專題19二次函數(shù)與平移變換綜合問題

典例剖析.

【例1】.(2022?湖北)如圖，在平面直角坐標系中，已知拋物線)，=7-2x-3的頂點為4,

與)，軸交于點C，線段CB〃.r軸，交該拋物線于另一點反

(1)求點B的坐標及直線AC的解析式；

(2)當二次函數(shù))，=』-2工?3的自變量,1滿足必或;t<加+2時，此函數(shù)的最大值為p,

最小值為4,且p-q=2,求〃?的值；

(3)平移拋物線y=『-2x-3,使其頂點始終在直線AC上移動，當平移后的拋物線與

射線84只有一個公共點時，設(shè)此時拋物線的頂點的橫坐標為小請直接寫出〃的取值范

備用圖

【例2】.(2022?常州)已知二次函數(shù)y=ax1+bx+3的自變量x的部分取值和對應(yīng)函數(shù)值y

如下表：

x-10123

y???430-5-12

(1)求二次函數(shù)y=ad+法+3的表達式；

(2)將二次函數(shù))，=〃/+灰+3的圖象向右平移k(Q0)個單位，得到二次函數(shù)y=

的圖象，使得當-lVx<3時，y隨x增大而增大；當4?5時，y隨x增大

而減小.請寫出一個符合條件的二次函數(shù))，=〃標+心+烏的表達式,,=,實數(shù)A的

取值范圍是：

(3)48、。是二次函數(shù)y=o?+6x+3的圖象上互無重合的三點.已知點人、3的橫坐

標分別是加、〃?+1，點。與點A關(guān)于該函數(shù)圖象的對稱軸對稱，求N4C8的度數(shù).

【例3】.(2022?連云港)己知二次函數(shù))，=/+(m-2)其中m>2.

(1)當該函數(shù)的圖象經(jīng)過原點O(0,0),求此時函數(shù)圖象的頂點A的坐標；

(2)求證：二次函數(shù)y=』+(w-2)x+m-4的頂點在第三象限；

(3)如圖，在(I)的條件下，若平移該一次函數(shù)的圖象，使其頂點在直線y=-.r-2

上運動，平移后所得函數(shù)的圖象與y軸的負半軸的交點為8,求AAOB面積的最大值.

【例4工（2022?聊城）如圖，在直角坐標系中，二次函數(shù)），=?Y+&+c的圖象與x軸交于

A,8兩點，與），軸交干點。（0,3）,對稱軸為直線x=-l,頂點為點。.

（1）求二次函數(shù)的表達式；

（2）連接。4,DC,CB,CA,如圖①所示，求證：ZDAC=ZBCO,

（3）如圖②，延長QC交x軸于點M,平移二次函數(shù)y=-，+版+。的圖象，使頂點。

沿著射線DM方向平移到點Di且CD=2CD,得到新拋物線yi,yi交_v軸于點N.如果

在產(chǎn)的對稱軸和），|上分別取點P,Q，使以MN為一邊，點M,N,P,。為頂點的四邊

形是平行四邊形，求此時點Q的坐標.

【例5】.（2022?鎮(zhèn)江）一次函數(shù)尸、+1的圖象與x軸交于點A,二次函數(shù)），="2+A+C

（aKO）的圖象經(jīng)過點人、原點。和一次函數(shù)y=￡x+l圖象上的點8（m,-j）.

（1）求這個二次函數(shù)的表達式;

(2)如圖1,一次函數(shù))，=」■%+〃(n>-—,與二次函數(shù)y=ad+Z?x+c(〃W0)

216

的圖象交于點C（XI,山）、D（X2,），2）（X1〈X2）,過點。作直線/l_Lx軸于點E,過點。

作直線121x軸，過點B作BF工b于點F.

①加=,4=（分別用含〃的代數(shù)式表示）；

②證明：AE=BF；

（3）如圖2,二次函數(shù)（x-r）2+2的圖象是由二次函數(shù)）,=辦2+/狀+。（。#0）的圖

象平移后得到的，且與一次函數(shù)y=￡x+l的圖象交于點P、。（點尸在點。的左側(cè)），

過點〃作直線/3_Lx軸，過點Q作直線/4_Lx軸，設(shè)平移后點A、8的對應(yīng)點分別為4、

夕，過點八'作A'M_L/3于點M,過點夕作夕ML/4于點N.

①A'M與B'N相等嗎？請說明你的理由；

②若A'M+3B'N=2,求/的值.

