第二十一章二次函數(shù)與反比例函數(shù)知識(shí)歸納與題型突破（題型

清單）

01思維導(dǎo)圖

c-^5^

r常見(jiàn)形式?皮曲

r質(zhì)

5^^

圖象與性質(zhì)v開(kāi)口方向

二欠穗

增減性

最值

上加下減

拋物法平移規(guī)律

左煙減

與拋物會(huì)的交點(diǎn)

二次函數(shù)與反比例函數(shù)

與一元二次方程的關(guān)系

利用二;欠緘求一元二次方程的近似解、

榜式的解集

k大于0時(shí)，在第一、三彖限，在每個(gè)

反比例函數(shù)象限內(nèi)，y隨x增大而減小

k小于0時(shí)，在第二四象限在每個(gè)

^g性?<象限內(nèi)，y隨x增大而增大

兩個(gè)分^^>^=乂或戶(hù)_

x磷曬

中心對(duì)稱(chēng)，關(guān)于原點(diǎn)成中^對(duì)稱(chēng)

02知識(shí)速記

知識(shí)點(diǎn)1二次函數(shù)

1、二次函數(shù)的定義:

1

一般地，形如y=a/+6x+c(a,b、c是常數(shù)，且aK0)的函數(shù)叫做X的二次函數(shù)，其中x是自變量.

2、二次函數(shù)的三要素：

(1)自變量的最高次數(shù)必須是2；

(2)等號(hào)右邊的a/+bx+c是關(guān)于自變量工的整式；

(3)二次項(xiàng)系數(shù)a不等于0.

【注意】

(1)二次項(xiàng)系數(shù)，一次項(xiàng)系數(shù)和常數(shù)項(xiàng)包括它們前面的符號(hào)，不要漏掉；

(2)二次函數(shù)y=a/+b久+c(a、b、c是常數(shù)，且a大力0)的特殊形式:

特殊形式二次項(xiàng)一次項(xiàng)常數(shù)項(xiàng)

y=ax2(aW0)axL2無(wú)0

y=ax2+bx(aW0)ax2bx0

y=ax2+c(aH0)2無(wú)c

知識(shí)點(diǎn)2根據(jù)實(shí)際問(wèn)題列二次函數(shù)表達(dá)式

在實(shí)際問(wèn)題中，列二次函數(shù)表達(dá)式的一般步驟：

1、審清題意：

找出問(wèn)題中的已知量(常量)和未知量(變量)，把問(wèn)題中的文字或圖形語(yǔ)言轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)語(yǔ)言；

2、找相等關(guān)系：

分析常量和變量之間的關(guān)系，列出等式；

3、列二次函數(shù)表達(dá)式：

設(shè)出表示變量的字母，把相等關(guān)系用含字母的式子表示，并把它整理成二次函數(shù)的一般形式;

4、確定自變量的取值范圍：

根據(jù)自變量所表示的實(shí)際意義確定其取值范圍.

【注意】

(1)二次函數(shù)自變量的取值范圍一般是全體實(shí)數(shù)，但是在實(shí)際問(wèn)題中，自變量的取值范圍應(yīng)使實(shí)際

問(wèn)題有意義；

(2)確定自變量的取值范圍時(shí)，需正確列其出不等式或不等式組.

知識(shí)點(diǎn)3二次函數(shù)］=a/+力尤+c的圖象與性質(zhì)

函數(shù)y=ax2++c(a、byc是常數(shù)，aW0)

a的符號(hào)a>0a<0

2

y\嚴(yán)-]

圖象

開(kāi)口方向向上向下

對(duì)稱(chēng)軸直線(xiàn)尤=_?

