第2章間描述與坐標(biāo)變換2.1位置姿態(tài)表示與坐標(biāo)系描述2.2坐標(biāo)變換2.3齊次坐標(biāo)變換2.4齊次變換算子2.5復(fù)合變換2.6齊次變換的逆變換2.7變換方程2.8姿態(tài)的歐拉角表示

2.1位置姿態(tài)表示與坐標(biāo)系描述

1.位置描述

假設(shè)已經(jīng)建立了坐標(biāo)系，我們可以用一個(gè)3×1的位置矢量對(duì)世界坐標(biāo)系中的任何點(diǎn)進(jìn)行定位。因?yàn)榻?jīng)常需要定義多個(gè)坐標(biāo)系來(lái)描述機(jī)器人的幾何關(guān)系和運(yùn)動(dòng)，在描述一個(gè)位置矢量的時(shí)候需要指明是用哪一個(gè)坐標(biāo)系描述的。如圖2－1表示的一個(gè)坐標(biāo)系和位置矢量，用三個(gè)單位正交基矢量表示坐標(biāo)系{A}，坐標(biāo)原點(diǎn)和沿坐標(biāo)軸的單位矢量均用下標(biāo)“A”表示它們屬于{A}坐標(biāo)系。矢量Ap表示箭頭指向點(diǎn)的位置矢量，其中右上角標(biāo)“A”表示該點(diǎn)是用{A}坐標(biāo)系描述的。位置矢量Ap可以用分量表示為

（2-1）圖2－1坐標(biāo)系和位置矢量

2.姿態(tài)描述

一個(gè)剛體除了需要描述它的位置外，還需要描述它的方位（姿態(tài)）。任意平面剛體都可以用三個(gè)參數(shù)（x,y,θ）唯一描述其姿態(tài)。例如圖2－2所示的機(jī)器人，為了完整描述地面上的機(jī)器人，除了機(jī)器人的位置（質(zhì)心OB坐標(biāo)x,y）以外，還需要知道機(jī)器人的方位（頭的方向θ）。平面機(jī)器人位置一般用兩個(gè)坐標(biāo)系來(lái)描述，一個(gè)是固定的場(chǎng)地坐標(biāo)系{A}，另一個(gè)是與機(jī)器人固連在一起的機(jī)器人（運(yùn)動(dòng)）坐標(biāo)系{B}。機(jī)器人的位姿可以用機(jī)器人坐標(biāo)系{B}的原點(diǎn)和坐標(biāo)軸在固定坐標(biāo)系{A}中的方向來(lái)描述。圖2－2平面機(jī)器人位姿表示三維剛體的描述比較復(fù)雜，如圖2－3所示的機(jī)械手末端工具，需要描述工具的空間位置和姿態(tài)（方位），三維姿態(tài)的描述一般通過固定在物體上的坐標(biāo)系來(lái)實(shí)現(xiàn)。圖2－3機(jī)械手末端工具及坐標(biāo)系圖2－3中坐標(biāo)系{B}與機(jī)械手末端工具固連，工具的位置可以用固連坐標(biāo)系{B}的原點(diǎn)描述、工具的姿態(tài)可以由坐標(biāo)系{B}的方向來(lái)描述。而坐標(biāo)系{B}的方向可以用沿三個(gè)坐標(biāo)軸的單位矢量來(lái)表示:(2－2)(2－3)式（2－3）中內(nèi)積運(yùn)算的矢量都是在坐標(biāo)系{A}下表示的，因此，為了簡(jiǎn)單省略了矢量的上標(biāo)。事實(shí)上，矢量的內(nèi)積與所選擇的坐標(biāo)系無(wú)關(guān)，由矢量?jī)?nèi)積的定義得(2－4)（2-5）對(duì)比式（2－3）和式（2－5）可知兩個(gè)旋轉(zhuǎn)矩陣互為轉(zhuǎn)置，再根據(jù)正交矩陣的性質(zhì)可得以下關(guān)系:根據(jù)坐標(biāo)系單位矢量的正交關(guān)系可以驗(yàn)證式（2－6）成立。(2－7)

