武漢市常青聯(lián)合體2024-2025學(xué)年度第一學(xué)期期中考試高二數(shù)學(xué)試卷命題學(xué)校：武漢市第十七中學(xué)命題教師：黃沖審題教師：楊昌環(huán)考試時間：2024年11月14日8:00-10:00試卷滿分：150分一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.直線的傾斜角為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】先求出直線的斜率，然后結(jié)合傾斜角與斜率關(guān)系即可求解．【詳解】由題意得直線的斜率為．設(shè)直線的傾斜角為，則，由，得，故選：B．2.若方程表示焦點在軸上的橢圓，則實數(shù)的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由方程表示焦點在軸上的橢圓列出不等式組求解即可.【詳解】若方程表示焦點在軸上的橢圓，則，解得.故選：D.3.數(shù)學(xué)來源于生活，約3000年以前，我國人民就創(chuàng)造出了屬于自己計數(shù)方法．十進(jìn)制的算籌計數(shù)法就是中國數(shù)學(xué)史上一個偉大的創(chuàng)造，算籌實際上是一根根同長短的小木棍．下圖是利用算籌表示數(shù)1～9的一種方法．例如：3可表示為“”，26可表示為“”，現(xiàn)有5根算籌，據(jù)此表示方法，若算籌不能剩余，則用1～9這9個數(shù)字表示的所有兩位數(shù)中，個位數(shù)與十位數(shù)之和為5的概率是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)題意把5根算籌所能表示的兩位數(shù)列舉出來后，求出數(shù)字和為5的兩位數(shù)個數(shù)作答.【詳解】1根算籌只能表示1，2根算籌可表示2和6，3根算籌可表示3和7，4根算籌可表示4和8，5根算籌可表示5和9，因此5根算籌表示的兩位數(shù)有14，18，41，81，23，27，32，72，63，67，36，76，共12個，其中個位數(shù)與十位數(shù)之和為5的有14，41，23，32，共4個，所以所求概率為．故選：A4.設(shè)直線與圓相交于兩點，且的面積為8，則（）A. B. C.1 D.【答案】C【解析】【分析】利用三角形的面積公式可得，由圓心到直線的距離，再利用點線距公式建立方程，解之即可.【詳解】由三角形的面積公式可得，得，由，得，所以等腰直角三角形，所以圓心到直線的距離為，由點到直線的距離公式得，解得.故選：C5.設(shè)A，B為隨機(jī)事件，則的充要條件是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)互斥事件和獨立事件的概念可判斷AB；取特例可判斷C；由PA=PAB+PA【詳解】對于A，由可知A，B為互斥事件，概率不一定相等，A錯誤；對于B，由可知A，B相互獨立，與概率大小無關(guān)，B錯誤；對于C，拋擲一顆骰子，記擲出點數(shù)為事件A，擲出點數(shù)為事件B，則事件表示擲出點數(shù)為，為不可能事件，所以，，，顯然，由推不出，C錯誤；對于D，，，若，則，即，反之亦然，故的充要條件是，D正確.故選：D6.甲、乙、丙三人玩?zhèn)髑蛴螒?，每個人都等可能地把球傳給另一人，由甲開始傳球，作為第一次傳球，經(jīng)過3次傳球后，球回到甲手中的概率為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)古典概型運算公式進(jìn)行求解即可.【詳解】設(shè)甲、乙、丙三人用，由題意可知：傳球的方式有以下形式，，所求概率為.故選：C7.橢圓的上頂點為A，點均在C上，且關(guān)于x軸對稱．若直線AP，AQ的斜率之積為，則C的離心率為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)直線AP，AQ的斜率之積列方程，求得，進(jìn)而求得橢圓的離心率.【詳解】，設(shè)Px1,y1，則，則，故，又，則，所以，即，所以橢圓C的離心率為．故選：C8.直線過點，且與圓相交所形成的長度為整數(shù)的弦的條數(shù)為（）A.5 B.8 C.9 D.10【答案】C【解析】【分析】判斷已知點與圓的位置關(guān)系，并確定過定點的直線與圓所成弦長的范圍，結(jié)合圓的對稱性確定弦的條數(shù).【詳解】依題設(shè)，圓的圓心為，且半徑，而，即點在圓內(nèi)，且圓心到該點的距離，當(dāng)直線與、的連線垂直時，弦長最短為，而最長弦長為圓的直徑為，因此所有弦的弦長范圍為，所以相交所形成的長度為整數(shù)的弦，弦長為，根據(jù)圓的對稱性，弦長為各有2條，弦長為2的只有1條，所以共有9條.故選：C二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，有選錯的得0分，部分選對的得部分分．9.已知直線：和直線：，下列說法正確的是（

