2024-2025學(xué)年吉林省長(zhǎng)春市長(zhǎng)春汽車經(jīng)濟(jì)技術(shù)開發(fā)區(qū)高二上學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)檢測(cè)試題一、單選題1．拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為（

）A． B． C． D．2．與雙曲線有公共焦點(diǎn)，且長(zhǎng)軸長(zhǎng)為6的橢圓方程為（）A． B．C． D．3．在等差數(shù)列中，，，則（

）A． B． C．1 D．44．已知橢圓，其上頂點(diǎn)為，左?右焦點(diǎn)分別為，且三角形為等邊三角形，則橢圓的離心率為（

）A． B． C． D．5．已知圓：與圓：相內(nèi)切，則與的公切線方程為（

）A． B．C． D．6．過(guò)點(diǎn)的直線與雙曲線相交于兩點(diǎn)，若是線段的中點(diǎn)，則直線的方程是（

）A． B．C． D．7．已知雙曲線的右焦點(diǎn)為，點(diǎn)，若直線與只有一個(gè)交點(diǎn)，則（

）A． B． C． D．8．圖1為一種衛(wèi)星接收天線，其曲面與軸截面的交線為拋物線的一部分，已知該衛(wèi)星接收天線的口徑，深度，信號(hào)處理中心位于焦點(diǎn)處，以頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖2所示的平面直角坐標(biāo)系，若是該拋物線上一點(diǎn)，點(diǎn)，則的最小值為（

）A．4 B．3 C．2 D．1二、多選題9．已知曲線，，則（

）A．的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為4 B．的漸近線方程為C．與的焦點(diǎn)坐標(biāo)相同 D．與的離心率互為倒數(shù)10．已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，，則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（

）A．?dāng)?shù)列是遞增數(shù)列 B．C．當(dāng)取得最大值時(shí)， D．11．過(guò)拋物線上一點(diǎn)作兩條相互垂直的直線，與的另外兩個(gè)交點(diǎn)分別為，則（

）A．的準(zhǔn)線方程是B．過(guò)的焦點(diǎn)的最短弦長(zhǎng)為2C．直線過(guò)定點(diǎn)D．若直線過(guò)點(diǎn)，則的面積為24三、填空題12．若拋物線C：上的一點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離為，到軸的距離為3，則.13．公差為的等差數(shù)列的首項(xiàng)為，前項(xiàng)和為，且滿足，則．14．如圖，我們把由半橢圓和半橢圓合成的曲線稱作“果圓”．，，是相應(yīng)半橢圓的焦點(diǎn)，則的周長(zhǎng)為．四、解答題15．在等差數(shù)列中，的前項(xiàng)和為．(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)求的最大值和取得最大值時(shí)的值.16．已知點(diǎn)P是橢圓上的一點(diǎn)，和分別為左右焦點(diǎn)，焦距為6，且過(guò).(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)若動(dòng)直線l過(guò)與橢圓交于A、B兩點(diǎn)，求的周長(zhǎng).17．已知拋物線的焦點(diǎn)為是拋物線上的點(diǎn)，且．(1)求拋物線的方程；(2)已知直線交拋物線于兩點(diǎn)，且的中點(diǎn)為，求直線的方程．18．已知雙曲線的虛軸長(zhǎng)為2，且離心率為．(1)求的方程和焦點(diǎn)坐標(biāo)；(2)設(shè)的右焦點(diǎn)為，過(guò)的直線交于兩點(diǎn)，若中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為3，求．19．已知橢圓的離心率，且點(diǎn)在橢圓上.(1)求橢圓的方程；(2)若經(jīng)過(guò)定點(diǎn)的直線與橢圓交于兩點(diǎn)，記橢圓的上頂點(diǎn)為，當(dāng)直線的斜率變化時(shí)，求面積的最大值.答案：題號(hào)12345678910答案ABDADABBBDABC題號(hào)11答案AC1．A【分析】由拋物線方程求出的值，從而可求出其焦點(diǎn)坐標(biāo).【詳解】由于拋物線的方程為，所以，，則所以拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)是，故選：A.2．B【分析】先求得雙曲線的焦點(diǎn)坐標(biāo)，再根據(jù)橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為6求解.【詳解】解：雙曲線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為：，即橢圓的焦點(diǎn)為，又長(zhǎng)軸長(zhǎng)為6，即，所以橢圓的方程為，故選：B3．D【分析】根據(jù)等差數(shù)列下標(biāo)和性質(zhì)計(jì)算可得.【詳解】等差數(shù)列中，，，所以，解得.故選：D4．A【分析】根據(jù)題意，結(jié)合橢圓離心率的定義，即可求求解.【詳解】如圖所示，橢圓，其上頂點(diǎn)為，左?右焦點(diǎn)分別為，為等邊三角形，則橢圓的離心率為.故選：A.

