10.1

Z變換10.2

Z反變換10.3

Z變換的性質10.4離散系統(tǒng)的Z域分析10.5離散系統(tǒng)函數(shù)及系統(tǒng)特性分析習題10第10章離散信號與系統(tǒng)的Z域分析10.1

Z變換

10.1.1

Z變換定義

離散信號f(k)的Z變換定義為

(10-1)

式(10-1)稱為雙邊Z變換。

信號F(z)的Z反變換定義為

(10-2)

F(z)稱為f(k)的Z變換，f(k)稱為F(z)的反變換，也可記為f(k)

F(z)。

(1)如果離散信號f(k)為因果序列，即當k<0時，f(k)＝0的序列又稱單邊右序列，可表示成f(k)·ε(k)。單邊右序列的Z變換為

(10-3)

(2)當k≥0時，f(k)＝0的序列又稱單邊左序列，可表示成f(k)·ε(-k-1)。單邊左序列的Z變換為

(10-4)

由于實際離散信號一般均為因果序列，因此我們下面主要討論單邊右序列的Z變換，簡稱單邊Z變換。10.1.2單邊Z變換的收斂域

無論上述雙邊Z變換，還是單邊Z變換，都表現(xiàn)為一個冪級數(shù)。顯然，僅當該級數(shù)收斂時，Z變換才有意義。例如因果序列a為正實數(shù)的雙邊或單邊Z變換為(10-5)顯然，只有當|az－1|<1，即|z|>a時，該無窮級數(shù)絕對收斂。即級數(shù)收斂的充要條件為

(10-6)

根據(jù)等比級數(shù)求和公式，式(10-5)才能以閉合式表示為

(10-7)上述例子中z的取值|z|>0，稱為F(z)的收斂條件。在Z平面中，F(xiàn)(z)的收斂條件所對應的區(qū)域稱為F(z)的收斂域。收斂條件|z|>a，在Z平面所對應的收斂域是圓心在原點，半徑為a的圓外區(qū)域，半徑a稱為收斂半徑，見圖10-1的陰影部分?？梢姡瑢τ趩芜匷變換，收斂域總是Z平面內(nèi)以原點為圓心的一個圓的圓外區(qū)域，半徑由序列f(k)決定。由于單邊Ｚ變換收斂條件比較簡單，故一般情況不再加注其收斂域。圖10-1單邊Ｚ變換的收斂域10.1.3

Z變換與拉普拉斯變換的關系

Ｚ變換可以由拉普拉斯變換推演得出。如圖10-2所示，設f(t)為連續(xù)信號，若以沖激序列對它進行抽樣，則抽樣信號對fs(t)取拉普拉斯變換為將z=esT代入上式，得

將f(kT)換成f(k)，則得式(10-1)

可見，離散信號的Ｚ變換是在采樣信號的拉普拉斯變換中將變量s換為z的結果。圖10-2連續(xù)信號f(t)的抽樣10.1.4常用序列的Ｚ變換

1.單位函數(shù)信號δ(k)

根據(jù)定義

，代入式(10-1)，得

故δ(k)

1。

2.階躍序列ε(k)

根據(jù)定義，代入式(10-1)，得

當|z－1|<1，即|z|>1時，該式收斂，并且

，故。

3.指數(shù)序列akε(k)

根據(jù)Ｚ變換定義可得

當|az－1|<1，即|z|>a時，該式收斂，并且

，故，收斂域為Ｚ平面上半徑|z|=R=|a|的圓外區(qū)域。

常見序列的單邊Ｚ變換見表10-1。表10-1常見序列的單邊Z變換

10.2

Z反變換

Z反變換是由Z域函數(shù)F(z)求相應的原序列函數(shù)f(k)的過程。從原理上講，只要給定函數(shù)F(z)，均可利用式(10-2)進行反變換，但這是一個復變函數(shù)積分，直接進行積分運算比較困難。本節(jié)將介紹幾種無須進行積分運算就能求出原序列函數(shù)f(k)的方法。10.2.1冪級數(shù)展開法

一般F(z)是復變量z的有理函數(shù)，即

(10-8)

冪級數(shù)展開法也稱直接展開法，就是根據(jù)Z變換定義

利用代數(shù)中的長除法把F(z)展開為z－1的冪級數(shù)形式，求出相應的f(k)。這種方法的優(yōu)點是直觀方便，缺點是不易得到閉式解。

例10-1設，求f(k)。

解利用長除法得

故

例10-2設，求f(k)。

解

利用長除法得10.2.2部分分式展開法

一般F(z)是復變量z的有理函數(shù)，即

當F(z)是有理分式時，可用部分分式展開法求其Ｚ反變換。設m<n，且設p1，p2，…，pn為F(z)的n個極點，則F(z)可表示為類似于拉普拉斯變換中的部分分式展開法，由于Ｚ變換的最基本形式是１和，因此，通常不是直接展開F(z)，而是先展開，然后再將每個部分分式乘以z。

