第14講圓的方程（5種題型）【知識梳理】一．圓的標(biāo)準(zhǔn)方程1．圓的定義：平面內(nèi)與定點(diǎn)距離等于定長的點(diǎn)的集合（軌跡）叫做圓．定點(diǎn)叫做圓心，定長就是半徑．2．圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：（x﹣a）2+（y﹣b）2＝r2（r＞0），其中圓心C（a，b），半徑為r．特別地，當(dāng)圓心為坐標(biāo)原點(diǎn)時，半徑為r的圓的方程為：x2+y2＝r2．其中，圓心（a，b）是圓的定位條件，半徑r是圓的定形條件．【解題思路點(diǎn)撥】已知圓心坐標(biāo)和半徑，可以直接帶入方程寫出，在所給條件不是特別直接的情況下，關(guān)鍵是求出a，b，r的值再代入．一般求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程主要使用待定系數(shù)法．步驟如下：（1）根據(jù)題意設(shè)出圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為（x﹣a）2+（y﹣b）2＝r2；（2）根據(jù)已知條件，列出關(guān)于a，b，r的方程組；（3）求出a，b，r的值，代入所設(shè)方程中即可．另外，通過對圓的一般方程進(jìn)行配方，也可以化為標(biāo)準(zhǔn)方程．【命題方向】可以是以單獨(dú)考點(diǎn)進(jìn)行考查，一般以選擇、填空題形式出現(xiàn)，a，b，r值的求解可能和直線與圓的位置關(guān)系、圓錐曲線、對稱等內(nèi)容相結(jié)合，以增加解題難度．在解答題中，圓的標(biāo)準(zhǔn)方程作為基礎(chǔ)考點(diǎn)往往出現(xiàn)在關(guān)于圓的綜合問題的第一問中，難度不大，關(guān)鍵是讀懂題目，找出a，b，r的值或解得圓的一般方程再進(jìn)行轉(zhuǎn)化．二．圓的一般方程1．圓的定義：平面內(nèi)與定點(diǎn)距離等于定長的點(diǎn)的集合（軌跡）叫做圓．定點(diǎn)叫做圓心，定長就是半徑．2．圓的一般方程：x2+y2+Dx+Ey+F＝0（D2+E2﹣4F＞0）其中圓心坐標(biāo)為（﹣，﹣），半徑r＝．3．圓的一般方程的特點(diǎn)：（1）x2和y2系數(shù)相同，且不等于0；（2）沒有xy這樣的二次項(xiàng)．以上兩點(diǎn)是二元二次方程Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F＝0表示圓的必要非充分條件．三．二元二次方程表示圓的條件1、圓的定義：平面內(nèi)與一定點(diǎn)的距離等于定長的點(diǎn)的集合是圓．定點(diǎn)就是圓心，定長就是半徑．2、圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：圓的標(biāo)準(zhǔn)方程（x﹣a）2+（y﹣b）2＝r2，圓心為（a，b），半徑為r；特別當(dāng)圓心是（0，0），半徑為r時，圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2+y2＝r2．3、圓的一般方程：圓的一般方程x2+y2+Dx+Ey+F＝0．當(dāng)D2+E2﹣4F＞0時，表示圓心（﹣，﹣），半徑為的圓；當(dāng)D2+E2﹣4F＝0時，表示點(diǎn)（﹣，﹣），；當(dāng)D2+E2﹣4F＜0時，不表示任何圖形．因此二元二次方程表示圓的條件是D2+E2﹣4F＞0．注意：形如Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F＝0的方程表示圓的條件：①A＝C≠0；②B＝0；③D2+E2﹣4F＞0．四．點(diǎn)與圓的位置關(guān)系點(diǎn)與圓的位置關(guān)系分為在園內(nèi)，在圓上和在圓外，判斷的方法就是該點(diǎn)到圓心的距離和圓半徑的大小之間的比較．