3.坐標(biāo)系描述

從前面介紹的位置和姿態(tài)描述可知，剛體的位姿可以用固連在剛體上的坐標(biāo)系來(lái)描述，坐標(biāo)原點(diǎn)表示剛體的位置，坐標(biāo)軸的方向表示剛體的姿態(tài)。因此，固連坐標(biāo)系把剛體位姿描述問題轉(zhuǎn)化為坐標(biāo)系的描述問題。圖2－3中坐標(biāo)系{B}可以在固定坐標(biāo)系{A}中描述為(2－8) 2.2坐標(biāo)變換

1.平移坐標(biāo)變換在圖2－4中，BP為坐標(biāo)系{B}描述的某一空間位置，同樣，我們也可以用AP（坐標(biāo)系{A}）描述同一空間位置。假設(shè)坐標(biāo)系{A}和坐標(biāo)系{B}姿態(tài)相同，則坐標(biāo)系{B}可以理解為坐標(biāo)系{A}的平移。APBO稱為坐標(biāo)系{B}相對(duì)坐標(biāo)系{A}的平移矢量，也可以理解為坐標(biāo)系{B}原點(diǎn)在坐標(biāo)系{A}描述下的位置矢量。因?yàn)閮蓚€(gè)坐標(biāo)系具有相同的姿態(tài)，同一個(gè)點(diǎn)在不同坐標(biāo)系下的描述滿足以下關(guān)系(2－9)圖2－4平移坐標(biāo)變換2.旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)變換

(2－10)圖2－5旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)變換將（2-9）式寫成矩陣形式得（參見（2-3）式）(2－11)式（2－11）即為我們要求的旋轉(zhuǎn)變換關(guān)系，該變換是通過兩個(gè)坐標(biāo)系之間的旋轉(zhuǎn)變換實(shí)現(xiàn)的。式（2－11）實(shí)現(xiàn)了空間點(diǎn)在不同坐標(biāo)系下描述的轉(zhuǎn)換，下面用平面旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)變換的例子說(shuō)明上述算法。

例2－1圖2－6給出了兩個(gè)平面坐標(biāo)系的位置關(guān)系，計(jì)

算旋轉(zhuǎn)變換矩陣BAR和同一矢量P在兩個(gè)坐標(biāo)系下表示之間的關(guān)系，假設(shè)矢量長(zhǎng)度為r。

解:因?yàn)樽鴺?biāo)軸為單位矢量，根據(jù)幾何關(guān)系得所以，根據(jù)式（2－3）可知旋轉(zhuǎn)變換矩陣為再根據(jù)式（2－11）可得矢量間的變換關(guān)系觀察圖2－6，根據(jù)幾何關(guān)系直接計(jì)算P在{A}下的表示顯然與上式相同，印證了坐標(biāo)變換方法的正確性。圖2-6平面旋轉(zhuǎn)變換也可以從另一個(gè)角度獲得矢量P在{A}下的表示，首先將矢量在{B}下表示再根據(jù)前面的結(jié)果，將坐標(biāo)系{B}的基矢量用坐標(biāo)系{A}的基矢量表示，得結(jié)果與前面計(jì)算的相同。圖2－7給出了兩個(gè)坐標(biāo)系關(guān)系的示意圖，為了得到位置矢量BP和AP之間的變換關(guān)系，我們建立一個(gè)中間坐標(biāo)系{C}。坐標(biāo)系{C}與坐標(biāo)系{B}原點(diǎn)重合，且與坐標(biāo)系{A}的姿態(tài)相同。通過引入坐標(biāo)系{C}，可以采用前面介紹的平移與旋轉(zhuǎn)變換得到一般情況下的變換關(guān)系:(2－12)(2－13)圖2－7復(fù)合變換

2.3齊次坐標(biāo)變換

式（2－13）表示了一般情況下的變換關(guān)系，在機(jī)器人學(xué)中經(jīng)常需要計(jì)算多個(gè)坐標(biāo)系之間的坐標(biāo)變換，采用上述表達(dá)不夠簡(jiǎn)明和清楚。因此，常用所謂的“齊次坐標(biāo)變換”來(lái)描述坐標(biāo)系之間的變換關(guān)系。坐標(biāo)變換式（2－13）可以寫成以下形式(2－14)將位置矢量用4×1矢量表示，增加1維的數(shù)值恒為1，我們?nèi)匀挥迷瓉?lái)的符號(hào)表示4維位置矢量并采用以下符號(hào)表示坐標(biāo)變換矩陣(2－15)可以得到齊次坐標(biāo)變換關(guān)系(2－16)