2a

/b4ac—b2\

頂點(diǎn)坐標(biāo)

\2af4a）

當(dāng)》〈—螢時(shí)，y隨％的增大而減小當(dāng)X〈-白時(shí)，y隨X的增大而減小

增減性

當(dāng)x>一方時(shí)，y隨％的增大而增大當(dāng)久>一^?時(shí)，y隨x的增大而增大

當(dāng)久一一2時(shí)廿-4ac~b2當(dāng)丫一一2時(shí)V—4ac-廬

最值三1久-2『」，y最小值一4a_2a]?最大值一4a

【注意】

（1）如圖，若拋物線(xiàn)上x(chóng)=爪和X=n對(duì)應(yīng)的函數(shù)值相等，則拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸為直線(xiàn)萬(wàn)=等

（2）如圖，若拋物線(xiàn)與x軸的交點(diǎn)為（工1，0）,（右，0），則拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸為直線(xiàn)％=警

知識(shí)點(diǎn)4二次函數(shù)丫=a/+bx+c的圖象特征與6、c的符號(hào)關(guān)系

二次函數(shù)的,二。/+?。?（:中，a的符號(hào)決定拋物線(xiàn)的開(kāi)口方向，好的否好決定拋物線(xiàn)對(duì)稱(chēng)軸的大致

位置，c的否好決定拋物線(xiàn)與y軸交點(diǎn)的大致位置，具體如下表：

字母（或式子）符號(hào)特征

a>0開(kāi)口向上

a

a<0開(kāi)口向下

b=0對(duì)稱(chēng)軸為y軸

b

ab>0（a,匕同號(hào)）對(duì)稱(chēng)軸在y軸左側(cè)

2a

ab<0（a,b異號(hào)）對(duì)稱(chēng)軸在y軸右左側(cè)

c=0圖象過(guò)原點(diǎn)

cc>0圖象與y軸正半軸相交

c<0圖象與y軸負(fù)半軸相交

3

【注意】對(duì)于二次函數(shù)y=ax2+b冗+c：

(1)當(dāng)久=1時(shí)，y=a+b+c,此時(shí)：

若y=0,則a+b+c=0；

若y>0,則a+b+c>0；

若y<0,則a+b+c<0.

(2)當(dāng)久=—1時(shí)，y=a—b+c,此時(shí)：

若y=0,則a—b+c=0；

若y>0,則a—6+c>0；

若y<0,則a—b+c<0.

知識(shí)點(diǎn)5用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的表達(dá)式

方法名稱(chēng)函數(shù)表達(dá)式適用情形一般步驟

已知二次函數(shù)圖象上任意三

一般式：設(shè)：設(shè)二次函

個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)或％,y的三組對(duì)數(shù)表達(dá)式

y=ax2++c(aw0)0

應(yīng)值代：把已知條件

代入函數(shù)表達(dá)式，

頂點(diǎn)式：已知拋物線(xiàn)的定點(diǎn)坐標(biāo)或?qū)?/p>

得到關(guān)于待定系

2稱(chēng)軸和最值數(shù)的方程(組)

待定系數(shù)法y=a(%+/i)+k(aW0)

1

交點(diǎn)式：解：解方程

(組)，求得

y=a(x—%i)(%—&)已知二次函數(shù)的圖象與X軸待定系數(shù)的值

其中是拋物線(xiàn)與X軸交點(diǎn)的兩個(gè)交點(diǎn)的坐標(biāo)1

寫(xiě)：寫(xiě)出二次

的橫坐標(biāo)

函數(shù)表達(dá)式

【注意】：特殊位置拋物線(xiàn)對(duì)應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式的設(shè)法技巧：

(1)頂點(diǎn)在原點(diǎn)，可設(shè)為y=aM；

(2)對(duì)稱(chēng)軸是y軸(或頂點(diǎn)在y軸)，可設(shè)為曠="2+七；

(3)頂點(diǎn)在%軸上,可設(shè)為y=磯%—九十；

(4)拋物線(xiàn)過(guò)原點(diǎn)，可設(shè)為y=a%2+b%.

知識(shí)點(diǎn)6二次函數(shù)與一元二次方程之間的關(guān)系

1、二次函數(shù)圖象與久軸的交點(diǎn)橫坐標(biāo)與一元二次方程根的關(guān)系：

一般地，從二次函數(shù)y=a/++。的圖象可知：如果拋物線(xiàn)y=a/+6工+c與x軸由交點(diǎn)，交點(diǎn)的

橫坐標(biāo)是汽°,那么當(dāng)％=%()時(shí)，函數(shù)值是0,因此％=%。是方程a/+力％+。=o的一個(gè)根.

