(shí)踐教學(xué)學(xué)時(shí)學(xué)時(shí)小計(jì)1集合職業(yè)教育12122點(diǎn)集——12123測(cè)度論——12124可測(cè)函數(shù)認(rèn)知規(guī)律16165積分論科學(xué)精神培養(yǎng)1212合計(jì)6464教學(xué)安排1.集合教學(xué)要求：要求掌握集之間的運(yùn)算，理解集合的極限概念，了解域，掌握映射、集合基數(shù)的概念，熟悉可數(shù)集合及其性質(zhì)，熟悉不可數(shù)無(wú)窮集合及其性質(zhì)。重點(diǎn)難點(diǎn)：集合的運(yùn)算，對(duì)等與基數(shù)，可數(shù)集及其相關(guān)定理。教學(xué)內(nèi)容：集合的表示；集合的運(yùn)算；對(duì)等與基數(shù)；可數(shù)集合；不可數(shù)集合。。思政元素：引入勒貝格事跡，激勵(lì)學(xué)生刻苦鉆研。2.點(diǎn)集教學(xué)要求：要求掌握聚點(diǎn)、內(nèi)點(diǎn)、邊界點(diǎn)、孤立點(diǎn)的概念，理解Bolzano-Weierstrass定理，理解孤立集合、離散集合概念，掌握開(kāi)集、閉集、自密集、完備集、無(wú)處稠密集的概念，了解進(jìn)p-位表數(shù)法，掌握開(kāi)集、閉集、自密集、完備集、無(wú)處稠密集的構(gòu)造，熟悉Cantor集合。重點(diǎn)難點(diǎn)：內(nèi)點(diǎn)、極限點(diǎn)、開(kāi)集、閉集等拓?fù)涓拍罴捌湫再|(zhì)；康托爾集的構(gòu)造及其性質(zhì)。教學(xué)內(nèi)容：Rn中的點(diǎn)與點(diǎn)集的關(guān)系：內(nèi)點(diǎn)、聚點(diǎn)、邊界點(diǎn)等；以及點(diǎn)集：開(kāi)集、閉集、完備集、Cantor集、直線中開(kāi)（閉）集的結(jié)構(gòu)、R3.測(cè)度論教學(xué)要求：要求了解外測(cè)度概念，熟練掌握可測(cè)空間及可測(cè)集的概念，掌握集的測(cè)度理論及其性質(zhì)，掌握開(kāi)集的可測(cè)性質(zhì)，了解測(cè)度的延拓理論，掌握Lebesgue測(cè)度理論，理解乘積空間概念。重點(diǎn)難點(diǎn)：外測(cè)度；可測(cè)集及其性質(zhì)；可測(cè)集的結(jié)構(gòu)。教學(xué)內(nèi)容：外測(cè)度，可測(cè)集，可測(cè)集類，Lebesgue不可測(cè)集。4.可測(cè)函數(shù)教學(xué)要求：理解非負(fù)可測(cè)函數(shù)概念，熟練掌握可測(cè)函數(shù)的概念，了解可測(cè)函數(shù)的基本性質(zhì)，熟練掌握Egoroff定理，了解可測(cè)函數(shù)的結(jié)構(gòu)與可測(cè)函數(shù)列的收斂性，掌握依測(cè)度收斂概念，掌握用集合可測(cè)性解決函數(shù)可測(cè)性的方法。重點(diǎn)難點(diǎn)：可測(cè)函數(shù)的定義，可測(cè)函數(shù)的結(jié)構(gòu)，可測(cè)函數(shù)的各種收斂之間的關(guān)系。教學(xué)內(nèi)容：可測(cè)函數(shù)及其性質(zhì)，葉戈洛夫定理，可測(cè)函數(shù)的構(gòu)造，依測(cè)度收斂。思政元素：定理證明中的由特殊到一般或一般到特殊的認(rèn)知規(guī)律。5.積分論教學(xué)要求：理解非負(fù)函數(shù)積分的概念，理解可積函數(shù)概念，掌握可積函數(shù)性質(zhì)，了解Fubini定理，熟練掌握積分及性質(zhì)，掌握Lebesgue積分與Riemann積分的概念不同之處，了解單調(diào)函數(shù)與有界變差函數(shù)。重點(diǎn)難點(diǎn)：勒貝格積分的定義和性質(zhì)，黎曼積分和勒貝格積分的關(guān)系，富比尼定理。教學(xué)內(nèi)容：黎曼積分的局限性，勒貝格積分，非負(fù)簡(jiǎn)單函數(shù)的勒貝格積分，非負(fù)可測(cè)函數(shù)的勒貝格積分，一般可測(cè)函數(shù)的勒貝格積分，黎曼積分和勒貝格積分，勒貝格積分的幾何意義，富比尼定理。思政元素：介紹黎曼積分和勒貝格積分時(shí)，引導(dǎo)學(xué)生科學(xué)的思維方式。五、課內(nèi)實(shí)踐教學(xué)內(nèi)容及要求無(wú)六、課