專題33函數(shù)與圓的綜合

.

'知識對接

考點一、圓

1、求圓的前提：根據(jù)已知條件做輔助線：

(1)作與要證明的切線互相垂直的半徑；

(2)作所有直徑所對應的圓周角為90度的輔助線

2、常見求證：

(1)證切線：

①告訴有線段中點，考慮用中位線定理證明

②告訴有線段平分角或者有一組角相等，考慮用等量代換+間接法

③告訴有一組平行線，考慮相似或者先找出對應的內(nèi)錯角和同位角，觀察同位角是否等于內(nèi)錯角，實現(xiàn)等

量代換

④如果圓中已經(jīng)有一條已知切線，證另一條切線，則把這兩條切線放在兩個三角形中證相似

(2)證線段相等：

①證明兩條線段所對應的三角形全等☆圓周角定理，同弧所對應的弦相等

(3)角相等或平分一個角：

①證兩個角所對應的三角形相似或全等

②圓周角定理+等量代換，同弧或等弧對應的圓周角相等

考點二、函數(shù)

1、求解析式

(1)頂點在原點：y=ax2

(2)圖像過原點：y=ax2+bx

(3)對稱軸在y軸：y=ax2+c

(4)對稱軸在x軸：y=a(x-h)2

(5)一般式：y=ax2+bx+c

2、求兩點間的距離表達式(即線段)及最值：

(1)先設點，觀察兩個點分別屬于哪兩個函數(shù)之中，求出兩個點的橫坐標和縱坐標的表達式；

(2)用兩個點的橫坐標或者縱坐標相減的方式求出線段長的表達式；

(3)轉化成二次函數(shù)求最值，可求出最值和此時的橫坐標

3、求三角形的面積表達式及最值：

(1)先設點，用點的坐標把三角形的面積表示出來；(直接表示法：當所求三角形有一條邊與x軸或者y

軸重合；間接表示法：三角形的三邊都不與x軸或者y軸重合，可采用幾個圖形的面積相加再相減求出表

達式)

(2)轉化成二次函數(shù)求最值，可求出最值和此時的橫坐標

4、求在某直線上找一點使線段之和最值

(1)首先將其中一點做關于該直線的對稱點，連接對稱點與另一點的連線與該直線的交點即為所求點

(2)通過對稱性求出對稱點的坐標，求出連線的一次函數(shù)表達式，與原直線的表達式解方程組即可求出改

點

5、求是否存在一點使圖形為直角三角形，等腰三角形，或者為平行四邊形，求該點坐標

(1)直角三角形：首先把可能的情況都要想到，利用兩垂直直線的斜率之積為-1,分別求出兩條直角邊的

一次函數(shù)表達式，解方程組求公共點即為所求

(2)等腰三角形：首先把可能的情況都要想到，利用等腰三角形兩腰相等及點與點之間的距離公式求點的

坐標

(3)平行四邊形：一般情況下，都會告知平行或者相等，只需要利用一組對邊平行且相等的四邊形是平行

四邊形即可求出坐標

專項訓練

一、單選題

1.下列命題正確的是()

A.在函數(shù)>=中，當x>0時，y隨x的增大而減小

2x

B.若a<0,則l+a>l—a

C.垂直于半徑的直線是圓的切線

D.各邊相等的圓內(nèi)接四邊形是正方形

2.如圖，把太陽與地平線分別抽象成圓和直線，則該圖所呈現(xiàn)的直線與圓之間的位置關系是()

D

A.相切B.相交C.相離D.相似

3.如圖，在矩形ABC。中，AB=12,AD>AB,以點A為圓心裁出扇形E4B（點E在邊A。上），將扇形加汨

圍成一個圓錐（和AE重合），則此圓錐底面圓半徑是（）

A.3B."C.2括D.12

4.如圖，在矩形中截取兩個相同的圓作為圓柱的上、下底面，剩余的矩形作為圓柱的側面，剛好能組合成

圓柱.設矩形的長和寬分別為y和x,則y與x的函數(shù)圖象大致是（）

A?點（1,3）關于x軸的對稱點是（-1,3）

B.函數(shù)y=-2x+3中，V隨x的增大而增大

C.若一組數(shù)據(jù)3,%,4,5,6的眾數(shù)是3,則中位數(shù)是3

D.同圓中的兩條平行弦所夾的弧相等

6.如圖，點P是定線段上的動點，點尸從。點出發(fā)，沿線段運動至點A后，再立即按原路返回至點

。停止，點P在運動過程中速度大小不變，以點。為圓心，線段0P長為半徑作圓，則該圓的周長/與點P的

運動時間f之間的函數(shù)圖象大致為（）

7.在圓，平行四邊形、函數(shù)y=Y的圖象、＞=一」的圖象中，既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形的個數(shù)有

