二次函數(shù)圖象及性質(zhì)復(fù)習(xí)二次函數(shù)簡介1定義二次函數(shù)是指以x的二次式為解析式的函數(shù)，形如y=ax^2+bx+c(a≠0)。2系數(shù)a、b、c為常數(shù)，其中a稱為二次項系數(shù)，b稱為一次項系數(shù)，c稱為常數(shù)項。3圖象二次函數(shù)的圖象是一條對稱軸垂直于x軸的拋物線。二次函數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)形式標(biāo)準(zhǔn)形式二次函數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)形式為：y=a(x-h)^2+k頂點(diǎn)坐標(biāo)頂點(diǎn)坐標(biāo)為：(h,k)開口方向當(dāng)a>0時，開口向上；當(dāng)a<0時，開口向下。二次函數(shù)的頂點(diǎn)坐標(biāo)計算1一般式y(tǒng)=ax2+bx+c2頂點(diǎn)坐標(biāo)(-b/2a,f(-b/2a))3配方y(tǒng)=a(x+b/2a)2+(c-b2/4a)二次函數(shù)的軸對稱特性對稱軸二次函數(shù)圖象關(guān)于一條直線對稱，這條直線叫做對稱軸，其方程為x=-b/2a對稱性圖象上任意一點(diǎn)關(guān)于對稱軸的對稱點(diǎn)也在這條圖象上，即對于x=-b/2a左右兩側(cè)等距的點(diǎn)，函數(shù)值相等。二次函數(shù)圖象的開口方向a>0開口向上a<0開口向下二次函數(shù)圖象的性質(zhì)1：極值最大值開口向下，頂點(diǎn)為最高點(diǎn)，對應(yīng)最大值。最小值開口向上，頂點(diǎn)為最低點(diǎn)，對應(yīng)最小值。二次函數(shù)圖象的性質(zhì)2：過對稱軸對稱軸二次函數(shù)的圖象關(guān)于對稱軸對稱，即對稱軸將圖象分成左右兩部分，兩部分完全相同。過對稱軸二次函數(shù)的圖象一定經(jīng)過對稱軸，對稱軸上的點(diǎn)都是函數(shù)圖象上的點(diǎn)。二次函數(shù)圖象的性質(zhì)3：經(jīng)過原點(diǎn)定義當(dāng)二次函數(shù)的常數(shù)項為零時，其圖象會經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)。公式對于二次函數(shù)y=ax2+bx，當(dāng)c=0時，圖象經(jīng)過原點(diǎn)。二次函數(shù)圖象的性質(zhì)4：凹凸性開口向上當(dāng)二次項系數(shù)a大于0時，二次函數(shù)圖象開口向上，呈“U”形。開口向下當(dāng)二次項系數(shù)a小于0時，二次函數(shù)圖象開口向下，呈“∩”形。二次函數(shù)圖象的特殊情況1：拋物線當(dāng)二次函數(shù)的系數(shù)a不為0時，其圖象為拋物線。拋物線是開口朝上或朝下的曲線，其形狀取決于系數(shù)a的正負(fù)號。如果a>0，則拋物線開口朝上。如果a<0，則拋物線開口朝下。二次函數(shù)圖象的特殊情況2：圓當(dāng)二次函數(shù)表達(dá)式中，x2和y2的系數(shù)相等且符號相同，常數(shù)項為0，則其圖象為圓。二次函數(shù)圖象的特殊情況3：雙曲線雙曲線是另一種特殊的二次函數(shù)圖象，它具有獨(dú)特的形狀和性質(zhì)。與拋物線和圓相比，雙曲線有兩個分支，它們分別位于兩個對稱的焦點(diǎn)上。雙曲線在物理學(xué)和工程學(xué)等領(lǐng)域有廣泛的應(yīng)用，例如光學(xué)和無線電通信。二次函數(shù)的應(yīng)用實(shí)例1：最大最小問題面積最大例如，在一個長方形中，固定周長，求面積最大時的長和寬。利潤最大例如，已知生產(chǎn)成本、銷售價格和銷量之間的關(guān)系，求利潤最大時的產(chǎn)量。高度最大例如，一個物體在豎直方向上運(yùn)動，已知其高度與時間的關(guān)系，求最高點(diǎn)的高度。二次函數(shù)的應(yīng)用實(shí)例2：相交問題1直線與二次函數(shù)求解直線與二次函數(shù)的交點(diǎn)坐標(biāo)，可以通過聯(lián)立方程組進(jìn)行求解。2兩個二次函數(shù)求解兩個二次函數(shù)的交點(diǎn)坐標(biāo)，同樣可以通過聯(lián)立方程組進(jìn)行求解。