）A.始終過定點 B.若，則或C.若，則或2 D.當(dāng)時，始終不過第三象限【答案】ACD【解析】【分析】選項A可由含參直線定點坐標(biāo)求法可得；選項B當(dāng)時，，重合；選項C由一般方程垂直時系數(shù)關(guān)系可得；選項D化為斜截式后，由斜率和和軸上的截距可判斷.【詳解】選項A：：，令，得，過點，A正確；選項B：當(dāng)時，，重合，故B錯誤；選項C：當(dāng)時，由，得或2，故C正確；選項D：當(dāng)時，：始終過，斜率負(fù)，不會過第三象限，故D正確.故選：ACD10.已知F為橢圓的一個焦點，A，B為該橢圓的兩個頂點，若，則滿足條件的橢圓方程為（）A. B.C. D.【答案】BCD【解析】【分析】根據(jù)題意為該橢圓的兩個頂點，且，結(jié)合橢圓的幾何性質(zhì)，分類討論，即可求解.【詳解】由題意，已知F為橢圓的一個焦點，其中為該橢圓的兩個頂點，且，當(dāng)為左右兩個頂點時，可得，解得，所以，此時橢圓的方程為；當(dāng)為橢圓短軸的頂點，為長軸的頂點時，可得解得，則，此時橢圓的方程為；當(dāng)為橢圓長軸的頂點，為短軸的頂點時，可得，解得，則，此時橢圓的方程為.故選：BCD.11.在棱長為2的正方體中，分別為的中點，則下列選項正確的是（）A.B.直線與所成角的余弦值為C.三棱錐的體積為D.存在實數(shù)使得【答案】BD【解析】【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，求出，對于A，計算的值即可判斷；對于B，計算的值即可判斷；對于C，先計算得，接著計算，再由和平面且結(jié)合錐體體積公式即可計算求解；對于D，由計算求出即可得解.【詳解】由題可建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，所以，對于A，，故與不垂直，故A錯誤；對于B，，所以直線與所成角的余弦值為，故B正確；對于C，由上，所以，所以即，又，所以，因為，又由正方體性質(zhì)可知平面即平面，所以，故C錯誤；對于D，若存在實數(shù)使得，則，所以，所以，故D正確.故選：BD.【點睛】思路點睛：建立坐標(biāo)系解決立體幾何中的問題是一種常用方法，它的思維量小，計算量雖多但是計算簡單，解法直接自然和簡單，本題根據(jù)正方體的結(jié)構(gòu)特征建立了空間直角坐標(biāo)系，接著計算所需向量坐標(biāo)，從而根據(jù)各個問題的向量法理論公式直接計算即可判斷求解.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.已知圓的圓心在直線上，且過點，，則圓的方程為__________.【答案】【解析】【分析】根據(jù)題設(shè)可得線段中垂線方程為，聯(lián)立已知直線求圓心坐標(biāo)，進(jìn)而得半徑，即可得圓的方程.【詳解】由題設(shè)，且中點為，故線段中垂線方程為，由題意知，圓心也在上，聯(lián)立，可得圓心為，所以半徑，故圓的方程為.故答案為：13.王先生忘記了自己電腦的密碼，但記得密碼是由兩個3，一個6和一個9組成的四位數(shù)，于是他用這四個數(shù)字隨意排成一個四位數(shù)輸入電腦，則其能一次就打開電腦的概率是________．【答案】【解析】【分析】利用古典概率模型即可求解.【詳解】由題可知，密碼的可能情況有：3369,3396,3639,3693,3936,3963,6339,6393,6933,9336,9363,9633共有12種情況，其中只有1個密碼正確，所以能一次就打開電腦的概率是，故答案為:.14.關(guān)于橢圓有如下結(jié)論：“過橢圓上一點作該橢圓的切線，切線方程為．”設(shè)橢圓的左焦點為，右頂點為，過且垂直于軸的直線與的一個交點為，過作橢圓的切線，若切線的斜率與直線的斜率滿足，則橢圓的離心率為____________.【答案】【解析】【分析】根據(jù)題設(shè)有，，令，進(jìn)而有且，結(jié)合已知列橢圓參數(shù)的齊次方程求離心率.【詳解】由題設(shè)，，令代入橢圓，有，令，則過該點的切線，即為，所以，而，故，所以，則，即，又，則.故答案為：四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟15.已知的頂點，邊上的高線所在的直線方程為，邊上的中線所在的直線方程為．（1）求點的坐標(biāo)；（2）求直線方程．【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）由垂直關(guān)系求出直線的方程，再求出兩直線的交點坐標(biāo)即得.（2）設(shè)出點的坐標(biāo)，利用中點坐標(biāo)公式求出點坐標(biāo)，再利用兩點式求出直線方程.【小問1詳解】由邊上的高線所在的直線方程為，得直線的斜率為1，直線方程為，即，由，解得，所以點的坐標(biāo)是.