中考大題06圓中的證明與計(jì)算問題中考數(shù)學(xué)中，圓的基本性質(zhì)、與圓有關(guān)的位置關(guān)系一直都是必考的考點(diǎn)，難度從基礎(chǔ)到綜合都有通常選擇填空題會出圓的基本性質(zhì)，如弧長、弦長、半徑、圓周角等的關(guān)系,基本都是基礎(chǔ)應(yīng)用，難度不大,個別會出選擇題的壓軸題，難度稍大.簡答題部分，一般會把切線的問題和相似三角形、銳角三角函數(shù)等結(jié)合考察，這是一般都是中等難度的問題.還有一些城市會把圓的基本性質(zhì)等與其他動點(diǎn)問題綜合考察,此時一般都是壓軸題，難度很大，這時候就需要考生綜合思考的點(diǎn)比較多.題型一：圓中的角度和線段計(jì)算問題大題典例1．（2023·浙江杭州·中考真題）如圖，在⊙O中，直徑AB垂直弦CD于點(diǎn)E，連接AC,AD,BC，作CF⊥AD于點(diǎn)F，交線段OB于點(diǎn)G（不與點(diǎn)O,B重合），連接OF．

(1)若BE=1，求GE的長．(2)求證：BC(3)若FO=FG，猜想∠CAD的度數(shù)，并證明你的結(jié)論．2．（2023·山東·中考真題）如圖，已知AB是⊙O的直徑，CD=CB，BE切⊙O于點(diǎn)B，過點(diǎn)C作CF⊥OE交BE于點(diǎn)F，若EF=2BF．

(1)如圖1，連接BD，求證：△ADB≌△OBE；(2)如圖2，N是AD上一點(diǎn)，在AB上取一點(diǎn)M，使∠MCN=60°，連接MN．請問：三條線段MN，解法指導(dǎo)圓的基礎(chǔ)定理:垂徑定理、圓周角定理、切線長定理的內(nèi)容和?？碱}型要熟悉，也要結(jié)合幾何圖形各自的特征，綜合應(yīng)用起來解決相關(guān)問題.垂徑定理模型（知二得三）如圖，可得①AB過圓心②AB⊥CD③CE=DE④AC=AD【總結(jié)】垂徑定理及其推論實(shí)質(zhì)是指一條直線滿足：（1）過圓心（2）垂直于弦（3）平分弦（被平分的弦不是直徑）（4）平分弦所對的優(yōu)弧（5）平分弦所對的劣弧，若已知五個條件中的兩個，那么可推出其中三個，簡稱“知二得三”，解題過程中應(yīng)靈活運(yùn)用該定理.常見輔助線做法（考點(diǎn)）：1）過圓心，作垂線，連半徑，造Rt2）有弦中點(diǎn)，連中點(diǎn)和圓心，得垂直平分.【利用圓周角定理解題思路】1）在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等，都等于這條弧所對的圓心角的一半，在同圓中可以利用圓周角定理進(jìn)行角的轉(zhuǎn)化.2）在證明圓周角相等或弧相等時，通?！坝傻冉钦业然　被颉坝傻然≌业冉恰?3）當(dāng)已知圓的直徑時，常構(gòu)造直徑所對的圓周角．4）在圓中求角度時，通常需要通過一些圓的性質(zhì)進(jìn)行轉(zhuǎn)化．比如圓心角與圓周角間的轉(zhuǎn)化；同弧或等弧的圓周角間的轉(zhuǎn)化；連直徑，得到直角三角形，通過兩銳角互余進(jìn)行轉(zhuǎn)化等．變式訓(xùn)練1．（2023·河南商丘·模擬預(yù)測）如圖，過⊙O外一點(diǎn)P作⊙O的兩條切線，切點(diǎn)分別為A，B，過點(diǎn)B作BC∥PA交⊙O于點(diǎn)C，連接AB，(1)求證：AB=AC；(2)若AP=6，AB=4，求⊙O的半徑．2．（2023·廣東深圳·模擬預(yù)測）如圖，在Rt△ABC中，∠A=90°，以AB為直徑的半圓交BC于D，過D作圓的切線交AC于E

求證：(1)AE=CE；(2)CD?CB=4DE題型二：求弓形面積或不規(guī)則圖形面積大題典例1．（2023·江蘇南通·中考真題）如圖，等腰三角形OAB的頂角∠AOB=120°，⊙O和底邊AB相切于點(diǎn)C，并與兩腰OA，OB分別相交于D，E兩點(diǎn)，連接CD，CE．

(1)求證：四邊形ODCE是菱形；(2)若⊙O的半徑為2，求圖中陰影部分的面積．2．（2023·江蘇宿遷·中考真題）（1）如圖，AB是⊙O的直徑，AC與⊙O交于點(diǎn)F，弦AD平分∠BAC，點(diǎn)E在AC上，連接DE、DB，________．求證：________．

從①DE與⊙O相切；②DE⊥AC中選擇一個作為已知條件，余下的一個作為結(jié)論，將題目補(bǔ)充完整（填寫序號），并完成證明過程．（2）在（1）的前提下，若AB=6，∠BAD=30°，求陰影部分的面積．解法指導(dǎo)設(shè)⊙OQUOTE的半徑為R，n°QUOTE圓心角所對弧長為l，n為弧所對的圓心角的度數(shù)，則扇形弧長公式l=nπR180（扇形面積公式S扇形=nπR2圓錐側(cè)面積公式S圓錐側(cè)=πrl（其中l(wèi)是圓錐的母線長，r是圓錐的底面半徑）圓錐全面積公式S圓錐全=πrl+πr2（圓錐的表面積=扇形面積+底面圓面積）圓錐的高h(yuǎn)，圓錐的底面半徑rr解題大招【陰影部分面積求解問題解題思路】求陰影部分面積時，最基本的思想就是轉(zhuǎn)化思想，即把所求的不規(guī)則的圖形的面積轉(zhuǎn)化為規(guī)則圖形的面積．常用的方法有：變式訓(xùn)練1．（22-23九年級上·江蘇揚(yáng)州·期末）如圖，CD是⊙O的直徑，點(diǎn)B在⊙O上，點(diǎn)A為DC延長線上一點(diǎn)，過點(diǎn)O作OE∥BC交AB的延長線于點(diǎn)E(1)求證：AE是⊙O的切線；(2)若線段OE與⊙O的交點(diǎn)F是OE的中點(diǎn)，⊙O的半徑為3，求陰影部分的面積．2．（2023·江蘇常州·一模）如圖1，將一個三角形紙板△ABC繞點(diǎn)A逆時針旋轉(zhuǎn)θ到達(dá)△AB'C'的位置，那么可以得到：AB=AB'，(1)上述問題情境中“（________）”處應(yīng)填理由：________________；(2)如圖2，將一個半徑為4cm，圓心角為60°的扇形紙板ABC繞點(diǎn)O逆時針旋轉(zhuǎn)90°到達(dá)扇形紙板A①請?jiān)趫D中作出點(diǎn)O；②如果BB'=6cm，則在旋轉(zhuǎn)過程中，點(diǎn)(3)如果將與（2）中完全相同的兩個扇形紙板重疊，一個固定在墻上，使得一邊位于水平位置．另一個在弧的中點(diǎn)處固定，然后放開紙板，使其擺動到豎直位置時靜止．此時，兩個紙板重疊部分的面積是多少(如圖3)？題型三：正多邊形與圓大題典例（2021·湖北隨州·中考真題）等面積法是一種常用的、重要的數(shù)學(xué)解題方法．它是利用“同一個圖形的面積相等”、“分割圖形后各部分的面積之和等于原圖形的面積”、“同底等高或等底同高的兩個三角形面積相等”等性質(zhì)解決有關(guān)數(shù)學(xué)問題，在解題中，靈活運(yùn)用等面積法解決相關(guān)問題，可以使解題思路清晰，解題過程簡便快捷．（1）在直角三角形中，兩直角邊長分別為3和4，則該直角三角形斜邊上的高的長為_____，其內(nèi)切圓的半徑長為______；（2）①如圖1，P是邊長為a的正△ABC內(nèi)任意一點(diǎn)，點(diǎn)O為△ABC的中心，設(shè)點(diǎn)P到△ABC各邊距離分別為?1，?2，?3，連接AP，BP，CP，由等面積法，易知12a②如圖2，P是邊長為a的正五邊形ABCDE內(nèi)任意一點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)P到五邊形ABCDE各邊距離分別為?1，?2，?3，?4，?5，參照①的探索過程，試用含a的式子表示?（3）①如圖3，已知⊙O的半徑為2，點(diǎn)A為⊙O外一點(diǎn)，OA=4，AB切⊙O于點(diǎn)B，弦BC//OA，連接AC，則圖中陰影部分的面積為______；（結(jié)果保留②如圖4，現(xiàn)有六邊形花壇ABCDEF，由于修路等原因需將花壇進(jìn)行改造．若要將花壇形狀改造成五邊形ABCDG，其中點(diǎn)G在AF的延長線上，且要保證改造前后花壇的面積不變，試確定點(diǎn)G的位置，并說明理由．解法指導(dǎo)正多邊形的常用公式邊長an=2Rn?周長Pn=n?an外角/中心角度數(shù)360°面積Sn=12an?rn?對角線條數(shù)n(n?3)邊心距rn=Rn?cos180內(nèi)角和（n-2）×180°.內(nèi)角度數(shù)（n?2）×180°n邊形的邊數(shù)（內(nèi)角和÷180°）＋2aRn2=rn2+an【解題思路】正多邊形與圓的計(jì)算問題：正n邊形的外接圓半徑和邊心距把正n邊形分成2n個全等的直角三角形，而每個直角三角形都集中地反映了這個正n邊形各元素間的關(guān)系，故可以把正n邊形的計(jì)算轉(zhuǎn)化為解直角三角形，再利用勾股定理即可完成計(jì)算．變式訓(xùn)練1．（2024·遼寧鞍山·三模）【發(fā)現(xiàn)問題】蜂巢的結(jié)構(gòu)非常精美，每個巢室都是由多個正六邊形組成（如圖1），某數(shù)學(xué)興趣小組的同學(xué)用若干個形狀，大小均相同的正六邊形模具，模仿蜂巢結(jié)構(gòu)拼成如圖2所示的若干個圖案，同學(xué)們發(fā)現(xiàn)：在每個拼接成的圖案中，所需正六邊形模具的總個數(shù)隨著第一層（最下面一層）正六邊形模具個數(shù)的變化而變化．

