第5章線性方程組的數(shù)值解法§5.3Gauss消元法

用消元法解方程組

第2步.解

第1步.得等價的三角形方程組解為上述過程相當(dāng)于例1

其中表示矩陣的第行.1)消元過程2024/11/23線性方程組的直接解法11Gauss消去法算法消元計(jì)算forforfor回代求解for2024/11/23線性方程組的直接解法12計(jì)算量/*AmountofComputation*/由于計(jì)算機(jī)中乘除/*multiplications/divisions*/

運(yùn)算的時間遠(yuǎn)遠(yuǎn)超過加減/*additions/subtractions*/

運(yùn)算的時間，故估計(jì)某種算法的運(yùn)算量時，往往只估計(jì)乘除的次數(shù)，而且通常以乘除次數(shù)的最高次冪為運(yùn)算量的數(shù)量級。

GaussianElimination:Stepk：設(shè)，計(jì)算因子且計(jì)算共進(jìn)行n

1步(n

k)次(n

k)2

次(n

k)次(n

k)(n

k+2)次消元乘除次數(shù)：1次(n

i+1)次回代乘除次數(shù)：2024/11/23線性方程組的直接解法13計(jì)算量/*AmountofComputation*/由于計(jì)算機(jī)中乘除/*multiplications/divisions*/

運(yùn)算的時間遠(yuǎn)遠(yuǎn)超過加減/*additions/subtractions*/

運(yùn)算的時間，故估計(jì)某種算法的運(yùn)算量時，往往只估計(jì)乘除的次數(shù)，而且通常以乘除次數(shù)的最高次冪為運(yùn)算量的數(shù)量級。

GaussianElimination:Stepk：設(shè)，計(jì)算因子且計(jì)算共進(jìn)行n

1步(n

k)(n

k+2)次消元乘除次數(shù)：回代乘除次數(shù)：GaussianElimination的總乘除次數(shù)為，運(yùn)算量為級。n=20時,順序Gauss消去法需3060次乘除法運(yùn)算.

定理1

設(shè)其中

(1)

如果將約化為等價的三角形方程組則可通過高斯消去法

(2)如果為非奇異矩陣，則可通過高斯消去法(及交換兩行的初等變換)將方程組約化為？矩陣在什么條件下才能保證歸納法當(dāng)時，成立.設(shè)時結(jié)論成立，即證明:充分性.且有可用高斯消去法將約化到，有即定理2

約化的主元素的充要條件是矩陣的順序主子式即

由假設(shè)推出必要性.

例2

求解方程組用4位浮點(diǎn)數(shù)進(jìn)行計(jì)算.精確解舍入到4位有效數(shù)字為

解法1

用高斯消去法計(jì)算解顯然計(jì)算解是一個很壞的結(jié)果，不能作為方程組的近似解.原因：

在消元計(jì)算時用了小主元0.001，使得約化后的方程組元素?cái)?shù)量級大大增長，經(jīng)再舍入使得計(jì)算時發(fā)生了嚴(yán)重的相消情況，因此經(jīng)消元后得到的三角形方程組就不準(zhǔn)確了.解法2計(jì)算解為