2.4齊次變換算子

1.平移算子

(2－17)圖2－8平移算子可以采用齊次變換矩陣表示平移變換(2－18)Trans(AQ)稱為平移算子，其表達(dá)式為(2－19)其中I是3×3單位矩陣。例如若AQ=ai+bj+ck，其中i、j和k分別表示坐標(biāo)系{A}三個(gè)坐標(biāo)軸的單位矢量，則平移算子表示為(2－20)

2.旋轉(zhuǎn)算子同樣，我們可以研究矢量在同一坐標(biāo)系下的旋轉(zhuǎn)變換，如圖2－9所示，AP1繞Z軸轉(zhuǎn)θ角得到AP2。則(2－21)Rot(z,θ)稱為旋轉(zhuǎn)算子，其表達(dá)式為(2－22)圖2－9旋轉(zhuǎn)算子同理，可以得到繞X軸和Y軸的旋轉(zhuǎn)算子(2－23)式中“c”,“s”分別代表“cos”和“sin”。定義了平移算子和旋轉(zhuǎn)算子以后，可以將它們復(fù)合實(shí)現(xiàn)復(fù)雜的映射關(guān)系。變換算子與前面介紹的坐標(biāo)變換矩陣形式完全相同，因?yàn)樗忻枋鼍谕蛔鴺?biāo)系下，所以不需上下標(biāo)描述（坐標(biāo)系）。(2－24)

例2－2已知矢量AP1=［370］T，先將其繞ZA旋轉(zhuǎn)30°，再沿XA軸平移10個(gè)單位、沿YA軸平移5個(gè)單位，計(jì)算變換后得到的矢量AP2。

解:根據(jù)式（2－15）得變換算子:

3.齊次坐標(biāo)變換總結(jié)

（1）坐標(biāo)系的描述。表示坐標(biāo)系{B}在坐標(biāo)系{A}下的描述，的各列是坐標(biāo)系{B}三個(gè)坐標(biāo)軸方向的單位矢量，而APBO表示坐標(biāo)系{B}原點(diǎn)位置。

（2）不同坐標(biāo)系間的坐標(biāo)變換。如。

（3）同一坐標(biāo)系內(nèi)的變換算子。如。

齊次坐標(biāo)變換是復(fù)雜空間變換的基礎(chǔ)，必須認(rèn)真理解和掌握。具體應(yīng)用的關(guān)鍵是理解它代表的是上面三種含義的哪一種，而不是簡(jiǎn)單的套用公式。

2.5復(fù)合變換

復(fù)合變換主要有兩種應(yīng)用形式，一種是建立了多個(gè)坐標(biāo)系描述機(jī)器人的位姿，任務(wù)是確定不同坐標(biāo)系下對(duì)同一個(gè)量描述之間的關(guān)系；另一種是一個(gè)空間點(diǎn)在同一個(gè)坐標(biāo)系內(nèi)順序經(jīng)過多次平移或旋轉(zhuǎn)變換，任務(wù)是確定多次變換后點(diǎn)的位置。

如圖2－10表示的三個(gè)坐標(biāo)系，已知坐標(biāo)系{A}、{B}和{C}之間的變換矩陣和位置矢量CP，求在坐標(biāo)系{A}下表示同一個(gè)點(diǎn)的位置矢量AP。先計(jì)算在坐標(biāo)系{B}下表示同一個(gè)點(diǎn)的位置矢量BP，然后計(jì)算在坐標(biāo)系{A}下表示同一個(gè)點(diǎn)的位置矢量AP。