【提出問題】在拼接成的圖案中，所需正六邊形模具的總個數(shù)y與第一層正六邊形模具的個數(shù)x之間有怎樣的函數(shù)關(guān)系?【分析問題】同學(xué)們結(jié)合實(shí)際操作和計(jì)算得到如下表所示的數(shù)據(jù)第一層正六邊形模具的個數(shù)x1234…拼接圖案中所需正六邊形模具的總個數(shù)y171937…然后在平面直角坐標(biāo)系中描出上面表格中各對數(shù)值所對應(yīng)的點(diǎn)得到圖3，同學(xué)們根據(jù)圖3中點(diǎn)的分布情況，猜想其圖象是二次函數(shù)圖象的一部分．

為了驗(yàn)證猜想，同學(xué)們從“形”的角度出發(fā)，借助“割補(bǔ)”的方法，把某一拼接圖案中上半部分的正六邊形模具（虛線部分）移到下面（如圖4），并把第一層缺少的正六邊形模具（陰影部分）補(bǔ)全，再拼接到一起（如圖5），使每一層正六邊形模具的數(shù)量相同，借此圖求出正六邊形模具的總個數(shù)，再減去用于補(bǔ)全圖形的正六邊形模具的個數(shù)，即可求出y與x之間的關(guān)系式．【解決問題】(1)直接寫出y與x的關(guān)系式；(2)若同學(xué)按圖2的方式拼接圖案，共用了169個正六邊形模具，求拼接成的圖案中第一層正六邊形模具的個數(shù)；(3)如圖6，作正六邊形模具的外接圓，圓心為O，A，B為正六邊形模具相鄰的兩個頂點(diǎn)，AB的長為23πcm2．（2023·河北邯鄲·二模）摩天輪（如圖1）是游樂場中受歡迎的游樂設(shè)施之一，它可以看作一個大圓和六個全等的小圓組成（如圖2），大圓繞著圓心O勻速旋轉(zhuǎn)，小圓通過頂部掛點(diǎn)（如點(diǎn)P，N）均勻分布在大圓圓周上，由于重力作用，掛點(diǎn)和小圓圓心連線（如PQ）始終垂直于水平線l．

(1)∠NOP=________°(2)若OA=16，⊙O的半徑為10，小圓的半徑都為1：①在旋轉(zhuǎn)一周的過程中，圓心M與l的最大距離為________；②當(dāng)圓心H到l的距離等于OA時，求OH的長；③求證：在旋轉(zhuǎn)過程中，MQ的長為定值，并求出這個定值．題型四：切線的性質(zhì)與判定大題典例1．（2023·黑龍江大慶·中考真題）如圖，AB是⊙O的直徑，點(diǎn)C是圓上的一點(diǎn)，CD⊥AD于點(diǎn)D，AD交⊙O于點(diǎn)F，連接AC，若AC平分∠DAB，過點(diǎn)F作FG⊥AB于點(diǎn)G，交AC于點(diǎn)H，延長AB，DC交于點(diǎn)E．

(1)求證：CD是⊙O的切線；(2)求證：AF?AC=AE?AH；(3)若sin∠DEA=452．（2023·湖北恩施·中考真題）如圖，△ABC是等腰直角三角形，∠ACB=90°，點(diǎn)O為AB的中點(diǎn)，連接CO交⊙O于點(diǎn)E，⊙O與AC相切于點(diǎn)D．(1)求證：BC是⊙O的切線；(2)延長CO交⊙O于點(diǎn)G，連接AG交⊙O于點(diǎn)F，若AC=42，求FG解法指導(dǎo)性質(zhì)圓的切線垂直于過切點(diǎn)的半徑．（實(shí)際上過切點(diǎn)的半徑也可理解為過切點(diǎn)的直徑或經(jīng)過切點(diǎn)與圓心的直線．）解題方法：當(dāng)題目已知一條直線切圓于某一點(diǎn)時，通常作的輔助線是連接切點(diǎn)與圓心（這是圓中作輔助線的一種方法）．根據(jù)切線的性質(zhì)可得半徑與切線垂直，從而利用垂直關(guān)系進(jìn)行有關(guān)的計(jì)算或證明．判定1）定義法：直線和圓只有一個公共點(diǎn)時，我們說這條直線是圓的切線.2）數(shù)量關(guān)系法：圓心到這條直線的距離等于半徑時，直線與圓相切.3)判定定理：經(jīng)過半徑的外端且垂直于這條半徑的直線是圓的切線.常見輔助線作法：判定一條直線是圓的切線時，1）若已知直線與圓的公共點(diǎn)時，把圓心和這個公共點(diǎn)連接起來，然后證明直線垂直于這條半徑，簡稱“連半徑，證垂直”；3）若直線與圓的公共點(diǎn)沒有明確，可過圓心作直線的垂線段，再證明圓心到直線的距離等于半徑，簡稱“作垂直，證半徑”．變式訓(xùn)練1．（2023·廣西梧州·二模）如圖，在△ABC中，O為AC上一點(diǎn)，以點(diǎn)O為圓心，OC為半徑作圓，與BC相切于點(diǎn)C，過點(diǎn)A作AD⊥BO交BO的延長線于點(diǎn)D，且∠AOD=∠BAD．(1)求證：AB為⊙O的切線；(2)若AB=10，sin∠ABC=45，求2．（22-23九年級上·河北保定·期中）如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC，交BC于點(diǎn)D，O是邊AB上的點(diǎn)，經(jīng)過點(diǎn)A，D的⊙O交AB于點(diǎn)E(1)求證：BC是⊙O的切線；(2)若∠B=30°，BD=3①求OE的長；②求陰影部分的面積．題型五：四點(diǎn)共圓大題典例1．（2023·山東日照·中考真題）在探究“四點(diǎn)共圓的條件”的數(shù)學(xué)活動課上，小霞小組通過探究得出：在平面內(nèi)，一組對角互補(bǔ)的四邊形的四個頂點(diǎn)共圓．請應(yīng)用此結(jié)論．解決以下問題：如圖1，△ABC中，AB=AC，∠BAC=α（60°<α<180°）．點(diǎn)D是BC邊上的一動點(diǎn)（點(diǎn)D不與B，C重合），將線段AD繞點(diǎn)A順時針旋轉(zhuǎn)α到線段AE，連接

(1)求證：A，E，B，D四點(diǎn)共圓；(2)如圖2，當(dāng)AD=CD時，⊙O是四邊形AEBD的外接圓，求證：AC是⊙O的切線；(3)已知α=120°，BC=6，點(diǎn)M是邊BC的中點(diǎn)，此時⊙P是四邊形AEBD的外接圓，直接寫出圓心P與點(diǎn)2．（2023·廣東·中考真題）綜合運(yùn)用如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，正方形OABC的頂點(diǎn)A在x軸的正半軸上，如圖2，將正方形OABC繞點(diǎn)O逆時針旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)角為α0°<α<45°，AB交直線y=x于點(diǎn)E，BC交y軸于點(diǎn)F

(1)當(dāng)旋轉(zhuǎn)角∠COF為多少度時，OE=OF；（直接寫出結(jié)果，不要求寫解答過程）(2)若點(diǎn)A(4,3)，求FC的長；(3)如圖3，對角線AC交y軸于點(diǎn)M，交直線y=x于點(diǎn)N，連接FN，將△OFN與△OCF的面積分別記為S1與S2，設(shè)S=S1?S2解法指導(dǎo)判定方法圖形證明過程若四個點(diǎn)到一個定點(diǎn)的距離相等，則這四個點(diǎn)共圓（圓的定義）.適用范圍：題目出現(xiàn)共端點(diǎn)，等線段時，可利用圓的定義構(gòu)造輔助圓.到定點(diǎn)的距離等于定長的點(diǎn)都在同一個圓上（圓的定義）若一個四邊形的一組對角互補(bǔ)，則這個四邊形的四個點(diǎn)共圓.反證法若一個四邊形的外角等于它的內(nèi)對角，則這個四邊形的四個點(diǎn)共圓.反證法同側(cè)共邊三角形且公共邊所對角相等的四個頂點(diǎn)共圓.反證法共斜邊的兩個直角三角形的四個頂點(diǎn)共圓.適用范圍：雙直角三角形共斜邊模型.連接AO、OD根據(jù)直角三角形斜邊的中線等于斜邊的一半可得AO=BO=CO=DO∴點(diǎn)A、B、C、D四點(diǎn)共圓在⊙O中，若弦AB、CD相交于點(diǎn)P,且AP?DP=BP?CP，則A,B,C,D四點(diǎn)共圓（相交弦定理的逆定理）在△APB和△CPD中AP?DP=BP?CP∠3=∠4∴△APB∽△CPD∴∠1=∠2則A、B、C、D四點(diǎn)共圓在⊙O中，若AB、CD兩線段延長后相交于點(diǎn)P,且AP?BP=DP?CP，則A,B,C,D四點(diǎn)共圓（割線定理）在△APC和△DPB中AP?BP=CP?DP∠P=∠P∴△APC∽△DPB∴∠1=∠3而∠2+∠3=180°∴∠1+∠2=180°則A、B、C、D四點(diǎn)共圓若四邊形兩組對邊乘積的和等于對角線的乘積，則四邊形的四個頂點(diǎn)共圓(托勒密定理的逆定理).變式訓(xùn)練1．（2023·河南南陽·三模）綜合實(shí)踐課上，劉老師介紹了四點(diǎn)共圓的判定定理：若平面上四點(diǎn)連成四邊形的對角互補(bǔ)或一個外角等于其內(nèi)對角，那么這四點(diǎn)共圓．在實(shí)際應(yīng)用中，如果運(yùn)用這個定理，往往可以讓復(fù)雜的問題簡單化，以下是小明同學(xué)對一道四邊形問題的分析，請幫助他補(bǔ)充完整．

特殊情況分析(1)如圖1，正方形ABCD中，點(diǎn)P為對角線AC上一個動點(diǎn)，連接PD，將射線PD繞點(diǎn)P順時針旋轉(zhuǎn)∠ADC的度數(shù)，交直線BC于點(diǎn)Q．小明的思考如下：連接DQ，∵AD∥CQ，∴∠ACQ=∠DAC，（依據(jù)1）∵∠DPQ=90°，∴∠DPQ+∠DCQ=180°，∴點(diǎn)D、∴∠PDQ=∠PCQ，∠DQP=∠PCD，（依據(jù)2）∴∠PDQ=∠DQP，∴DP=QP．（依據(jù)3）填空：①依據(jù)1應(yīng)為___________，②依據(jù)2應(yīng)為___________，③依據(jù)3應(yīng)為___________；一般結(jié)論探究(2)將圖1中的正方形ABCD改為菱形ABCD，其他條件不變，（1）中的結(jié)論是否成立，若成立，請僅以圖2的形式證明，若不成立，請說明理由；結(jié)論拓展延伸(3)如圖2，若∠ADC=120°，AD=3，當(dāng)△PQC為直角三角形時，請直接寫出線段PQ的長．2．（2023·云南昆明·模擬預(yù)測）【問題引入】如圖1，在Rt△ABC中，∠C=90°，過點(diǎn)B作直線MN，過點(diǎn)A作AE⊥MN于點(diǎn)E，判斷：點(diǎn)E一定Rt△ABC外接圓【問題探索】如圖2，以線段AB上一點(diǎn)O為圓心，OB為半徑畫圓，交AB于點(diǎn)C，點(diǎn)D是異于點(diǎn)B，C的⊙O上一點(diǎn)，E為BD的延長線上一點(diǎn).當(dāng)AE有最小值f時，此時DE=f2，且（1）求證：AD是⊙O的切線；（2）若f=8；以A為圓心，AD為半徑畫弧交射線BD于點(diǎn)F（與D不重合），G為BD的中點(diǎn)，判斷點(diǎn)A，O，G，F(xiàn)是否在一個圓上？如果在，請求出這個圓的面積；如果不在，請說明理由．題型六：圓冪定理大題典例1．（2022·湖南長沙·中考真題）如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，對角線AC，BD相交于點(diǎn)E，點(diǎn)F在邊AD上，連接EF．