5．D【分析】由兩圓的位置關(guān)系得出，進(jìn)而聯(lián)立兩圓方程得出公切線方程.【詳解】圓：的圓心，圓：可化為，，則其圓心為，半徑為，因?yàn)閳A與圓相內(nèi)切，所以，即，故.由，可得，即與的公切線方程為.故選：D6．A【分析】利用點(diǎn)差法求解.【詳解】解：設(shè)，則，兩式相減得直線的斜率為，又直線過(guò)點(diǎn)，所以直線的方程為，經(jīng)檢驗(yàn)此時(shí)與雙曲線有兩個(gè)交點(diǎn).故選：A7．B【分析】根據(jù)題意分析可得直線與漸近線平行，結(jié)合平行關(guān)系運(yùn)算求解.【詳解】雙曲線可得，，，所以雙曲線的漸近線方程為，右焦點(diǎn)為，因?yàn)橹本€與只有一個(gè)交點(diǎn)，所以直線與雙曲線的漸近線平行，所以，解得.故選：B.8．B【分析】由已知點(diǎn)在拋物線上，利用待定系數(shù)法求拋物線方程，結(jié)合拋物線定義求的最小值.【詳解】設(shè)拋物線的方程為，因?yàn)?，，所以點(diǎn)在拋物線上，所以，故，所以拋物線的方程為，所以拋物線的焦點(diǎn)的坐標(biāo)為，準(zhǔn)線方程為，在方程中取可得，所以點(diǎn)在拋物線內(nèi)，過(guò)點(diǎn)作與準(zhǔn)線垂直，為垂足，點(diǎn)作與準(zhǔn)線垂直，為垂足，則，所以，當(dāng)且僅當(dāng)直線與準(zhǔn)線垂直時(shí)等號(hào)成立，所以的最小值為3，故選：B.9．BD【分析】根據(jù)橢圓與雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程，結(jié)合它們的幾何性質(zhì)逐項(xiàng)判斷即可得.【詳解】由，即為：，故焦點(diǎn)在軸上，長(zhǎng)軸長(zhǎng)為，故A錯(cuò)誤；焦點(diǎn)坐標(biāo)為，離心率為，對(duì)，漸近線方程為，故B正確；焦點(diǎn)坐標(biāo)為，與的焦點(diǎn)坐標(biāo)不相同，故C錯(cuò)誤；離心率為，與的離心率互為倒數(shù)，故D正確.故選：BD.10．ABC【分析】由等差數(shù)列的求和公式結(jié)合已知條件可得，，從而得且，進(jìn)而可得出答案．【詳解】等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，，所以，，所以，所以且，所以等差數(shù)列是遞減數(shù)列，且當(dāng)時(shí)，取得最大值．故D正確，ABC錯(cuò)誤．故選：ABC．11．AC【分析】由題可得拋物線為，進(jìn)而判斷A；利用焦點(diǎn)弦的方程結(jié)合拋物線的定義結(jié)合條件可判斷B；設(shè)直線為，聯(lián)立拋物線利用韋達(dá)定理結(jié)合條件可得m、n的數(shù)量關(guān)系，可判斷C；由直線過(guò)點(diǎn)可得直線為，進(jìn)而結(jié)合點(diǎn)到直線的距離和弦長(zhǎng)公式求解，進(jìn)而判斷D.【詳解】將代入中得，即，則拋物線為，所以的準(zhǔn)線方程是，故A正確；拋物線的焦點(diǎn)為，可設(shè)過(guò)的焦點(diǎn)的直線為，聯(lián)立x=ty+1y2=4x，可得，設(shè)交點(diǎn)為則，，所以，即過(guò)C的焦點(diǎn)的最短弦長(zhǎng)為4，故B不正確；設(shè)，，直線為，聯(lián)立，可得：，所以，，又，所以，因?yàn)?，，即，所以，化?jiǎn)整理得，即，得，所以直線為，所以直線過(guò)定點(diǎn)，故C正確；若直線過(guò)點(diǎn)，則，即，，所以，，直線為，即，所以，點(diǎn)到直線的距離為，所以，故D不正確.故選：AC.12．2【分析】由拋物線的定義可得，解之即可求得.【詳解】拋物線C：上的一點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離為，該點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為.又該點(diǎn)到軸的距離為3，，解之可得或，又.故答案為.13．【分析】根據(jù)通項(xiàng)公式化簡(jiǎn)已知，結(jié)合求和公式整體代入可得.【詳解】由題知，，整理得，所以.故14．/【分析】根據(jù)各半橢圓方程可得，，的坐標(biāo)，再根據(jù)兩點(diǎn)間距離公式求得距離及周長(zhǎng).【詳解】由，是半橢圓的焦點(diǎn)，得，，由是半橢圓的焦點(diǎn)，得，則，，所以的周長(zhǎng)為.故15．(1)(2),.【分析】（1）根據(jù)通項(xiàng)公式列方程組求出首項(xiàng)和公差即可得通項(xiàng)公式；（2）根據(jù)等差數(shù)列的求和公式，結(jié)合二次函數(shù)性質(zhì)可解.【詳解】（1）記數(shù)列的公差為，則，解得，所以.（2）由（1）知，，所以，當(dāng)時(shí)，取得最大值.16．(1)(2)20【分析】（1）根據(jù)焦距可求，根據(jù)所過(guò)點(diǎn)可求，進(jìn)而得到方程；（2）利用橢圓的定義可得的周長(zhǎng)為，代入可得答案.【詳解】（1）設(shè)焦距為，由，得，又橢圓過(guò)，∴，得，∴橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為；（2）動(dòng)直線l過(guò)與橢圓交于A、B兩點(diǎn)，∴，，∴，∴的周長(zhǎng)為20.