(1)極點p1，p2，…，pn都是單極點。

(10-9)

其中常數(shù)

(10-10)故

所以

(2)極點p1是m重極點。

(10-11)其中常數(shù)

(10-12)故若m>n，即當分子多項式階數(shù)高于分母多項式時，F(xiàn)(z)可表示為

(10-13)

式中，C(z)是z的多項式；F1(z)是有理分式；n>1。

例10-3已知，求f(k)。

解

故

例10-4已知，求f(k)。

解(1)取z=－1代入(1)式，得故

則10.2.3圍線積分法

Z反變換也可用圍線積分法來進行計算。由

在F(z)的收斂域內(nèi)任選一條包圍原點的閉合圍線C，將上式兩邊分別乘以zn－1，然后沿圍線C的逆時針方向進行積分，即變換上式右邊積分與求和的次序，得

(10-14)

根據(jù)復變函數(shù)中的柯西定理可知，式(10-14)右邊只有n＝k這一項為2πj，其余各項均為0，即

故

(10-15)式(10-15)是Z反變換的積分公式，是Z反變換的一般表達式。由于圍線C包圍了F(z)zk－1的所有孤立奇異點(極點)，故此積分式可應用留數(shù)定理來進行計算，所以又稱為留數(shù)法，其Z反變換表達式為

(10-16)

式中，pm是圍線C內(nèi)F(z)zk－1的所有極點；Res［·］z=pm為對應于該極點pm的留數(shù)。式(10-16)表示f(k)等于F(z)zk－1在圍線C內(nèi)所有極點的留數(shù)之和。

例10-5應用圍線積分法計算

所對應的離散函數(shù)f(k)。

解由式(10-16)，得被積函數(shù)的極點p1=0.5，p2=1。在這兩個極點處的留數(shù)分別為

故

10.3

Z變換的性質

離散時間信號在時域中進行相加、平移、相乘、卷積等運算時，其Z變換將具有相應的運算。將這些對應關系統(tǒng)稱為Z變換的性質。

1.線性

設，則

(10-17)

其中，a1、a2為任意常數(shù)。

例10-6求離散時間信號coskω0所對應的Z變換。

解根據(jù)歐拉公式

由表10-1可知

利用線性性質，得

2.時移

1)序列左移

設，則

(10-18)

證明

令n=k+1，上式變?yōu)橥茝V上式，有

(10-19)

(10-20)

當f(0)=f(1)=…=f(m－1)=0時

(10-21)

2)序列右移

設，則

(10-22)

證明

令n=k－1，上式變?yōu)橥茝V上式，有

(10-23)

(10-24)當f(－1)=f(－2)=…=f(－m)=0時

(10-25)

即

(10-26)

Z變換的移序性質能將關于f(k)的差分方程轉化為關于F(z)的代數(shù)方程，這對簡化分析離散時間系統(tǒng)起著重要的作用。

例10-7求離散時間信號f(k)=ε(k)－ε(k－4)所對應的Z變換。

解解法一：根據(jù)典型信號的Z變換可知

利用右移性質(10-22)，可得

再根據(jù)線性性質得解法二：原信號也可以表示成

根據(jù)典型信號的Z變換可知

利用右移性質(10-22)及線性性質可得

例10-8已知，試求其Z反變換。

解這類題目用一般求Z反變換的方法求解是困難的，改用公式(10-25)則非常方便。利用典型信號Z變換可知

再利用公式(10-25)，可得

3.尺度變換

設

，則

(10-27)

式中，a為非零實常數(shù)。

證明由Z變換的定義

這個性質又稱為序列的指數(shù)加權性質，它表明時域中乘以指數(shù)序列ak，相當于Z域中變量z除以a。

例10-9試利用尺度變換性質求離散時間信號f(k)=kakε(k)的Z變換。

解利用典型信號Z變換可知

再利用尺度變換性質公式(10-27)，可得

4.Z域微分

設，則

(10-28)

將上式推廣，有

(10-29)