①當(dāng)點(diǎn)到圓心的距離小于半徑時，點(diǎn)在圓內(nèi)；②當(dāng)點(diǎn)到圓心的距離等于半徑時，點(diǎn)在圓上；③當(dāng)點(diǎn)到圓心的距離大于半徑時，點(diǎn)在圓外．五．關(guān)于點(diǎn)、直線對稱的圓的方程（1）已知圓關(guān)于已知的直線對稱，則對稱后的圓半徑與已知圓半徑是相等的，只需求出已知圓的圓心關(guān)于該直線對稱后得到的圓心坐標(biāo)即可．（2）若某條直線無論其如何移動都能平分一個圓，則這個直線必過某定點(diǎn)，且該定點(diǎn)是圓的圓心坐標(biāo)．【考點(diǎn)剖析】一．圓的標(biāo)準(zhǔn)方程（共16小題）1．（2022秋?上城區(qū)校級期末）若一圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為（x﹣1）2+（y+5）2＝3，則此圓的圓心和半徑分別為（）A．（﹣1，5）， B．（1，﹣5）， C．（﹣1，5），3 D．（1，﹣5），32．（2022秋?南關(guān)區(qū)校級期末）已知圓C和直線及x軸都相切，且過點(diǎn)（3，0），則該圓的方程是（）A． B． C．或 D．或3．（2022秋?水磨溝區(qū)校級期末）已知圓C經(jīng)過兩點(diǎn)A（0，2），B（4，6），且圓心C在直線l：2x﹣y﹣3＝0上，則圓C的方程為（）A．x2+y2﹣6x﹣6y﹣16＝0 B．x2+y2﹣2x+2y﹣8＝0 C．x2+y2﹣6x﹣6y+8＝0 D．x2+y2﹣2x+2y﹣56＝04．（2022秋?西城區(qū)校級期末）已知O為原點(diǎn)，點(diǎn)A（2，﹣2），以O(shè)A為直徑的圓的方程為（）A．（x﹣1）2+（y+1）2＝2 B．（x﹣1）2+（y+1）2＝8 C．（x+1）2+（y﹣1）2＝2 D．（x+1）2+（y﹣1）2＝85．（2022秋?泉州期末）若圓M的圓心在直線y＝x上，且與兩坐標(biāo)軸都相切，則圓M的標(biāo)準(zhǔn)方程可以為.（寫出滿足條件的一個答案即可）6．（2022秋?大通縣期末）已知圓心為（﹣2，3）的圓與直線x﹣y+1＝0相切，則該圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是．7．（2022秋?阿拉善左旗校級期末）已知圓心為（﹣2，3）的圓與直線x﹣y+1＝0相切，則該圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是（）A．（x+2）2+（y﹣3）2＝8 B．（x﹣2）2+（y+3）2＝8 C．（x+2）2+（y﹣3）2＝18 D．（x﹣2）2+（y+3）2＝188．（2022秋?蘇州期末）“圓”是中國文化的一個重要精神元素，在中式建筑中有著廣泛的運(yùn)用，最具代表性的便是園林中的門洞．如圖，某園林中的圓弧形洞門高為2.5m，底面寬為1m，則該門洞的半徑為（）A．1.2m B．1.3m C．1.4m D．1.5m9．（2022秋?廣州期末）已知圓C的方程為（x﹣1）2+y2﹣2＝0，則圓心C的坐標(biāo)為（）A．（﹣1，0） B．（1，2） C．（1，0） D．（1，﹣2）10．（2022秋?瀘縣校級期末）已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，A（2，2），則以O(shè)A為直徑的圓方程為（）A．（x+1）2+（y+1）2＝2 B．（x﹣1）2+（y﹣1）2＝2 C．（x﹣1）2+（y﹣1）2＝8 D．（x+1）2+（y+1）2＝811．（2022秋?天心區(qū)校級期末）圓心為（1，﹣2），且與x軸相切的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為（）A．（x﹣1）2+（y+2）2＝2 B．（x﹣1）2+（y+2）2＝4 C．