滿分訓練.

一.解答題（共20題）

1.（2022秋?臨海市月考；如圖，以4（3,0）,為頂點的拋物線交），軸于點8（0,4）

（1）求此拋物線的函數(shù)解析式.

（2）點、C（7,4）是否也在這個拋物線上？

（3）你能否通過左右平移該拋物線，使平移后的拋物線經(jīng)過點C（7,4）?若能，請寫

2.（2022秋?江夏區(qū)月考；已知拋物線y=-』+以+。經(jīng)過點A（-1,2）.

（1）拋物線頂點位于y軸右側(cè)且縱坐標為6.①求拋物線的解析式.②如圖1,直線），

=?x+4與拋物線交于從C兩點，P為線段8。上一點，過戶作軸交拋物線于M

點.若PM=3,求P點的坐標.

（2）將拋物線平移，使點A的對應(yīng)點為A,（m+1,〃+4）,其中機W2.若平移后的拋物

線經(jīng)過點N（2,1）,平移后的拋物線頂點恰好落在直線y=x+5上，求〃的值.

圖1備用圖

3.（2022?湖里區(qū)二模）拋物線與x軸僅有一個交點八（相，0）,與），軸交于點

B,過點8的直線BC_LA8交x軸于點M,BC=kAB.

（1）用含b的式子表示/〃：

（2）若四邊形人M8E是平行四邊形，且點E在拋物線上，求拋物線的解析式；

（3）已知點C在拋物線上，且相＞0,攵=4加，將拋物線），="2+質(zhì)+1平移，若點M

在平移后的拋物線上，判斷平移后的拋物線是否經(jīng)過點C?若經(jīng)過，請說明拋物線平移

的方式：若不經(jīng)過，請說明理由.

4.（2022?上海）在平面直角坐標系xOy中，拋物線產(chǎn)家+6+c過點A（-2,-1）,B

（0,-3）.

（1）求拋物線的解析式；

（2）平移拋物線,平移后的頂點為尸（相，〃）（加＞0）.

i.如果必。加=3,設(shè)宜線工=匕在這條直線的右側(cè)原拋物線和新拋物線均呈上升趨勢，

求A的取值范圍；

ii.點尸在原拋物線上，新拋物線交y軸于點Q,且N8PQ=120°,求點尸的坐標.

5.（2022?青浦區(qū)模擬）如圖，在平面直角坐標系xO-y中，拋物線y=+版與x軸交于

點A（1,0）和點B（3,0）,與y軸交于點C.

（1）求該拋物線的表達式及點C的坐標；

（2）點P為拋物線上一點，且在x軸下方，聯(lián)結(jié)外.當/以8=N4CO時，求點。的

坐標;

（3）在（2）的條件下，將拋物線沿平行于），軸的方向平移，平移后點P的對應(yīng)點為點

Q,當人Q平分時，求拋物線平移的距離.

備用圖

6.（2022?涼山州）在平面直角坐標系xOy中,已知拋物線y=-』+法+c經(jīng)過點A（-1,0）

和點B（0,3）,頂點為。，點D在其對稱軸上，且位于點C下方，將線段DC繞點D

按順時針方向旋轉(zhuǎn)90°,點。落在拋物線上的點P處.

（1）求拋物線的解析式;

（2）求點P的坐標:

（3）將拋物線平移，使其頂點落在原點O,這時點尸落在點石的位置，在1y軸上是否存

在點M,使得MP+ME的值最小，若存在，求出點M的坐標；若不存在，請說明理由.

y=ax2+hx+c（）與x軸交于點A（-1,0）,

點8（3,0）,與），軸交于點C（0,3）.

（1）求拋物線L的表達式：

（2）若點P是直線），=工+1上的一個動點，將拋物線L進行平移得到拋物線匕點8的

對應(yīng)點為點Q,是否存在以A、B、P、。四個點為頂點的四邊形是菱形？若存在，求出

拋物線的平移方式；若不存在，請說明理由.

8.（2022?渭濱區(qū)一模）在平面直角坐標系屹v中，已知拋物線產(chǎn)經(jīng)過點A（-

1,0）和點、B（0,苴），頂點為C,點。在其對稱軸上且位于點C下方，將線段OC繞

2

點。按順時針方向旋轉(zhuǎn)90°,點。落在拋物線上的點尸處.