符號表示m層的運算，即

。

證明由Z變換的定義將上式兩邊對z求導數(shù)，得故

Z域微分性質也稱序列的線性加權性質，它表明，時域乘以k，相應于Z域中對Z變換取導數(shù)并乘以(-z)。

例10-10試利用Z域微分性質求離散時間信號f(k)=kε(k)的Z變換。

解利用典型信號Z變換可知

利用Z域微分性質公式(10-28)，可得

5.時域卷積定理

設，則

(10-30)

證明在單邊Z變換中，序列均為因果序列，故根據(jù)Z變換的定義改變求和次序，可得時域卷積定理表明，兩個離散時間信號在時域中卷積的Z變換，等于這兩個離散時間函數(shù)的Z變換的乘積。

6.序列求和

利用時域卷積定理，可得序列求和的Z變換公式。

設，則

(10-31)

證明根據(jù)時域卷積定義可知

而，故根據(jù)時域卷積定理，有

7.初值定理

設，且存在，則f(k)的初值

(10-32)

證明根據(jù)Z變換定義可知

(1)當z→∞時，上式右邊除第一項，其余均趨于0，所以

利用(1)式，又可得

故

(10-33)依此類推，可得

(10-34)

8.終值定理

設，f(k)的終值存在，則

(10-35)

證明根據(jù)Z變換的線性和移序性可知等式兩邊取極限

故注意，應用終值定理的條件是，f(k)的終值存在，即

(z－1)F(z)除了在z=1處允許有一個單極點外，其余極點必須處在單位圓內(nèi)部，否則終值定理不成立。上述條件也可描述為

(z－1)F(z)的所有極點必須處在單位圓內(nèi)部。

例10-11試利用初值定理和終值定理求離散時間信號

|a|<1的初值與終值。

解

f(k)的Z變換為利用初值定理，可得

因為|a|<1，(z－1)F(z)的極點在單位圓內(nèi)，故可利用終值定理，得

單邊Ｚ變換常用性質見表10-2。表10-2單邊Z變換常用性質

續(xù)表

10.4離散系統(tǒng)的Z域分析

在離散時間系統(tǒng)分析中，利用Z變換也能夠把描述激勵、響應關系的線性常系數(shù)差分方程轉換為Z域的描述激勵、響應關系的代數(shù)方程來求解，并通過反Z變換求出系統(tǒng)響應的時域解。由于Z變換能將系統(tǒng)響應的初始狀態(tài)自動地引入Z域像函數(shù)的代數(shù)方程中，因而可以方便地獲得零輸入響應、零狀態(tài)響應及全響應。因為激勵、響應均為有始信號，所以Z變換及Z反變換僅考慮單邊情況即可。10.4.1零輸入響應

設描述離散時間系統(tǒng)的是一個二階前向差分方程

a2y(k+2)+a1y(k+1)+a0y(k)=b2x(k+2)+b1x(k+1)+b0x(k)

當輸入x(k)=0時，可得相應的齊次差分方程為

a2y(k+2)+a1y(k+1)+a0y(k)=0對上式進行Z變換，并應用移序性質，可得

(10-36)

上式中零輸入響應，yzi(0)，yzi(1)是零輸入初始條件。對Yzi(z)進行Z反變換，即可得零輸入響應yzi(k)。對于n階系統(tǒng)，相應的齊次方程為

對上式進行Z變換，整理后可得一般公式為

(10-37)

后向差分方程的零輸入響應也可以用相同的方法進行計算。

例10-12已知描述系統(tǒng)的差分方程為y(k+2)－5y(k+1)

+6y(k)=x(k)，初始條件為yzi(0)=0，yzi(1)=3。求系統(tǒng)零輸入響應yzi(k)。

解當x(k)＝0時，相應的齊次方程為將方程Z變換并整理得

Z反變換得

例10-13例10-12中若差分方程的序號都減去2，則得后向齊次方程為y(k)－5y(k－1)+6y(k－2)=x(k－2)，初始條件為

。求系統(tǒng)零輸入響應yzi(k)。

解當x(k)＝0時，相應的齊次方程為

y(k)－5y(k－1)+6y(k－2)=0將方程Z變換并整理得

Z反變換得10.4.2零狀態(tài)響應

在第9章離散系統(tǒng)時域分析法中，已經(jīng)導出零狀態(tài)響應等于激勵函數(shù)與單位函數(shù)響應的卷積和，即

yzs(k)=x(k)*h(k)

對上式進行Z變換，并應用時域卷積定理，得

Yzs(z)=X(z)·H(z)

(10-38)

式中，。式(10-38)中H(z)稱為離散時間系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)，定義為系統(tǒng)零狀態(tài)響應的Z變換與激勵的Z變換之比，即

