專題03平面向量與三角形“四心”A組基礎(chǔ)鞏固1．（2022·福建三明·高三期末）已知△ABC中，，，點O是△ABC的外心，則（）A．－ B．－ C． D．【答案】C【解析】【分析】由△ABC為等腰直角三角形，得出，結(jié)合數(shù)量積公式計算即可.【詳解】，即△ABC為等腰直角三角形，即點O是△ABC的外心，點O是的中點故選：C2．（2022·全國·高三專題練習(xí)（文））我國東漢末數(shù)學(xué)家趙爽在《周髀算經(jīng)》中利用一副“弦圖”給出了勾股定理的證明，后人稱其為“趙爽弦圖”，它是由四個全等的直角三角形與一個小正方形拼成的一個大正方形，如圖所示．在“趙爽弦圖”中，若，，，則（）A． B．C． D．【答案】C【解析】【分析】利用平面向量的加法法則和數(shù)乘向量可求解．【詳解】解：因為，所以即，所以，即.故選：C3．（2021·寧夏·銀川一中高三階段練習(xí)（理））中，a?b?c分別是BC?AC?AB的長度，若，則O是的（）A．外心 B．內(nèi)心 C．重心 D．垂心【答案】B【解析】【分析】，因為，故得到，，變形得到，故得到在的角平分線上，同理在的角平分線上，進而得到答案.【詳解】在的角平分線上，同理在的角平分線上，點為三角形的角平分線的交點故點是三角形的內(nèi)心.故選：B.4．（2021·全國·模擬預(yù)測）在中，D為邊BC上的一點，H為的垂心，，則（）A．2019 B．2020 C．2021 D．2022【答案】C【解析】【分析】令BC，AB邊上的高分別為AE，CF，利用向量共線及向量數(shù)量積可得，再借助面積法及正弦定理計算可得即可得解.【詳解】設(shè)BC，AB邊上的高分別為AE，CF，則AE與CF交點為H，如圖，由B，C，D三點共線可得：，于是有，則，在中，，則，在中，由正弦定理得，則，在中，由正弦定理有，于是得，因此，，所以2021.故選：C5．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知平面向量，，，滿足，且，則的最小值為（）A． B． C． D．【答案】B【解析】【分析】根據(jù)向量數(shù)量積的夾角公式可得，設(shè)，，，，，，根據(jù)數(shù)量積的坐標表示可得點的軌跡為圓，由幾何意義可知：的最小值為減去半徑即可求解.【詳解】因為，所以，因為，所以不妨設(shè)，，，，，，則，，因為，所以，化簡為：，所以對應(yīng)的點是以為圓心，半徑為的圓，所以的最小值為，故選：B.6．（2021·新疆·莎車縣第一中學(xué)高二階段練習(xí)）已知，是兩個互相垂直的單位向量，且，，則對任意的正實數(shù)的最小值是（）A．2 B． C．4 D．【答案】B【解析】【分析】根據(jù)給定條件利用向量模的計算公式得出關(guān)于t的函數(shù)，再借助均值不等式求解即得.【詳解】因，是兩個互相垂直的單位向量，則，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時取等號，則所以當(dāng)時，的最小值是.故選：B7．（2021·黑龍江·哈爾濱三中高三階段練習(xí)（理））在中，，，，為的外心，則（）A．5 B．2 C． D．【答案】D【解析】【分析】由已知得是的中點，，再利用向量的數(shù)量積公式即可得解.【詳解】在中，，，，又為的外心，是的中點，故選：D8．（2021·安徽·合肥一中高三階段練習(xí)（理））點P是菱形內(nèi)部一點，若，則的面積與的面積的比值是（）A．6 B．8 C．12 D．15【答案】A【解析】【分析】根據(jù)向量關(guān)系可得，即可表示出面積關(guān)系.【詳解】如圖，設(shè)中點為，中點為，因為，即，則，即，則，所以的面積與的面積的比值是6.故選：A.9．（2021·山東菏澤·高三期中）已知向量滿足與垂直，則的最小值為（）A． B． C．1 D．3【答案】C【解析】【分析】向量垂直則數(shù)量積為零，由此求出，求，利用平方法轉(zhuǎn)化為數(shù)量積進行計算．