（1）求這條拋物線的表達式；

（2）求線段C。的長；

（3）將拋物線平移，使其頂點C移到原點。的位置，這時點P落在點E的位置，如果

點M在），軸匕且以。、D、E、M為頂點的四邊形面積為8,求點M的坐標.

9.（2021秋?普蘭店區(qū)期末）拋物線y=a?+4（d^0）與x軸交于4,6兩點（A點在笈點

的左側(cè)），AB=4,點P（2,1）位于第一象限.

（1）求拋物線的解析式；

（2）若點M在拋物線上，且使NMAP=45°,求點M的坐標；

（3）將（1）中的拋物線平移，使它的頂點在直線y=x+4上移動，當平移后的拋物線與

線段AP只有一個公共點時，求拋物線頂點橫坐標/的取值范圍.

10.（2022?碑林區(qū)校級四模）在平面直角坐標系中，拋物線y=-/+加什〃與x軸交于

點4,B（A在8的左側(cè)）.

（1）若拋物線的對稱軸為直線x=-3,AB=4.求拋物線的表達式：

（2）平移（1）中的拋物線，使平移后的拋物線經(jīng)過點O,且與x軸正半軸交于點C,

記平移后的拋物線頂點為P,若AOC尸是等腰直角三角形，求點P的坐標.

11.（2022?靜安區(qū)二模）在平面直角坐標系人Qy中，已知點A坐標是（2,4）,點6在八軸

上，OB=AB（如圖所示），二次函數(shù)的圖象經(jīng)過點。、A、B三點,頂點為。.

（1）求點8與點。的坐標；

（2）求二次函數(shù)圖象的對稱軸與線段AB的交點E的坐標；

（3）二次函數(shù)的圖象經(jīng)過平移后，點4落在原二次函數(shù)圖象的對稱軸上，點。落在線

段AB上，求圖象平移后得到的二次函數(shù)解析式.

12.（2022?富陽區(qū)二模）設(shè)二次函數(shù)y=（x-a）（x-a+2）,其中。為實數(shù).

（1）若二次函數(shù)的圖象經(jīng)過點P（2,-I）,求二次函數(shù)的表達式；

（2）把二次函數(shù)的圖象向上平移2個單位，使圖象與x軸無交點，求攵的取值范圍；

（3）若二次函數(shù)的圖象經(jīng)過點A（〃?，，），點8（n,z）,設(shè)依?〃|=d（d22）,求/的最

小值.

13.（2022?宇波模擬）已知二次函數(shù)y=』+x-的部分圖象如圖所示.

（1）求該二次函數(shù)圖象的對稱軸，并利用圖象直接寫出一元二次方程了+x-〃?=0的解.

（2）向上平移該一次函數(shù)的圖象,使其經(jīng)過原點，求平移后圖象所對應(yīng)的一次函數(shù)的表

14.（2022?寧波模擬）已知二次函數(shù)y=f-2〃a+〃P-1（〃?為常數(shù)）的圖象與x軸交于A,

8兩點，頂點為C

（I）若把二次函數(shù)圖象向下平移3個單位恰好過原點，求機的值.

（2）①若尸（m-3,yi）,Q（m+2,）*2）在已知的二次函數(shù)圖象上，比較yi,”的大小;

②求△A6C的面積.

15.（2022?吳興區(qū)一模）如圖已知二次函數(shù)），=』+/?x+c（力，c為常數(shù)）的圖象經(jīng)過點4（3,

-1）,點C（（）,-4）,頂點為點M,過點A作軸，交），軸于點Q,交二次函數(shù)y

=^+bx+c的圖象于點B,連接BC.

（1）求該二次函數(shù)的表達式及點M的坐標：

（2）若將該二次函數(shù)圖象向上平移〃？（〃?>0）個單位，使平移后得到的二次函數(shù)圖象的

頂點落在△A8C的內(nèi)部（不包括△A4C的邊界），求〃?的取值范圍：

（3）若E為），軸上且位于點C下方的一點，P為直線AC上一點，在第四象限的拋物線

上是否存在一點Q，使以C、E、P、。為頂點的四邊形是菱形？若存在，請求出點。的

橫坐標：若不存在，請說明理由.

16.（2022?南寧模擬）已知關(guān)于x的二次函數(shù)丁=ax2+2ax+c且c=-3a.

（1）若。=-1,求該二次函數(shù)的解析式和頂點坐標；

（2）在（1）的條件下，求出下表中火、〃的值，并在以下平面直角坐標系中，用描點法

畫出該二次函數(shù)的圖象；根據(jù)圖象回答：當0<xW2時，直接寫出y的最小值.

