第28講平面向量的概念與線性運(yùn)算【基礎(chǔ)知識網(wǎng)絡(luò)圖】平面向量平面向量平面向量的概念平面向量的坐標(biāo)表示平面向量的基本定理平面向量的線性運(yùn)算【基礎(chǔ)知識全通關(guān)】向量的概念1．向量:既有大小又有方向的量.通常用有向線段SKIPIF1<0表示，其中A為起點(diǎn)，B為終點(diǎn).向量SKIPIF1<0的長度SKIPIF1<0又稱為向量的模；長度為0的向量叫做零向量，長度為1的向量叫做單位向量.2．方向相同或相反的非零向量叫做平行向量，規(guī)定零向量與任一向量平行.平行向量可通過平移到同一條直線上，因此平行向量也叫共線向量.3．長度相等且方向相同的向量叫做相等向量.零向量與零向量相等.4.與SKIPIF1<0長度相等，方向相反的向量叫做SKIPIF1<0的相反向量，規(guī)定零向量的相反向量是零向量.【微點(diǎn)撥】①有向線段的起、終點(diǎn)決定向量的方向，SKIPIF1<0與SKIPIF1<0表示不同方向的向量；②有向線段的長度決定向量的大小，用SKIPIF1<0表示，SKIPIF1<0.③任意兩個(gè)非零的相等向量可經(jīng)過平移重合在一起，因此可用一個(gè)有向線段表示，而與起點(diǎn)無關(guān).二、向量的加法、減法1．向量加法的平行四邊形法則平行四邊形ABCD中（如圖），向量SKIPIF1<0與SKIPIF1<0的和為SKIPIF1<0,記作:SKIPIF1<0.（起點(diǎn)相同）2．向量加法的三角形法則根據(jù)向量相等的定義有:SKIPIF1<0，即在ΔSKIPIF1<0中，SKIPIF1<0.首尾相連的兩個(gè)向量的和是以第一個(gè)向量的起點(diǎn)指向第二個(gè)向量的終點(diǎn).規(guī)定:零向量與向量SKIPIF1<0的和等于SKIPIF1<0.3.向量的減法向量SKIPIF1<0與向量SKIPIF1<0叫做相反向量.記作:SKIPIF1<0.則SKIPIF1<0.【微點(diǎn)撥】①關(guān)于兩個(gè)向量的和應(yīng)注意：兩個(gè)向量的和仍是一個(gè)向量；使用三角形法則時(shí)要注意“首尾相連”；當(dāng)兩個(gè)向量共線時(shí)，三角形法則適用，而平行四邊形法則不適用.②向量減法運(yùn)算應(yīng)注意：向量的減法實(shí)質(zhì)是加法的逆運(yùn)算，差仍為一個(gè)向量；用三角形法則作向量減法時(shí)，記住“連結(jié)兩個(gè)向量的終點(diǎn)，箭頭指向被減向量”.三、實(shí)數(shù)與向量的積1．定義：一般地，實(shí)數(shù)SKIPIF1<0與向量SKIPIF1<0的積是一個(gè)向量,記作SKIPIF1<0，它的長與方向規(guī)定如下：（1）SKIPIF1<0；（2）當(dāng)SKIPIF1<0>0時(shí)，SKIPIF1<0的方向與SKIPIF1<0的方向相同；當(dāng)SKIPIF1<0<0時(shí)，SKIPIF1<0的方向與SKIPIF1<0的方向相反；當(dāng)SKIPIF1<0=0時(shí)，SKIPIF1<0；2．運(yùn)算律設(shè)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0為實(shí)數(shù)，則（1）SKIPIF1<0；（2）SKIPIF1<0；（3）SKIPIF1<03．向量共線的充要條件已知向量SKIPIF1<0、SKIPIF1<0是兩個(gè)非零共線向量，即SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0與SKIPIF1<0的方向相同或相反.向量SKIPIF1<0與SKIPIF1<0共線，當(dāng)且僅當(dāng)有唯一一個(gè)實(shí)數(shù)SKIPIF1<0，使SKIPIF1<0.【微點(diǎn)撥】①向量數(shù)乘的特殊情況：當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0；當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，也有SKIPIF1<0；實(shí)數(shù)和向量可以求積，但是不能求和、求差.②平面向量基本定理是建立向量坐標(biāo)的基礎(chǔ)，它保證了向量與坐標(biāo)是一一對應(yīng)的，在應(yīng)用時(shí)，構(gòu)成兩個(gè)基地的向量是不共線的向量.四、平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算1．平面向量的坐標(biāo)表示選取直角坐標(biāo)系的x軸、y軸上的單位向量SKIPIF1<0，SKIPIF1<0為基底，由平面向量基本定理，該平面內(nèi)任一向量SKIPIF1<0表示成SKIPIF1<0的形式，由于SKIPIF1<0與數(shù)對（x,y）是一一對應(yīng)的，因此把（x,y）叫做向量SKIPIF1<0的坐標(biāo)表示.2．平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則（1）SKIPIF1<0（2）SKIPIF1<03．平行向量的坐標(biāo)表示已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0（SKIPIF1<0）【微點(diǎn)撥】①若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的充要條件不能表示成SKIPIF1<0，因?yàn)镾KIPIF1<0有可能等于0，所以應(yīng)表示為SKIPIF1<0；同時(shí)SKIPIF1<0的充要條件也不能錯(cuò)記為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0等.②若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的充要條件是SKIPIF1<0，這與SKIPIF1<0在本質(zhì)上是沒有差異的，只是形式上不同.