A.0B.1C.2D.3

8.下列命題中哪一個是假命題（）

A.8的立方根是2

B.在函數(shù)y=3x的圖象中，y隨x增大而增大

C.菱形的對角線相等且平分

D.在同圓中，相等的圓心角所對的弧相等

9.半徑為3的圓，如果半徑增加2%,則面積S與％之間的函數(shù)表達式為（）

A.S=2萬。+3)2

B.S=9TT+X

C.5=4%/+12工+9

D.S=4〃■尤2+12?rx+9兀

10.如圖，NBAC=60。，點O從A點出發(fā)，以2m/s的速度沿/BAC的角平分線向右運動，在運動過程中，

以。為圓心的圓始終保持與NBAC的兩邊相切，設。。的面積為S（cn?）,則。。的面積S與圓心。運動

的時間t（s）的函數(shù)圖象大致為（）

二、填空題

11.如圖，圓0的半徑為2.C1是函數(shù)y=x2的圖象C是函數(shù)y=-x2的圖象，則陰影部分的面積是

2

12.如圖，已知反比例函數(shù)y=—(x>0)的圖象繞原點。逆時針旋轉45。，所得的圖象與原圖象相交于點

x

2

A,連接OA,以。為圓心，OA為半徑作圓，交函數(shù)y=—(x>0)的圖象與點B,則扇形AOB的面積為

x

13.如圖，在平面直角坐標系中，x軸上一點A從點(一3,0)出發(fā)沿x軸向右平移，當以A為圓心，半

徑為1的圓與函數(shù)y=[x的圖像相切時，點A的坐標變?yōu)?

14.在邊長為16cm的正方形鐵皮上剪去一個圓，則剩下的鐵皮的面積S(cm2)與圓的半徑r(cm)之間的

函數(shù)表達式為(不要求寫自變量的取值范圍).

2

15.有五張卡片(形狀、大小、質(zhì)地都相同)，上面分別畫有下列圖形：①線段；②函數(shù)y=—的圖像；③

x

圓；④平行四邊形；⑤正六邊形.將卡片背面朝上洗勻，從中抽取一張，正面圖形一定滿足既是軸對稱圖

形，又是中心對稱圖形的概率是—.

三、解答題

16.已知：如圖所示，P是NMAN的邊AN上的一個動點，B是邊AM上的一個定點，以必為半徑作圓P

交射線⑷V于點C,過B作直線/使/〃AN交圓與。、E兩點(點￡＞、點E分別在點8的左側和右側),

3

聯(lián)結CE并延長，交射線AM于點尺聯(lián)結FP,交DE于G,cosZBAP=-,AB=5,AP^x,BE=y,

(1)求證：BG=EG；

(2)求y關于x的函數(shù)解析式，并寫出它的定義域；

(3)當A8EF是以為腰的等腰三角形時，求經(jīng)過8、E兩點且半徑為■的圓。與圓尸的圓心距.

17.在平面直角坐標系xOy中，點A的坐標為(0,加)，且〃?H0,點3的坐標為(",0),將線段A3繞點3順

時針旋轉90。，得到線段24,稱點4為點A關于點2的“伴隨點”，圖1為點A關于點8的“伴隨點”的示意

圖.

(1)已知點4(0,4),

①當點8的坐標分別為(2,0),(-1,0)時，點A關于點B的“伴隨點”的坐標分別為,；

②點A(%，)是點A關于點8的“伴隨點”，探究點4的運動路徑所對應的函數(shù)表達式，并說明理由；

(2)如圖2,點C的坐標為(4,-3),以C為圓心，血為半徑作圓，若在。C上存在點A關于點3的“伴隨

點”，則A的縱坐標機的取值范圍__________.

18.己知：如圖1,△ABC中，AB=AC=10cm,BC=16cm,動點?從點。出發(fā)沿線段以2cm/s的速

度向點8運動，同時動點Q從點8出發(fā)沿線段54以lcm/s的速度向點A運動，當其中一個動點停止運動時

另一個動點也隨之停止，設運動時間為f(單位：s)以點。為圓心，8。長為半徑的圓。與射線54,線段

分別交于點。，E.

(1)當是等腰三角形時，求f的值；

(2)設防=y,求把與/的函數(shù)解析式，且寫出1的取值范圍；

(3)如圖2,連接DP,當f為何值時，線段。尸與。。相切？

(4)如圖2,若。。與線段。尸只有一個公共點，求f的取值范圍.

19.如圖，在矩形ABC。中，A5=4,BC=8,點尸在邊8C上(點尸與端點8、C不重合)，以P為圓心，

為半徑作圓，圓尸與射線80的另一個交點為點E,直線CE與射線AD交于點G.點M為線段BE的中

點，聯(lián)結PM.設==

(1)求y關于x的函數(shù)解析式，并寫出該函數(shù)的定義域；

(2)聯(lián)結AP,當AP〃CE時，求尤的值；

(3)如果射線EC與圓尸的另一個公共點為點E當AC叩為直角三角形時，求ACPr的面積.

20.問題提出：

平面內(nèi)有兩點尸、。，以點尸或點。為圓心，PQ長為半徑的圓稱為點P、Q的伴隨圓，如圖①②所示，。尸、

。。均為點尸、。的伴隨圓.

o

圖①圖②

初步思考：

(1)若點尸的坐標是(1,4),點。的坐標是(-4,3),則點尸、。的伴隨圓的面積是.

(2)點。是坐標原點，若函數(shù)了=-：尤+6的圖象上有且只有一個點A,使得。、A的伴隨圓的面積為167，

求b的值及點A的坐標.

推廣運用：

(3)點A在以尸(“30)為圓心，半徑為1的圓上，點B在函數(shù)y=：x+3的圖象上，若對于任意點A、B,

均滿足A、8的伴隨圓的面積都不小于16萬，則根的取值范圍是.

