江西省東鄉(xiāng)一中、都昌一中、豐城中學(xué)、贛州中學(xué)、景德鎮(zhèn)二中、上饒中學(xué)、上栗中學(xué)、新建二中新八校2024屆高三第一次聯(lián)考數(shù)學(xué)試題主命題人：東鄉(xiāng)一中陳銀河副命題人：半城中學(xué)李玉平注意事項(xiàng)：考試時長：120分鐘總分：150分1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫在答題卡和試卷指定位置上.2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡對應(yīng)題目選項(xiàng)的答案信息點(diǎn)涂黑：如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號.回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效.3.考試結(jié)束后，將試卷和答題卡一并交回.一.選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知集合，，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】先求出集合，然后結(jié)合集合的交集運(yùn)算即可求解．【詳解】，，則,．故選：A．2.設(shè)復(fù)數(shù)滿足，，復(fù)數(shù)所對應(yīng)的點(diǎn)位于第一象限，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)已知條件，結(jié)合共軛復(fù)數(shù)的定義，以及復(fù)數(shù)模公式，求出，再結(jié)合復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算，即可求解．【詳解】設(shè)，，，，，，則，，又，故，，所以，故．故選：C．3.設(shè)，向最，，，則“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件 C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】B【解析】【分析】根據(jù)向量平行和垂直滿足的坐標(biāo)關(guān)系，即可求解的值，進(jìn)而結(jié)合邏輯關(guān)系的判斷即可求解.【詳解】當(dāng)時，由，可得，解得，當(dāng)時，由，可得，解得，因此“”是“”的必要不充分條件，故選：B4.已知角的終邊上有一點(diǎn)，則的值為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)三角函數(shù)的定義，結(jié)合二倍角公式即可求解.【詳解】由題意可得，故，故選：B5.根據(jù)圓的性質(zhì)我們知道，過圓外的一點(diǎn)可以作圓的兩條切線，切點(diǎn)為與，我們把四邊形稱為圓的“切點(diǎn)四邊形”.現(xiàn)已知圓：，圓外有一點(diǎn)，則圓的“切點(diǎn)四邊形”的外接圓周長為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】直接利用兩點(diǎn)間的距離公式求出圓的半徑，進(jìn)一步求出圓的周長．【詳解】根據(jù)題意點(diǎn)到原點(diǎn)的距離，由于,所以切點(diǎn)四邊形的外接圓的直徑為,故該四邊形的外接圓的直徑為，所以半徑為，所以外接圓的周長為．故選：C．6.為了加深師生對黨史的了解，激發(fā)廣大師生知史愛黨、知史愛國的熱情，某校舉辦了“學(xué)黨史、育文化的黨史知識競賽，并將1000名師生的競賽成績（滿分100分，成績?nèi)≌麛?shù)）整理成如圖所示的頻率分布直方圖，則下列說法錯誤的為（）A.的值為0.005 B.估計這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)為75分C.