(1)求證：△ABE∽(2)當(dāng)DC=CB，∠DFE=2∠CDB時，則AEBE(3)①記四邊形ABCD，△ABE，△CDE的面積依次為S,S1,②當(dāng)DC=CB，AB=m，AD=n，CD=p時，試用含m，2．（2022·湖南·中考真題）如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于圓O，AB是直徑，點(diǎn)C是BD的中點(diǎn)，延長AD交BC的延長線于點(diǎn)E．(1)求證：CE=CD；(2)若AB=3，BC=3，求AD解法指導(dǎo)相交弦定理：圓內(nèi)的兩條相交弦，被交點(diǎn)分成的兩條線段長的積相等.已知圖形結(jié)論證明過程【基礎(chǔ)】在⊙O中，弦AB、CD相交于點(diǎn)PAP?DP=BP?CP在△APB和△CPD中∠1=∠2（同弧所對圓周角相等）∠3=∠4∴△APB∽△CPD∴APCP=BPDP則AP【進(jìn)階】在⊙O中，OP所在直線與⊙O交于M、N兩點(diǎn)，r為⊙O的半徑BP?CP=MP?NP=(r-OP)(r+OP)=同上切割線定理：從圓外一點(diǎn)引圓的切線和割線，切線長是這點(diǎn)到割線與圓交點(diǎn)的兩條線段長的比例中項(xiàng).割線定理：從圓外一點(diǎn)引圓的兩條割線，這一點(diǎn)到每條割線與圓交點(diǎn)的距離的積相等.變式訓(xùn)練1．（2024·福建龍巖·二模）如圖，已知AB是⊙O的直徑，點(diǎn)D是圓上一點(diǎn)，過點(diǎn)D作⊙O的切線交BA延長線于點(diǎn)C，連接AD，DC．

(1)求證：CD(2)已知AD=3，sin∠B=35，求2．（2023·河南商丘·一模）閱讀下列材料，完成相應(yīng)任務(wù)：弗朗索瓦?韋達(dá)，法國杰出數(shù)學(xué)家．第一個有意識地和系統(tǒng)地使用字母來表示已知數(shù)、未知數(shù)及其乘冪，帶來了代數(shù)學(xué)理論研究的重大進(jìn)步，在歐洲被尊稱為“代數(shù)學(xué)之父”．他還發(fā)現(xiàn)從圓外一點(diǎn)引圓的切線和割線，切線長是這點(diǎn)到割線與圓交點(diǎn)的兩條線段長的比例中項(xiàng)（切割線定理）．如圖1，P是⊙O外一點(diǎn)，PC是⊙O的切線，PA是⊙O的一條割線，與⊙O的另一個交點(diǎn)為B，則PC證明：如圖2，連接AC、BC，過點(diǎn)C作⊙O的直徑CD，連接AD．∵PC是⊙O的切線，∴PC⊥CD，∴∠PCD=90°，即∠PCB+∠BCD=90°．……任務(wù)：(1)請按照上面證明思路寫出該證明的剩余部分．(2)如圖3，PA與⊙O相切于點(diǎn)A，連接PO并延長與⊙O交于點(diǎn)B、C，∠P=∠BAD，BC=8，AP=3BP，連接CD．①CD與AP的位置關(guān)系是．②求BD的長．3．（2023·河南周口·三模）閱讀與思考學(xué)習(xí)了圓的相關(guān)知識后，某數(shù)學(xué)興趣小組的同學(xué)們進(jìn)行了如下探究活動，請仔細(xì)閱讀，并完成相應(yīng)任務(wù)．割線定理如圖，A是⊙O外一點(diǎn)，過點(diǎn)A作直線AC，AE分別交⊙O于點(diǎn)B，C，D，E，則有

證明：如圖，連接BE，∵∠BCD=∠BED（依據(jù)：①________________），∴△ACD～△AEB．∴ADAB∴AB?AC=AD?AE．任務(wù)：(1)上述閱讀材料中①處應(yīng)填的內(nèi)容是________，②處應(yīng)填的內(nèi)容是_______．(2)興趣小組的同學(xué)們繼續(xù)思考，當(dāng)直線AE與圓相切時，是否仍有類似的結(jié)論．請將下列已知、求證補(bǔ)充完整，并給出證明．已知：如圖，A是⊙O外一點(diǎn)，過點(diǎn)A的直線交⊙O于點(diǎn)B，C，__________．求證：AE

題型七：圓與全等/相似三角形的綜合大題典例1．（2023·浙江臺州·中考真題）我們可以通過中心投影的方法建立圓上的點(diǎn)與直線上點(diǎn)的對應(yīng)關(guān)系，用直線上點(diǎn)的位置刻畫圓上點(diǎn)的位置，如圖，AB是⊙O的直徑，直線l是⊙O的切線，B為切點(diǎn)．P，Q是圓上兩點(diǎn)（不與點(diǎn)A重合，且在直徑AB的同側(cè)），分別作射線AP，AQ交直線l于點(diǎn)C，點(diǎn)D．

(1)如圖1，當(dāng)AB=6，BP?的長為π時，求BC(2)如圖2，當(dāng)AQAB=34，(3)如圖3，當(dāng)sin∠BAQ=64，BC=CD時，連接BP，PQ2．（2022·河北·中考真題）如圖，四邊形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝90°，∠C＝30°，AD＝3，AB=23，DH⊥BC于點(diǎn)H．將△PQM與該四邊形按如圖方式放在同一平面內(nèi)，使點(diǎn)P與A重合，點(diǎn)B在PM上，其中∠Q＝90°，∠QPM(1)求證：△PQM≌△CHD；(2)△PQM從圖1的位置出發(fā)，先沿著BC方向向右平移（圖2），當(dāng)點(diǎn)P到達(dá)點(diǎn)D后立刻繞點(diǎn)D逆時針旋轉(zhuǎn)（圖3），當(dāng)邊PM旋轉(zhuǎn)50°時停止．①邊PQ從平移開始，到繞點(diǎn)D旋轉(zhuǎn)結(jié)束，求邊PQ掃過的面積；②如圖2，點(diǎn)K在BH上，且BK=9?43．若△PQM右移的速度為每秒1個單位長，繞點(diǎn)D旋轉(zhuǎn)的速度為每秒5°，求點(diǎn)K在△PQM③如圖3．在△PQM旋轉(zhuǎn)過程中，設(shè)PQ，PM分別交BC于點(diǎn)E，F(xiàn)，若BE＝d，直接寫出CF的長（用含d的式子表示）．解法指導(dǎo)全等三角形的判定：1.邊邊邊定理：有三邊對應(yīng)相等的兩個三角形全等（可簡寫成“邊邊邊”或“SSS”）；2.邊角邊定理：有兩邊和它們的夾角對應(yīng)相等的兩個三角形全等（可簡寫成“邊角邊”或“SAS”）；3.角邊角定理：有兩角和它們的夾邊對應(yīng)相等的兩個三角形全等（可簡寫成“角邊角”或“ASA”）；4.角角邊定理：有兩角和它們所對的任意一邊對應(yīng)相等的兩個三角形全等（可簡寫成“角角邊”或“AAS”）；5.對于特殊的直角三角形：有斜邊和一條直角邊對應(yīng)相等的兩個直角三角形全等（可簡寫成“斜邊、直角邊”或“HL”）．判定兩個三角形全等的思路：相似三角形的判定方法：1）平行于三角形一邊的直線和其他兩邊（或其延長線）相交，所構(gòu)成的三角形與原三角形相似．2）兩個三角形相似的判定定理：①三邊成比例的兩個三角形相似；②兩邊成比例且夾角相等的兩個三角形相似；③兩角分別相等的兩個三角形相似．④斜邊和直角邊成比例的兩個直角三角形相似.判定兩個三角形相似需要根據(jù)條件選擇方法．有時條件不具備，需從以下幾個方面探求：1）條件中若有平行線，可考慮用平行線直接推出相似三角形；2）兩個三角形中若有一組等角，可再找一組等角，或再找夾這組等角的兩邊成比例；3）兩個三角形中若有兩邊成比例，可找這兩邊的夾角相等，或再找第三邊成比例；4）條件中若有一組直角，可再找一組等角或兩邊成比例．變式訓(xùn)練1．（2023·浙江寧波·模擬預(yù)測）如圖①，OA是⊙O的半徑，點(diǎn)P是OA上一動點(diǎn)，過P作弦BD⊥弦AC，垂足為E，連結(jié)AB，BC，CD，DA．

(1)求證：∠BAO=∠CAD．(2)當(dāng)OA∥CD時，求證：AC=BC．(3)如圖②，在（2）的條件下，連結(jié)OC．①若△ABC的面積為12，cos∠ADB=45②當(dāng)P是OA的中點(diǎn)時，求BDAC2．（2023·浙江溫州·模擬預(yù)測）如圖，在△ABC中，AB=AC=5，BC=6，AF為∠BAC的外角平分線，過點(diǎn)A，C及線段AB上一點(diǎn)E作圓O，交射線AF于點(diǎn)D．(1)求證：DE=DC．(2)試判斷ADBE(3)作點(diǎn)A關(guān)于CD的對稱點(diǎn)A'，當(dāng)點(diǎn)A'落在△ADE任一邊所在直線上時，求所有滿足條件的題型八：圓與四邊形綜合大題典例1．（2023·廣東·中考真題）綜合探究如圖1，在矩形ABCD中(AB>AD)，對角線AC，BD相交于點(diǎn)O，點(diǎn)A關(guān)于BD的對稱點(diǎn)為A'，連接AA'交BD于點(diǎn)E，連接