(10-39)

若描述系統(tǒng)的差分方程為

即，對上式取Z變換，得

由定義可以直接求得系統(tǒng)函數(shù)利用Z變換分析法求解零狀態(tài)響應的步驟為：

(1)求出激勵函數(shù)的Z變換X(z)；

(2)求出離散系統(tǒng)函數(shù)H(z)；

(3)求出零狀態(tài)響應Z變換Yzs(z)=X(z)·H(z)；

(4)Z反變換求出零狀態(tài)響應。

例10-14已知描述系統(tǒng)的差分方程為y(k+2)－5y(k+1)

+6y(k)=x(k+2)－3x(k)，激勵為x(k)=ε(k)。求離散系統(tǒng)函數(shù)H(z)、單位函數(shù)響應h(k)及零狀態(tài)響應yzs(k)。

解

(1)求H(z)。

對差分方程兩邊進行Z變換，則可得

(2)求h(k)

(3)求零狀態(tài)響應yzs(k)。

因為，代入下式，有

故10.4.3全響應

離散系統(tǒng)的全響應為零輸入響應與零狀態(tài)響應的疊加，即

y(k)=yzl(k)+yzs(k)

類似于拉普拉斯變換，也可以利用Z變換直接求出離散系統(tǒng)全響應。因此求全響應的方法有如下兩種：

(1)當已知零輸入初始條件時，最直觀的方法是分別求系統(tǒng)零輸入、零狀態(tài)響應，而后將兩者疊加求出全響應。

(2)當已知全響應初始條件，且無需單獨求出零輸入響應及零狀態(tài)響應時，可以通過對差分方程的Z變換，直接求得全響應。

例10-15已知描述離散系統(tǒng)的差分方程為y(k)－by(k－1)

=x(k)，激勵為x(k)=akε(k)，且y(－1)=2。求系統(tǒng)全響應y(k)。

解對差分方程兩邊進行Z變換，可得

Y(z)－bz－1Y(z)－by(－1)=X(z)

即將，y(－1)=2代入上式，則則

10.5離散系統(tǒng)函數(shù)及系統(tǒng)特性分析

與連續(xù)系統(tǒng)函數(shù)H(s)一樣，離散系統(tǒng)函數(shù)H(z)不僅反映了離散系統(tǒng)的傳輸特性，還反映了離散系統(tǒng)本身的結構和參數(shù)特性。因此，離散系統(tǒng)函數(shù)在離散系統(tǒng)分析中起著十分重要的作用。由式(10-39)可知，離散系統(tǒng)函數(shù)H(z)是由系統(tǒng)零狀態(tài)響應的Z變換和激勵的Z變換的比來定義的，但H(z)與激勵和零狀態(tài)響應無關，它是由系統(tǒng)本身的結構與參數(shù)決定的，是離散系統(tǒng)的Z域描述。10.5.1系統(tǒng)函數(shù)的零、極點

由式(10-39)可知離散系統(tǒng)函數(shù)通常為有理分式。其分母多項式等于零所構成的方程式就是離散系統(tǒng)的特征方程，方程的根就是特征根，也就是H(z)的極點。系統(tǒng)函數(shù)分子多項式等于零的根為H(z)的零點，故離散系統(tǒng)函數(shù)又可寫成

(10-41)

式中，zr(r=1，2，…，m)是離散系統(tǒng)的零點；pi(i=1，2，…，n)是離散系統(tǒng)的極點；m≤n，H0是標量系數(shù)。零點和極點可以是實數(shù)，也可以是虛數(shù)或復數(shù)。

Z平面是以z的實部為橫軸，z的虛部為縱軸構成的坐標平面。把系統(tǒng)函數(shù)的零、極點畫到Z平面上的示意圖稱為系統(tǒng)函數(shù)的零、極點圖，圖中極點以“×”表示，零點以“”表示；若為n階零點或極點，則在零點或極點旁注以“(n)”。

例如，離散時間系統(tǒng)函數(shù)為表明該系統(tǒng)在單位圓外有一對共軛零點z=1±j，在z=0處有一個三重零點；在z=－0.5處有一個一階極點；在z=－1處有一個二重極點，在z=0.5±0.5j處有一對共軛極點。圖10-3為該系統(tǒng)函數(shù)的零、極點圖。圖10-3離散系統(tǒng)函數(shù)的零、極點圖10.5.2系統(tǒng)函數(shù)的零、極點在Z平面的分布與系統(tǒng)的時域響應特性

