帆船在海面上乘風(fēng)遠(yuǎn)航，確定最佳的航行方向及帆的朝向簡(jiǎn)化問題AB

風(fēng)向北航向帆船海面上東風(fēng)勁吹，設(shè)帆船要從A點(diǎn)駛向正東方的B點(diǎn)，確定起航時(shí)的航向

，帆

以及帆的朝向

2.8

啟帆遠(yuǎn)航模型分析風(fēng)(通過帆)對(duì)船的推力w風(fēng)對(duì)船體部分的阻力p推力w的分解

wp阻力p的分解w=w1+w2w1w2w1=f1+f2f1f2p2p1p=p1+p2模型假設(shè)

w與帆迎風(fēng)面積s1成正比，p與船迎風(fēng)面積s2成正比，比例系數(shù)相同且

s1遠(yuǎn)大于

s2，f1~航行方向的推力p1~航行方向的阻力w1=wsin(

-

)f1=w1sin=wsin

sin(-)p1=pcos

模型假設(shè)

wpw1w2f1f2p2p1

w2與帆面平行，可忽略

f2,p2垂直于船身，可由舵抵消模型建立w=ks1,p=ks2船在正東方向速度分量v1=vcos

航向速度v與力f=f1-p1成正比v=k1(f1-p1)v1v2)令

=/2,

v1=k1[w(1-cos

)/2

-pcos

]cos

求

使v1最大（w=ks1,p=ks2）1)當(dāng)

固定時(shí)求

使f1最大f1=w[cos(-2

)-cos

]/2

=/2時(shí)f1=w(1-cos

)/2最大=k1(f1-p1)cos

f1=w1sin=wsin

sin(-)p1=pcos

求

,,使v1最大模型建立v1=vcos

wpw1w2f1f2p2p1v1v模型求解60o

<

<75o

1<t<2v1最大備注

只討論起航時(shí)的航向，是靜態(tài)模型航行過程中終點(diǎn)B將不在正東方

記t=1+2s2/s1,k2=k1w/2=(

k1w/2)[1-(1+2p/w)cos

]cos

w=ks1,p=ks21/4<cos

<1/2模型求解v1=k1[w(1-cos

)/2

-pcos

]cos

s1>>

s22.9量綱分析與無量綱化量綱是物理學(xué)中的重要概念，量綱分析是物理學(xué)中的重要方法。物理量分為基本量和導(dǎo)出量,基本量是通過測(cè)量來定義的量;導(dǎo)出量是通過基本概念或定律導(dǎo)出的量。在不考慮數(shù)字因素時(shí),表示一個(gè)量是由哪些基本量導(dǎo)出的及如何導(dǎo)出的式子,稱為此量的量綱(或量綱式)。把不存在任何聯(lián)系的性質(zhì)不同的量綱叫做基本量綱;把可以由基本量綱導(dǎo)出的量綱叫做導(dǎo)出量綱。物理量Q的量綱記為dimQ,國際物理學(xué)界沿用習(xí)慣記為[Q]

國際單位制(SI)中的七個(gè)基本物理量:長(zhǎng)度、質(zhì)量、時(shí)間、電流、熱力學(xué)溫度、物質(zhì)的量、發(fā)光強(qiáng)度的量綱分別是L、M、T、I、Θ、N和J

任一導(dǎo)出量的量綱可以表成基本量綱的冪次之積,利用量綱分析可以定性地表示出物理量與基本量之間的關(guān)系;可以有效地應(yīng)用它進(jìn)行單位換算;可以用它來檢查物理公式、方程的正確與否;特別是我們可以通過量綱分析來推知某些物理規(guī)律,為科學(xué)地組織實(shí)驗(yàn)過程、整理實(shí)驗(yàn)成果提供理論指導(dǎo)。本課時(shí)在量綱概念和量綱分析理論的基礎(chǔ)上,通過實(shí)例對(duì)量綱分析進(jìn)行應(yīng)用性研究。物理量的量綱長(zhǎng)度

l的量綱記L=[l]質(zhì)量

m的量綱記M=[m]時(shí)間

t

的量綱記T=[t]動(dòng)力學(xué)中基本量綱

L,M,T速度v的量綱[v]=LT-1導(dǎo)出量綱加速度a

的量綱[a]=LT-2力f

的量綱[f]=LMT-2引力常數(shù)

k

的量綱[k]對(duì)無量綱量

，[

]=1(=L0M0T0)2.9.1量綱齊次原則=[f][l]2[m]-2=L3M-1T-2量綱分析的基本原理主要是量綱和諧原理（即綱量齊次化原則）和布金漢定理

(Buckingham)