（3）當-3V.rV0時，y有最小值-4,若將該二次函數(shù)的圖象向右平移機（〃>1）個單

位長度，平移后得到的圖象所對應(yīng)的函數(shù)V在-3&W0的范圍內(nèi)有最小值-3,求函數(shù)

y=ax+m的解析式.

X?*?3-101旦???

~2

y???154kn9???

T7

17.（2022?房山區(qū)二模）在平面直角坐標系xO），中，點4（2,-I）在二次函數(shù)），=*-（22+1）

什〃？的圖象I-.

（1）直接寫出這個二次函數(shù)的解析式；

（2）當〃0W1時，函數(shù)值），的取值范圍是-10W4-/?,求〃的值；

（3）將此二次函數(shù)圖象平移，使平移后的圖象經(jīng)過原點O.設(shè)平移后的圖象對應(yīng)的函數(shù)

表達式為y=a（x-4）匕當xV2時，），隨工的增大而減小，求攵的取值范圍.

18.（2022?洞頭區(qū)模擬）如圖，在平面直角坐標系中，二次函數(shù)y=-』+/“+c,的圖象與），

軸交于點A（0,3）,交x軸于點3（3,0）.

（I）求拋物線的解析式，并根據(jù)該圖象直接寫出），＞3時x的取值范圍.

（2）將線段08向左平移〃?個單位，向上平移〃個單位至Ob（/〃，〃均為正數(shù)），若點

0',8均落在此二次函數(shù)圖象上，求加，〃的值.

19.（2022?橋西區(qū)校級模擬）如圖，拋物線L：丫=梟2+@乂+&-5,點。為頂點?

（1）無論。為何值，拋物線L總過一個定點為；

（2）若拋物線的對稱軸為直線x=l.

①求該拋物線L的表達式和點Q的坐標：

②將拋物線L向下平移A（A>0）個單位長度，使點Q落在點A處，平移后的拋物線與

y軸交于點B.若04=QB,求女的值；

（3）當。=2時，點M（利，〃）為拋物線上一點，點M到），軸的距離不超過2,直接寫

出〃的取值范圍.

20.（2022?宜賓）如圖，弛物線y=ad+Zu+c與x軸交于4（3,0）、8（-1,0）兩點，與

y軸交于點C（0,3）,其頂點為點。，連結(jié)AC.

（1）求這條拋物線所對應(yīng)的二次函數(shù)的表達式及頂點D的坐標；

（2）在拋物線的對稱軸上取一點E,點尸為拋物線上一動點，使得以點A、C、E、F'為

頂點、AC為邊的四邊形為平行四邊形，求點尸的坐標；

（3）在（2）的條件下，將點。向下平移5個單位得到點M,點夕為拋物線的對稱軸上一

動點，求尸的最小值.

5

專題19二次函數(shù)與平移變換綜合問題

典例剖析.

【例1】（2022?湖北）如圖，在平面直角坐標系中，已知拋物線y=7-2r-3的頂點為A,

與），軸交于點C，線段CB〃.r軸，交該拋物線于另一點反

（1）求點B的坐標及直線AC的解析式；

（2）當二次函數(shù)），=』-2工?3的自變量,1滿足必或;t<加+2時，此函數(shù)的最大值為p,

最小值為4,且p-q=2,求〃?的值；

（3）平移拋物線y=『-2x-3,使其頂點始終在直線AC上移動，當平移后的拋物線與

射線84只有一個公共點時，設(shè)此時拋物線的頂點的橫坐標為小請直接寫出〃的取值范

備用圖

【分析】（1）求出A、3、C三點坐標，再用待定系數(shù)法求直線AC的解析式即可；

（2）分四種情況時論：①當〃?>1時.p-q=（/7Z+2）2-2（m+2）-3-m2+2m+3=2.