2、二次函數(shù)與一元二次方程的聯(lián)系與區(qū)別:

4

知識(shí)點(diǎn)7二次函數(shù)的圖象與一元二次方程的近似解的關(guān)系

二次函數(shù)y=ax2+b%+c的圖象與無(wú)軸的公共點(diǎn)的橫坐標(biāo)是一元二次方程a/+fox+c=0的解，因此

可以借助二次函數(shù)的圖象求一元二次方程的解.

1、利用二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象與％軸的公共點(diǎn)求一元二次方程a/+hx+c=0的解

(1)作出二次函數(shù)y=ax2+hx+c的圖象，確定圖象與無(wú)軸公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)，也就是方程a/++c=0

的解的個(gè)數(shù).

(2)觀察圖象，函數(shù)圖象與式軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)就是一元二次方程a/++。=o的解，當(dāng)函數(shù)圖象

與久軸有兩個(gè)交點(diǎn)，且交點(diǎn)的橫坐標(biāo)不是整數(shù)時(shí)，可通過(guò)不斷縮小解所在的范圍估計(jì)一元二次方程

的解；

(3)交點(diǎn)橫坐標(biāo)即為一元二次方程a/+b%+。=0的解.

2、利用二次函數(shù)y=a/的圖象與直線(xiàn)y=-bx-c的公共點(diǎn)求方程a/+人先+。=o的解

(1)將方程a/+力％+c=0化為a/=—bx—c的形式；

(2)在平面直角坐標(biāo)系中畫(huà)出拋物線(xiàn)y=a/和直線(xiàn)丫=—bx-c,并確定拋物線(xiàn)與直線(xiàn)的公共點(diǎn)的坐標(biāo);

(3)公共點(diǎn)的橫坐標(biāo)即為一元二次方程a/+力為+。=o的解.

5

知識(shí)點(diǎn)8二次函數(shù)與一元二次不等式的關(guān)系

求不等式a/+bx+c>0（a豐0）的解集，就是求x為何值時(shí)，二次函數(shù)y=ax2+bx+c的函數(shù)值y>0；

求不等式a/+匕久+。<K0）的解集，就是求x為何值時(shí)，二次函數(shù)丫=a/+匕刀+c的函數(shù)值y<0,

列表如下：（因a>0為例）

b2—4ac的符號(hào)b2—4ac>0b2—4ac=0b2—4ac<0

愣

ax2+bx+c>0（a>

1>

0）的圖象與x軸的交點(diǎn)

b

1產(chǎn)-五

個(gè)數(shù)

兩個(gè)交點(diǎn)一個(gè)交點(diǎn)（即頂點(diǎn)）J沒(méi)有交點(diǎn)

兩個(gè)等實(shí)數(shù)根兩個(gè)相等實(shí)數(shù)根

ax2+b%+c=0(a>

—b±7b2-4acb沒(méi)有實(shí)數(shù)根

0)的根

%-2a"】="2=一五

一元ax2+bx+cb

X<或%>x2X^~2a全體實(shí)數(shù)

二次>0(a>0)

不等

ax2+bx+c

式的X<X<x無(wú)解無(wú)解

<0(a>0)r2

解集

知識(shí)點(diǎn)9用二次函數(shù)解決實(shí)際問(wèn)題

1、一般步驟：

（1）審：仔細(xì)審題，厘清題意；

（2）設(shè)：找出問(wèn)題中的變量和常量，分析它們之間的關(guān)系，與圖形相關(guān)的問(wèn)題要結(jié)合圖形具體分析，

設(shè)出適當(dāng)?shù)奈粗獢?shù)；

（3）歹（J：用二次函數(shù)表示出變量和常量之間的關(guān)系，建立二次函數(shù)模型，把實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)問(wèn)題，

根據(jù)題中的數(shù)量關(guān)系列出二次函數(shù)的表達(dá)式；

（4）解：依據(jù)已知條件，借助二次函數(shù)的表達(dá)式、圖象和性質(zhì)等求解實(shí)際問(wèn)題；

（5）檢：檢驗(yàn)結(jié)果，得出符合實(shí)際意義的結(jié)論.