估計這組數(shù)據(jù)的第85百分位數(shù)為85分 D.估計成績低于60分的有250人【答案】C【解析】【分析】由頻率分布直方圖面積之和為1可計算，由眾數(shù)定義可得B，計算低于60（分）的人數(shù)即可得D，根據(jù)百分位數(shù)的定義計算即可得C．【詳解】根據(jù)頻率分布直方圖可知：，即，故A正確；由圖易得在區(qū)間,的人最多，故可估計這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)為75，故B正確；，故成績低于60（分）的有250人，即D正確；由圖中前四組面積之和為：，圖中前五組面積之和為：，故這組數(shù)據(jù)的第85百分位數(shù)在第五組數(shù)據(jù)中，設(shè)這組數(shù)據(jù)的第85百分位數(shù)為，則有，故，即估計這組數(shù)據(jù)的第85百分位數(shù)為86，故C錯誤．故選：C．7.2023年11月16日，據(jù)央視新聞報道，中國空間站近日完成了一項(xiàng)重要的科學(xué)實(shí)驗(yàn)——空間輻射生物學(xué)暴露實(shí)驗(yàn)裝置的首批樣品已經(jīng)返回地面.這項(xiàng)實(shí)驗(yàn)旨在研究在太空中長時間存在的輻射對人體和微生物的影響.已知某項(xiàng)實(shí)驗(yàn)要在中國空間站進(jìn)行，實(shí)驗(yàn)開始時，某物質(zhì)的含量為，每經(jīng)過1小時，該物質(zhì)的含量都會減少，若該物質(zhì)的含量不超過，則實(shí)驗(yàn)進(jìn)入第二階段，那么實(shí)驗(yàn)進(jìn)入第二階段至少需要（）小時？（結(jié)果取整數(shù)，參考數(shù)據(jù)：，）A.12 B.8 C.10 D.11【答案】D【解析】【分析】由題意可得，，兩邊同時取對數(shù)，再結(jié)合對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)求解即可．【詳解】設(shè)實(shí)驗(yàn)進(jìn)入第二階段至少需要小時，由題意可得，，即，所以，所以，所以，即實(shí)驗(yàn)進(jìn)入第二階段至少需要11小時．故選：D．8.現(xiàn)將《西游記》、《紅樓夢》、《水滸傳》、《三國演義》、《史記》、《資治通鑒》6本不同的書籍分發(fā)給甲乙丙3人，每人至少分得1本，已知《西游記》分發(fā)給了甲，則不同的分發(fā)方式種數(shù)是（）A.180 B.150 C.120 D.210【答案】A【解析】【分析】根據(jù)題意，分2步進(jìn)行分析：①將6本不同的書籍分為3組，每組至少1本，②將《西游記》所在的組分發(fā)給了甲，剩下2組任意分配，由分步計數(shù)原理計算可得答案．【詳解】根據(jù)題意，分2步進(jìn)行分析：①將6本不同的書籍分為3組，每組至少1本，若分為4、1、1的三組，有種分組方法，若分為3，2，1的三組，有種分組方法，若分為2，2，2的三組，有種分組方法，共有種分組方法，②將《西游記》所在的組分發(fā)給了甲，剩下2組任意分配，有2種情況，則有種分發(fā)方式．故選：A．二.選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對的得5分，有選錯的得0分，部分選對的得2分.9.下列結(jié)論正確的是（）A.與的終邊相同B.在中，若，則C.函數(shù)是偶函數(shù)D.函數(shù)的圖像關(guān)于直線對稱.【答案】ABC【解析】【分析】結(jié)合終邊相同角的表示檢驗(yàn)A；結(jié)合正弦定理及三角形大邊對大角檢驗(yàn)選項(xiàng)B；結(jié)合三角函數(shù)的奇偶性檢驗(yàn)選項(xiàng)C；結(jié)合余弦函數(shù)的對稱性檢驗(yàn)選項(xiàng)D．【詳解】因?yàn)?，即與的終邊相同，A正確；中，，B正確；為偶函數(shù)，C正確；令，，則，故對稱軸方程有D錯誤．故選：ABC．10.在棱長為2的正方體中，點(diǎn)，，分別是線段，線段，線段上的動點(diǎn)，且.