21.在平面直角坐標系x0y中，動點A(a,6)為函數(shù)>=?%>0)圖像上的任意一點，點3和點C的坐標分別

為(0,6),(0,-a).現(xiàn)給出如下定義：以線段BC為直徑的圓。稱為點A的“反比例伴隨圓”，

⑴在圖中，點A坐標為(2,|｝請畫出點A的“反比例伴隨圓”。。，并寫出。。與x軸的交點坐標；

(2)在點A運動過程中，直接寫出其“反比例伴隨圓"半徑廠的取值范圍；

(3)點A由4(30-3抱)運動到4(3友+3也)的過程中，直接寫出其對應的“反比例伴隨圓”掃過的面積S.

22.如圖，拋物線y=ax2+bx+c(a<0)交無軸于點A(-LO),5(3,0),交，軸于點C,頂點為Af,直線y=x+d

經(jīng)過C,〃兩點，并且與x軸交于點￡).

(1)求拋物線的函數(shù)解析式;

(2)若四邊形CZMN是平行四邊形，且點N在拋物線上，則點N的坐標為；

(3)平面內(nèi)是否存在點尸，使以點尸為圓心的圓經(jīng)過A、2兩點，并且與直線8相切？若存在，請求出

點P的坐標；若不存在，請說明理由.

23.已知：二次函數(shù)-2辦-3(tz>0),當2W爛4時，函數(shù)有最大值5.

(1)求此二次函數(shù)圖象與坐標軸的交點；

(2)將函數(shù)>=加-2ax-3(a>0)圖象x軸下方部分沿x軸向上翻折，得到的新圖象與直線>="恒有四

個交點，從左到右，四個交點依次記為A,B,C,D,當以為直徑的圓與x軸相切時，求”的值.

(3)若點P(無o,州)是(2)中翻折得到的拋物線弧部分上任意一點，若關于機的一元二次方程

2

m~yom+卜4+%=0恒有實數(shù)根時,求實數(shù)k的最大值.

專題33函數(shù)與圓的綜合

含1知識對接

考點一、圓

1、求圓的前提：根據(jù)已知條件做輔助線：

(1)作與要證明的切線互相垂直的半徑；

(2)作所有直徑所對應的圓周角為90度的輔助線

2、常見求證：

(1)證切線：

①告訴有線段中點，考慮用中位線定理證明

②告訴有線段平分角或者有一組角相等，考慮用等量代換+間接法

③告訴有一組平行線，考慮相似或者先找出對應的內(nèi)錯角和同位角，觀察同位角是否等于內(nèi)錯角，實現(xiàn)等

量代換

④如果圓中已經(jīng)有一條已知切線，證另一條切線，則把這兩條切線放在兩個三角形中證相似

(2)證線段相等：

①證明兩條線段所對應的三角形全等☆圓周角定理，同弧所對應的弦相等

(3)角相等或平分一個角：

①證兩個角所對應的三角形相似或全等

②圓周角定理+等量代換，同弧或等弧對應的圓周角相等

考點二、函數(shù)

1、求解析式

(6)頂點在原點：y=ax2

(7)圖像過原點：y=ax2+bx

(8)對稱軸在y軸：y=ax2+c

⑼對稱軸在x軸：y=a(x-h)2

(10)一般式：y=ax2+bx+c

2、求兩點間的距離表達式(即線段)及最值：

(1)先設點，觀察兩個點分別屬于哪兩個函數(shù)之中，求出兩個點的橫坐標和縱坐標的表達式；

(2)用兩個點的橫坐標或者縱坐標相減的方式求出線段長的表達式；

(3)轉化成二次函數(shù)求最值，可求出最值和此時的橫坐標

3、求三角形的面積表達式及最值：

(1)先設點，用點的坐標把三角形的面積表示出來；(直接表示法：當所求三角形有一條邊與x軸或者y

軸重合；間接表示法：三角形的三邊都不與x軸或者y軸重合，可采用幾個圖形的面積相加再相減求出表

達式)

(2)轉化成二次函數(shù)求最值，可求出最值和此時的橫坐標

4、求在某直線上找一點使線段之和最值

(1)首先將其中一點做關于該直線的對稱點，連接對稱點與另一點的連線與該直線的交點即為所求點

(2)通過對稱性求出對稱點的坐標，求出連線的一次函數(shù)表達式，與原直線的表達式解方程組即可求出改

點

5、求是否存在一點使圖形為直角三角形，等腰三角形，或者為平行四邊形，求該點坐標

(1)直角三角形：首先把可能的情況都要想到，利用兩垂直直線的斜率之積為-1,分別求出兩條直角邊的

一次函數(shù)表達式，解方程組求公共點即為所求

(2)等腰三角形：首先把可能的情況都要想到，利用等腰三角形兩腰相等及點與點之間的距離公式求點的

坐標

(3)平行四邊形：一般情況下，都會告知平行或者相等，只需要利用一組對邊平行且相等的四邊形是平行

四邊形即可求出坐標

?專項訓練

一、單選題

1.下列命題正確的是()

A.在函數(shù)>=-，-中，當x>0時，y隨x的增大而減小

2.x

B.若a<0,貝!+—a

C.垂直于半徑的直線是圓的切線

D.各邊相等的圓內(nèi)接四邊形是正方形

【答案】D

【分析】

分別根據(jù)相關知識點對四個選項進行判斷即可.

