趣題——找次品:2)有12個外形相同的乒乓球,其中只有1個重量不標(biāo)準(zhǔn)的次品乒乓球。請用一架不帶砝碼的天平,最多三次使用該天平,找出上述次品乒乓球,并判斷它是重于標(biāo)準(zhǔn)球,還是輕于標(biāo)準(zhǔn)球第三章若干數(shù)學(xué)典故中的數(shù)學(xué)文化第一節(jié)歷史上的三次數(shù)學(xué)危機(jī)歷史上,數(shù)學(xué)的發(fā)展有順利也有曲折。大的挫折也可以叫做危機(jī)。危機(jī)也意味著挑戰(zhàn),危機(jī)的解決就意味著進(jìn)步。所以,危機(jī)往往是數(shù)學(xué)發(fā)展的先導(dǎo)。數(shù)學(xué)發(fā)展史上有三次數(shù)學(xué)危機(jī)。每一次數(shù)學(xué)危機(jī),都是數(shù)學(xué)的基本部分受到質(zhì)疑。實際上,也恰恰是這三次危機(jī),引發(fā)了數(shù)學(xué)上的三次思想解放,大大推動了數(shù)學(xué)科學(xué)的發(fā)展。、第一次數(shù)學(xué)危機(jī)第一次數(shù)學(xué)危機(jī)是由√2不能寫成兩個整數(shù)之比引發(fā)的,我們在第二章已專門討論過,現(xiàn)再簡要回顧一下。這一危機(jī)發(fā)生在公元前5世紀(jì),危機(jī)來源于:當(dāng)時認(rèn)為所有的數(shù)都能表示為整數(shù)比,但突然發(fā)現(xiàn)不能表為整數(shù)比其實質(zhì)是:√2是無理數(shù),全體整數(shù)之比構(gòu)成的是有理數(shù)系,有理數(shù)系需要擴(kuò)充,需要添加無理數(shù)。當(dāng)時古希臘的歐多克索斯部分地解決了這一危機(jī)。他采用了一個十分巧妙的關(guān)于“兩個量之比”的新說法,回避y2是無理數(shù)的實質(zhì),而是用幾何的方法去處理不可公度比。這樣做的結(jié)果,使幾何的基礎(chǔ)牢靠了,幾何從全部數(shù)學(xué)中脫穎而出。歐幾里得的《幾何原本》中也采用了這一說法,以致在以后的近二千年中,幾何變成了幾乎是全部嚴(yán)密數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)但是徹底解決這一危機(jī)是在19世紀(jì),依賴實數(shù)理論的建立。二、第二次數(shù)學(xué)危機(jī)第二次數(shù)學(xué)危機(jī)發(fā)生在牛頓創(chuàng)立微積分的十七世紀(jì)。第一次數(shù)學(xué)危機(jī)是由畢達(dá)哥拉斯學(xué)派內(nèi)部提出的,第二次數(shù)學(xué)危機(jī)則是由牛頓學(xué)派的外部、貝克萊大主教提出的,是對牛頓“無窮小量”說法的質(zhì)疑引起的。1.危機(jī)的引發(fā)1)牛頓的“無窮小”牛頓的微積分是一項劃時代的科學(xué)成就,蘊(yùn)含著巨大的智慧和創(chuàng)新,但也有邏輯上的問題。我們來看一個例子。微積分的一個來源,是想求運(yùn)動物體在某一時刻的瞬時速度。在牛頓之前,只能求一段時間內(nèi)的平均速度,無法求某一時刻的瞬時速度。例如,設(shè)自由落體在時間下落的距離為S()有公式S(1)=1g其中g(shù)是固定的重力加速度。我們要求物體在t0的瞬時速度,先求^