則下列說法正確的有（）A.B.直線與所成的最大角為C.三棱錐的體積為定值D.當(dāng)四棱錐體積最大時，該四棱錐的外接球表面積為【答案】BCD【解析】【分析】，可判斷A；進(jìn)而可得為中點(diǎn)時，直線與所成的角最大為，判斷B；，可判斷C；當(dāng)為點(diǎn)時，四棱錐體積最大，計算可判斷D．【詳解】對于A，由，可得，因?yàn)?，所以與不垂直，因此A不正確；對于B，因?yàn)椋?，因此直線與所成的角就是直線與所成的角，當(dāng)為中點(diǎn)時，此時,直線與所成的角最大為，因此B正確：對于C，由于平面平面,平面,所以為定值，C正確：對于D，,由于為上的點(diǎn)，故到平面的距離為定值，所以到平面的距離為定值，要使最大，只需要最大，故當(dāng)為點(diǎn)時，四棱錐體積最大，該四棱錐的外接球即正方體的外接球，直徑為，所以，故其表面積為，因此D正確．故選：BCD．11.已知函數(shù)及其導(dǎo)函數(shù)的定義域均為，若函數(shù)，都為偶函數(shù)，令，則下列結(jié)論正確的有（）A.的圖象關(guān)于對稱 B.的圖象關(guān)于點(diǎn)對稱C. D.【答案】AC【解析】【分析】根據(jù)函數(shù)奇偶性可求得函數(shù)的圖象關(guān)于對稱，的圖象關(guān)于點(diǎn)成中心對稱，即可判斷AB；又可知，所以，即可；經(jīng)計算可知，又，，即可得是等差數(shù)列，由前項(xiàng)和公式即可判斷D.【詳解】根據(jù)題意為偶函數(shù)可得，即可知，所以函數(shù)的圖象關(guān)于對稱，即A正確；由是偶函數(shù)可得為奇函數(shù)，所以滿足，即，因此的圖象關(guān)于點(diǎn)成中心對稱，所以B錯誤；由可知，所以；即，所以的圖象關(guān)于點(diǎn)成中心對稱，因此，故C正確；易知，，由可得，聯(lián)立可得，所以，即，，所以是以為首項(xiàng)，公差的等差數(shù)列，所以，故D錯誤.故選：AC.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：求解函數(shù)性質(zhì)綜合問題時，往往借助函數(shù)奇偶性、對稱性、周期性等性質(zhì)進(jìn)行推理證明，結(jié)合對稱軸、對稱中心等實(shí)現(xiàn)求和計算即可.12.已知為坐標(biāo)原點(diǎn)，，分別為雙曲線：（，）的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)為雙曲線右支上一點(diǎn)，設(shè)，過作兩漸近線的垂線，垂足分別為，，則下列說法正確的是（）A.的最小值為B.為定值C.若當(dāng)時恰好為等邊三角形，則雙曲線的離心率為D.當(dāng)時若直線與圓相切，則雙曲線的離心率為【答案】ABD【解析】【分析】根據(jù)題意利用焦半徑公式可知長度最小值為，可判斷A；利用點(diǎn)到直線的距離公式可得，再利用點(diǎn)M在雙曲線上即可判斷B；由利用直角三角形的性質(zhì)和為等邊三角形可得，，再根據(jù)雙曲線定義即可求得離心率，可判斷C；當(dāng)時，直線與圓相切根據(jù)勾股定理和雙曲線定義可得的關(guān)系，即可判斷D.【詳解】對于A，因?yàn)槭请p曲線C的右焦點(diǎn)，點(diǎn)M為雙曲線右支上一點(diǎn)，所以由雙曲線性質(zhì)知線段長度的最小值為，故A正確；對于B，設(shè)，兩漸近線方程分別為，，所以，又因?yàn)闈M足，可得，所以為定值，故B正確；對于C，因?yàn)?，所以，而（為坐?biāo)原點(diǎn)）恰好為等邊三角形，因此由知，，所以由雙曲線的定義知：，即，即雙曲線的離心率，故C錯誤；對于D，如圖，設(shè)直線與圓相切于點(diǎn)A，連接OA，則，且，作于點(diǎn)B，則，又因?yàn)?，所以，，因此在中，，又點(diǎn)在雙曲線右支上，所以，整理得，即，因此雙曲線的離心率，故D正確.故選：ABD.