【詳解】

A、當人=-《<。時，反比例函數(shù)在x>0時，函數(shù)值y隨x的增大而增大，故此選項錯誤；

B、當。<0時，-a>0,故-a>a,從而l-a>l+a,故此選項錯誤；

C、過半徑的外端點且垂直于半徑的直線是圓的切線，故此選項錯誤；

D、由于圓內(nèi)接四邊形的四邊相等，故每邊所對的圓心角相等且均為360。+4=90。，由此可得四邊形的對角

線相互垂直且相等，因而此四邊形是正方形，故此選項正確.

故選：D.

【點睛】

本題分別考查了反比例函數(shù)的性質(zhì)，不等式的性質(zhì)，切線的定義，圓與正多邊形等知識，關鍵是要對這些

知識熟練掌握.

2.如圖，把太陽與地平線分別抽象成圓和直線，則該圖所呈現(xiàn)的直線與圓之間的位置關系是（）

D

A.相切B.相交C.相離D.相似

【答案】C

【分析】

根據(jù)直線與圓的位置關系進行判斷即可.

【詳解】

解：???地平線在太陽的外面，與太陽沒有交點，

所呈現(xiàn)的直線與圓的位置關系式相離，

故選C.

【點睛】

本題主要考查了直線與圓的位置關系，解題的關鍵在于能夠熟練掌握相關知識進行求解.

3.如圖，在矩形A8CD中，AB=U,AD>AB,以點A為圓心裁出扇形（點E在邊4。上），將扇形山龍

圍成一個圓錐（和AE重合），則此圓錐底面圓半徑是（）

n

D

A.3B.76C.2出D.12

【答案】A

【分析】

根據(jù)弧長公式求出BE的長，根據(jù)圓的周長公式計算即可.

【詳解】

解：設圓錐底面圓半徑為R,

則2%R=6%，

解得，R=3,

故選：A.

【點睛】

本題考查的是圓錐的計算，掌握圓錐的母線長是扇形的半徑，圓錐的底面圓周長是扇形的弧長是解題的關

鍵.

4.如圖，在矩形中截取兩個相同的圓作為圓柱的上、下底面，剩余的矩形作為圓柱的側面，剛好能組合成

圓柱.設矩形的長和寬分別為y和x,則y與尤的函數(shù)圖象大致是（）

【答案】A

【分析】

從丫-鼻等于該圓的周長，即列方程式再得到關于y的一次函數(shù)，從而得到函數(shù)圖象的大體形

狀.

【詳解】

解：由題意得，

X71

y—=-x

22

即>=g+g）x，

所以該函數(shù)的圖象大約為A中函數(shù)的形式.

故選：A.

【點睛】

本題考查了一次函數(shù)的綜合運用，由y-楙得出該圓的周長是解題的關鍵.

5.下列命題正確的是（）

A?點（1,3）關于x軸的對稱點是（-1,3）

B.函數(shù)y=-2x+3中，）隨了的增大而增大

C.若一組數(shù)據(jù)3,x,4,5,6的眾數(shù)是3,則中位數(shù)是3

D.同圓中的兩條平行弦所夾的弧相等

【答案】D

【分析】

根據(jù)關于x軸的對稱點的特征，一次函數(shù)的性質(zhì)，眾數(shù)、中位數(shù)的定義，圓的性質(zhì)矩形判斷即可.

【詳解】

A、點（1,3）關于無軸的對稱點是（1,-3）,故錯誤；

B、函數(shù)y=-2x+3中，>隨x的增大而減小，故錯誤；

C、若一組數(shù)據(jù)3,無，4,5,6的眾數(shù)是3,則戶3,則中位數(shù)是4,故錯誤；

D,同圓中的兩條平行弦所夾的弧相等，正確，

故選：D.

【點睛】

本題考查了命題與定理：判斷一件事情的語句，叫做命題.許多命題都是由題設和結論兩部分組成，題設

是己知事項，結論是由已知事項推出的事項，一個命題可以寫成“如果…那么…”形式.有些命題的正確性

是用推理證實的，這樣的真命題叫做定理.要說明一個命題的正確性，一般需要推理、論證，而判斷一個

命題是假命題，只需舉出一個反例即可.

6.如圖，點尸是定線段上的動點，點尸從。點出發(fā)，沿線段。4運動至點A后，再立即按原路返回至點

。停止，點P在運動過程中速度大小不變，以點。為圓心，線段0P長為半徑作圓，則該圓的周長/與點P的

運動時間f之間的函數(shù)圖象大致為()

A

-XkcR心

【答案】B

【分析】

根據(jù)題意，分點P從。點出發(fā)，沿線段運動至點A時，與點P按原路返回至點。，由這兩種情況進行分

析可得答案.

【詳解】

解：由題意可知：

當點P從。點出發(fā)，沿線段Q4運動至點A時，0P勻速增大，則根據(jù)圓的周長公式，可得圓的周長也開始

勻速增大；

當點P按原路返回至點0,。尸開始勻速減小，其周長也開始勻速減小，

由勻速可知圖象為直線，且前半段圓的周長/隨時間t上升，后半段圓的周長/隨時間t下降，分析可得B符

合.