【詳解】由與垂直，得，則，所以1，所以當(dāng)時，的最小值為故選：C10．（2021·浙江·蘭溪市厚仁中學(xué)高二期中）如圖，在矩形中，，，點在以點為圓心且與相切的圓上，.若，則的值為（）A． B． C． D．【答案】B【解析】【分析】求出圓的半徑，然后以點為坐標原點，、所在直線分別為、軸建立平面直角坐標系，寫出各點的坐標，利用平面向量的坐標運算求出、的值，即可得解.【詳解】設(shè)圓的半徑為，則，以點為坐標原點，、所在直線分別為、軸建立如下圖所示的平面直角坐標系，則、、、，，，，由，得，所以，，解得，因此，.故選：B.11．（2021·江西省崇義中學(xué)高一期中）已知△ABC的內(nèi)角A?B?C所對的邊分別為a?b?c，下列四個命題中，不正確的命題是（）A．若，則一定是等腰三角形B．若，則是等腰或直角三角形C．若，則一定是等腰三角形D．若，且，則是等邊三角形【答案】C【解析】【分析】A．利用正弦定理以及兩角和的正弦公式進行化簡并判斷；B．利用正弦定理以及兩角和差的正弦公式進行化簡并判斷；C．先進行切化弦，然后利用正弦定理進行化簡并判斷；D．根據(jù)條件先求解出，然后利用正弦定理以及三角恒等變換計算出的值，從而判斷出結(jié)果.【詳解】A．因為，所以，即所以，所以，所以，所以為等腰三角形，故正確；B．因為，所以，所以，所以，所以，所以，所以或，所以為等腰或直角三角形，故正確；C．因為，所以，所以，所以，所以，所以或，所以為等腰或直角三角形，故錯誤；D．因為，所以，所以或（舍），所以，又因為，所以且，所以，所以，所以，所以，所以，所以，所以為等邊三角形，故正確.故選：C12．（2022·全國·）已知是平面上的一定點，是平面上不共線的三個動點，點滿足，則動點的軌跡一定通過的（）A．重心 B．外心 C．垂心 D．內(nèi)心【答案】C【解析】【分析】根據(jù)得，由即可求解.【詳解】解：，所以，動點在的高線上，動點的軌跡一定通過的垂心，故選：C【點睛】考查用向量的數(shù)量積證明向量垂直，進一步證明直線垂直，基礎(chǔ)題.13．（2022·全國·）已知是平面上的一定點，，，是平面上不共線的三個動點，若動點滿足，，則點的軌跡一定通過的（）A．內(nèi)心 B．外心C．重心 D．垂心【答案】C【解析】【分析】取的中點，由已知條件可知動點滿足，，易得，則點三點共線，進而得到點的軌跡一定通過的重心.【詳解】解：設(shè)為的中點，則，則，即，三點共線，又因為為的中點，所以是邊的中線，所以點的軌跡一定通過的重心.故選：C.14．（2021·上?！ぃ┦瞧矫嫔弦欢c，是平面上不共線的三個點，動點滿足，，則點的軌跡一定經(jīng)過的（）A．外心 B．內(nèi)心 C．重心 D．垂心【答案】B【解析】【分析】由于分別表示向量方向上的單位向量，所以的方向與的角平分線一致，由已知條件可得與共線，由此可得結(jié)論【詳解】因為分別表示向量方向上的單位向量，所以的方向與的角平分線一致，又因為，所以，所以向量的方向與的角平分線一致所以點的軌跡一定經(jīng)過的內(nèi)心．故選：B．15．（2010·湖北夷陵·（理））已知A、B、C是平面上不共線的三點，O為△ABC的外心，動點P滿足，則點P的軌跡一定過△ABC的（）A．內(nèi)心 B．垂心 C．重心 D．AC邊的中點【答案】C【解析】【分析】設(shè)△ABC的重心為G，則，結(jié)合題設(shè)，利用平面向量的運算法則可得，即G、P、C三點共線，從而可得結(jié)果.【詳解】設(shè)△ABC的重心為G，∵，∴，∴，∴G、P、C三點共線，故選C．【點睛】向量的運算有兩種方法，一是幾何運算往往結(jié)合平面幾何知識和三角函數(shù)知識解答，運算法則是：（１）平行四邊形法則（平行四邊形的對角線分別是兩向量的和與差）；（２）三角形法則（兩箭頭間向量是差，箭頭與箭尾間向量是和）；二是坐標運算：建立坐標系轉(zhuǎn)化為解析幾何問題解答（求最值與范圍問題，往往利用坐標運算比較簡單）．16．（2020·湖北隨州·）已知O是平面上一點，，A、B、C是平面上不共線的三個點，點O滿足，則O點一定是△ABC的（）A．