知識(shí)點(diǎn)10反比例函數(shù)的定義

1、定義：

一般地，表達(dá)式形如y=：*為常數(shù)，且k力0）的函數(shù)叫做反比例函數(shù)，其中x是自變量，y是x的函數(shù).

自變量支的取值范圍是不等于0的一切實(shí)數(shù).

2、反比例函數(shù)的三種表達(dá)形式：

（1）/y=-X；

（2）y=fc%-1；

（3）xy=k（k為常數(shù)，且kwO）

6

【注意】反比例函數(shù)的表達(dá)式y(tǒng)=t中，無(wú)論X,y怎樣變化，k的值始終等于x與y的乘積，因此人們習(xí)慣

上稱(chēng)k為比例系數(shù).

知識(shí)點(diǎn)11反比例函數(shù)圖象與性質(zhì)

1、圖象的特點(diǎn)：

（1）反比例函數(shù)y=1（k為常數(shù)，且k/））的圖象是雙曲線(xiàn)；

（2）反比例函數(shù)圖象的兩支分別位于第一、第三象限或第二、第四象限；

（3）雙曲線(xiàn)的兩支都無(wú)限接近坐標(biāo)軸，但永遠(yuǎn)不與坐標(biāo)軸相交；

（4）雙曲線(xiàn)既是中心對(duì)稱(chēng)圖形（對(duì)稱(chēng)中心是原點(diǎn)），又是軸對(duì)稱(chēng)圖形（對(duì)稱(chēng)軸是直線(xiàn)y=x和直線(xiàn)y=-x）.如圖:

2、反比例函數(shù)的性質(zhì):

反比例函數(shù)盛U0)

K的符號(hào)fc>0k<0

V

圖象

圖像位置第一、三象限第二、四象限

在每一個(gè)象限內(nèi)，y隨x的增大而在每個(gè)象限內(nèi)，y隨X的增大而增

增減性

減小大

知識(shí)點(diǎn)12求反比例函數(shù)的表達(dá)式

1、確定反比例函數(shù)表達(dá)式的方法

由于在反比例函數(shù)y=g（gO）中只有一個(gè)待定系數(shù)，因此只需要一對(duì)x,y的對(duì)應(yīng)值或圖象上一個(gè)點(diǎn)的坐

標(biāo)，用待定系數(shù)法即可求出k的值，從而確定其表達(dá)式.

2、用待定系數(shù)法求反比例函數(shù)表達(dá)式的一般步驟

7

0）

尸梟2

式為

表達(dá)

數(shù)的

例函

反比

意，設(shè)

根據(jù)題

-設(shè)一

一

股

方程

左的

關(guān)于

得到

室中，

代入產(chǎn)

對(duì)應(yīng)值

的一對(duì)

把X,y

步一代一

驟

常數(shù)左

，求出

解方程

-解一

達(dá)式

出表

可寫(xiě)

人即

值代

上的

一把

L寫(xiě)

】

【注意

程.

次方

元一

解一

值，

對(duì)應(yīng)

對(duì)對(duì)

入一

是代

實(shí)質(zhì)

式的

的表達(dá)

例函數(shù)

求反比

系數(shù)法

用待定

（1）

0）.

（厚

=

為y

表達(dá)式

函數(shù)的

直接設(shè)

，可

系”時(shí)

比例關(guān)

x的反

y是

明確“

中已經(jīng)

當(dāng)題目

（2）

性質(zhì)

幾何

k的

數(shù)中

例函

反比

點(diǎn)13

知識(shí)

形面積

1、矩

面積

N的

PMO

矩形

得的

N,所

,P

線(xiàn)PM

的垂

y軸

軸、

作x

分別

,y）

P（x

一點(diǎn)

任意

=5上

曲線(xiàn)y

，過(guò)雙

如圖