加=』(舍)；②當即2

解得,?7+2<1,m<-1,p-q=nr-2m-3-(w+2)+2(w+2)

2

+3=2,解得〃舍）；③當即0W〃Wl,〃?g=（〃?+2）2?2（川+2）

2

-3+4=2,解得〃?=血-1或根=-1（舍）；④當M+1<1<〃+2,即-

p-q=nr-2m-3+4=2,解得〃?=V^+1（舍）或m=-V2+1；

（3）分兩種情況討論：①當拋物線向左平移力個單位，則向上平移〃個單位，平移后的

2

拋物線解析式為），=（x-I+A）-4+/?,求出直線84的解析式為），=x-5,聯(lián)立方程組

<￥X5，由A=（）時，解得〃=_!,此時拋物線的頂點為（工，?碧），

ly=（x-l+h）2-4+h888

此時平移后的拋物線與射線8A只有一個公共點；②當拋物線向右平移A個單位，則向下

平移左個單位，平移后的拋物線解析式為y=（x-I-k）2-4-上當拋物線經(jīng)過點E時，

此時拋物線的頂點坐標為（4,-7）,此時平移后的拋物線與射線如只有一個公共點；

當拋物線的頂點為（1,-4）時，平移后的拋物線與射線8人有兩個公共點,由此可求解.

【解答】解：(1)???y=Y-2x-3=(x-1)2-4,

；?頂點4(1,-4),

令x=0,則y=-3,

AC(0,-3),

???！?軸，

：.B(2,-3),

設(shè)直線AC解析式為

fk+b=-4

lb=-3'

解得修1，

lb=-3

??y=-x-3；

(2)???拋物線)，=/-2r-3的對稱軸為直線x=\,

①當加>1時，

x=rn時，q=nr-2in-3,

x="i+2時，p=(〃?+2)2-2(in+2)-3,

.*./?-q=(加+2)2-2(m+2)-3-〃尸+2〃?+3=2,

解得m=/(舍)；

②當機+2V1,即〃?<7,

x=m時,p=nr-2機~3,

x=m+2時,q=(m+2)2-2(m+2)-3,

:.p-q=frr-2m-3-(m+2)2+2(m+2)+3=2,

解得in=--i-(舍)；

2

③當mS11,即0W1,

x=\時，q=-4,

x=ni+2Ut,p=(in+2)2-2(m+2)?3,

???〃-，/=(m+2)2-2(w+2)-3+4=2,

解得〃?=OI或〃?=-OI(舍)；

④當初+1V1W〃I+2,即-1W〃?VO,

x=l時，q=-4,

時，p=n?-2m-3,

:?p-q=iT?-2m-3+4=2,

解得小=li45(舍)或m=1-45，

綜上所述：〃?的值o1或1-⑦：

（3）設(shè)直線AC的解析式為｝，=代+4

?fk+b=-4

b="3

解得（片-1,

lb=-3

-x-3,

①如圖1,當拋物線向左平移〃個單位，則向上平移〃個單位，

???平移后的拋物線解析式為丁=（廠1+力）2-4+6,

設(shè)直線BA的解析式為y=&'x+6,

.f2k?+b'=-3

Ik，+b'=-4

解得=1,

lb'=-5

??y^x-5，

y=x-5

聯(lián)立方程組，9，

y=（x-l+h）-4+h

整理得J?-（3-2/i）x+lr-〃+2=0,

當A=0時，（3-2/?）2-4（/?2-//+2）=0,

解得仁工

8

此時拋物線的頂點為（工，-&?）,此時平移后的拋物線與射線8A只有一個公共點；

88

②如圖2,當拋物線向右平移左個單位，則向下平移上個單位，

???平移后的拋物線解析式為y=（x-\-k）2-4-k,

當拋物線經(jīng)過點8時，（2?1T）2?4?2?3,

解得2=0（舍）或—3,

此時拋物線的頂點坐標為（4,-7）,此時平移后的拋物線與射線84只有一個公共點,

當拋物線的頂點為（1,?4）時，平移后的拋物線與射線加有兩個公共點，

，綜上所述：1V/?W4或/?=—.

【例2】(2022?常州)已知二次函數(shù)產(chǎn)/+以+3的自變量x的部分取值和對應(yīng)函數(shù)值)，如

下表,

x???-10123

y430-5-12

(1)求二次函數(shù))，=渥+h+3的表達式；

(2)將二次函數(shù)y=o?+灰+3的圖象向右平移k(k>0)個單位，得到二次函數(shù)y=

〃晨的圖象，使得當?1VXV3時，y隨x增大而增大：當4VxV5時，)，隨x增大

而減小.請寫出一個符合條件的二次函數(shù)的表達式y(tǒng)=y=-f+6x-5(答

案不唯D,實數(shù)左的取值范闈是4的左W5；

(3)A、B、C是二次函數(shù)y=o?+/?+3的圖象上互入重合的三點.已知點A、4的橫坐

標分別是加、〃?+1，點C與點A關(guān)于該函數(shù)圖象的對稱軸對稱，求NACB的度數(shù).