外心 B．內(nèi)心 C．重心 D．垂心【答案】B【解析】由所給等式利用數(shù)量積的定義可得，推出O點為的角平分線上的點，同理O點為的角平分線上的點，即可判斷.【詳解】，，即，，O點為的角平分線上的點，同理可得O點為的角平分線上的點，所以O(shè)點為△ABC角平分線的交點，O點是一定是△ABC的內(nèi)心.故選：B【點睛】本題考查向量的數(shù)量積的定義及運算律、三角形內(nèi)心的概念，屬于中檔題.17．（2022·四川西昌·高二期末（理））在平面上有及內(nèi)一點O滿足關(guān)系式：即稱為經(jīng)典的“奔馳定理”，若的三邊為a，b，c，現(xiàn)有則O為的（）A．外心 B．內(nèi)心 C．重心 D．垂心【答案】B【解析】【分析】利用三角形面積公式，推出點O到三邊距離相等?！驹斀狻坑淈cO到AB、BC、CA的距離分別為，，，，因為，則，即，又因為，所以，所以點P是△ABC的內(nèi)心.故選：B18．（2019·河南南陽·高三期中（理））奔馳定理：已知是內(nèi)的一點，，，的面積分別為，，，則．“奔馳定理”是平面向量中一個非常優(yōu)美的結(jié)論，因為這個定理對應(yīng)的圖形與“奔馳”轎車（Mercedesbenz）的logo很相似，故形象地稱其為“奔馳定理”若是銳角內(nèi)的一點，，，是的三個內(nèi)角，且點滿足，則必有（）A．B．C．D．【答案】C【解析】【分析】利用已知條件得到為垂心，再根據(jù)四邊形內(nèi)角為及對頂角相等，得到，再根據(jù)數(shù)量積的定義、投影的定義、比例關(guān)系得到，進而求出的值，最后再結(jié)合“奔馳定理”得到答案.【詳解】如圖，因為，所以，同理，，所以為的垂心。因為四邊形的對角互補，所以，．同理，，，．，．又．由奔馳定理得.故選C．【點睛】本題考查平面向量新定義，考查邏輯推理能力和運算求解能力，求解過程中要注意連比式子的變形運用，屬于難題.19．（2020·江西臨川·模擬預(yù)測（理））梅賽德斯—奔馳（Mercedes–Benz）創(chuàng)立于1900年，是世界上最成功的高檔汽車品牌之一，其經(jīng)典的“三叉星”商標象征著陸上、水上和空中的機械化.已知該商標由1個圓形和6個全等的三角形組成（如圖），點為圓心，，若在圓內(nèi)部任取一點，則此點取自陰影部分的概率為（）A． B． C． D．【答案】D【解析】先由正弦定理及三角形面積公式求出陰影部分面積，再結(jié)合幾何概型中的面積型求概率即可.【詳解】解:由圖可知:,,,不妨設(shè),在中,由正弦定理可得,則,則陰影部分的面積為,則在圓內(nèi)部任取一點，則此點取自陰影部分的概率為,故選:D.【點睛】本題考查了正弦定理及三角形面積公式，重點考查了幾何概型中的面積型，屬中檔題.20．（2022·江西景德鎮(zhèn)·模擬預(yù)測（文））已知，是兩個單位向量，設(shè)，且滿足，若，則_________.【答案】【解析】【分析】根據(jù)題意作出草圖，利用平面幾何的性質(zhì)，可證，再根據(jù)，可得，再利用，可得，的夾角，再根據(jù)，利用數(shù)量積公式即可求出.【詳解】根據(jù)題意，作出如下草圖，令，，因為，由平行四邊形法則，可得，所以，因為，所以，因為所以，所以因為，所以，所以，所以，所以即，所以，又，所以，即所以平行四邊形為菱形，設(shè)，即向量，的夾角為，因為，所以，即，所以，即，所以，即，所以.故答案為：.21．（2020·四川·遂寧中學(xué)高一階段練習(xí)）已知是平面上的一定點，，，是平面上不共線的三個點，動點滿足，，則動點的軌跡一定通過的________(填序號）．①內(nèi)心②垂心③重心④外心【答案】④【解析】【分析】設(shè)BC的中點為D，兩端同時點乘，由可得答案.【詳解】設(shè)BC的中點為D，∵，∴，即，兩端同時點乘，∵====0，所以，所以點P在BC的垂直平分線上，即P經(jīng)過△ABC的外心故答案為：④.22．