(1)求證：AA'⊥CA'；(2)以點(diǎn)O為圓心，OE為半徑作圓．①如圖2，⊙O與CD相切，求證：AA'=3②如圖3，⊙O與CA'相切，AD=1，求⊙O的面積．2．（2022·上海·中考真題）平行四邊形ABCD，若P為BC中點(diǎn)，AP交BD于點(diǎn)E，連接CE．(1)若AE=CE，①證明ABCD為菱形；②若AB=5，AE=3，求BD的長．(2)以A為圓心，AE為半徑，B為圓心，BE為半徑作圓，兩圓另一交點(diǎn)記為點(diǎn)F，且CE=2AE．若F在直線CE上，求變式訓(xùn)練1．（23-24九年級上·江蘇淮安·期中）在矩形ABCD中，已知BC=6，連接BD，∠CBD=30°，點(diǎn)O是邊BC上的一動點(diǎn)，⊙O的半徑為定值r．(1)如下圖，當(dāng)⊙O經(jīng)過點(diǎn)C時，恰好與BD相切，求⊙O的半徑r；(2)如下圖，點(diǎn)M是⊙O上的一動點(diǎn)，求三角形ADM面積的最大值：(3)若⊙O從B出發(fā)，沿BC方向以每秒一個單位長度向C點(diǎn)運(yùn)動，同時，動點(diǎn)E，F(xiàn)分別從點(diǎn)A，點(diǎn)C出發(fā)，其中點(diǎn)E沿著AD方向向點(diǎn)D運(yùn)動，速度為每秒1個單位長度，點(diǎn)F沿著射線CB方向運(yùn)動，速度為每秒2個單位長度，連接EF，如下圖所示，當(dāng)⊙O平移至點(diǎn)C（圓心O與點(diǎn)C重合）時停止運(yùn)動，點(diǎn)E，F(xiàn)也隨之停止運(yùn)動．設(shè)運(yùn)動時間為t（秒）．在運(yùn)動過程中，是否存在某一時間t，使⊙O與EF相切，若存在，請求出此時t的值；若不存在，請說明理由．2．（2023·重慶大渡口·三模）如圖，在正方形ABCD中，點(diǎn)P為CB延長線上一點(diǎn)，連接AP．(1)如圖1，連接PD，若∠PDC=60°，AD=4，求tan∠APB(2)如圖2，點(diǎn)F在DC上，連接AF．作∠APB的平分線PE交AF于點(diǎn)E，連接DE、CE，若∠APB=60°，且DE平分∠ADF．求證：PA+PC=3(3)如圖3，在（2）的條件下，點(diǎn)Q為AP的中點(diǎn)，點(diǎn)M為平面內(nèi)一動點(diǎn)，且AQ=MQ，連接PM，以PM為邊長作等邊△PMM'，若BP=2，直接寫出必刷大題刷模擬1．（2023·浙江寧波·一模）【教材呈現(xiàn)】以下是浙教版八年級下冊數(shù)學(xué)教材第85頁的部分內(nèi)容．先觀察下圖，直線l1∥l2，點(diǎn)A，B在直線l2上，點(diǎn)C1，C2，C3，C4在直線l1上．△ABC1，△ABC2，△ABC3，△ABC4這些三角形的面積有怎樣的關(guān)系？請說明理由?！净A(chǔ)鞏固】如圖1，正方形ABCD內(nèi)接于⊙O，直徑MN∥【嘗試應(yīng)用】如圖2，在半徑為5的⊙O中，BD＝CD，∠ACO＝2∠BDO，cos∠BOC＝【拓展提高】如圖3，AB是⊙O的直徑，點(diǎn)P是OB上一點(diǎn)，過點(diǎn)P作弦CD⊥AB于點(diǎn)P，點(diǎn)F是⊙O上的點(diǎn)，且滿足CF＝CB，連接BF交CD于點(diǎn)E，若BF＝8EP，2．（2023·陜西西安·模擬預(yù)測）在?ABCD中，AB⊥AC，點(diǎn)E在邊AD上，連接BE．

(1)如圖1，AC交BE于點(diǎn)G，GH⊥AE，若BE平分∠ABC，且∠DAC=30°，CG=4，請求出四邊形(2)如圖2，點(diǎn)F在對角線AC上，且AF=AB，連接BF，過點(diǎn)F作FH⊥BE于點(diǎn)H，連接AH，求證：HF+2(3)如圖3，線段PQ在線段BE上運(yùn)動，點(diǎn)R在BC上，連接CQ，PR．若BE平分∠ABC，∠DAC=30°，AB=33．（2024·福建龍巖·二模）已知△ABC，∠BAC=90°，AB=AC=62

探究一：如圖（1），點(diǎn)D在BC上（點(diǎn)D不與點(diǎn)B，C重合），且BD=x．①連接AD，當(dāng)x=4時，AD=______．②在①的條件下，若以點(diǎn)A為旋轉(zhuǎn)中心把線段AB逆時針旋轉(zhuǎn)α0°<α<360°，旋轉(zhuǎn)后點(diǎn)B的對應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)B'，連接DB'，設(shè)DB'為最大值為a，③如圖（2），若把線段AD繞點(diǎn)A逆時針旋轉(zhuǎn)90°得線段AE，連接DE交AC于點(diǎn)F，求CF的最大值．探究二：建立如圖（3）所示的平面直角坐標(biāo)系，把線段AB繞點(diǎn)A逆時針旋轉(zhuǎn)45°得線段AM，再把線段AM逆時針旋轉(zhuǎn)90°得線段AN，MN交BC于點(diǎn)P，NC與BM的延長線交于點(diǎn)Q，請判斷射線AP是否經(jīng)過點(diǎn)4．（2024·湖南邵陽·一模）如圖，以邊△ABC的邊AB為直徑作圓O，交BC于D，E在弧BD上，連接AE、ED、DA，若∠DAC=∠AED．(1)求證：AC為⊙O切線；(2)求證：AC(3)若點(diǎn)E是弧BD的中點(diǎn)，AE與BC交于點(diǎn)F，當(dāng)BD=5，CD=4時，求DF的長．5．（2024·陜西西安·二模）圖形旋轉(zhuǎn)是解決幾何問題的一種重要方法．如圖1，正方形ABCD中，E、F分別在邊AB、BC上，且∠EDF=45°，連接EF，試探究AE、CF、EF之間的數(shù)量關(guān)系．解決這個問題可將△ADE繞點(diǎn)D逆時針旋轉(zhuǎn)90°到△CDH的位置（易得出點(diǎn)H在BC的延長線上），進(jìn)一步證明△DEF與△DHF全等，即可解決問題．(1)如圖1，正方形ABCD中，∠EDF=45°,AE=3,CF=2，則EF=______；(2)如圖2，正方形ABCD中，若∠EDF=30°，過點(diǎn)E作EM∥BC交DF于M點(diǎn)，請計(jì)算AE+CF與EM的比值，寫出解答過程；(3)如圖3，若∠EDF=60°，正方形ABCD的邊長AB=8，試探究△DEF面積的最小值．刷真題1．（2023·山東濰坊·中考真題）如圖，正方形ABCD內(nèi)接于⊙O，在AB上取一點(diǎn)E，連接AE，DE．過點(diǎn)A作AG⊥AE，交⊙O于點(diǎn)G，交DE于點(diǎn)F，連接CG，DG．

(1)求證：△AFD≌(2)若AB=2，∠BAE=30°，求陰影部分的面積．2．（2021·湖南湘潭·中考真題）德國著名的天文學(xué)家開普勒說過：“幾何學(xué)里有兩件寶，一個是勾股定理，另一個是黃金分割．如果把勾股定理比作黃金礦的話，那么可以把黃金分割比作鉆石礦”．如圖①，點(diǎn)C把線段AB分成兩部分，如果CBAC=5?12（1）特例感知：在圖①中，若AB=100，求AC的長；（2）知識探究：如圖②，作⊙O的內(nèi)接正五邊形：①作兩條相互垂直的直徑MN、AI；②作ON的中點(diǎn)P，以P為圓心，PA為半徑畫弧交OM于點(diǎn)Q；③以點(diǎn)A為圓心，AQ為半徑，在⊙O上連續(xù)截取等弧，使弦AB=BC=CD=DE=AQ，連接AE；則五邊形ABCDE為正五邊形．在該正五邊形作法中，點(diǎn)Q是否為線段OM的黃金分割點(diǎn)？請說明理由．（3）拓展應(yīng)用：國旗和國徽上的五角星是革命和光明的象征，是一個非常優(yōu)美的幾何圖形，與黃金分割有著密切的聯(lián)系．延長題（2）中的正五邊形ABCDE的每條邊，相交可得到五角星，擺正后如圖③，點(diǎn)E是線段PD的黃金分割點(diǎn)，請利用題中的條件，求cos72°3．（2023·四川雅安·中考真題）如圖，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，以AB為直徑的⊙O與AC交于點(diǎn)D，點(diǎn)E是BC的中點(diǎn)，連接BD，DE

(1)求證：DE是⊙O的切線；(2)若DE=2，tan∠BAC=12(3)在（2）的條件下，點(diǎn)P是⊙O上一動點(diǎn)，求PA+PB的最大值．4．（2023·吉林長春·中考真題）【感知】如圖①，點(diǎn)A、B、P均在⊙O上，∠AOB=90°，則銳角∠APB的大小為__________度．

【探究】小明遇到這樣一個問題：如圖②，⊙O是等邊三角形ABC的外接圓，點(diǎn)P在AC上（點(diǎn)P不與點(diǎn)A、C重合），連結(jié)PA、PB、PC．求證：PB=PA+PC．小明發(fā)現(xiàn)，延長PA至點(diǎn)E，使AE=PC，連結(jié)BE，通過證明△PBC≌△EBA，可推得下面是小明的部分證明過程：證明：延長PA至點(diǎn)E，使AE=PC，連結(jié)BE，∵四邊形ABCP是⊙O的內(nèi)接四邊形，∴∠BAP+∠BCP=180°．∵∠BAP+∠BAE=180°，∴∠BCP=∠BAE．∵△ABC是等邊三角形．∴BA=BC，∴△PBC≌△EBA(請你補(bǔ)全余下的證明過程．【應(yīng)用】如圖③，⊙O是△ABC的外接圓，∠ABC=90°，AB=BC，點(diǎn)P在⊙O上，且點(diǎn)P與點(diǎn)B在AC的兩側(cè)，連結(jié)PA、PB、PC．若PB=225．（2023·黑龍江哈爾濱·中考真題）已知△ABC內(nèi)接于⊙O，AB為⊙O的直徑，N為AC的中點(diǎn)，連接ON交AC于點(diǎn)H．

(1)如圖①，求證BC=2OH；(2)如圖②，點(diǎn)D在⊙O上，連接DB，DO，DC，DC交OH于點(diǎn)E，若DB=DC，求證OD∥AC；(3)如圖③，在（2）的條件下，點(diǎn)F在BD上，過點(diǎn)F作FG⊥DO，交DO于點(diǎn)G．DG=CH，過點(diǎn)F作FR⊥DE，垂足為R，連接EF，EA，EF:DF=3:2，點(diǎn)T在BC的延長線上，連接AT，過點(diǎn)T作TM⊥DC，交DC的延長線于點(diǎn)M，若