二次函數(shù)的應(yīng)用實(shí)例3：位移問題1勻速運(yùn)動物體在相同時間內(nèi)位移相等2勻加速運(yùn)動物體在相同時間內(nèi)速度變化量相等3自由落體運(yùn)動物體受重力作用下運(yùn)動，位移與時間平方成正比二次函數(shù)的應(yīng)用實(shí)例4：反彈問題1高度與時間利用二次函數(shù)描述物體反彈的高度與時間的關(guān)系2反彈高度反彈的高度與初始高度和反彈系數(shù)有關(guān)3運(yùn)動軌跡利用二次函數(shù)的圖象分析反彈的運(yùn)動軌跡二次函數(shù)的應(yīng)用實(shí)例5：利潤問題1成本分析確定生產(chǎn)成本，包括固定成本和可變成本.2定價策略根據(jù)市場需求和競爭情況制定合理的價格.3利潤計算使用二次函數(shù)模型計算不同產(chǎn)量下的利潤.4最大利潤利用二次函數(shù)的性質(zhì)求出最大利潤值.二次函數(shù)的應(yīng)用實(shí)例6：速度問題1勻速運(yùn)動速度不變2勻加速運(yùn)動速度隨時間線性變化3拋射運(yùn)動速度受重力影響，呈拋物線變化綜合練習(xí)1：根據(jù)信息描繪圖象已知條件根據(jù)已知的二次函數(shù)的性質(zhì)和系數(shù)，例如頂點(diǎn)坐標(biāo)、對稱軸、開口方向等，確定圖象的具體位置和形狀。描繪步驟選擇合適的坐標(biāo)系，并根據(jù)已知條件，逐一確定關(guān)鍵點(diǎn)，如頂點(diǎn)、交點(diǎn)等。驗(yàn)證和修正仔細(xì)檢查繪制的圖象是否與已知條件一致，并及時進(jìn)行修正。綜合練習(xí)2：分析圖象特征1開口方向向上或向下？2對稱軸x=-b/2a3頂點(diǎn)(-b/2a,f(-b/2a))4交點(diǎn)與x軸、y軸綜合練習(xí)3：解決應(yīng)用問題1應(yīng)用場景利用二次函數(shù)的性質(zhì)解決實(shí)際問題2建模分析將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)模型3求解問題利用二次函數(shù)的性質(zhì)求解模型綜合練習(xí)4：證明性質(zhì)1已知條件從題干中提取已知條件和結(jié)論。2證明過程利用已知條件和相關(guān)性質(zhì)，逐步推導(dǎo)出結(jié)論。3結(jié)論驗(yàn)證回顧證明過程，確保邏輯清晰、推理嚴(yán)密，并對結(jié)論進(jìn)行驗(yàn)證。綜合練習(xí)5：解方程組設(shè)未知數(shù)將問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)方程組，用未知數(shù)表示各個變量。建立方程根據(jù)問題中的已知條件，列出關(guān)于未知數(shù)的方程。求解方程組使用代入法、消元法或其他方法解方程組，求出未知數(shù)的值。檢驗(yàn)結(jié)果將求得的解代回原方程組，驗(yàn)證結(jié)果是否滿足所有條件。重難點(diǎn)總結(jié)1：圖象性質(zhì)二次函數(shù)圖象的開口方向?qū)ΨQ軸頂點(diǎn)坐標(biāo)重難點(diǎn)總結(jié)2：應(yīng)用問題1最大最小問題利用二次函數(shù)的性質(zhì)，找出最大值或最小值，解決實(shí)際問題。2相交問題運(yùn)用二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，分析函數(shù)和直線、函數(shù)和函數(shù)之間的相交情況。3位移問題利用二次函數(shù)的表達(dá)式和性質(zhì)，求物體在運(yùn)動過程中的位移變化。4反彈問題運(yùn)用二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，模擬物體反彈的軌跡和高度變化。重難點(diǎn)總結(jié)3：特殊情況拋物線二次函數(shù)的圖象可以是拋物線，其特點(diǎn)是開口向上或向下，且有一個頂點(diǎn)。圓某些二次函數(shù)的圖象可以是圓形，其特點(diǎn)是中心位于坐標(biāo)系的原點(diǎn)，且半徑固定。雙曲線其他二次函數(shù)的圖象可以是雙曲線，其特點(diǎn)是兩條曲線彼此對稱，且漸近線為直線。重難點(diǎn)總結(jié)4：解方程組聯(lián)立方程將二次函數(shù)方程與直線方程聯(lián)立，即可求解交點(diǎn)坐標(biāo)。利用圖像觀察交點(diǎn)個數(shù)，判斷方程組解的個數(shù)。運(yùn)用代入法或消元法求解方程組，得到交點(diǎn)坐標(biāo)。知識拓展：高次函數(shù)定義高次函數(shù)是指次數(shù)大于2的函數(shù)，如三次函數(shù)、四次函數(shù)等。性質(zhì)高次函數(shù)的性質(zhì)比二次函數(shù)更復(fù)雜，但其圖象也具有一定的規(guī)律性。應(yīng)用高次函數(shù)在科學(xué)研究和工程應(yīng)用中有著廣泛的應(yīng)用，如物理學(xué)、化學(xué)、經(jīng)濟(jì)學(xué)等領(lǐng)域。課堂思考與討論今天我們學(xué)習(xí)了二次函數(shù)的圖像及性質(zhì)，以及一些常見的應(yīng)用實(shí)例。在課后，希望大家能夠深入思考以下問題：1.二