【分析】(1)用待定系數(shù)法可得二次函數(shù)的表達式為y=?2v+3：

(2)將二次函數(shù))，=2.V+3的圖象向右平移％(Q>0)個單位得)，=-(x-K1)2+4

的圖象，新圖象的對稱軸為直線x=A?1,根據(jù)當?1VXV3時，y隨x增大而增大；當4

VxV5時，y隨x增大而減小，且拋物線開口向下，知3WA-1W4,得4WME5,即可得

到答案；

(3)求出A(機,-m2-2〃?+3),B(1,?加),C(-2-m,-nr-2加+3),過B

作BHLAC于H,可得BH=\-n?-4m-(-nr-2w+3)|=|-2m-3|,CH=\{-2-m)

-(w+1)|=|-2/7/31，故△8”C是等腰直角三角形，ZACB=45a,

當4在C右側(cè)時，同理可得N4CB=135°.

【解答】解：(1)將(7,4),(1,0)代入y=/+/>+3得：

a-b+3=4

a+b+3=0

解得卜二T,

lb=-2

，二次函數(shù)的表達式為)，=-?-2計3；

(2)如圖：

Vy=-?-2x+3=-(x+1)2+4,

，將二次函數(shù))，=--2x+3的圖象向右平移k(^>0)個單位得)，=-(x-H1)2+4

的圖象，

???新圖象的對稱軸為直線x=A-1，

???當-1VXV3時，)，隨x增大而增大；當4VxV5時，)，隨x增大而減小，且拋物線開

口向下，

，3Wk-lW4,

解得4WLW5,

:,符合條件的二次函數(shù)y=nv?+nx+q的表達式可以是y=-(x-3)2+4=-，+6x-5,

故答案為：y--x+6x-5(答案不唯一)，4W4W5；

(3)當4在C左側(cè)時，過5作8“_LAC于"，如圖：

；.泗=-n?-2〃?+3,ys—-(m+1)2-2(川+l)+3=-n?-41n,

.'.A(加，-t)r-2加+3),B(w+1,-trr-4〃i),

???點C與點A關(guān)于該函數(shù)圖象的對稱軸對稱，而拋物線對稱軸為直線x=-I,

x+x

—A—-r=-1,AC〃x軸，

2

/.AC=-2-in,

C(-2-m,-m~-2//Z+3),

過B作BHLAC于H,

\BH=\-ir?-4/zz-(-m2-2〃?+3)|=|-2in-3|,CH=\(-2-///)-(1)|=|-Im

-3|,

:.BH=CH,

是等腰直角三角形,

：,ZHCB=45°,即NACB=45°,

同理可得是等腰直角三角形,

/.ZACZ?=1800-ZZ?CZZ=135°,

綜上所述，NACB的度數(shù)是45°或135°.

【例3】(2022?連云港)己知二次函數(shù)y=f+(m-2)x+m-4,其中機>2.

(1)當該函數(shù)的圖象經(jīng)過原點O(0,0),求此時函數(shù)圖象的頂點4的坐標；

(2)求證：二次函數(shù)y=f+的頂點在笫三象限；

(3)如圖，在(I)的條件下，若平移該二次函數(shù)的圖象，使其頂點在直線y=-x-2

上運動，平移后所得醫(yī)數(shù)的圖象與y軸的負半軸的交點為B,求△AOB面積的最大值.

【分析】(1)把O(0,0)代入y=.P+(in-2)x+川-4可得juf+Zrn(x+\)2-1,

即得函數(shù)圖像的頂點A的坐標為(-1,-1);

2

(2)由拋物線頂點坐標公式得,，=/+(〃?-2)X+〃L4的頂點為(號1,f+：nr2D),

2

mm202

根據(jù)加>2,~^'-=-1(/w-4)--l<0,可知二次函數(shù)y=』+(//,'-2)

x+m-4的頂點在第三象限；

(3)設(shè)平移后圖像對應(yīng)的二次函數(shù)表達式為y=^bx+c,其頂點為(-上，生爐)，

24

將(-2生上)代入產(chǎn)-x-2得c=/+2b-8,可得08=-°=-b2+2b-8,

2444

2

過點A作于從有(-b，2b8)X|=-工(力+1)

2248

2+9,由二次函數(shù)性質(zhì)得△AO8面積的最大值是9.