【小問2詳解】由點在直線上，設(shè)點，于是邊的中點在直線上，因此，解得，即得點，直線的斜率，所以直線的方程為，即.16.垃圾分類（Garbageclassification），一般是指按一定規(guī)定或標(biāo)準(zhǔn)將垃圾分類儲存、投放和搬運，從而轉(zhuǎn)變成公共資源的一系列活動的總稱．垃圾分類具有社會、經(jīng)濟(jì)、生態(tài)等多方面的效益．小明和小亮組成“明亮隊”參加垃圾分類有獎答題活動，每輪活動由小明和小亮各答一個題，已知小明每輪答對的概率為p，小亮每輪答對的概率為且在每輪答題中小明和小亮答對與否互不影響，各輪結(jié)果也互不影響．已知一輪活動中，“明亮隊”至少答對1道題概率為．（1）求p的值；（2）求“明亮隊”在兩輪活動中答對3道題的概率．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）設(shè)“一輪活動中，“明亮隊”至少答對的1道題”，利用對立事件兩人都沒有答對可求解.（2）設(shè)“兩輪活動中小明答對了1道題”，“兩輪活動中小亮答對了1道題”，，1，2，分別求出其概率，設(shè)“明亮隊”在兩輪活動中答對3道題”，則從而可得答案.【小問1詳解】設(shè)“一輪活動中小明答對一題”，“一輪活動中小亮答對一題”，則，.設(shè)“一輪活動中，“明亮隊”至少答對的1道題”，則，由于每輪答題中小明和小亮答對與否不影響，所以A與B相互獨立，從而與相互獨立，所以，所以【小問2詳解】設(shè)“兩輪活動中小明答對了1道題”，“兩輪活動中小亮答對了1道題”，，1，2.由題意得，，，設(shè)“明亮隊”在兩輪活動中答對3道題”，則.由于和相互獨立，則與互斥，所以.所以，“明亮隊”在兩輪活動中答對3道題的概率為.17.如圖，在四棱錐中，，，，平面平面．（1）求證：平面；（2）點Q在棱上，與平面所成角的正弦值為，求平面與平面夾角的余弦值.【答案】（1）證明見解析；（2）.【解析】【分析】（1）若分別為中點，連接，易得、、、，再應(yīng)用面面垂直的性質(zhì)得面，由線面垂直的性質(zhì)證、，最后綜合線面垂直的性質(zhì)及判斷定理證結(jié)論；（2）構(gòu)建合適空間直角坐標(biāo)系，首先根據(jù)線面角的向量求法列方程求Q位置，再應(yīng)用向量法求面面角的余弦值.【小問1詳解】若分別為中點，連接，由，，則為直角梯形，且為中位線，所以，且，由，則，又，可得，面面，面，面面，則面，面，故，則，由面，則，又，均在面內(nèi)，所以面，面，可得，所以，故，即，由，則，而均在面內(nèi)，所以平面.【小問2詳解】由（1）可構(gòu)建如上圖所示的空間直角坐標(biāo)系，所以，令且，則，則，，，若是面的一個法向量，則，令，則，由題意，整理得，故，則，若是面的一個法向量，則，令，則，所以平面與平面夾角的余弦值.18.已知橢圓C:x2a2+（1）求的方程；（2）若直線與相交于不同于的，兩點，的中點為，當(dāng)時，①求證：為直角．②求的值．【答案】（1）；（2）①證明見解析；②.【解析】【分析】（1）根據(jù)點在橢圓上及焦距列方程求橢圓參數(shù)，即可得方程；（2）①由題設(shè)有，結(jié)合，有，即可證結(jié)論；②設(shè)，將直線方程和橢圓方程聯(lián)立，利用韋達(dá)定理及列方程求解即可.【小問1詳解】由題意，且，則，所以橢圓；【小問2詳解】①在中，又，兩點不同于，的中點為，當(dāng)時，此時，所以為直角，得證；②設(shè)，聯(lián)立，整理得，則，所以，則，，由，綜上，將韋達(dá)公式代入上式整理得，可得或，而時，直線過點，不合題設(shè)，當(dāng)時，滿足條件，所以.19.在空間直角坐標(biāo)系中，任何一個平面的方程都能表示成，其中，，且為該平面的法向量.已知集合，，（1）設(shè)集合，記中所有點構(gòu)成的圖形的面積為，中所有點構(gòu)成的圖形的面積為，求和的值；（2）記集合中所有點構(gòu)成的幾何體的體積為，中所有點構(gòu)成的幾何體的體積為，求和的值；（3）記集合T中所有點構(gòu)成的幾何體為W．求W的體積的值．【答案】（1），；（2），；（3）16.【解析】【分析】（1）分析題意進(jìn)行解答，分別表示出集合代表的點，得到的截面是正方形求出，同理得到是正方形求出即可.（2）根據(jù)（1）分析得為截去三棱錐所剩下的部分，用割補(bǔ)法求解體積即可.（3）根據(jù)題設(shè)，判斷幾何體的組成，再應(yīng)用棱錐、棱柱體積公式求體積.【小問1詳解】集合表示平面上所有的點，表示這八個頂點形成的正方體內(nèi)所有的點，而可以看成正方體在平面上的截面內(nèi)所有的點，發(fā)現(xiàn)它是邊長為2的正方形，因此.對于，當(dāng)時，表示經(jīng)過，，的平面在第一象限的部分.由對稱性，知Q表示，，，這六個頂點形成的正八面體內(nèi)所有的點.而可以看成正八面體在平面上的截面內(nèi)所有的點，它是邊長為