中考大題06圓中的證明與計(jì)算問題中考數(shù)學(xué)中，圓的基本性質(zhì)、與圓有關(guān)的位置關(guān)系一直都是必考的考點(diǎn)，難度從基礎(chǔ)到綜合都有通常選擇填空題會出圓的基本性質(zhì)，如弧長、弦長、半徑、圓周角等的關(guān)系,基本都是基礎(chǔ)應(yīng)用，難度不大,個別會出選擇題的壓軸題，難度稍大.簡答題部分，一般會把切線的問題和相似三角形、銳角三角函數(shù)等結(jié)合考察，這是一般都是中等難度的問題.還有一些城市會把圓的基本性質(zhì)等與其他動點(diǎn)問題綜合考察,此時一般都是壓軸題，難度很大，這時候就需要考生綜合思考的點(diǎn)比較多.題型一：圓中的角度和線段計(jì)算問題大題典例1．（2023·浙江杭州·中考真題）如圖，在⊙O中，直徑AB垂直弦CD于點(diǎn)E，連接AC,AD,BC，作CF⊥AD于點(diǎn)F，交線段OB于點(diǎn)G（不與點(diǎn)O,B重合），連接OF．

(1)若BE=1，求GE的長．(2)求證：BC(3)若FO=FG，猜想∠CAD的度數(shù)，并證明你的結(jié)論．【答案】(1)1(2)見解析(3)∠CAD=45°，證明見解析【分析】（1）由垂徑定理可得∠AED=90°，結(jié)合CF⊥AD可得∠DAE=∠FCD，根據(jù)圓周角定理可得∠DAE=∠BCD，進(jìn)而可得∠BCD=∠FCD，通過證明△BCE≌△GCE可得GE=BE=1；（2）證明△ACB∽△CEB，根據(jù)對應(yīng)邊成比例可得BC2=BA?BE，再根據(jù)AB=2BO，BE=（3）設(shè)∠DAE=∠CAE=α，∠FOG=∠FGO=β，可證α=90°?β，∠OCF=90°?3α，通過SAS證明△COF≌△AOF，進(jìn)而可得∠OCF=∠OAF，即90°?3α=α，則∠CAD=2α=45°．【詳解】（1）解：∵直徑AB垂直弦CD，∴∠AED=90°，∴∠DAE+∠D=90°，∵CF⊥AD，∴∠FCD+∠D=90°，∴∠DAE=∠FCD，由圓周角定理得∠DAE=∠BCD，∴∠BCD=∠FCD，在△BCE和△GCE中，∠BCE=∠GCECE=CE∴△BCE≌△GCEASA，∴GE=BE=1；（2）證明：∵AB是⊙O的直徑，∴∠ACB=90°，在△ACB和△CEB中，∠ACB=∠CEB=90°∠ABC=∠CBE∴△ACB∽△CEB，∴BCBE∴BC由（1）知GE=BE，∴BE=1又∵AB=2BO，∴BC（3）解：∠CAD=45°，證明如下：如圖，連接OC，

∵FO=FG，∴∠FOG=∠FGO，∵直徑AB垂直弦CD，∴CE=DE，∠AED=∠AEC=90°，又∵AE=AE，∴△ACE≌△ADESAS，∴∠DAE=∠CAE，設(shè)∠DAE=∠CAE=α，∠FOG=∠FGO=β，則∠FCD=∠BCD=∠DAE=α，

∵OA=OC，∴∠OCA=∠OAC=α，又∵∠ACB=90°，∴∠OCF=∠ACB?∠OCA?∠FCD?∠BCD=90°?3α，∵∠CGE=∠OGF=β，∠GCE=α，∠CGE+∠GCE=90°∴β+α=90°，∴α=90°?β，∵∠COG=∠OAC+∠OCA=α+α=2α，∴∠COF=∠COG+∠GOF=2α+β=290°?β∴∠COF=∠AOF，在△COF和△AOF中，CO=AO∴△COF≌△AOFSAS，∴∠OCF=∠OAF，即90°?3α=α，∴α=22.5°，∴∠CAD=2α=45°．【點(diǎn)睛】本題考查垂徑定理，圓周角定理，全等三角形的判定與性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)等，難度較大，解題的關(guān)鍵是綜合應(yīng)用上述知識點(diǎn)，特別是第3問，需要大膽猜想，再逐步論證．2．（2023·山東·中考真題）如圖，已知AB是⊙O的直徑，CD=CB，BE切⊙O于點(diǎn)B，過點(diǎn)C作CF⊥OE交BE于點(diǎn)F，若EF=2BF．

(1)如圖1，連接BD，求證：△ADB≌△OBE；(2)如圖2，N是AD上一點(diǎn)，在AB上取一點(diǎn)M，使∠MCN=60°，連接MN．請問：三條線段MN，【答案】(1)見解析(2)MN=BM+DN，證明見解析【分析】（1）根據(jù)CF⊥OE，OC是半徑，可得CF是⊙O的切線，根據(jù)BE是⊙O的切線，由切線長定理可得BF=CF，進(jìn)而根據(jù)sinE=CFEF=12，得出∠E=30°，∠EOB=60°，根據(jù)CD=CB得出CD=CB，根據(jù)垂徑定理的推論得出（2）延長ND至H使得DH=BM，連接CH，BD，根據(jù)圓內(nèi)接四邊形對角互補(bǔ)得出∠HDC=∠MBC，證明△HDC≌△MBCSAS，結(jié)合已知條件證明NC=NC，進(jìn)而證明△CNH≌△CNMSAS，得出NH=MN，即可得出結(jié)論．【詳解】（1）證明：∵CF⊥OE，OC是半徑，∴CF是⊙O的切線，∵BE是⊙O的切線，∴BF=CF，∵EF=2BF∴EF=2CF，∴sin∴∠E=30°，∠EOB=60°，∵CD=CB∴CD=∴OC⊥BD，∵AB是直徑，∴∠ADB=90°=∠EBO，∵∠E+∠EBD=90°，∠ABD+∠EBD=90°∴∠E=∠ABD=30°，∴AD=BO=1∴△ABD≌△OEBAAS（2）MN=BM+DN，理由如下，延長ND至H使得DH=BM，連接CH，BD，如圖所示

∵∠CBM+∠NDC=180°,∠HDC+∠NDC=180°∴∠HDC=∠MBC，∵CD=CB，DH=BM∴△HDC≌△MBCSAS，∴∠BCM=∠DCH，CM=CH由（1）可得∠ABD=30°，又AB是直徑，則∠ADB=90°，∴∠A=60°，∴∠DCB=180°?∠A=120°，∵∠MCN=60°，∴∠BCM+∠NCD=120°?∠NCM=120°?60°=60°，∴∠DCH+NCD=∠NCH=60°,∴∠NCH=∠NCM，∵NC=NC，∴△CNH≌△CNMSAS，∴NH=MN，

∴MN=DN+DH=DN+BM．即MN=BM+DN．【點(diǎn)睛】本題考查了切線的判定，切線長定理，垂徑定理的推論，全等三角形的性質(zhì)與判定，根據(jù)特殊角的三角函數(shù)值求角度，圓周角定理，圓內(nèi)接四邊形對角互補(bǔ)，熟練掌握全等三角形的性質(zhì)與判定是解題的關(guān)鍵．解法指導(dǎo)圓的基礎(chǔ)定理:垂徑定理、圓周角定理、切線長定理的內(nèi)容和常考題型要熟悉，也要結(jié)合幾何圖形各自的特征，綜合應(yīng)用起來解決相關(guān)問題.垂徑定理模型（知二得三）如圖，可得①AB過圓心②AB⊥CD③CE=DE④AC=AD【總結(jié)】垂徑定理及其推論實(shí)質(zhì)是指一條直線滿足：（1）過圓心（2）垂直于弦（3）平分弦（被平分的弦不是直徑）（4）平分弦所對的優(yōu)弧（5）平分弦所對的劣弧，若已知五個條件中的兩個，那么可推出其中三個，簡稱“知二得三”，解題過程中應(yīng)靈活運(yùn)用該定理.常見輔助線做法（考點(diǎn)）：1）過圓心，作垂線，連半徑，造Rt2）有弦中點(diǎn)，連中點(diǎn)和圓心，得垂直平分.【利用圓周角定理解題思路】1）在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等，都等于這條弧所對的圓心角的一半，在同圓中可以利用圓周角定理進(jìn)行角的轉(zhuǎn)化.2）在證明圓周角相等或弧相等時，通?！坝傻冉钦业然　被颉坝傻然≌业冉恰?3）當(dāng)已知圓的直徑時，常構(gòu)造直徑所對的圓周角．4）在圓中求角度時，通常需要通過一些圓的性質(zhì)進(jìn)行轉(zhuǎn)化．比如圓心角與圓周角間的轉(zhuǎn)化；同弧或等弧的圓周角間的轉(zhuǎn)化；連直徑，得到直角三角形，通過兩銳角互余進(jìn)行轉(zhuǎn)化等．變式訓(xùn)練1．（2023·河南商丘·模擬預(yù)測）如圖，過⊙O外一點(diǎn)P作⊙O的兩條切線，切點(diǎn)分別為A，B，過點(diǎn)B作BC∥PA交⊙O于點(diǎn)C，連接AB，(1)求證：AB=AC；(2)若AP=6，AB=4，求⊙O的半徑．【答案】(1)見解析(2)3【分析】（1）連接OA，并反向延長交BC于點(diǎn)E．根據(jù)切線的性質(zhì)得到∠EAP=90°，由BC∥PA，易得∠CEA=∠EAP=90°，即AE⊥BC，根據(jù)垂徑定理得到（2）連接PO，與AB交于點(diǎn)F．根據(jù)切線的性質(zhì)得到PA=PB，∠BPO=∠APO，由垂徑定理得到PO⊥AB，AF=12AB=2，利用勾股定理求出PF【詳解】（1）證明：連接OA，并反向延長交BC于點(diǎn)E．∵PA與⊙O相切，切點(diǎn)為A，∴∠EAP=90°．∵BC∥∴∠CEA=∠EAP=90°，即AE⊥BC，∴BE=EC，∴AB=AC；（2）解：連接PO，與AB交于點(diǎn)F．∵PA、PB分別與⊙O相切，切點(diǎn)分別為A、B，∴PA=PB，∠BPO=∠APO．∴PO⊥AB，AF=1∴在Rt△PFA中，PF=∵∠FPA=∠APO，∠PFA=∠PAO=90°，∴△FPA∽△APO．∴AFPF=AO∴AO=322，即⊙O【點(diǎn)睛】本題考查了切線定理，垂徑定理，勾股定理，相似三角形的判定與性質(zhì)，解題的關(guān)鍵在于對知識的熟練掌握與靈活運(yùn)用．2．（2023·廣東深圳·模擬預(yù)測）如圖，在Rt△ABC中，∠A=90°，以AB為直徑的半圓交BC于D，過D作圓的切線交AC于E

