學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精1。2回歸分析知識梳理1.回歸直線方程為______________________,其中=___________，=___________.2。回歸直線不能精確地反映x與y之間的關(guān)系,y的值不能由x完全確定，它們之間是___________關(guān)系，y=a+bx+ε，其中___________是確定性函數(shù)，ε稱為___________，將___________稱為線性回歸模型。3.隨機(jī)誤差產(chǎn)生的主要原因有：（1）所用的確立性函數(shù)不恰當(dāng)引起的誤差;(2)____________________________________________________________________；（3）____________________________________________________________________。4.對于x、y隨機(jī)取到的n對數(shù)據(jù)（xi，yi）（i=1,2,…，n），樣本相關(guān)系數(shù)γ的計算公式為γ=____________________________________________________________________=____________________________________________________________________.5。線性相關(guān)系數(shù)γ的性質(zhì)：(1)|γ｜≤1；（2)｜γ｜越接近于__________,y的線性相關(guān)程序越強(qiáng);（3)｜γ｜越接近于__________，y的線性相關(guān)程序越弱.知識導(dǎo)學(xué)在研究兩個變量之間的關(guān)系時,首先可以利用散點(diǎn)圖來粗略判斷它們是否線性相關(guān)，是否可以用線性回歸模型來擬合數(shù)據(jù)。作相關(guān)檢驗的依據(jù)可以利用樣本相關(guān)系數(shù)γ，當(dāng)γ〉0時，表明x與y正相關(guān);γ<0時，表明x與y負(fù)相關(guān);當(dāng)｜γ｜→1時，表明x與y的線性相關(guān)性越強(qiáng)；當(dāng)|γ|→0時，表明x與y的線性相關(guān)性越弱，幾乎不存在線性相關(guān)的關(guān)系。疑難突破1.建立回歸模型的基本步驟是什么呢？一般地,建立回歸模型的基本步驟是:（1）確定研究對象，明確哪個變量是解釋變量，哪個變量是預(yù)報變量。（2)畫出確定好的解釋變量和預(yù)報變量的散點(diǎn)圖，觀察它們之間的關(guān)系.(例如是否存在線性關(guān)系等）（3）由經(jīng)驗確定回歸方程的類型（如果我們觀察到數(shù)據(jù)是線性關(guān)系,則選用線性回歸方程y=bx+a）.（4）按一定的規(guī)則估計回歸方程中的參數(shù)（如最小二乘法).2.在應(yīng)用回歸直線方程解決問題時，應(yīng)注意些什么呢?(1)回歸直線方程只適合于我們所研究的樣本的總體。例如：不能用女大學(xué)生的身高與體重之間的回歸直線方程，描述女運(yùn)動員的身高和體重之間的關(guān)系.同樣，不能用生長在南方多雨地區(qū)的樹木的高與直徑之間的回歸直線方程,來描述北方干旱地區(qū)樹木的高與直徑之間的關(guān)系。(2）我們所建立的回歸直線方程一般都有時間性.例如：不能用20世紀(jì)80年代人的身高、體重數(shù)據(jù)所建立的回歸方程，描述現(xiàn)在人的身高、體重間的關(guān)系。（3）樣本取值的范圍會影響回歸方程的適用范圍，例如：我們的回歸直線方程是由女大學(xué)生身高和體重的數(shù)據(jù)建立的，那么用它來描述一個人幼兒時期的身高和體重之間的關(guān)系就不恰當(dāng)。（4）不能認(rèn)為回歸直線方程得到的預(yù)報值就是預(yù)報變量的精確值.事實上，它是預(yù)報變量可能取值的平均值。典題精講【例1】為了了解某地母親身高x與女兒身高y的相關(guān)關(guān)系，現(xiàn)隨機(jī)測得10對母女的身高，所得數(shù)據(jù)如下表所示：母親身高x(cm)159160160163159154159158159157女兒身高y（cm)158159160161161155162157162156試對x與y進(jìn)行線性回歸分析，并預(yù)測當(dāng)母親身高為161cm時，女兒的身高為多少？思路分析：這是一個回歸分析類問題，解決這一類問題,首先應(yīng)對問題進(jìn)行必要的相關(guān)性檢驗,如果x與y之間具有相關(guān)關(guān)系，再求出對應(yīng)的回歸直線方程，最后利用回歸直線方程來預(yù)報當(dāng)x=161cm時y的值，當(dāng)γ〉0時,表明x與y正相關(guān)，γ<0時，表明x與y負(fù)相關(guān)，當(dāng)｜γ｜→1時，表明x與y的線性相關(guān)越強(qiáng)，當(dāng)｜γ｜→0時,表明x與y的相關(guān)性越弱,幾乎不存在相關(guān)關(guān)系，通常認(rèn)為當(dāng)γ>0。