【考點(diǎn)研習(xí)一點(diǎn)通】考點(diǎn)一平面向量的有關(guān)概念例1、給出下列四個(gè)命題：①若|a|＝|b|，則a＝b；②若A，B，C，D是不共線的四點(diǎn)，則“eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(DC,\s\up6(→))”是“四邊形ABCD為平行四邊形”的充要條件；③若a＝b，b＝c，則a＝c；④a＝b的充要條件是|a|＝|b|且a∥b.其中正確命題的序號是()②③ B.①② C.③④ D.②④【變式1-1】給出下列命題：①兩個(gè)具有公共終點(diǎn)的向量，一定是共線向量；②λa＝0(λ為實(shí)數(shù))，則λ必為零；③λ，μ為實(shí)數(shù)，若λa＝μb，則a與b共線．其中錯(cuò)誤的命題的個(gè)數(shù)為()A．0 B．1C．2 D．3【變式1-2】如圖所示，已知正六邊形ABCDEF，O是它的中心．（1）與SKIPIF1<0相等的向量有；（2）與SKIPIF1<0相等的向量有；（3）與SKIPIF1<0共線的向量有．考點(diǎn)二向量的線性運(yùn)算例2、(1)在△ABC中，eq\o(BD,\s\up7(→))＝eq\f(1,3)eq\o(BC,\s\up7(→))，若eq\o(AB,\s\up7(→))＝a，eq\o(AC,\s\up7(→))＝b，則eq\o(AD,\s\up7(→))＝()A.eq\f(2,3)a＋eq\f(1,3)b B．eq\f(1,3)a＋eq\f(2,3)bC.eq\f(1,3)a－eq\f(2,3)b D.eq\f(2,3)a－eq\f(1,3)b(2)(一題多解)已知A，B，C三點(diǎn)不共線，且點(diǎn)O滿足16eq\o(OA,\s\up7(→))－12eq\o(OB,\s\up7(→))－3eq\o(OC,\s\up7(→))＝0，則()A.eq\o(OA,\s\up7(→))＝12eq\o(AB,\s\up7(→))＋3eq\o(AC,\s\up7(→)) B．eq\o(OA,\s\up7(→))＝12eq\o(AB,\s\up7(→))－3eq\o(AC,\s\up7(→))C.eq\o(OA,\s\up7(→))＝－12eq\o(AB,\s\up7(→))＋3eq\o(AC,\s\up7(→)) D.eq\o(OA,\s\up7(→))＝－12eq\o(AB,\s\up7(→))－3eq\o(AC,\s\up7(→))【變式2-1】1.在△ABC中，AD為BC邊上的中線，E為AD的中點(diǎn)，則eq\o(EB,\s\up6(→))等于()A.eq\f(3,4)eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\f(1,4)eq\o(AC,\s\up6(→)) B.eq\f(1,4)eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\f(3,4)eq\o(AC,\s\up6(→))C.eq\f(3,4)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,4)eq\o(AC,\s\up6(→)) D.eq\f(1,4)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(3,4)eq\o(AC,\s\up6(→))2．如圖，在等腰梯形ABCD中，DC＝eq\f(1,2)AB，BC＝CD＝DA，DE⊥AC于點(diǎn)E，則eq\o(DE,\s\up6(→))等于()A.eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\f(1,2)eq\o(AC,\s\up6(→)) B.eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(AC,\s\up6(→))C.eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\f(1,4)eq\o(AC,\s\up6(→)) D.eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,4)eq\o(AC,\s\up6(→))【變式2-2】如圖所示，四邊形SKIPIF1<0為梯形，其中SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0分別為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的中點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是SKIPIF1<0SKIPIF1<0A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0考點(diǎn)三共線定理的應(yīng)用例3、如圖，在△ABO中，eq\o(OC,\s\up6(→))＝eq\f(1,4)eq\o(OA,\s\up6(→))，eq\o(OD,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(OB,\s\up6(→))，AD與BC相交于點(diǎn)M，設(shè)eq\o(OA,\s\up6(→))＝a，eq\o(OB,\s\up6(→))＝b.試用a和b表示eq\o(OM,\s\up6(→)).【變式3-1】設(shè)兩個(gè)非零向量a與b不共線．(1)eq\o(AB,\s\up7(→))＝a＋b，eq\o(BC,\s\up7(→))＝2a＋8b，eq\o(CD,\s\up7(→))＝3(a－b)，求證：A，B，D三點(diǎn)共線；(2)試確定實(shí)數(shù)k，使ka＋b和a＋kb共線．【考點(diǎn)易錯(cuò)】1.已知向量SKIPIF1<0，SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上投影為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的最小值為A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<02.