求證：(1)AE=CE；(2)CD?CB=4DE【答案】(1)見解析(2)見解析【分析】（1）由∠CAB=90°、AB為直徑可以得出AC為圓的切線，再根據(jù)切線長定理得出AE=DE，然后在Rt△ACD中可推得CD=DE（2）根據(jù)（1）的結(jié)論并結(jié)合相似三角形即可證明．【詳解】（1）證明：連接AD；

∵AB是圓的直徑，∴∠ADC=∠ADB=90°，∵∠CAB=90°，∴AC是圓的切線；又∵DE是圓的切線，∴DE=AE，∴∠ADE=∠EAD，∴∠C=∠CDE（等角的余角相等），∴CE=DE，∴AE=CE．（2）在Rt△CAD與Rt△CBA∴△CAD∽△CBA∴CA即CA∵由（1）得CA=CE+AE=2DE，∴CD·CB=4DE【點(diǎn)睛】本題考查了切線的判定定理、切線長定理、圓周角定理、三角形內(nèi)角和定理、相似三角形等知識點(diǎn)，解題的關(guān)鍵是熟練運(yùn)用相關(guān)的定理和推論．題型二：求弓形面積或不規(guī)則圖形面積大題典例1．（2023·江蘇南通·中考真題）如圖，等腰三角形OAB的頂角∠AOB=120°，⊙O和底邊AB相切于點(diǎn)C，并與兩腰OA，OB分別相交于D，E兩點(diǎn)，連接CD，CE．

(1)求證：四邊形ODCE是菱形；(2)若⊙O的半徑為2，求圖中陰影部分的面積．【答案】(1)見解析(2)S【分析】（1）連接OC，根據(jù)切線的性質(zhì)可得OC⊥AB，然后利用等腰三角形的三線合一性質(zhì)可得∠AOC=∠BOC=60°，從而可得△ODC和△OCE都是等邊三角形，最后利用等邊三角形的性質(zhì)可得OD=CD=CE=OE，即可解答；（2）連接DE交OC于點(diǎn)F，利用菱形的性質(zhì)可得OF=1，DE=2DF，∠OFD=90°，然后在Rt△ODF中，利用勾股定理求出DF的長，從而求出DE的長，最后根據(jù)圖中陰影部分的面積=扇形ODE的面積?菱形【詳解】（1）證明：連接OC，

∵⊙O和底邊AB相切于點(diǎn)C，∴OC⊥AB，∵OA=OB，∠AOB=120°，∴∠AOC=∠BOC=1∵OD=OC，OC=OE，∴△ODC和△OCE都是等邊三角形，∴OD=OC=DC，OC=OE=CE，∴OD=CD=CE=OE，∴四邊形ODCE是菱形；（2）解：連接DE交OC于點(diǎn)F，

∵四邊形ODCE是菱形，∴OF=12OC=1，DE=2DF在Rt△ODF中，∴DF=O∴DE=2DF=23∴圖中陰影部分的面積=扇形ODE的面積?菱形ODCE的面積===4π∴圖中陰影部分的面積為4π3【點(diǎn)睛】本題考查了切線的性質(zhì)，扇形面積的計(jì)算，等腰三角形的性質(zhì)，菱形的判定與性質(zhì)，根據(jù)題目的已知條件并結(jié)合圖形添加適當(dāng)?shù)妮o助線是解題的關(guān)鍵．2．（2023·江蘇宿遷·中考真題）（1）如圖，AB是⊙O的直徑，AC與⊙O交于點(diǎn)F，弦AD平分∠BAC，點(diǎn)E在AC上，連接DE、DB，________．求證：________．

從①DE與⊙O相切；②DE⊥AC中選擇一個作為已知條件，余下的一個作為結(jié)論，將題目補(bǔ)充完整（填寫序號），并完成證明過程．（2）在（1）的前提下，若AB=6，∠BAD=30°，求陰影部分的面積．【答案】（1）②①，證明見解析（或①②，證明見解析）（2）27【分析】（1）一：已知條件為②DE⊥AC，結(jié)論為①DE與⊙O相切；連接OD，先證出OD∥AC，再根據(jù)平行線的性質(zhì)可得DE⊥OD，然后根據(jù)圓的切線的判定即可得證；二：已知條件為①DE與⊙O相切，結(jié)論為②DE⊥AC；連接OD，先證出OD∥AC，再根據(jù)圓的切線的性質(zhì)可得DE⊥OD，然后根據(jù)平行線的性質(zhì)即可得證；（2）連接OD,OF，先解直角三角形求出OD,AE,DE的長，再根據(jù)等邊三角形的判定與性質(zhì)可得AF的長，從而可得EF的長，然后根據(jù)圓周角定理可得∠DOF=2∠CAD=60°，最后根據(jù)陰影部分的面積等于直角梯形ODEF的面積減去扇形ODF的面積即可得．【詳解】解：（1）一：已知條件為②DE⊥AC，結(jié)論為①DE與⊙O相切，證明如下：如圖，連接OD，

∵OA=OD，∴∠OAD=∠ODA，∵弦AD平分∠BAC，∴∠OAD=∠CAD，∴∠CAD=∠ODA，∴OD∥AC，∵DE⊥AC，∴DE⊥OD，又∵OD是⊙O的半徑，∴DE與⊙O相切；二：已知條件為①DE與⊙O相切，結(jié)論為②DE⊥AC，證明如下：如圖，連接OD，