75時，變量x、y有很強(qiáng)的相關(guān)關(guān)系，因而求回歸直線方程才有意義，也才可以預(yù)測取值的情況.解：作線性相關(guān)性檢驗，=×（159+160+…+157）=158.8.=×(158+159+…+156）=159.1-10=（1592+1602+…+1572)—10×158。82=47.6—=（159×158+160×159+…+157×156)-10×158。8×159。1=37.2—10=（1582+1592+…+1562）-10×159.12=56。9因此γ==≈0.71由于0.71接近于1，表明x與y有較強(qiáng)的相關(guān)關(guān)系,因而求回歸直線方程有必要。又==0。78=159。1—0.78×158。8=35.2由此得回歸直線方程為=35.2+0。78x;回歸系數(shù)=0.78反映出當(dāng)母親身高每增加1cm時女兒身高平均增加0.78cm,=35.2可以理解為女兒身高中不受母親身高影響的部分，當(dāng)母親身高為161cm時預(yù)報女兒身高為:=0.78×161+35.2=160.78≈161cm,這就是說當(dāng)母親身高為161cm時，女兒身高大致也為161cm。綠色通道：判斷x與y是否具有線性相關(guān)關(guān)系，還可以先作出散點(diǎn)圖，從點(diǎn)的分布特征來判定是否線性相關(guān)。黑色陷阱：有些同學(xué)不對問題進(jìn)行必要的相關(guān)性檢驗，直接求x與y的回歸直線方程,它就沒有任何實際價值，也就不能發(fā)現(xiàn)變量x與y間的變化規(guī)律，另外,要注意計算的正確性?！咀兪接?xùn)練】某班5名學(xué)生的數(shù)學(xué)和化學(xué)成績?nèi)缦卤硭荆瑢與y進(jìn)行回歸分析，并預(yù)報某學(xué)生數(shù)學(xué)成績?yōu)?5分時，他的化學(xué)成績是多少？學(xué)生學(xué)科ABCDE數(shù)學(xué)成績（x)8876736663化學(xué)成績（y)7865716461解：對x與y作相關(guān)性判斷.=×(88+76+73+66+63）=73.2=×（78+65+71+64+61)=67.8=882+762+732+662+632=27174=782+652+712+642+612=23167=88×78+76×65+71×73+64×66+61×63=25054∴-=27174—5×73。22=382.8-=25054—5×73。2×67。8=239.2-=23167-5×67.82=182。8∴r=≈0.904。由于｜r|=0。904接近于1，表明兩個變量之間存在著線性相關(guān)關(guān)系.∴≈0.625，=67。8-73.2×0.625=22.05=0.625x+22。05∴當(dāng)x=75時，≈69.故次時他的化學(xué)成績?yōu)?9分?！纠?】一個車間為了規(guī)定工時定額,需要確定加工零件所花費(fèi)的時間，為此進(jìn)行了10次試驗，測得數(shù)據(jù)如下：零件數(shù)x(個）102030405060708090100加工時間y（個）626875818995102108115122（1）y與x是否具有線性相關(guān)關(guān)系；（2）如果y與x具有線性相關(guān)關(guān)系，求回歸直線方程；（3）根據(jù)求出的回歸直線方程，預(yù)測加工200個零件所用的時間為多少。思路分析：這是一個回歸分析問題，應(yīng)先進(jìn)行線性相關(guān)檢驗或作散點(diǎn)圖來判斷x與y是否具有線性相關(guān)關(guān)系，如果線性相關(guān)，才可以求解后面的問題,否則就使得求回歸直線方程沒有意義.要作相關(guān)性檢驗,應(yīng)先利用γ.γ=求出樣本相關(guān)系數(shù)γ，利用當(dāng)γ>0時,兩個變量正相關(guān)；當(dāng)γ〈0時，兩個變量負(fù)相關(guān)；當(dāng)｜γ|→1時，表明兩個變量的線性相關(guān)性越強(qiáng)；當(dāng)|γ｜→0時,表明兩個變量之間幾乎不存在線性相關(guān)關(guān)系;當(dāng)γ〉0。75時，認(rèn)為兩個變量有很強(qiáng)的線性相關(guān)關(guān)系.解：（1)列出下表：i12345678910xi102030405060708090100yi626875818995102108115122xiyi62013602250324044505700714086401035012200∴=55，=91。7∴γ==≈0。9998由于γ=0.9998〉0.75，因此x與y之間有很強(qiáng)的線性相關(guān)關(guān)系，因而可求回歸直線方程。（2）設(shè)所求的回歸直線方程為=.則有=≈0.668=91.7-0.668×55=54。96。因此，所求的回歸直線方程為y=0.668x+54。96.(3）這個回歸直線方程的意義是當(dāng)x每增大1時，y的值約增加0。668，而54。96是y不隨x增加而變化的部分，因此，當(dāng)x=200時，y的估計值為y=0.668×200+54。96=188。56≈189。因此，加工200個零件時所用的工時約為189個?！