故選：B.

【點睛】

本題考查動點問題的函數(shù)圖像，化動為靜是解決動點問題的關鍵，根據(jù)題意確定橫軸與豎軸所表示的實際

意義結合函數(shù)圖像進行分析是解答此題的關鍵.

7.在圓，平行四邊形、函數(shù)y=V的圖象、＞=一’的圖象中，既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形的個數(shù)有

()

A.0B.1C.2D.3

【答案】C

【分析】

根據(jù)軸對稱圖形又是中心對稱圖形的定義和函數(shù)圖象，可得答案.

【詳解】

解：圓是軸對稱圖形又是中心對稱圖形；

平行四邊形是中心對稱圖形，不是軸對稱圖形；

函數(shù)y=x2的圖象是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形；>=-'的圖象是中心對稱圖形，是軸對稱圖形；

X

故選：C.

【點睛】

本題考查了反比例函數(shù)和二次函數(shù)的圖象，利用了軸對稱，中心對稱的定義.

8.下列命題中哪一個是假命題（）

A.8的立方根是2

B.在函數(shù)y=3x的圖象中，y隨x增大而增大

C.菱形的對角線相等且平分

D.在同圓中，相等的圓心角所對的弧相等

【答案】C

【分析】

利用立方根的定義、一次函數(shù)的性質(zhì)、菱形的性質(zhì)及圓周角定理分別判斷后即可確定正確的選項.

【詳解】

A、8的立方根是2,正確，是真命題；

B、在函數(shù)y=3x的圖象中，y隨x增大而增大，正確，是真命題；

C、菱形的對角線垂直且平分，故錯誤，是假命題；

D、在同圓中，相等的圓心角所對的弧相等，正確，是真命題，

故選C.

【點睛】

考查了命題與定理的知識，能夠了解立方根的定義、一次函數(shù)的性質(zhì)、菱形的性質(zhì)及圓周角定理等知識是

解題關鍵.

9.半徑為3的圓，如果半徑增加2x,則面積S與％之間的函數(shù)表達式為（）

A.S=2萬（x+3）2

B.S=9TT+X

C.5=4萬/+12》+9

D.S=4%x?+12萬x+9萬

【答案】D

【分析】

直接利用圓的面積計算公式建立函數(shù)即可.

【詳解】

由題意，得

S=TI(3+2x)2=4兀x?+12兀x+9兀.

故選：D.

【點睛】

考查由實際問題列二次函數(shù)關系式，掌握圓的面積計算公式是解決問題的關鍵.

10.如圖，ZBAC=60°,點O從A點出發(fā)，以2m/s的速度沿NBAC的角平分線向右運動，在運動過程中，

以O為圓心的圓始終保持與/BAC的兩邊相切，設。O的面積為S(cn?),則。。的面積S與圓心。運動

的時間t(s)的函數(shù)圖象大致為()

【答案】D

【詳解】

試題分析：：/BAC=60。，AO是/BAC的角平分線,

ZBAO=30°,

設。。的半徑為r,AB是。。的切線，

；A0=2t,

；.r=t,

S=7it2,

AS是圓心O運動的時間t的二次函數(shù)，

：兀>0,

拋物線的開口向上，

故選D.

考點：動點問題的函數(shù)圖象.

二、填空題

11.如圖，圓。的半徑為2.C是函數(shù)y=x2的圖象C是函數(shù)y=-x2的圖象，則陰影部分的面積是

【答案】2萬

【分析】

根據(jù)圓和二次函數(shù)圖象的對稱性，用割補法和圓的面積公式，即可求解.

【詳解】

把x軸下方陰影部分關于x軸對稱后，原圖形陰影部分的面積和，變?yōu)橐粋€半圓的面積，即心生=2萬

2

【點睛】

利用圖形的對稱性，把不規(guī)則的陰影部分，補成規(guī)則的圖形，再用圓的面積公式求解.

2

12.如圖，已知反比例函數(shù)y=—(x>0)的圖象繞原點O逆時針旋轉45。，所得的圖象與原圖象相交于點

x

2

A,連接OA,以。為圓心，OA為半徑作圓，交函數(shù)y=—(x>0)的圖象與點B,則扇形AOB的面積為

【答案】正兀.

2

【分析】

如圖，作AD，y軸于D,由題意NAOD=22.5。，根據(jù)對稱性可知，ZAOB=90°-2x22.5°=45°,在OD上

取一點F,使得OF=OA,推出/FOA=/FAO=22.5。，推出/AFD=/DAF=45。，設DA=DF=a,貝！J

OF=AF=,A[a,(1+5/2)a],由點八在、=—上，推出(1+)a?=2,推出=2(A/2—1j,由OA?

=a2+(1+0)2a2=(4+20)a?=4后，根據(jù)扇形AOB的面積=絲需眩計算即可.

【詳解】

解：如圖，作ADLy軸于D,由題意/AOD=22.5。，

根據(jù)對稱性可知，ZAOB=90°-2x22.50=45。，

在OD上取一點F,使得OF=FA,

二ZFOA=ZFAO=22.5°,

7

.,-ZAFD=ZDAF=45°,設DA=DF=a,則OF=AB=缶，A[a,(1+72)a],丁點人在丫=一上,

x

(1+應)a2=2,

a2=2(V2-l)

VOA2=a2+(1+V2)2a2=(4+20)a2=4V2，

■0K

扇形AOB的面積=

3602

故答案為:3.