∵OA=OD，∴∠OAD=∠ODA，∵弦AD平分∠BAC，∴∠OAD=∠CAD，∴∠CAD=∠ODA，∴OD∥AC，∵DE與⊙O相切，∴DE⊥OD，∴DE⊥AC；（2）如圖，連接OD,OF，

∵AB=6，∠BAD=30°，∴OA=OD=OF=3,AD=AB?cos30°=33∴DE=1又∵∠BAD=∠CAD=30°，∴∠BAC=60°，∴△OAF是等邊三角形，∴AF=OA=3，∴EF=AE?AF=3由圓周角定理得：∠DOF=2∠CAD=60°，則陰影部分的面積為S==27【點(diǎn)睛】本題考查了圓的切線的判定與性質(zhì)、解直角三角形、扇形的面積、圓周角定理等知識點(diǎn)，熟練掌握圓的切線的判定與性質(zhì)是解題關(guān)鍵．解法指導(dǎo)設(shè)⊙OQUOTE的半徑為R，n°QUOTE圓心角所對弧長為l，n為弧所對的圓心角的度數(shù)，則扇形弧長公式l=nπR180（扇形面積公式S扇形=nπR2圓錐側(cè)面積公式S圓錐側(cè)=πrl（其中l(wèi)是圓錐的母線長，r是圓錐的底面半徑）圓錐全面積公式S圓錐全=πrl+πr2（圓錐的表面積=扇形面積+底面圓面積）圓錐的高h(yuǎn)，圓錐的底面半徑rr解題大招【陰影部分面積求解問題解題思路】求陰影部分面積時，最基本的思想就是轉(zhuǎn)化思想，即把所求的不規(guī)則的圖形的面積轉(zhuǎn)化為規(guī)則圖形的面積．常用的方法有：變式訓(xùn)練1．（22-23九年級上·江蘇揚(yáng)州·期末）如圖，CD是⊙O的直徑，點(diǎn)B在⊙O上，點(diǎn)A為DC延長線上一點(diǎn)，過點(diǎn)O作OE∥BC交AB的延長線于點(diǎn)E(1)求證：AE是⊙O的切線；(2)若線段OE與⊙O的交點(diǎn)F是OE的中點(diǎn)，⊙O的半徑為3，求陰影部分的面積．【答案】(1)證明見解析(2)3π【分析】（1）連接OB，根據(jù)圓周角定理得到BC⊥BD，根據(jù)平行線的性質(zhì)和等腰三角形的性質(zhì)得到∠OBE=90°，根據(jù)切線的判定定理即可得到結(jié)論；（2）連接BF，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)得到BF=OF，推出△OBF是等邊三角形，得到∠BOF=60°，根據(jù)扇形和三角形的面積公式即可得到結(jié)論．【詳解】（1）證明：連接OB，∵CD是⊙O的直徑，∴BC⊥BD，即∠CBD=90°，∵OE∥∴∠DGO=∠CBD=90°，∴∠BGE=∠DGO=90°，∠D+∠DOG=90°，∵∠D=∠E，∴∠DOE=∠DBE，∵OD=OB，∴∠D=∠OBD，∴∠OBD+∠DBE=∠D+∠DOG=90°，∴∠OBE=90°，∵OB是⊙O的半徑，∴AE是⊙O的切線；（2）解：連接BF，∵∠OBE=90°，F(xiàn)是OE的中點(diǎn)，∴BF=OF，∵⊙O的半徑為3，∠DGO=90°，∴BF=OF=OB=3，∠BGO=180°?∠DGO=90°，∴△OBF是等邊三角形，∴∠BOF=60°，∴∠OBG=90°?∠BOF=30°，∴OG=12OB=∴陰影部分的面積為：S扇形∴陰影部分的面積為3π2【點(diǎn)睛】本題考查切線的判定，直徑所對的圓周角是直角，等邊三角形的判定和性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，扇形的面積的計(jì)算等知識點(diǎn)．正確地作出輔助線是解題的關(guān)鍵．2．（2023·江蘇常州·一模）如圖1，將一個三角形紙板△ABC繞點(diǎn)A逆時針旋轉(zhuǎn)θ到達(dá)△AB'C'的位置，那么可以得到：AB=AB'，(1)上述問題情境中“（________）”處應(yīng)填理由：________________；(2)如圖2，將一個半徑為4cm，圓心角為60°的扇形紙板ABC繞點(diǎn)O逆時針旋轉(zhuǎn)90°到達(dá)扇形紙板A①請?jiān)趫D中作出點(diǎn)O；②如果BB'=6cm，則在旋轉(zhuǎn)過程中，點(diǎn)(3)如果將與（2）中完全相同的兩個扇形紙板重疊，一個固定在墻上，使得一邊位于水平位置．另一個在弧的中點(diǎn)處固定，然后放開紙板，使其擺動到豎直位置時靜止．此時，兩個紙板重疊部分的面積是多少(如圖3)？【答案】(1)旋轉(zhuǎn)前后對應(yīng)邊相等，對應(yīng)角相等(2)①作圖見詳解；②3(3)8π?8【分析】（1）根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)即可求解；（2）①根據(jù)旋轉(zhuǎn)中心在對應(yīng)點(diǎn)連線的垂直平分線的交點(diǎn)處即可求解；②根據(jù)弧長公式的計(jì)算方法即可求解；（3）如圖所示，連接PA'交AC于點(diǎn)M，連接PA交A'B'于點(diǎn)N，連接PD，AA'，PB'，PC【詳解】（1）解：根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得，旋轉(zhuǎn)前后對應(yīng)邊相等，對應(yīng)角相等，∴應(yīng)填理由為：旋轉(zhuǎn)前后對應(yīng)邊相等，對應(yīng)角相等，故答案為：旋轉(zhuǎn)前后對應(yīng)邊相等，對應(yīng)角相等；（2）解：①根據(jù)旋轉(zhuǎn)中心為對應(yīng)點(diǎn)連線的垂直平分線的交點(diǎn)，作圖如下：②如圖所示，點(diǎn)B繞點(diǎn)0逆時針旋轉(zhuǎn)90°得到B'∴∠BOB'=90°，OB=O∴在Rt△BOB'∴BB故答案為：32（3）解：如圖所示，連接PA'交AC于點(diǎn)M，連接PA交A'B'于點(diǎn)N∵點(diǎn)P為BC中點(diǎn)，∴∠PAC=∠PAB=1根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得，∠PA'B'=∠P在Rt△PAM中，∠PAM=30°，PA=4∴sin∠PAM=sin30°=PMPA在Rt△A'DM中，∴cos∠PA'∴DM=1∴S△A'∴陰影部分S陰影根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，同理，S△ADP=S∴陰影部分S陰影∴陰影部分的面積為S陰影【點(diǎn)睛】本題主要考查旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)中心的確定，弧長公式的計(jì)算，全等三角形的判定和性質(zhì)，含30°的直角三角形的性質(zhì)，特殊角的三角函數(shù)的計(jì)算方法，掌握旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，弧長的計(jì)算方法，不規(guī)則圖形面積的計(jì)算方法是解題的關(guān)鍵．題型三：正多邊形與圓大題典例（2021·湖北隨州·中考真題）等面積法是一種常用的、重要的數(shù)學(xué)解題方法．它是利用“同一個圖形的面積相等”、“分割圖形后各部分的面積之和等于原圖形的面積”、“同底等高或等底同高的兩個三角形面積相等”等性質(zhì)解決有關(guān)數(shù)學(xué)問題，在解題中，靈活運(yùn)用等面積法解決相關(guān)問題，可以使解題思路清晰，解題過程簡便快捷．（1）在直角三角形中，兩直角邊長分別為3和4，則該直角三角形斜邊上的高的長為_____，其內(nèi)切圓的半徑長為______；（2）①如圖1，P是邊長為a的正△ABC內(nèi)任意一點(diǎn)，點(diǎn)O為△ABC的中心，設(shè)點(diǎn)P到△ABC各邊距離分別為?1，?2，?3，連接AP，BP，CP，由等面積法，易知12a②如圖2，P是邊長為a的正五邊形ABCDE內(nèi)任意一點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)P到五邊形ABCDE各邊距離分別為?1，?2，?3，?4，?5，參照①的探索過程，試用含a的式子表示?（3）①如圖3，已知⊙O的半徑為2，點(diǎn)A為⊙O外一點(diǎn)，OA=4，AB切⊙O于點(diǎn)B，弦BC//OA，連接AC，則圖中陰影部分的面積為______；（結(jié)果保留②如圖4，現(xiàn)有六邊形花壇ABCDEF，由于修路等原因需將花壇進(jìn)行改造．若要將花壇形狀改造成五邊形ABCDG，其中點(diǎn)G在AF的延長線上，且要保證改造前后花壇的面積不變，試確定點(diǎn)G的位置，并說明理由．【答案】（1）125，1；（2）①32a；②55【分析】（1）根據(jù)等積法解得直角三角形斜邊上的高的長，及利用內(nèi)切圓的性質(zhì)解題即可；（2）①先求得邊長為a的正△ABC的面積，再根據(jù)12a?1+?2+?3=S△ABC=3S△OAB解題即可；②設(shè)點(diǎn)O為正五邊形ABCDE的中心，連接（3）①由切線性質(zhì)解得∠OAB=30°，再由平行線性質(zhì)及等腰三角形性質(zhì)解得∠COB=60°，根據(jù)平行線間的距離相等，及同底等高或等底同高的兩個三角形面積相等的性質(zhì)，可知圖中陰影部分的面積等于扇形OBC的面積，最后根據(jù)扇形面積公式解題；②連接DF，過點(diǎn)E作EG//DF交AF的延長線于G點(diǎn)，根據(jù)【詳解】解：（1）直角三角形的面積為：12直角三角形斜邊為：32設(shè)直角三角形斜邊上的高為?，則1∴?=設(shè)直角三角形內(nèi)切圓的半徑為r，則1∴r=1，故答案為：125（2）①邊長為a的正△ABC底邊的高為32a∵∴?1+故答案為：32②類比①中方法可知12設(shè)點(diǎn)O為正五邊形ABCDE的中心，連接OA，OB，由①得S五邊形ABCDE過O作OQ⊥AB于Q，∠EAB=1故∠OAQ=54°，OQ=AQ×tan故12?1（3）①∵AB是⊙O的切線，∴OB⊥AB∴∠OBA=90°∵OB=2,OA=4∴∠OAB=30°∴∠AOB=60°∵BC∴∠AOB=∠OBC=60°∵OC=OB∴∠OBC=∠OCB=60°∴∠COB=60°過點(diǎn)O作OQ⊥BC∵BC//∴OQ是△COB、△ABC的高，∴∴故答案為：23②如圖，連接DF，過點(diǎn)E作EG//DF交AF的延長線于G點(diǎn)，則點(diǎn)連接DG，∵S六邊形ABCDEF∵EG//∴S△DEF∴S六邊形ABCDEF【點(diǎn)睛】本題考查正多邊形和圓的知識，涉及含30°角的直角三角形、正切、切線的性質(zhì)、扇形面積公式、平行線的性質(zhì)等知識，是重要考點(diǎn)，有難度，掌握相關(guān)知識是解題關(guān)鍵．解法指導(dǎo)正多邊形的常用公式邊長an=2Rn?周長Pn=n?an外角/中心角度數(shù)360°面積Sn=12an?rn?對角線條數(shù)n(n?3)邊心距rn=Rn?cos180內(nèi)角和（n-2）×180°.內(nèi)角度數(shù)（n?2）×180°n邊形的邊數(shù)（內(nèi)角和÷180°）＋2aRn2=rn2+an【解題思路】正多邊形與圓的計(jì)算問題：正n邊形的外接圓半徑和邊心距把正n邊形分成2n個全等的直角三角形，而每個直角三角形都集中地反映了這個正n邊形各元素間的關(guān)系，故可以把正n邊形的計(jì)算轉(zhuǎn)化為解直角三角形，再利用勾股定理即可完成計(jì)算．變式訓(xùn)練1．（2024·遼寧鞍山·三模）【發(fā)現(xiàn)問題】蜂巢的結(jié)構(gòu)非常精美，每個巢室都是由多個正六邊形組成（如圖1），某數(shù)學(xué)興趣小組的同學(xué)用若干個形狀，大小均相同的正六邊形模具，模仿蜂巢結(jié)構(gòu)拼成如圖2所示的若干個圖案，同學(xué)們發(fā)現(xiàn)：在每個拼接成的圖案中，所需正六邊形模具的總個數(shù)隨著第一層（最下面一層）正六邊形模具個數(shù)的變化而變化．

【提出問題】在拼接成的圖案中，所需正六邊形模具的總個數(shù)y與第一層正六邊形模具的個數(shù)x之間有怎樣的函數(shù)關(guān)系?【分析問題】同學(xué)們結(jié)合實(shí)際操作和計(jì)算得到如下表所示的數(shù)據(jù)第一層正六邊形模具的個數(shù)x1234…拼接圖案中所需正六邊形模具的總個數(shù)y171937…然后在平面直角坐標(biāo)系中描出上面表格中各對數(shù)值所對應(yīng)的點(diǎn)得到圖3，同學(xué)們根據(jù)圖3中點(diǎn)的分布情況，猜想其圖象是二次函數(shù)圖象的一部分．

為了驗(yàn)證猜想，同學(xué)們從“形”的角度出發(fā)，借助“割補(bǔ)”的方法，把某一拼接圖案中上半部分的正六邊形模具（虛線部分）移到下面（如圖4），并把第一層缺少的正六邊形模具（陰影部分）補(bǔ)全，再拼接到一起（如圖5），使每一層正六邊形模具的數(shù)量相同，借此圖求出正六邊形模具的總個數(shù)，再減去用于補(bǔ)全圖形的正六邊形模具的個數(shù)，即可求出y與x之間的關(guān)系式．【解決問題】(1)直接寫出y與x的關(guān)系式；(2)若同學(xué)按圖2的方式拼接圖案，共用了169個正六邊形模具，求拼接成的圖案中第一層正六邊形模具的個數(shù)；(3)如圖6，作正六邊形模具的外接圓，圓心為O，A，B為正六邊形模具相鄰的兩個頂點(diǎn)，AB的長為23πcm【答案】(1)y=3(2)8個(3)469個【分析】本題主要考查求二次函數(shù)式，二次函數(shù)的應(yīng)用以及正多邊形和圓：（1）運(yùn)用待定系數(shù)法求解即可；（2）將y=169代入y=3x（3）設(shè)正六邊形其它頂點(diǎn)分別為C,D,E,F，連接AD，BD，求出AB=2cm，BD=23cm，設(shè)第一層有x個正六邊形模具，求出拼接圖案的最大寬度為232x?1cm，最大高度為【詳解】（1）解：設(shè)y與x之間的函數(shù)關(guān)系式為y=ax將點(diǎn)(1,a+b+c=1解得，a=3∴y與x之間的函數(shù)關(guān)系式為y=3x（2）解：由（2）知，y=3x將y=169代入，得169=3x解得，x1=8，所以，他拼接成的圖案中第一層有8個六邊形模具；（3）解：如圖，設(shè)正六邊形其它頂點(diǎn)分別為C,D,E,F，連接AD，BD，