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：在雙曲線離心率和漸近線方程以及焦點(diǎn)三角形綜合問題求解過程中，經(jīng)常會用到勾股定理和雙曲線定義，根據(jù)三角形邊長之間的關(guān)系得出雙曲線中的關(guān)系式即可實(shí)現(xiàn)問題求解.三.填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分13.在的展開式中，的系數(shù)是________．（用數(shù)字作答）【答案】40【解析】【分析】根據(jù)二項(xiàng)式展開式的通項(xiàng)公式，得到的系數(shù).【詳解】的展開式的通項(xiàng)公式為：，令，解得：，的系數(shù)是．故答案為：4014.如果等邊圓柱（即底面直徑與母線相等的圓柱）的體積是，那么它的側(cè)面積等于________.【答案】【解析】【分析】先根據(jù)圓柱的體積求出底面圓的半徑，再根據(jù)圓柱的側(cè)面積公式即可得解.【詳解】設(shè)圓柱的底面圓的半徑為，則高為，故，解得，所以圓柱的側(cè)面積為.故答案為：.15.定義：有限集合，則稱為集合的“元素和”，記為.若集合，集合的所有非空子集分別為，，…，，則________.【答案】【解析】【分析】根據(jù)錯位相減可得中元素和，根據(jù)每一個元素在子集中出現(xiàn)的次數(shù)為，因此，即可求解．【詳解】由題意知集合中的元素分別為，，，，，設(shè)①，則②，①②，得，所以．由于集合中每一個元素在子集中出現(xiàn)的次數(shù)為，所以．故答案為：．16.若正實(shí)數(shù)滿足不等式，則________.【答案】【解析】【分析】一個不等式得到一個等式必定是兩邊取最值借助最值取等求，所以分別構(gòu)造函數(shù)結(jié)合導(dǎo)數(shù)求最值即可得到答案．詳解】記，當(dāng)時，；當(dāng)時，，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，，記，當(dāng)時，；當(dāng)時，，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，由題意，又因?yàn)?，所以，故，所?故答案為：.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)得出是解決本題關(guān)鍵.四.解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17.已知等比數(shù)列的首項(xiàng)，公比為，的項(xiàng)和為且，，成等差數(shù)列.（1）求的通項(xiàng)：（2）若，，求的前項(xiàng)和.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)題意，先驗(yàn)證不符合要求，然后再由列出方程，即可求得，從而得到通項(xiàng)公式；（2）根據(jù)題意，可得，其奇數(shù)次項(xiàng)依次構(gòu)成一個首項(xiàng)為1，公比為4的等比數(shù)列，而偶數(shù)次項(xiàng)依次構(gòu)成一個首項(xiàng)為，公差為的等差數(shù)列，然后結(jié)合數(shù)列求和的公式，代入計算即可得到結(jié)果．【小問1詳解】由題意，若，由首項(xiàng)，可知，，此時，不符合題意，故，則由，可得化簡整理，得，解得（舍去），或，，．【小問2詳解】由（1），可得，故數(shù)列的奇數(shù)項(xiàng)是以1為首項(xiàng)，4為公比的等比數(shù)列，偶數(shù)項(xiàng)是以為首項(xiàng)，為公差的等差數(shù)列，．18.已知的內(nèi)角、、的對邊分別為，，.（1）求的最大值；（2）若且，.求面積.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)，結(jié)合基本不等式即可得解；（2）根據(jù)正弦定理邊角互化得，進(jìn)而根據(jù)輔助角公式可得，即可求出角，根據(jù)正弦定理邊角互化得，由余弦定理可得，進(jìn)而根據(jù)面積公式即可求解.