在平行四邊形SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0交SKIPIF1<0于F且SKIPIF1<0，則下列說法正確的有（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<03.已知兩個(gè)非零向量a與b不共線.（1）若AB=a+b,BC=2a+8b,CD=3(a?b),求證:A,B,D三點(diǎn)共線;（2）試確定實(shí)數(shù)k,使ka+b和a+kb共線.【鞏固提升】1、在△ABC中，點(diǎn)G滿足eq\o(GA,\s\up6(→))＋eq\o(GB,\s\up6(→))＋eq\o(GC,\s\up6(→))＝0.若存在點(diǎn)O，使得eq\o(OG,\s\up6(→))＝eq\f(1,6)eq\o(BC,\s\up6(→))，且eq\o(OA,\s\up6(→))＝meq\o(OB,\s\up6(→))＋neq\o(OC,\s\up6(→))，則m－n等于()A．2B．－2C．1D．－12.在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0為SKIPIF1<0邊上的中線，SKIPIF1<0為SKIPIF1<0的中點(diǎn)，則SKIPIF1<0A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<03.如圖，在四邊形ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，AB=2AD=2DC，E為BC邊上一點(diǎn)，且SKIPIF1<0，F(xiàn)為AE的中點(diǎn)，則（）A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<04.如圖，在平行四邊形ABCD中，下列結(jié)論中正確的是（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<05．下列說法正確的是A．向量SKIPIF1<0與向量SKIPIF1<0是共線向量，則點(diǎn)SKIPIF1<0必在同一條直線上B．兩個(gè)有共同終點(diǎn)的向量，一定是共線向量C．長度相等的向量叫做相等向量D．兩個(gè)有共同起點(diǎn)而且相等的向量，其終點(diǎn)必相同6．已知O是正六邊形ABCDEF的中心，則與向量SKIPIF1<0平行的向量為A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<07．設(shè)SKIPIF1<0是平行四邊形SKIPIF1<0的對角線的交點(diǎn)，SKIPIF1<0為任意一點(diǎn)（且不與SKIPIF1<0重合），SKIPIF1<0等于A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<08．設(shè)D為SKIPIF1<0所在平面內(nèi)一點(diǎn)，SKIPIF1<0，則A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<09．已知SKIPIF1<0為非零不共線向量，向量SKIPIF1<0與SKIPIF1<0共線，則SKIPIF1<0A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．810．已知SKIPIF1<0為兩非零向量，若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0與SKIPIF1<0的夾角的大小是A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<011．已知非零向量SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，則一定共線的三點(diǎn)是A．A、B、D B．A、B、CC．B、C、D D．A、C、D12．如圖，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0的內(nèi)部，SKIPIF1<0為SKIPIF1<0的中點(diǎn)，且SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的面積與SKIPIF1<0的面積的比值為A．3 B．4C．5 D．613．已知SKIPIF1<0為SKIPIF1<0內(nèi)一點(diǎn)，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,SKIPIF1<0三點(diǎn)共線，則SKIPIF1<0的值為A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<014．已知等邊三角形SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0是線段SKIPIF1<0的中點(diǎn)，SKIPIF1<0，垂足為SKIPIF1<0是線段SKIPIF1<0的中點(diǎn)，則SKIPIF1<0A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<015、在四邊形ABCD中，eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(DC,\s\up6(→))＝(1,1)，eq\f(1,|\o(BA,\s\up6(→))|)·eq\o(BA,\s\up6(→))＋eq\f(1,|\o(BC,\s\up6(→))|)·eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\f(\r(3),|\o(BD,\s\up6(→))|)·eq\o(BD,\s\up6(→))，則四邊形ABCD的面積為________.16.設(shè)向量SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0.17.如圖，在四邊形SKIPIF1<0