（x+1）2+（y﹣2）2＝2 D．（x+1）2+（y﹣2）2＝412．（2022秋?西湖區(qū)校級期末）已知點(diǎn)A（4，0），O（0，0），B（0，﹣3），則△AOB的內(nèi)切圓的方程為．13．（2022秋?郊區(qū)校級期末）以點(diǎn)P（2，﹣3）為圓心，并且與y軸相切的圓的方程是．14．（2022秋?香洲區(qū)校級期末）德國數(shù)學(xué)家米勒曾提出過如下的“最大視角原理”：對定點(diǎn)A、B和在直線l上的動點(diǎn)P，當(dāng)l與△APB的外接圓相切時，∠APB最大．若A（0，2），B（0，8），P是x軸正半軸上一動點(diǎn)，當(dāng)P對線段AB的視角最大時，△APB的外接圓的方程為（）A．（x﹣4）2+（y﹣4）2＝25 B．（x﹣4）2+（y﹣5）2＝16 C．（x﹣5）2+（y﹣4）2＝16 D．（x﹣4）2+（y﹣5）2＝2515．（2022秋?懷化期末）已知點(diǎn)A（1，﹣2），B（4，0），P（a，1），N（a+1，1），當(dāng)四邊形PABN的周長最小時，過A，P，N三點(diǎn)的圓的圓心坐標(biāo)為．16．（2022秋?道里區(qū)校級期末）對非原點(diǎn)O的點(diǎn)M，若點(diǎn)M'在射線OM上，且|OM|?|OM'|＝r2，則稱M'為M的“r﹣圓稱點(diǎn)”，圖形G上的所有點(diǎn)的“r﹣圓稱點(diǎn)”組成的圖形G'稱為G的“r﹣圓稱形”．A（1，0）的“3﹣圓稱點(diǎn)”為，圓（x﹣1）2+（y﹣2）2＝5（不包含原點(diǎn)）的“3﹣圓稱形”的方程為．二．圓的一般方程（共5小題）17．（2022秋?浦東新區(qū)校級期末）已知方程x2+y2﹣2x+my+m＝0表示圓，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是（）A．（2，+∞） B．（﹣∞，2） C．[2，+∞） D．（﹣∞，2）∪（2，+∞）18．（2022秋?華容縣期末）圓x2+y2+2x﹣4y﹣6＝0的圓心坐標(biāo)和半徑分別是（）A．（?1，?2），11 B．（?1，2），11 C．（?1，?2）， D．（?1，2），19．（2022秋?平谷區(qū)期末）已知圓x2+y2﹣3x+my+1＝0關(guān)于y＝x對稱，則實(shí)數(shù)m等于（）A． B．﹣3 C．3 D．20．（2022秋?瀘縣校級期末）已知關(guān)于x，y的方程C：x2+y2﹣2x﹣4y+4m＝0．（1）若方程C表示圓，求m的取值范圍；（2）當(dāng)m＝1時，曲線C與直線l：x+2y﹣4＝0相交于M，N兩點(diǎn)，求|MN|的值．21．（2022秋?阜南縣期末）已知三角形ABC的頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為：A（﹣1，5），B（5，5），C（6，﹣2），求其外接圓的方程．三．二元二次方程表示圓的條件（共6小題）22．（2022秋?亭湖區(qū)校級期末）方程x2+y2+2y+m＝0表示一個圓，則m的取值范圍是（）A．（1，+∞） B．（﹣∞，1） C．[1，+∞） D．（﹣∞，1]23．（2022秋?金華期末）若曲線C：x2+y2+2ax﹣4ay﹣10a＝0表示圓，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為（）A．（﹣2，0） B．（﹣∞，﹣2）∪（0，+∞） C．[﹣2，0] D．（﹣∞，﹣2]∪[0，+∞）24．（2022秋?九龍坡區(qū)校級期末）已知x2+y2+2kx﹣4y+k2+k﹣2＝0表示的曲線是圓，則k的值為（）A．（6，+∞） B．[﹣6，+∞） C．（﹣∞，6） D．（﹣∞，6]25．（2023春?黃浦區(qū)校級月考）方程x2+y2﹣2x+4y+m＝0表示一個圓，則m的取值范圍是．26．（2022秋?薊州區(qū)校級期中）已知方程x2+y2+2mx+4y+2m2﹣3m＝0表示一個圓．