。量綱和諧原理適用于比較簡(jiǎn)單的問題,定理是具有普遍性的方法量綱和諧原理：有物理意義的代數(shù)表達(dá)式或完整的物理方程,其各項(xiàng)的量綱必須是一致的,或者說是齊次的,這稱為量綱和諧原理其重要性包括:一個(gè)方程在量綱上應(yīng)是和諧的,只有量綱相同的項(xiàng)才可以相加減2)量綱和諧原理可用來確定物理公式中物理量的指數(shù)3)可用來探求物理規(guī)律,建立物理方程式的結(jié)構(gòu)形式量綱齊次原則等式兩端的量綱一致量綱分析~利用量綱齊次原則尋求物理量之間的關(guān)系例：?jiǎn)螖[運(yùn)動(dòng)lmgm求擺動(dòng)周期t

的表達(dá)式設(shè)物理量t,m,l,g

之間有關(guān)系式

1,

2,

3

為待定系數(shù)，

為無量綱量(1)的量綱表達(dá)式對(duì)比對(duì)x,y,z的兩組測(cè)量值x1,y1,z1

和x2,y2,z2，

p1=f(x1,y1,z1),p2=f(x2,y2,z2)為什么假設(shè)這種形式設(shè)p=f(x,y,z)x,y,z的量綱單位縮小a,b,c倍p=f(x,y,z)的形式為單擺運(yùn)動(dòng)中t,m,l,g

的一般表達(dá)式y(tǒng)1~y4為待定常數(shù),

為無量綱量量綱的特征量綱具有如下特征:量綱指數(shù)可以是正數(shù)、負(fù)數(shù)或零,也可以是整數(shù)或分?jǐn)?shù)。如果某個(gè)量對(duì)基本量的量綱指數(shù)全部為零,則稱它為無量綱量(2)量綱獨(dú)立于單位,無量綱量可以有單位。例如,行星軌道周期變短的頻率的單位是秒/世紀(jì),兩個(gè)時(shí)間單位不能約掉而成為無量綱量,但卻有單位。此外(3)部分物理常量也有量綱如萬有引力恒量G的量綱。

注：超越函數(shù)符號(hào)(sin,cos,ln,e?)下的數(shù)必定是無量綱的設(shè)f(q1,q2,,qm)=0

ys

=(ys1,ys2,…,ysm)T,s=1,2,…,m-rF(

1,

2,…,

m-r)=0

與

f(q1,q2,,qm)=0

等價(jià),F未定Pi定理(Buckingham)是與量綱單位無關(guān)的物理定律，X1,X2,

,

Xn

是基本量綱,n

m,q1,q2,

,

qm

的量綱可表為量綱矩陣記作線性齊次方程組有m-r

個(gè)基本解，記作為m-r

個(gè)相互獨(dú)立的無量綱量,且則量綱分析的應(yīng)用（1）定性的表示出導(dǎo)出量與基本量的關(guān)系（如前述）例如,速度和加速度,其量綱都是長(zhǎng)度與時(shí)間兩個(gè)基本物理量的組合,但……（2）有效的進(jìn)行單位換算例如,已知速度量綱[v]=LT,現(xiàn)將長(zhǎng)度單位米換成千米,時(shí)間單位由秒換成小時(shí)……（3）檢驗(yàn)方程的正確性量綱比起單位來更基本,它是檢查方程是否正確的基本手段