88

【解答】(1)解：把0(0,0)代入)，=『+(〃?-2)]+5-4得：

in-4=0,

解得m=4,

/.y=x1+2x=(x+1)2-1,

，函數(shù)圖像的頂點A的坐標為（-I,-1）；

（2）證明：由拋物線頂點坐標公式得），=/+（〃L2）x+m-4的頂點為（午,

2

-m^+8m-20、

''/9

4

Vw>2,

A2?mVO,

；.2ZHI<O,

2

2

?.?-m+8nr20=J（…）2-l<-l<0,

44

???二次函數(shù)+Cm-2）X+〃L4的頂點在第三象限；

2

（3）解：設(shè)平移后圖像對應(yīng)的二次函數(shù)表達式為）=/+法+c,其頂點為（-晟，生/一），

當x-0時，B（0,c）,

2

將（一旦生3）代入產(chǎn)7-2得：

24

2

4c-bb_o

42

._b2+2b-8

???

4

,:R（0.c）在），軸的負半軸.

Ac<0,

2

?HR-「―b+2b-8

..（JD--c—--------，

4

在AAOB中,

2

SMOB=-OB*AH=-X（-b+2b-8）XJ=.A/,2.A/,+i=-A（/?+D2+9,

2248488

*/--<0,

8

???當〃=?i時，此時cvo,s”o3取最大值，最大值為a,

8

答：△AO8面積的最大值是a.

8

【例4】（2022?聊城）如圖，在直角坐標系中，二次函數(shù)y=?/+區(qū)+。的圖象與％軸交于A,

B兩點，與），軸交于點C（（）,3）,對稱軸為直線x=-l,頂點為點

（1）求二次函數(shù)的表達式；

（2）連接。A,DC,CB,CA,如圖①所示，求證：ZDAC=ZBCO,

（3）如圖②，延長。。交x軸于點M,平移二次函數(shù)），=-/+公+。的圖象，使頂點。

沿著射線ZW方向平移到點小且CDi=2CD,得到新拋物線yi,產(chǎn)交），軸于點N.如果

在產(chǎn)的對稱軸和V上分別取點。，Q，使以MN為一邊，點M,N,P,。為頂點的四邊

形是平行四邊形，求此時點Q的坐標.

【分析】（1）根據(jù)拋物線對稱軸和點。坐標分別確定〃和c的值，進而求得結(jié)果；

（2）根據(jù)點A,D,。坐標可得出4。，AC,CD的長，從而推出三角形AOC為直角三

角形，進而得出NZMC和NBCO的正切值相等，從而得出結(jié)論；

（3）先得出.V1的頂點，進而得出先拋物線的表達式，N的坐標，根據(jù)三角形相似或一次

函數(shù)可求得點M坐標，以MN為邊，點M,N,P,Q為頂點的四邊形是圖MNQP和即WNPQ

根據(jù)M,N和點尸的橫坐標可以得出Q點的橫坐標，進而求得結(jié)果.

【解答】（1）解：由題意得,

<-2義(-1)~1,

c=3

*=-2,

Ic=3

???二次函數(shù)的表達式為：y=-/-2x+3；

(2)證明；???當-1時，-1-2X(-1)+3-4,

:.D(-1,4),

由-/-2x+3=0得，

XI=-3,X2=1?

???4(-3,0),B(1,0),

AAD2=20,

VC(0,3),

:?C0=2,AC?=18,

：.AC2+CD2=AD2,

Z.ZACD=90°,

CD_<21

/.tanZDAC=

AC3723

???NBOC=90°,

AtanZBCO=—=—,

0C3

：.4DAC=4BCO；

作QE_L），軸于￡作D\FA.y軸于F,

：,DE//FD\,

:.ADECSADTFC,

CFFDICDI

?.?一_=----=2_，

CEDECD」

：.FD\=2DE=2,CF=2CE=2,

：.D\(2,I),

***yi的關(guān)系式為：y=-(x-2)?+i,

當A=0時，y=-3,

：.N(0,-3),

同理可得：變皿，

DECE

???0'M?二3,

11

：.OM=3,

:.M(3,0),

設(shè)尸(2,in),

當即WN0P時，

：.MN//PQ,PQ=MN,

???Q點的橫坐標為-1,

當x=?l時，y=?(-1-2)2+l=-8,

：,Q(-1,8),

當團MVPQ時，

同理可得：點Q橫坐標為：5,

當x=5時，y=-(5-2)2+1=-8?