(2－25)(2－26)根據(jù)坐標(biāo)變換的定義得(2－27)圖2－10復(fù)合坐標(biāo)變換

例2－3

已知點(diǎn)u=7i+3j+2k，先對(duì)它進(jìn)行繞Z軸旋轉(zhuǎn)90°的變換得點(diǎn)v，再對(duì)點(diǎn)v進(jìn)行繞Y軸旋轉(zhuǎn)90°的變換得點(diǎn)

w，求v和w。

解:由旋轉(zhuǎn)變換的公式得如果只關(guān)心最后的變換結(jié)果，可以按下式計(jì)算計(jì)算結(jié)果與前面的相同，R=Rot(y,90°)Rot(z,90°)稱為復(fù)合旋轉(zhuǎn)算子。圖2－11（a）給出了變換前后點(diǎn)的位置。如果改變旋轉(zhuǎn)順序，先對(duì)它進(jìn)行繞Y軸旋轉(zhuǎn)90°，再繞Z軸旋轉(zhuǎn)90°，結(jié)果如圖2－11（b）所示。比較圖2－11（a）和圖2－11（b）可以發(fā)現(xiàn)最后的結(jié)果并不相同，即旋轉(zhuǎn)順序影響變換結(jié)果，從數(shù)學(xué)角度解釋就是矩陣乘法不滿足交換率，Rot(y,90°)Rot(z,90°)≠Rot(z,90°)Rot(y,90°)。圖2－11旋轉(zhuǎn)順序?qū)ψ儞Q結(jié)果的影響(2－28)2.6齊次變換的逆變換將坐標(biāo)變換用于坐標(biāo)系{B}的原點(diǎn)得(2－29)BPBO是坐標(biāo)系{B}的原點(diǎn)在坐標(biāo)系{B}中的描述，顯然為零矢量。由式（2－29）得(2－30)因此，逆變換可以直接用正變換的旋轉(zhuǎn)矩陣和平移矩陣表示(2－31)逆變換矩陣推導(dǎo)的另一種方法根據(jù)坐標(biāo)變換式（2－13）可得：(2－32)將坐標(biāo)系{A}到坐標(biāo)系{B}的變換:（2－33）比較式（2－32）和式（2－33）得結(jié)果與前面推導(dǎo)的式（2－31）完全相同。

例2－4

如圖2－12給出的楔形塊角點(diǎn)坐標(biāo)系，求齊次坐標(biāo)變換圖2－12楔形塊角點(diǎn)坐標(biāo)系

解:為了簡(jiǎn)化公式表示，用“c”和“s”分別代表“cos”和“sin”。

（1）{A}沿xA平移3個(gè)單位，再繞新的zA軸轉(zhuǎn)180°得{B}。因此（2）{B}沿zB平移2個(gè)單位，然后繞yB軸轉(zhuǎn)90o再繞新xB軸轉(zhuǎn)150°得{C}。因此也可以按以下方法計(jì)算:③{A}沿xA和zA平移3個(gè)和2個(gè)單位，然后繞yA軸轉(zhuǎn)90°，再繞新xA軸轉(zhuǎn)-30°得{C}。因此可以得到相同的結(jié)果，事實(shí)上，對(duì)于像本例題這種簡(jiǎn)單的情況，可以直接利用齊次坐標(biāo)變換的定義得到變換矩陣。即直接寫出坐標(biāo)系{C}坐標(biāo)軸矢量在坐標(biāo)系{A}下表示的旋轉(zhuǎn)矩陣，平移矢量為坐標(biāo)系{C}的原點(diǎn)在坐標(biāo)系{A}下的矢量表示。 2.7變換方程

圖2－13表示了多個(gè)坐標(biāo)系的關(guān)系圖，可以用兩種不同的方式得到世界坐標(biāo)系{U}下坐標(biāo)系{D}的描述。(2－34)(2－35)可以利用變換方程（2－36）求解其中任意一個(gè)未知變換。例如，假設(shè)除以外其余變換均為已知，則該未知變換可以用下式計(jì)算(2－37)圖2－13坐標(biāo)變換序列我們?cè)谧鴺?biāo)系的圖形表示方法中，采用從一個(gè)坐標(biāo)系的原點(diǎn)指向另一個(gè)坐標(biāo)系原點(diǎn)的箭頭表示坐標(biāo)系的描述關(guān)系。例如在圖2－14中，相對(duì){D}定義坐標(biāo)系{A}。在圖中將箭頭串聯(lián)起來(lái)，通過簡(jiǎn)單的變換矩陣相乘即可得到起點(diǎn)到終點(diǎn)的坐標(biāo)系描述。如果一個(gè)箭頭的方向與串聯(lián)的方向相反，只需先求出該變換的逆再相乘即可。例如在圖2－14中坐標(biāo)系{C}的兩種描述為(2－38)(2－39)圖2－14坐標(biāo)變換序列