【點睛】

本題考查坐標與圖形的變化-旋轉、反比例函數(shù)的性質(zhì)、扇形的面積公式、勾股定理等知識，解題的關鍵

是學會添加常用輔助線，構造特殊三角形解決問題，屬于中考常考題型.

13.如圖，在平面直角坐標系中，x軸上一點A從點(一3,0)出發(fā)沿x軸向右平移，當以A為圓心，半

徑為1的圓與函數(shù)y=^x的圖像相切時，點A的坐標變?yōu)?

【答案】(-2,0)(2,0)

【解析】

試題分析：根據(jù)直線的函數(shù)解析式可得：直線與x軸的夾角為30。，當圓與直線相切時，AO=2,則圓心的

坐標為(2,0)和(-2,0).

考點：直線與圓相切.

14.在邊長為16cm的正方形鐵皮上剪去一個圓，則剩下的鐵皮的面積S(cm2)與圓的半徑r(cm)之間的

函數(shù)表達式為(不要求寫自變量的取值范圍).

【答案】即-鬻感，7躥

【解析】

試題分析：剩下的面積為：正方形的面積-圓的面積=162-7tr2=256-7tr2

故答案為S=256-二「

考點：函數(shù)的表達式.

2

15.有五張卡片(形狀、大小、質(zhì)地都相同)，上面分別畫有下列圖形：①線段；②函數(shù)y=4的圖像；③

X

圓；④平行四邊形；⑤正六邊形.將卡片背面朝上洗勻，從中抽取一張，正面圖形一定滿足既是軸對稱圖

形，又是中心對稱圖形的概率是一.

【答案】0.8

【解析】

試題分析：根據(jù)軸對稱圖形和中心對稱圖形的概念可知：①線段；②函數(shù)｝=2的圖像；③圓；④平行四

X

邊形；⑤正六邊形中，①線段；②函數(shù)的圖像；③圓；⑤正六邊形既是軸對稱圖形，又是中心對稱

X

圖形，所以將卡片背面朝上洗勻，從中抽取一張，正面圖形一定滿足既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形

4

的概率是y=0.8.

考點：1.軸對稱圖形；2.中心對稱圖形；3.簡單事件的概率.

三、解答題

16.已知：如圖所示，P是/肱4N的邊AN上的一個動點，8是邊AM上的一個定點，以融為半徑作圓P,

交射線AN于點C,過B作直線/使/〃AN交圓與。、E兩點(點。、點E分別在點B的左側和右側)，聯(lián)

3

結CE并延長，交射線AM于點足聯(lián)結"，交DE于G,cosZBAP=-,AB=5,BE=y,

(1)求證：BG=EG；

(2)求y關于x的函數(shù)解析式，并寫出它的定義域；

(3)當△2所是以B尸為腰的等腰三角形時，求經(jīng)過2、E兩點且半徑為：血的圓。與圓尸的圓心距.

【答案】(1)見解析；(2)y=x-3+GTN，定義域是x>§；(3)圓。與圓P的圓心距為典或回.

622

【分析】

(1)證明△■FBGs△必p,得出比例線段處=生，同理可得△FEGs/YFCP,得出生="，則可得出

APFPCPFP

結論；

(2)過點P作尸KLOE于K,過點A作于點。，連接PE,由銳角三角函數(shù)的定義及勾股定理可

求出答案；

(3)由等腰三角形的性質(zhì)得出y+5=2x,解方程求出x=5,分兩種情況畫出圖形，由勾股定理可求出答案.