（1）求實(shí)數(shù)m的取值范圍；（2）求圓的周長的最大值．27．（2022秋?新津縣校級月考）已知方程x2+y2﹣2（t+3）x+2（1﹣4t2）y+16t4+9＝0（t∈R）表示的圖形是圓．（1）求t的取值范圍，并求其中面積最大的圓的方程；（2）若點(diǎn)P（3，4t2）恒在所給圓內(nèi)，求t的取值范圍．四．點(diǎn)與圓的位置關(guān)系（共7小題）28．（2022秋?長寧區(qū)校級期末）已知點(diǎn)（1，1）在圓x2+y2+ax+a＝0外，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為（）A．（﹣1，+∞） B．（﹣1，0） C．（﹣1，0）∪（4，+∞） D．（﹣∞，0）∪（4，+∞）29．（2022秋?龍巖期末）2000多年前，我國的思想家墨子給出圓的概念：“一中同長也”．意思是說，圓有一個圓心，圓心到圓周的長都相等，這個定義比希臘數(shù)學(xué)家歐幾里得給圓下定義要早100年．已知O為原點(diǎn)，，若，則線段PM長的最大值為（）A． B． C． D．30．（2022秋?越秀區(qū)期末）已知圓C：x2+y2﹣2mx+2m+3＝0的一條切線過點(diǎn)P（2，1），則實(shí)數(shù)m的取值范圍是（）A．（﹣∞，4] B．（﹣∞，﹣1）∪（3，4） C．（3，4） D．（﹣∞，﹣1）∪（3，4]31．（2023春?上高縣校級月考）已知點(diǎn)A（1，2）在圓C：x2+y2+mx﹣2y+2＝0外，則實(shí)數(shù)m的取值范圍為．32．（2022秋?大豐區(qū)校級期末）點(diǎn)P（5a+1，12a）在圓（x﹣1）2+y2＝1的內(nèi)部，則a的取值范圍是．33．（2021秋?新化縣期末）已知圓C：x2+y2﹣2x+4y﹣a＝0，點(diǎn)P（3，0）．（1）若點(diǎn)P在圓C外部，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；（2）當(dāng)a＝﹣1時，過點(diǎn)P的直線l交圓C于A，B兩點(diǎn)，求△ABC面積的最大值及此時直線l的斜率．34．（2022秋?阿城區(qū)校級月考）已知動圓C經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)O，且圓心C在直線l：2x+y＝4上．（1）求半徑最小時的圓C的方程；（2）求證：動圓C恒過一個異于點(diǎn)O的定點(diǎn)．五．關(guān)于點(diǎn)、直線對稱的圓的方程（共5小題）35．（2022秋?滕州市期末）如果圓x2+y2+Dx+Ey+F＝0（D2+E2﹣4F＞0）關(guān)于直線y＝x對稱，則有（）A．D+E＝0 B．D＝E C．D＝F D．E＝F36．（2022秋?官渡區(qū)期末）已知圓C的圓心坐標(biāo)為（﹣3，4），半徑為2，圓C'與圓C關(guān)于x軸對稱，則圓C'的方程為（）A．（x+3）2+（y﹣4）2＝4 B．（x﹣3）2+（y﹣4）2＝2 C．（x+3）2+（y+4）2＝4 D．（x+3）2+（y+4）2＝237．（2022秋?金華期末）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，若圓x2+y2＝4和和圓x2+y2+4x﹣4y+4＝0關(guān)于直線l對稱，則直線l的方程為．38．（2022秋?米東區(qū)校級期末）在平面內(nèi)，一只螞蟻從點(diǎn)A（﹣2，﹣3）出發(fā)，爬到y(tǒng)軸后又爬到圓C：（x+3）2+（y﹣2）2＝2上，則它爬到圓上經(jīng)過的最短路程是．39．（2022秋?河?xùn)|區(qū)校級月考）（1）求經(jīng)過點(diǎn)M（2，﹣2）以及圓x2+y2﹣6x＝0與圓x2+y2＝4交點(diǎn)的圓的方程；（2）求與圓C：（x+2）2+（y﹣6）2＝1關(guān)于直線3x﹣4y+5＝0對稱的圓的方程．