例2－5

假設(shè)已知圖2－15中機(jī)械臂末端工具坐標(biāo)系{T}相對(duì)基座坐標(biāo)系{B}的描述，還已知工作臺(tái)坐標(biāo)系{S}相對(duì)基座坐標(biāo)系{B}的描述，并且已知螺栓坐標(biāo)系{G}相對(duì)工作臺(tái)坐標(biāo)系{S}的描述。計(jì)算螺栓相對(duì)機(jī)械臂工具坐標(biāo)系的位姿。

解:添加從工具坐標(biāo)系{T}原點(diǎn)到螺栓坐標(biāo)系{G}原點(diǎn)的箭頭，可以得到如下變換方程(2－40)螺栓相對(duì)機(jī)械臂工具坐標(biāo)系的位姿描述為(2－41)圖2－15機(jī)械臂對(duì)螺栓操作

2.8姿態(tài)的歐拉角表示

2.1節(jié)采用3×3的旋轉(zhuǎn)矩陣描述了三維剛體的姿態(tài)，但9個(gè)分量中只有3個(gè)獨(dú)立的分量。能否使用3個(gè)獨(dú)立的分量描述三維剛體的姿態(tài)呢？答案是肯定的，比較常用的是下面的ZYZ歐拉角描述方法。歐拉角用一個(gè)繞Z軸旋轉(zhuǎn)角，再繞新的Y軸旋轉(zhuǎn)θ角，最后繞新的Z軸旋轉(zhuǎn)ψ角來(lái)描述任何可能的姿態(tài)，見圖2－16。圖中虛線表示旋轉(zhuǎn)形成的新坐標(biāo)軸。根據(jù)旋轉(zhuǎn)關(guān)系可以得到變換矩陣(2－42)圖2－16

Z－Y－Z歐拉角具體計(jì)算結(jié)果計(jì)算如下:另一種常用的旋轉(zhuǎn)組合是橫滾（roll）、俯仰（pitch）和偏轉(zhuǎn)（yaw）。圖2－17給出了變換的示意圖，這三個(gè)角度表示了船航行的三個(gè)方位描述。需要注意的是，橫滾、俯仰和偏轉(zhuǎn)表示都是相對(duì)固定坐標(biāo)系表述的，而前面介紹的Z－Y－Z歐拉角描述是相對(duì)動(dòng)坐標(biāo)系描述的。規(guī)定變換順序?yàn)槠D(zhuǎn)ψ角、俯仰θ角和橫滾￠角。根據(jù)旋轉(zhuǎn)關(guān)系可以得到變換矩陣(2－43)圖2－17橫滾、仰俯和偏轉(zhuǎn)表示姿態(tài)

1.通用旋轉(zhuǎn)算子

我們已經(jīng)研究了繞坐標(biāo)軸的旋轉(zhuǎn)變換，下面研究繞任意軸（用單位矢量f表示）旋轉(zhuǎn)θ角的旋轉(zhuǎn)矩陣。如圖2－18所示，假設(shè)矢量f在固定坐標(biāo)系{A}下表示，另外，我們通過矢量Ap繞任意軸f旋轉(zhuǎn)θ角得到旋轉(zhuǎn)矩陣。以f為Z軸建立與{A}固連的坐標(biāo)系{C}，其原點(diǎn)與{A}的原點(diǎn)重合，因此可以用旋轉(zhuǎn)矩陣描述坐標(biāo)系{C}。用n、o和f表示坐標(biāo)系{C}三個(gè)坐標(biāo)軸的單位矢量，在坐標(biāo)系{A}下表示為(2－46)則旋轉(zhuǎn)矩陣表示為(2－47)Ap1=

Rot(f,

)Ap

（2－48）(2－49)(2－50)圖2－18繞任意軸旋轉(zhuǎn)變換再將Cp1在坐標(biāo)系{A}下表示(2－51)比較式（2－48）和式（2－51）可得(2－52)式中，旋轉(zhuǎn)矩陣的各表達(dá)式如下（2－53）上式中的n和o各分量是未知的，需要用f的各分量表示，根據(jù)坐標(biāo)系的右