因為，即單位函數(shù)響應與離散系統(tǒng)函數(shù)是一個Z變換對，設H(z)有n個一級極點，可將H(z)展開為部分分式

(10-42)

則每一個極點對應一個時間函數(shù)，即

(10-43)如果p0=0，則

(10-44)

這里極點pi可以是實數(shù)，也可以是共軛復數(shù)。由式(10-44)可知，單位函數(shù)響應h(k)的時間特性取決于H(z)的極點pi，幅度由系數(shù)Ai決定，Ai與H(z)的零點分布有關。即H(z)的極點決定h(k)的函數(shù)形式，零點只影響h(k)的幅度。

系統(tǒng)函數(shù)H(z)的一級極點處于Z平面的不同位置將對應h(k)的不同函數(shù)形式，如圖10-4所示。圖10-4

H(z)一級極點分布與h(k)的關系由圖10-4可見：

(1)若H(z)的實極點位于單位圓內(nèi)，則h(k)為衰減的指數(shù)序列；

(2)若H(z)的實極點位于單位圓上，則h(k)為階躍序列；

(3)若H(z)的實極點位于單位圓外，則h(k)為增長的指數(shù)序列；

(4)若H(z)的共軛極點位于單位圓內(nèi)，則h(k)為減幅正弦振蕩序列；

(5)若H(z)的共軛極點位于單位圓上，則h(k)為等幅正弦振蕩序列；

(6)若H(z)的共軛極點位于單位圓外，則h(k)為增幅正弦振蕩序列。10.5.3離散系統(tǒng)穩(wěn)定性判斷

離散系統(tǒng)的穩(wěn)定性定義為：若對任意有界輸入序列，其輸出序列的值總是有界的，這樣的離散系統(tǒng)就稱為穩(wěn)定系統(tǒng)。

可以證明，對于因果線性時不變離散時間系統(tǒng)，當且僅當單位響應絕對可和時，即

(10-45)

則系統(tǒng)是穩(wěn)定的。從時域上來講，因為任意有界的輸入序列均可以表示為單位序列δ(k)的線性組合，因此單位響應h(k)絕對可和，那么輸出序列也必定有界。根據(jù)h(k)的變化模式，可以直觀地說明穩(wěn)定性：

(1)穩(wěn)定：如果在足夠長的時間之后h(k)趨于零，則系統(tǒng)是穩(wěn)定的。

(2)臨界穩(wěn)定：如果在足夠長的時間之后h(k)趨于一個非零常數(shù)或有界的等幅振蕩，則系統(tǒng)是臨界穩(wěn)定。

(3)不穩(wěn)定：如果在足夠長的時間之后h(k)無限制的增長，則系統(tǒng)是不穩(wěn)定的。由于h(k)的變化性質完全取決于H(z)的極點分布，因此由10.5.2節(jié)的討論結果可得出如下結論：

(1)若H(z)的所有極點全部位于單位圓內(nèi)，則系統(tǒng)穩(wěn)定；

(2)若H(z)的一級極點(實極點或共軛復極點)位于單位圓上，單位圓外無極點，則系統(tǒng)為臨界穩(wěn)定；

(3)若H(z)只要有一個極點位于單位圓外，或在單位圓上有重極點，則系統(tǒng)不穩(wěn)定。

例10-16已知描述某數(shù)字濾波器的差分方程為

y(k+2)－y(k+1)－0.5y(k)=x(k+2)－x(k+1)+x(k)

試判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性。

解由差分方程可得系統(tǒng)函數(shù)為

其中在z=0.5±j0.5處有一對共軛極點，均在單位圓內(nèi)，故系統(tǒng)是穩(wěn)定的。習題10

10-1求下列序列的Z變換。

(1)

(2)

(3)

(4)

(5)

(6)

(7)

(8)

10-2根據(jù)定義求下列序列的Z變換。

(1)

(2)

10-3根據(jù)性質求下列序列的Z變換。

(1)

(2)

(3)

(4)

(5)

(6)

(7)

(8)

10-4利用Z變換證明下列關系成立。

(1)

(2)

10-5求下列F(z)的Z反變換。

(1)

(2)

(3)

(4)

(5)

(6)

10-6試分別利用三種方法求的原函數(shù)f(k)。

10-7已知。試根據(jù)F(z)求原序列初值f(0)和終值f(∞)。

(1)

(2)

(3)

(4)

(5)

(6)

10-8已知f1(k)*f2(k)=f(k)，且f1(k)=ε(k)，f(k)=

k(k+1)

ε(k)。試求