【詳解】

(1)證明：-：BG//AP,

:.NFBG=/FAP,/FGB=/FPA,

：.^XFBG^/\FAP,

,BGFG

??一,

APFP

■:GE/1PC,

：.ZFEG=ZFCP,ZFGE=ZFPC,

△FEGS^FCP,

,EGFG

??百一而‘

.EGBG

??一，

CPAP

9

：AP=PCf

：.BG=EG；

(2)解：過點尸作尸于K,過點A作AQLDE于點Q,

???ZAQK=ZQKP=90°,

9：DEHAP,

：.AQ±AP,

：.ZQAP=ZAQK=ZQKP=90°,

???四邊形APKG為矩形，

：.PK=AQ,AP=QK,

3

cosXBAP=cosXABQ=—,AB—5,

3

BQ=AB?cosZABQ=—x5=3,

JAQ=^AB^-BQ1=A/52-32=4,

???PK=4,

'：AP=x

：.PE=AP=xf

KE=y/pE2-PK2=J九2—16，

又?：BK=QK-QB=x-3,

:.BE=BK+EG=無一3+J尤2—16，

?”=X-3+A/X2-16，

當圓尸過點2時，點。與點2重合，過2作BHLAP于X,

'：AQ±AP,QBI/AH,

：.Z2=ZQAH=ZBHA=9Q°,

四邊形Q4H2為矩形，

：.AH=QB^QD=3,AQ=BH=4,

在放AgHP中，由勾股定理

BP-=BN2+HP1即x2=42+(x-3)2

25

解得

6

25

：.AP=

~6

*,?定義域是x>；

6

(3)當ABE尸是以3尸為腰的等腰三角形時，連結0G,直線0G交AC于V,

當3尸二石廠時，點。與點5重合，不成立,

；,BF=BE,

：?NBFE=/FEB,

?：BEIIAC,

：./ACF=/BEF,

：.ZAFC=ZACF,

：.AF=ACf

.?.y+5=2x,

?y=x-3+y/x2-16，

2

；.2尤-5=x—2+y/x—16，

整理得7二名小,

兩邊平方得（彳白丫才一16,

整理得4x=20,

??x=5，

：?BE=5,

:.BG=EG=，,

2

..?圓。的半徑為

在RfA20G中，BO=-yf2,

2

EK=yJpE2-PK2=452—42=3

PV=KG=3-GE=3--=I,

22

當圓心。在BE下方時，在放△尸02y中，由勾股定理

當圓心。在BE上方時,

.??8=也已+尸已=卜||+出=1#70.

綜合以上可得OP的長為?或回.

22

【點睛】

本題考查三角形相似判定與性質(zhì)，銳角三角函數(shù)，勾股定理，列函數(shù)解析式，定義域，等腰三角形判定與

性質(zhì)，解無理方程，掌握三角形相似判定與性質(zhì)，銳角三角函數(shù)，勾股定理，列函數(shù)解析式，定義域，等

腰三角形判定與性質(zhì)，解無理方程，圓心距，利用輔助線準確構圖是解題關鍵.

17.在平面直角坐標系宜為中，點A的坐標為(0,加)，且加W0,點8的坐標為(〃,0),將線段繞點B順

時針旋轉90。，得到線段84,稱點4為點A關于點8的“伴隨點”，圖1為點A關于點8的“伴隨點”的示意

圖.

(1)已知點4(0,4),

①當點B的坐標分別為(2,0),(-1,0)時，點A關于點B的“伴隨點”的坐標分別為,；

②點A(x?)是點A關于點B的“伴隨點”，探究點A的運動路徑所對應的函數(shù)表達式，并說明理由；

(2)如圖2,點C的坐標為(4,-3),以C為圓心，及為半徑作圓，若在。C上存在點A關于點2的“伴隨

點”，則A的縱坐標m的取值范圍__________.

【答案】(1)①(6,2),(3,-1)；②y=x-4；(2)5<m<9

【分析】

(1)①作4M_Lx軸于構造AABO絲△B4M,可得。OB=AiM,再分別求解；

②取N(4,0),則OA=ON,作軸于首先說明4的運動軌跡是一條直線，求出這條直線的解

析式即可解決問題；

(2)利用(1)②的結論，A(0,m)關于5的“伴隨點”4(%,y),y與x之間的關系式：y-x-m

,由題意可知，當直線產(chǎn)x-%與。C有交點時，在。C上存在點4關于點3的“伴隨點”，求出這兩條直線

和。C相切時的根的值，即可解決問題.

【詳解】

解：(1)①如圖，作軸于M.

ZABAi=90°,

：.ZABO+ZAiBM=ZAiBM+ZAi,

：.ZABO=ZAi,

'：AB=BAi,ZAOB=ZAiMB=90°,

：./\ABO^/\BAiM(A4S),

/.OA=BM,OB=AiM,

當A(0,4),B(2,0)時，BM=4,AiM=2,OM=6,

AAi(6,2),

當A(0,4),B(-1,0)時，同法可得4(3,-1).

故答案為(6,2),(3,-1).

②取N(4,0),則O4=0N,作4M_Lx軸于M.

同理可證：AABO四

OA=BM=ON,OB=AiM,

：.OB=MN=A[M,

：./\AiMN是等腰直角三角形，

/.ZAiNM=45°,

...點4在經(jīng)過點N,與x軸的夾角為45。的直線上，

設4N的表達式為產(chǎn)履+6,則上1,將(4,0)代入,

則0=4+6,解得：6=-4,

/.這條直線的解析式為y=x-4,

.'?Ai(x,y)是點A關于點2的“伴隨點”，y與x之間的關系式為y=x-4；

(2)如圖，由(1)可知，A(0,m)關于8的“伴隨點”4(x,y),

y與尤之間的關系式：y=x-m,

由題意可知，當直線y=x沏與。C有交點時，在。C上存在點A關于點8的“伴隨點”,

當直線y=xr九與。C相切時，如圖，

VC(4,-3),0c的半徑為血，尸為。C的切點，過C作CE〃x軸，點E在上,

在y=x-/w中，令尸0,則>=-加，令y=0,貝!|x=7",

則C(0,-m),D(m,0),

...△OC。為等腰直角三角形，OD=OC,

VOFLEF,CE〃x軸，

ZECF=45°,即△CEF為等腰直角三角形，

,:CF=?,

：.EF=42,CE=2,又C(4,-3),

:.E(2,-3),代入〉=%-初中，

解得：根=5,

同理，當直線產(chǎn)龍-〃2與。C相切于另一點時，

同理可得："2=9,

綜上：滿足條件的根的范圍為：5<m<9.

【點睛】

本題考查圓綜合題、一次函數(shù)的解析式、切線的判定和性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰直角三角形

的判定和性質(zhì)等知識，解題的關鍵是學會添加常用輔助線，構造全等三角形解決問題，本題的突破點是發(fā)

現(xiàn)點A1的運動軌跡是直線，題目比較難，屬于中考壓軸題.