【過關(guān)檢測】一、單選題1．（2023·江蘇·高二假期作業(yè)）將圓平分的直線是（

）A． B．C． D．2．（2023秋·廣東廣州·高二校聯(lián)考期末）已知圓：的一條切線過點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B．C． D．3．（2023秋·江蘇鹽城·高二鹽城市伍佑中學(xué)?？计谀┓匠瘫硎疽粋€圓，則的取值范圍是（

）A． B．C． D．4．（2023春·湖北襄陽·高二襄陽四中?？奸_學(xué)考試）過點(diǎn)，，且圓心在直線上的圓的方程是（

）A． B．C． D．5．（2023·重慶·高二統(tǒng)考學(xué)業(yè)考試）已知圓C的一條直徑的兩個端點(diǎn)是分別是和，則圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是（

）A．B．C．D．6．（2023春·上海黃浦·高二上海市大同中學(xué)?？计谥校┮阎?由集合中所有的點(diǎn)組成的圖形如圖中陰影部分所示，中間白色部分形如水滴.給出下列結(jié)論：

①“水滴”圖形與軸相交，最高點(diǎn)記作，則點(diǎn)的坐標(biāo)為；②陰影部分與軸相交，最高點(diǎn)和最低點(diǎn)分別記作和，則；③在陰影部分中任取一點(diǎn)，則的最大距離為3；④“水滴”圖形的面積是.其中正確的有（

）A．4個 B．3個 C．2個 D．1個7．（2023·江蘇·高二假期作業(yè)）過坐標(biāo)原點(diǎn)，且在x軸和y軸上的截距分別為2和3的圓的方程為（

）A． B．C． D．8．（2023春·四川廣安·高二四川省廣安友誼中學(xué)校考階段練習(xí)）動直線平分圓的周長，則的最小值（

）A． B． C． D．二、多選題9．（2023春·廣東惠州·高二惠州一中?？茧A段練習(xí)）設(shè)有一組圓，下列說法正確的是（

）A．這組圓的半徑均為1B．直線平分所有的圓C．存在直線被所有的圓，截得的弦長相等D．存在一個圓與x軸和y軸均相切10．（2023秋·廣東廣州·高二廣州市白云中學(xué)校考期末）下列選項(xiàng)正確的有（

）A．表示過點(diǎn)，且斜率為2的直線B．是直線的一個方向向量C．以，為直徑的圓的方程為D．直線恒過點(diǎn)11．（2023春·云南·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）已知點(diǎn)，且點(diǎn)在直線上，則（

）A．存在點(diǎn)，使得B．存在點(diǎn)，使得C．的最小值為D．的最大值為12．（2023·江蘇·高二假期作業(yè)）已知曲線（

）A．若，則C是圓B．若，，則C是圓C．若，，則C是直線D．若，，則C是直線三、填空題13．（2023秋·青海西寧·高二校聯(lián)考期末）若圓C過三個點(diǎn)，，，則圓C的方程為____________．14．（2023春·四川成都·高二校聯(lián)考期末）曲線所圍成平面區(qū)域的面積為____