【小問1詳解】因?yàn)椋?，?dāng)且僅當(dāng)，即時等號成立，所以的最大值為；【小問2詳解】根據(jù)題意，得，因?yàn)?，所以，即，得，又，所以，所以，所以，由，由正弦定理得，又，由余弦定理可得，解得，所?19.如圖，在三棱錐中，是正三角形，，，，是的中點(diǎn).（1）證明：；（2）求平面與平面夾角的正弦值．【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)線線垂直可以推出面，即可得到；（2）以，所在直線分別為軸、軸，過作軸面，建立如圖空間直角坐標(biāo)系，由向量法計算即可求得．【小問1詳解】證明：取的中點(diǎn)，連接，，因?yàn)槭钦切危?，又因?yàn)椋堑闹悬c(diǎn)，所以，因?yàn)?，且，，平面平?所以平面，又因?yàn)槠矫妫?；小?詳解】由（1）知，，以，所在直線分別為軸、軸，過作軸平面，建立如圖空間直角坐標(biāo)系，則,0,，,0,，,1,，,0,，,2,，記，,則,,，根據(jù)，解得，則,,，設(shè)平面的法向量為,,，又,2,，,,，則，即，令，則平面的一個法向量為，設(shè)平面的法向量為，又，，則，即，令，則平面的一個法向量為，記平面與平面所成角為，那么，所以，所以平面與平面夾角的正弦值為．20.甲乙兩人進(jìn)行乒乓球比賽，經(jīng)過以往的比賽分析，甲乙對陣時，若甲發(fā)球，則甲得分的概率為，若乙發(fā)球，則甲得分的概率為.該局比賽甲乙依次輪換發(fā)球權(quán)（甲先發(fā)球），每人發(fā)兩球后輪到對方進(jìn)行發(fā)球.（1）求在前4球中，甲領(lǐng)先的概率；（2）16球過后，雙方戰(zhàn)平（），已知繼續(xù)對戰(zhàn)數(shù)球后，甲率先取得11分并獲得勝利（獲勝要求凈勝2分及以上）.設(shè)凈勝分為（甲，乙的得分之差），求的分布列.【答案】（1）（2）見解析【解析】【分析】（1）分甲乙比分為和兩種情況計算，然后再求和即可；（2）16球過后至少再比3場，甲連勝率先取得11分贏得比賽，或者再比4場，如果再比5場，甲11分的話，乙這時10分，不符合題意，所以該情況排除．分別計算甲乙的比分為或時的概率，結(jié)合條件概率的計算即可求解．【小問1詳解】甲與乙的比分是的概率為，比分是的概率為，故前4球中，甲領(lǐng)先的概率；【小問2詳解】依題意，接下來由甲先發(fā)球．繼續(xù)對戰(zhàn)數(shù)球后，甲獲得11分勝利，即甲或獲勝，即在接下來的比賽中，甲乙的比分為或，且最后一球均為甲獲勝，記比分為為事件，則，記比分為為事件，即在接下來的4場比賽中，前3場比賽中，甲獲勝兩場，期間甲發(fā)球兩次，乙發(fā)球兩次，，故甲依題意獲勝的概率為，的所有可能取值為3，2，由條件概率有，故的分布列為：2321.已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，離心率為，直線與橢圓C交于A，B兩點(diǎn)，且．(1)求橢圓C的方程．(2)不經(jīng)過點(diǎn)的直線被圓截得的弦長與橢圓C的長軸長相等，且直線與橢圓C交于D，E兩點(diǎn)，試判斷的周長是否為定值?若是，求出定值；若不是，請說明理由．【答案】（1）（2）的周長為定值為，詳見解析【解析】【分析】（1）根據(jù)已知條件求出A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)，再由和離心率為建立關(guān)于a,b,c的方程，從而得橢圓的方程；（2）根據(jù)直線被圓所截得的弦長等于橢圓的長軸長得出k,m的關(guān)系，再將直線與橢圓的方程聯(lián)立消去y，得到交點(diǎn)的橫坐標(biāo)的韋達(dá)定理表達(dá)式，分別求出，得出的周長為定值，得解.【詳解】（1）因?yàn)椋?，則即，所以橢圓C的方程可化為，由得不妨令易知則因?yàn)椋?即，又，所以所以橢圓C的方程為