18.己知：如圖1,AABC中，AB=AC=10cm,BC=16cm,動點P從點C出發(fā)沿線段CB以2cm/s的速

度向點8運動，同時動點。從點B出發(fā)沿線段54以lcm/s的速度向點A運動，當其中一個動點停止運動時

另一個動點也隨之停止，設運動時間為/(單位：s)以點。為圓心，8。長為半徑的圓Q與射線出，線段

3C分別交于點￡>,E.

(1)當是等腰三角形時，求t的值；

(2)設8E=y,求的與f的函數(shù)解析式，且寫出？的取值范圍；

(3)如圖2,連接。尸，當t為何值時，線段。尸與。。相切？

(4)如圖2,若。。與線段DP只有一個公共點，求/的取值范圍.

95Qa?3740

【答案】(1)(=—,5,和8秒；(2)y=-Z(0<r<8);(3)t=—^；(4)0<"三或2U<8

85999

【分析】

_CM525

(1)①如圖26-1,當AP=C尸時，過點尸作PMJLAC,在直角△CPM中，cosC=——=——，CP=——，

CPCP4

25

t=—(S),②當AC=PC時，如圖26-2,t=5(S)③當P點運動到8點時，BC=16,此時2r=16,t=8

8

(2)如圖26-3,連接OE,過點A作4V_LBC,ABDE^ABAN,"=些，即

BABN-108

42t2tz

(3)如圖26-4,當。P與。Q相切時，BP=16-2f,BO=2f,又cosB=-，cosB=--------，可列方程------=-

516-2f16-27f

解得："三(s)即可

OOO

(4)①由題意得，當0</<三時，。。與DP只有一個公共點；②當E點與P點重合時，則有*+2/=16,

40

結合圖形可知§</<8時，。。與OP只有一個公共點.

【詳解】

解：(1)①如圖，當AP=CP時，過點尸作RWLAC,

：AP=PC,

.-.AM=MC=-AC=5,作⑷VJ_BC,

2

:.CN=BN=8,

:.AN^6,

在直角△CPM中,

4_5

~5~~CP

:動點P從點C出發(fā)沿線段CB以2cm/s的速度向點8運動,

②當AC=R7時，如圖

A

???AC=10,

/.FC=10,

：.2t=l0

：.t=5(S)

③當月點運動到5點時，BC=16,此時2/=16

：.t=8(5)

25

???當，=5,和8秒時，是等腰三角形

O

(2)如圖，連接OE,過點A作ANLBC,

'：AB=ACf

：.AN=BN=6,

Q8Q是直徑，

ABED=90°,

：./DEB=NANB=90。,ZDBE=NABN,

:.ABDE^ABAN,

BDBE

.?法一麗’

BD=2BQ=2t,

?,?生一一工,

108

Q

.-.y=|r(0<r<8)；

(3)如圖,

當QP與0Q相切時，BP=16—2t,BD=2t,

「cBN84cBD2t

乂cosB=---=—=—,cosB=---=------.

BA105BP16-2/

.2t_4

解得：”刀⑸

:?當。=§(s)時，OP與0。相切

(4)①由題意得，當0＜云132?時，。。與。尸只有一個公共點;

Q

②當E點與P點重合時，則有1+2/=16,

解得”?；

40

結合圖形可知＜8時，

。。與DP只有一個公共點；

C

綜上當0＜/豆或豆＜，＜8時，。。與0P只有一個公共點.

【點睛】

本題考查三角形中動點問題，分類考慮等腰三角形，三角形相似判定與性質(zhì)，利用相似構造函數(shù)，用圓的

切線的性質(zhì)求動點運動時間，分類考慮動直線與圓的位置關系，掌握本題考查三角形中動點問題，分類考

慮等腰三角形，三角形相似判定與性質(zhì)，利用相似構造函數(shù)，用圓的切線的性質(zhì)求動點運動時間，分類考

慮動直線與圓的位置關系是解題關鍵.

19.如圖，在矩形ABCD中，AB=4,BC=8,點尸在邊BC上(點尸與端點8、C不重合)，以P為圓心，

PS為半徑作圓，圓尸與射線3。的另一個交點為點E,直線CE與射線交于點G.點M為線段BE的中

點，聯(lián)結PM.設==

(1)求y關于X的函數(shù)解析式，并寫出該函數(shù)的定義域;

(2)聯(lián)結AP,當"〃CE時，求x的值;

(3)如果射線EC與圓尸的另一個公共點為點R當AC叩為直角三角形時，求ACP歹的面積.

!<x<8j；(2)2A/14-4;(3)6

【答案】(1)y

【分析】

(1)勾股定理求出BD長，利用三角函數(shù)求解析式，根據(jù)點P和點G的位置確定該函數(shù)的定義域;

(2)設EH=4k,則BH=8k,PH=8k-x,PE=x,根據(jù)勾股定理列方程即可；

(3)根據(jù)哪個角是直角分類討論，利用勾股定理或相似三角形的性質(zhì)列方程，求出直角邊長即可.

【詳解】

解：(1)由勾股定理，BD=A/82+42=475-

?點M為線段BE的中