17．(1)(2)【分析】（1）根據(jù)拋物線的定義求解；（2）設(shè)點(diǎn)代入拋物線方程，然后利用點(diǎn)差法求解直線的斜率，然后根據(jù)點(diǎn)斜式即可解得直線的方程；【詳解】（1）因?yàn)?，所以，故拋物線的方程為．（2）

易知直線的斜率存在，設(shè)直線的斜率為，則兩式相減得，整理得．因?yàn)榈闹悬c(diǎn)為，所以，所以直線的方程為，即.18．(1)方程為，左、右焦點(diǎn)坐標(biāo)分別為(2)【分析】（1）根據(jù)雙曲線虛軸長(zhǎng)以及離心率聯(lián)立方程組即可得出的方程；（2）聯(lián)立直線與雙曲線方程，由韋達(dá)定理以及弦長(zhǎng)公式計(jì)算可得.【詳解】（1）因?yàn)榈碾x心率為，又的虛軸長(zhǎng)為2，所以，又，聯(lián)立解得，，所以的方程為，左、右焦點(diǎn)坐標(biāo)分別為．（2）由（1）知，根據(jù)題意易得過(guò)的直線斜率存在，設(shè)的直線方程為，如下圖所示：聯(lián)立，化簡(jiǎn)得，所以，因?yàn)橹悬c(diǎn)橫坐標(biāo)為3，所以，解得，所以，則，則．19．(1)(2)16【分析】根據(jù)離心率的值和定義可以求出之間的關(guān)系式，待定系數(shù)法設(shè)出橢圓方程后把已知點(diǎn)代入求解即可.設(shè)出直線方程后，聯(lián)立直線和橢圓方程，