（2019·吉林·長春市實驗中學(xué)（理））是平面上不共線的三點，為所在平面內(nèi)一點，是的中點，動點滿足，則點的軌跡一定過____心（內(nèi)心、外心、垂心或重心）．【答案】重心【解析】【分析】由[（2﹣2λ）（1+2λ）]（λ∈R），且，得到點P的軌跡一定過△ABC的重心．【詳解】∵動點P滿足[（2﹣2λ）（1+2λ）]（λ∈R），且，∴P、C、D三點共線，又D是AB的中點，∴CD為中線，∴點P的軌跡一定過△ABC的重心．故答案為重心．【點睛】本題考查三角形重心性質(zhì)的應(yīng)用，是基礎(chǔ)題，解題時要認真審題，注意平面向量性質(zhì)的合理運用．23．（2021·全國·）已知，，是平面內(nèi)不共線的三點，為所在平面內(nèi)一點，是的中點，動點滿足，則點的軌跡一定過的______（填“內(nèi)心”“外心”“垂心”或“重心”）.【答案】重心【解析】根據(jù)已知條件判斷三點共線，結(jié)合重心的定義，判斷出的軌跡過三角形的重心.【詳解】∵點滿足，且，∴，，三點共線.又是的中點，∴是邊上的中線，∴點的軌跡一定過的重心.故答案為：重心【點睛】本小題主要考查三點共線的向量表示，考查三角形的重心的知識，屬于基礎(chǔ)題.24．（2019·全國全國·）已知O是平面上一定點，A，B，C是平面上不共線的三點，動點P滿足，，則點P的軌跡一定通過的__________心．【答案】重.【解析】【分析】由已知條件可知動點P滿足，，我們?nèi)C的中點D，易得點A，D，P三點共線，進而得到點P的軌跡一定通過的重心.【詳解】設(shè)D為BC的中點，則，于是有，，P，D三點共線，又D是BC的中點，所以AD是邊BC的中線，于是點P的軌跡一定通過的重心．【點睛】該題考查的是有關(guān)向量在幾何中的應(yīng)用，以及三角形四心，涉及到的知識點有三角形的中線向量，向量共線的條件，三角形的重心是中線的交點，屬于簡單題目.

B組能力提升25．（2022·遼寧葫蘆島·高一期末）（多選題）在中，D，E，F(xiàn)分別是邊BC，CA，AB的中點，點G為的重心，則下述結(jié)論中正確的是（）A． B．C． D．【答案】CD【解析】【分析】根據(jù)向量的加法運算、相反向量、中線的向量表示，重心的性質(zhì)分別計算求解.【詳解】由D，E，F(xiàn)分別是邊BC，CA，AB的中點，點G為的重心，因為，故A錯誤；由,故B錯誤；因為,故C正確；因為,故D正確.故選：CD26．（2022·山東棗莊·高三期末）（多選題）已知在等腰中，是底邊的中點，則（）．A．在方向上的投影向量為B．在邊上存在點使得C．D．【答案】BCD【解析】【分析】對于A，利用向量的加法運算和數(shù)量積的幾何意義判斷即可，對于B，如圖建立坐標系，利用數(shù)量積的坐標運算求解判斷，對于C，分別求出和的坐標，然后判斷，對于D，利用坐標求解判斷即可【詳解】對于A，因為，在方向上的投影向量為，所以A錯誤，對于B，如圖建立坐標系，設(shè)，則，所以，由，得，得，因為，所以，所以在邊上存在點使得，所以B正確，對于C，因為，所以，所以，所以C正確，對于D，因為，所以，所以D正確，故選：BCD27．（2022·山東萊西·高三期末）（多選題）已知兩個向量和滿足，，與的夾角為，若向量與向量的夾角為鈍角，則實數(shù)可能的取值為（）A． B． C． D．【答案】AD【解析】【分析】根據(jù)題意，，且不能共線，再求解即可得實數(shù)的取值范圍，進而得答案.【詳解】解：因為，，與的夾角為，所以，因為向量與向量的夾角為鈍角，所以，且不能共線，所以，解得，當(dāng)向量與向量共線時，有，即，解得，所以實數(shù)的取值范圍，所以實數(shù)可能的取值為A，D故選：AD28．（2021·全國·模擬預(yù)測）（多選題）如圖，已知點G為的重心，點D，E分別為AB，AC上的點，且D，G，E三點共線，，，，，記，，四邊形BDEC的面積分別為，，，則（）A． B． C． D．【答案】ABC【解析】【分析】連接AG并延長交BC于點M，由三角形重心結(jié)合向量運算探求m，n的關(guān)系，再借助三角形面積公式及均值不等式即