由正六邊形及其外接圓的性質(zhì)得，AD為⊙O的直徑，∠BAD=60°，線段BD的長即為邊AB，∴∠ABD=90°，∴∠ADB=30°∵AB的長為23∵⊙O的周長為6×2∴⊙O的直徑=4ππ，即∴AB=12設(shè)第一層有x個正六邊形模具，∴第x層的正六邊形模具個數(shù)最多，有(2x?1)個，拼接成的圖案共有(2x?1)層，其中有x層的高度按⊙O的直徑計(jì)算，(x?1)層的高度按正六邊形的邊長計(jì)算，所以，拼接圖案的最大寬度為232x?1cm①當(dāng)拼接圖案的高與長方形桌子的長平行時，有，2解得，x≤40∵x為整數(shù)，∴x最大取12；②當(dāng)拼接圖案的高與長方形桌子的寬平行時，有，2解得，x≤41∵x為整數(shù)，∴x最大取13；將x=12代入y=3x2?3x+1將x=13代入y=3x2?3x+1∵469>397，∴最多可以放下469個正六邊形模具2．（2023·河北邯鄲·二模）摩天輪（如圖1）是游樂場中受歡迎的游樂設(shè)施之一，它可以看作一個大圓和六個全等的小圓組成（如圖2），大圓繞著圓心O勻速旋轉(zhuǎn)，小圓通過頂部掛點(diǎn)（如點(diǎn)P，N）均勻分布在大圓圓周上，由于重力作用，掛點(diǎn)和小圓圓心連線（如PQ）始終垂直于水平線l．

(1)∠NOP=________°(2)若OA=16，⊙O的半徑為10，小圓的半徑都為1：①在旋轉(zhuǎn)一周的過程中，圓心M與l的最大距離為________；②當(dāng)圓心H到l的距離等于OA時，求OH的長；③求證：在旋轉(zhuǎn)過程中，MQ的長為定值，并求出這個定值．【答案】(1)60(2)①25；②OH=311；③MQ【分析】（1）將360°平均分6份即可；（2）①當(dāng)圓心M在AO的延長線上時，圓心M與l有最大距離，據(jù)此即可求解；②設(shè)⊙H的掛點(diǎn)為K，過點(diǎn)H作HT⊥l于點(diǎn)T，先證四邊形HTAO是矩形，再用勾股定理解Rt△OHK③先證△NOP是等邊三角形，再證MNPQ是平行四邊形，可得MQ=NP=10．【詳解】（1）解：∠NOP=360°故答案為：60；（2）解：①當(dāng)圓心M在AO的延長線上時，圓心M與l有最大距離，最大距離為AM=OM+OA=10?1+16=25，故答案為：25；②如圖，設(shè)⊙H的掛點(diǎn)為K，過點(diǎn)H作HT⊥l于點(diǎn)T，

∵掛點(diǎn)和小圓圓心連線始終垂直于水平線l，∴K，H，T在同一直線上，∵圓心H到l的距離等于OA，∴HT=OA，∵HT⊥l，OA⊥l，∴HT∥∴四邊形HTAO是平行四邊形，又∵∠OAT=90°，∴四邊形HTAO是矩形，∴∠OHT=90°，∴∠OHK=90°，∴OH=O③證明：如圖所示，連接NP，MQ，

由（1）知∠NOP=60°，又∵ON=OP=10，∴△NOP是等邊三角形，∴NP=ON=OP=10，∵小圓的半徑都為1，掛點(diǎn)和小圓圓心連線始終垂直于水平線l，∴MN=PQ=1，MN∥PQ，∴四邊形MNPQ是平行四邊形，∴MQ=NP=10，∴MQ的長為定值．【點(diǎn)睛】本題考查圓的基本知識，矩形的判定和性質(zhì)，平行四邊形的判定和性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理等，解題的關(guān)鍵是根據(jù)題意抽象出數(shù)學(xué)模型．題型四：切線的性質(zhì)與判定大題典例1．（2023·黑龍江大慶·中考真題）如圖，AB是⊙O的直徑，點(diǎn)C是圓上的一點(diǎn)，CD⊥AD于點(diǎn)D，AD交⊙O于點(diǎn)F，連接AC，若AC平分∠DAB，過點(diǎn)F作FG⊥AB于點(diǎn)G，交AC于點(diǎn)H，延長AB，DC交于點(diǎn)E．

(1)求證：CD是⊙O的切線；(2)求證：AF?AC=AE?AH；(3)若sin∠DEA=45【答案】(1)證明，見解析(2)證明，見解析(3)AH【分析】（1）連接OC，根據(jù)AC平分∠DAB，則∠DAC=∠CAB，根據(jù)OA=OC，得∠CAB=∠OCA，根據(jù)平行線的判定和性質(zhì)，即可；（2）由（1）得，∠DAC=∠CAB，根據(jù)∠AHF∠CAB+90°，∠ACE=∠OCA+90°，相似三角形的判定和性質(zhì)，即可；（3）根據(jù)sin∠DEA=45，則OCOE=45，設(shè)⊙O的半徑為4x，則OE=5x，根據(jù)勾股定理求出CE；根據(jù)AE=OA+OE，AD=45【詳解】（1）連接OC∵AC平分∠DAB，∴∠DAC=∠CAB，∵OA=OC，∴∠CAB=∠OCA，∴∠DAC=∠OCA，∴AD∥∵CD⊥AD，∴∠D=∠OCE=90°，∴CD是⊙O的切線．

（2）證明，如下：由（1）得，∠OCE=90°，∵∠DAC=∠CAB，∵FG⊥AB，∴∠FGA=90°，∴∠AHF=∠CAB+90°，∵∠ACE=∠OCA+90°，∴△ACE∽△AHF，∴ACAH∴AC?AF=AE?AH．（3）∵sin∠DEA=∴OCOE設(shè)⊙O的半徑為4x，∴OE=5x，∴CE=O∵AE=OA+OE=9x，∴AD=45×9x=∵DE=DC+CE，∴DC=12∵AC∴AC=12∵△ACE∽△AHF，∴AHFH【點(diǎn)睛】本題考查圓，相似三角形，銳角三角形函數(shù)的知識，解題的關(guān)鍵圓的切線定理的運(yùn)用，相似三角形的判定和性質(zhì)，銳角三角形函數(shù)的運(yùn)用．2．（2023·湖北恩施·中考真題）如圖，△ABC是等腰直角三角形，∠ACB=90°，點(diǎn)O為AB的中點(diǎn)，連接CO交⊙O于點(diǎn)E，⊙O與AC相切于點(diǎn)D．(1)求證：BC是⊙O的切線；(2)延長CO交⊙O于點(diǎn)G，連接AG交⊙O于點(diǎn)F，若AC=42，求FG【答案】(1)見解析(2)4【分析】（1）連接OD，過點(diǎn)O作OP⊥BC于點(diǎn)P，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到∠OCD=∠OCP=45°，推出OD=OP，即可得到結(jié)論；（2）根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)求出OA，OD的長，勾股定理求出AG，連接OF，過O作OH⊥AG于點(diǎn)H，利用面積法求出OH，勾股定理求出HG，即可根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)求出FG的長．【詳解】（1）證明：連接OD，過點(diǎn)O作OP⊥BC于點(diǎn)P，∵⊙O與AC相切于點(diǎn)D．∴OD⊥AC，∵△ABC是等腰直角三角形，∠ACB=90°，點(diǎn)O為AB的中點(diǎn)，∴∠OCD=∠OCP=45°，∴OD=OP，即OP是⊙O的半徑，∴BC是⊙O的切線；（2）解：∵AC=42，AB=AC，∠ACB=90°∴AB=2AC=8，∵點(diǎn)O為AB的中點(diǎn)，∴OC=OA=1∵OD⊥AC∴OD=1在Rt△AOG中，連接OF，過O作OH⊥AG于點(diǎn)H，∴OH=OA?OG∴HG=∵OF=OG，∴FG=2HG=4

【點(diǎn)睛】此題考查了判定直線是圓的切線，切線的性質(zhì)定理，等腰直角三角形的性質(zhì)，勾股定理，正確掌握各知識點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．解法指導(dǎo)性質(zhì)圓的切線垂直于過切點(diǎn)的半徑．（實(shí)際上過切點(diǎn)的半徑也可理解為過切點(diǎn)的直徑或經(jīng)過切點(diǎn)與圓心的直線．）解題方法：當(dāng)題目已知一條直線切圓于某一點(diǎn)時，通常作的輔助線是連接切點(diǎn)與圓心（這是圓中作輔助線的一種方法）．根據(jù)切線的性質(zhì)可得半徑與切線垂直，從而利用垂直關(guān)系進(jìn)行有關(guān)的計(jì)算或證明．判定1）定義法：直線和圓只有一個公共點(diǎn)時，我們說這條直線是圓的切線.2）數(shù)量關(guān)系法：圓心到這條直線的距離等于半徑時，直線與圓相切.3)判定定理：經(jīng)過半徑的外端且垂直于這條半徑的直線是圓的切線.常見輔助線作法：判定一條直線是圓的切線時，1）若已知直線與圓的公共點(diǎn)時，把圓心和這個公共點(diǎn)連接起來，然后證明直線垂直于這條半徑，簡稱“連半徑，證垂直”；3）若直線與圓的公共點(diǎn)沒有明確，可過圓心作直線的垂線段，再證明圓心到直線的距離等于半徑，簡稱“作垂直，證半徑”．變式訓(xùn)練1．（2023·廣西梧州·二模）如圖，在△ABC中，O為AC上一點(diǎn)，以點(diǎn)O為圓心，OC為半徑作圓，與BC相切于點(diǎn)C，過點(diǎn)A作AD⊥BO交BO的延長線于點(diǎn)D，且∠AOD=∠BAD．(1)求證：AB為⊙O的切線；(2)若AB=10，sin∠ABC=45，求【答案】(1)見解析(2)AD的長為2【分析】（1）作OE⊥AB于點(diǎn)E，由∠AOD=∠BAD得到∠CBD=∠ABD，根據(jù)角平分線定理，即可得到OC=OE，即可得證，（2）先根據(jù)銳角三角函數(shù)，求出AC、BC的長，由S△AOB+S△COB=S△ABC，可求OC本題考查了切線的性質(zhì)與判定，角平分線定理，銳角三角函數(shù)，勾股定理，解題的關(guān)鍵是：熟練掌握相關(guān)性質(zhì)定理．【詳解】（1）證明：作OE⊥AB于點(diǎn)E，則∠OEA=∠OEB=90°，∵⊙O與BC相切于點(diǎn)C，∴BC⊥OC，∵AD⊥BO交BO的延長線于點(diǎn)D，∴∠C=∠D=90°，∵∠CBD+∠BOC=90°，∠OAD+∠AOD=90°，∠BOC=∠AOD，∴∠CBD=∠OAD，∵∠AOD=∠BAD，∴∠ODA=180°?∠AOD?∠D=180°?∠BAD?∠D=∠ABD，∴∠CBD=∠ABD，∴OC=OE，∴點(diǎn)E在⊙O上，∵OE是⊙O的半徑，且AB⊥OE，∴AB是⊙O的切線，（2）解：∵ACAB=sin∴AC=4∴BC=A∵S△AOB∴12∴12∴OC=3，∴OA=AC?OC=8?3=5，OB=B∵ABOA∴AD=OA?BC2．（22-23九年級上·河北保定·期中）如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC，交BC于點(diǎn)D，O是邊AB上的點(diǎn)，經(jīng)過