咀兪接?xùn)練】對于x與y有如下觀測數(shù)據(jù)：X1825303941424952Y356788910(1)作出散點(diǎn)圖;（2）對x與y作回歸分析；(3）求出x對y的回歸直線方程___________________；(4）根據(jù)回歸直線方程，預(yù)測y=20時的x值。解：（1）作出散點(diǎn)圖（如下圖所示）（2）作相關(guān)性檢驗?！粒?8+25+30+39+41+42+49+52)==37×(3+5+6+7+8+8+9+10)=7.=182+252+302+392+412+422+492+522=11920=32+52+62+72+82+82+92+102=428=18×3+25×5+30×6+39×7+41×8+42×8+49×9+52×10=2257∴—=2257—8×37×7=185-=11920-8×372=968。-=428-8×72=36∴r==≈0.991由于r=0.991＞0.75,因此,認(rèn)為兩個變量有很強(qiáng)的相關(guān)關(guān)系；（3）回歸系數(shù)=≈0。191=7-0。191×37=—0。067。所以y對x的回歸直線方程=0.191x-0.067;(4)當(dāng)y=20時，有20=0。191x-0。067，∴x=≈105.因此在y的值為20時,x的值約為105.【例3】某種圖書每冊的成本費(fèi)y（元）與印刷冊數(shù)x(千冊）有關(guān)，經(jīng)統(tǒng)計得到數(shù)據(jù)如下，x123510203050100200y10.155。524。082.852。111.621。411。301。211。15檢測每冊書的成本費(fèi)y與印刷冊數(shù)的倒數(shù)之間是否具有線性相關(guān)關(guān)系，如有，求出y對x的回歸方程.思路分析:本題與前面的問題有所不同，y與x之間不具有線性回歸關(guān)系，因而是非線性回歸問題,對于非線性回歸問題有時不給出經(jīng)驗公式，這時我們可以畫出已知數(shù)據(jù)的散點(diǎn)圖,把它與必修1中學(xué)過的基本初等函數(shù)（冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)）圖象作比較，挑選一種跟這些散點(diǎn)擬合得最好的函數(shù)，然后采用適當(dāng)?shù)淖兞恐脫Q，把問題化為線性回歸分析問題，使其得到解決.對于本題不妨設(shè)變量u=,題意要求對u與y作相關(guān)性檢驗，如果他們具有線性相關(guān)關(guān)系，就可以進(jìn)一步求出y對u的回歸直線方程，這時再回代u=，就得到了y對x的回歸曲線方程.解：首先作變量置換u=，題目所給數(shù)據(jù)變成如下表所示的數(shù)據(jù)。ui10.50。330.20。10.050。030.020。010.005yi10.155.524。082。852.111.621.411.301.211.15可以求得，γ==0。9998由γ=0.9998>0.75,因此，變量y與ui間具有較強(qiáng)的線性相關(guān)關(guān)系，并且=8.973,=1.125.最后回代a=可得=1。125+因此,y與x的回歸方程為=1.125+?！咀兪接?xùn)練】一只紅鈴蟲的產(chǎn)卵數(shù)y和溫度x有關(guān)，現(xiàn)收集了7組觀測數(shù)據(jù)列成下表,試建立y與x之間的回歸方程。溫度x/℃21232527293235產(chǎn)卵數(shù)y/個711212466115325解：根據(jù)收集的數(shù)據(jù)，作散點(diǎn)圖，如下圖.從圖中可以看出，樣本點(diǎn)并沒有分布在某個帶狀區(qū)域內(nèi)，因此兩個變量不呈線性相關(guān)關(guān)系，所以不能直接利用線性回歸方程來建立兩個變量之間的關(guān)系,根據(jù)已有的函數(shù)知識，可以發(fā)現(xiàn)樣本點(diǎn)分布在某一條直數(shù)函數(shù)曲線y=附近，其中C1、C2為待定的參數(shù),我們可以通過對數(shù)變換把指數(shù)關(guān)系變?yōu)榫€性關(guān)系，令z=lgy,則變換后樣本點(diǎn)分布在直線z=bx+a(a=lnC1，b=lnC2)的附近，這樣可以利用線性回歸建立y與x的非線性回歸方程了。變換的樣本點(diǎn)分布在一條直線的附近，因此可以用線性回歸方程來擬合.由上表中的數(shù)據(jù)可得到變換的樣本數(shù)據(jù)表如下表：x21232527293235y1.9462。3983.0453.1784.1904。7455.784可以求得線性回歸直線方程為=0。272x—3。843因此紅鈴蟲的產(chǎn)卵數(shù)對溫度的非線性回歸方程為=e0。272x—3.843，另一方面，可以認(rèn)為圖中的樣本點(diǎn)集中在某二次曲線y=的附近，其中C3、C4為待定參數(shù)，因此可以對溫度變量進(jìn)行變換，令t=x2，然后建立y與t之間的線性回歸方程.從而得到y(tǒng)與x之間的非線性回歸方程.下表是紅鈴蟲的產(chǎn)卵數(shù)和對應(yīng)溫度的平方的線性回歸模型擬合表,作出相應(yīng)的散點(diǎn)圖如下圖所示:t44152962572984110241225y7