依據(jù)量綱和諧原理,只有量綱相同的量才能相加減或用等號(hào)相聯(lián)接。例……

若推出的公式不符合量綱法則,該式必然是錯(cuò)誤的（4）檢查答案的正確性根據(jù)量綱和諧原理分析物理方程計(jì)算后的量綱是否有誤可作為判斷結(jié)論正確性的依據(jù).如解題得到下列結(jié)果,試用量綱檢查法判斷該結(jié)果是“一定錯(cuò)誤”,還是“可能正確”?(其中F─力,P─密度,v─速度)2)ε=1/2BωL2(L2+L1)(其中:ε─感生電動(dòng)勢(shì),B─磁感應(yīng)強(qiáng)度,ω─角速度,L1、L2─長(zhǎng)度)v=ωL

,ε=BvL

sinθ（5）推知某些物理規(guī)律當(dāng)我們對(duì)所設(shè)問題有一定了解,就可在實(shí)驗(yàn)和經(jīng)驗(yàn)的基礎(chǔ)上利用量綱分析來確定問題中各物理量之間的關(guān)系,推知物理規(guī)律。雖然不是每一個(gè)問題都能得到完全的定量結(jié)果,但往往與它只差一個(gè)無量綱的未知函數(shù)或未知系數(shù),因此說量綱分析法是一種十分有用的半定量分析方法[g]=LT-2,[l]=L,[

]=L-3M,[v]=LT-1,[h]=L,[f]=LMT-2，[μ]

=L-1MT-1（6）量綱分析建模示例：波浪對(duì)航船的阻力航船阻力f航船速度v,船體尺寸l,浸沒高度h,海水密度

,粘滯系數(shù)μ，重力加速度g。m=7,n=3Ay=0有m-r=4個(gè)基本解rankA=3rankA=rAy=0有m-r個(gè)基本解ys

=(ys1,ys2,…,ysm)T

s=1,2,…,m-rm-r

個(gè)無量綱量為得到阻力f的顯式表達(dá)式F=0

未定F(

1,

2,…,

m-r)=0與

f(q1,q2,,qm)=0等價(jià)

F(

1,

2,

3,

4)=0與

(g,l,,v,s,f,μ)=0等價(jià)量綱分析法的評(píng)注

物理量的選取

基本量綱的選取

基本解的構(gòu)造

結(jié)果的局限性

(…)=0中包括哪些物理量是至關(guān)重要的基本量綱個(gè)數(shù)n;選哪些基本量綱有目的地構(gòu)造Ay=0的基本解

方法的普適性函數(shù)F和無量綱量未定不需要特定的專業(yè)知識(shí)2.9.2量綱分析在物理模擬中的應(yīng)用例:航船阻力的物理模擬通過航船模型確定原型船所受阻力

~模型船的參數(shù)(均已知)可得原型船所受阻力已知模型船所受阻力

~原型船的參數(shù)(f’未知，其他已知)注意：二者的

相同按一定尺寸比例造模型船，量測(cè)f，可算出f’~物理模擬2.9.3無量綱化例：火箭發(fā)射m1m2xrv0g星球表面豎直發(fā)射。初速v,星球半徑r,表面重力加速度g研究火箭高度x隨時(shí)間t

的變化規(guī)律t=0時(shí)x=0,火箭質(zhì)量m1,星球質(zhì)量m2牛頓第二定律，萬有引力定律——3個(gè)獨(dú)立參數(shù)用無量綱化方法減少獨(dú)立參數(shù)個(gè)數(shù)[x]=L,[t]=T,[r]=L,[v]=LT-1,[g]=LT-2變量x,t和獨(dú)立參數(shù)r,v,g的量綱用參數(shù)r,v,g的組合,分別構(gòu)造與x,t具有相同量綱的xc,tc

（特征尺度）—無量綱變量如利用新變量將被簡(jiǎn)化令

xc,tc的不同構(gòu)造1）令的不同簡(jiǎn)化結(jié)果

為無量綱量3）令

為無量綱量2）令

為無量綱量1）2）3）的共同點(diǎn)只含1個(gè)參數(shù)—