???Q'(5,-8),

綜上所述：點Q(-l,-8)或(5,-8).

【例5】(2022?鎮(zhèn)江)一次函數(shù)產(chǎn)去+1的圖象與工軸交于點A,二次函數(shù)尸小+縱-c(a

W0)的圖象經(jīng)過點4、原點。和一次函數(shù))，=去+1圖象上的點B(m,

(1)求這個二次函數(shù)的表達式；

(2)如圖1,一次函數(shù)y=2x+〃(〃>-一上，〃W11與二次函數(shù)y=ax2+bx+c(aWO)

216

的圖象交于點。(Al,VI)>D(X2,)，2)(X1V.V2),過點。作直線/l_Lx軸于點E,過點。

作直線12±x軸，過點B作BF112于點F.

①w=_-3W9+16n_,n=_z3W9i16n_（分別用含〃的代數(shù)式表示）:

44

②證明：AE=BF；

(3)如圖2,二次函數(shù)y=a(x-r)之+2的圖象是由二次函數(shù))，=a?+%x+c(aWO)的圖

象平移后得到的，且與一次函數(shù)y=￡x+l的圖象交于點P、Q(點。在點。的左側(cè))，

過點P作直線，3_Lx軸，過點。作直線〃_Lr軸，設(shè)平移后點4、4的對應(yīng)點分別為“、

B',過點A'作A'MJJ3于點M,過點夕作夕NJJ4于點N.

①4'M與B'N相等嗎？請說明你的理由；

②若/VM+3B1N=2,求/的值.

【分析】⑴先求出點人、8的坐標，利用交點式設(shè)尸權(quán)(x+2),把B(A,1)代入

即可求得答案：

(2)①聯(lián)立得』+2x=2.i+〃，解方程即可求得答案;

2

②分兩種情況：當n>\時，CD位于AB的上方，可得：AE=-2-~3~^9+16n=

4

-5+v9+16n-3+v9+16n-5+V9+16n>故4￡=此當?shù)趘〃vi

----------------------------------,lir------------------------------------

442416

時，8位于A8的下方，可得：心上殍<2)=生守'BF=1-

士產(chǎn)當迎故…

(3)方法一：①設(shè)P、。平移前的對應(yīng)點分別為尸'、Q',則PQ'HPQ,可得？

Q'//AB,再由(2)②及平移的性質(zhì)可證得結(jié)論；②由A'M+38'N=2,可得4'M

=B'N=上,根據(jù)二次函數(shù))，=7+2A?的圖象的頂點為(7,7),二次函數(shù))，=(、7)

2

2+2的圖象的頂點為(1,2),可得新二次函數(shù)的圖象是由原二次函數(shù)的圖象向右平移(/+1)

個單位，向上平移3個單位得到的，把。（什1,3）代入“，=我戶1,即可求得答案；

方法二：①設(shè)點。的坐標為（X3,*）,由*=2X3+1,y3=（A3-t）2+2,得工3+1=（A3

22

-/）2+2,可得：點P的橫坐標為絲上返運?，點。的橫坐標為4t+l+48t-15（/

44

＞」息）.再由二次函數(shù)y=/+2x圖象的頂點為（-1,-1）,二次函數(shù)），=（x-f）2+2

8

的圖象的頂點為（32）,可得新二次函數(shù)的圖象是由原二次函數(shù)的圖象向右平移（什1）

個單位，向上平移3人單位得到的，求得：B'（/+1,衛(wèi)），工（/-1,3）,即可證

24

得結(jié)論.

【解答】解：（1）???直線尸工工+1與工軸交于點4,

2

令y=0,得1■x+l=O,

2

解得：x=-2,

（-2,0）,

,直線>'=~'+1經(jīng)過點B—：,,

24

24

解得：〃?=2，

2

，B(A,苴)，

24

???拋物線)，=〃/+灰+。(〃W0)經(jīng)過A(-2,0),O(0,0),B(―,—),

24

設(shè)丁=依(x+2)?則區(qū)=4乂2義(—+2)>

422

解得：4=1,

.'?y=x(x+2)=X2+2X,

???這個二次函數(shù)的表達式為y=/+2r：

(2)①由題意得：/+21=!什〃(/?>-—),

216

解得：川=-3-.9+16n,i2=-W9+16n,

44

故答案為：-3-9+lGn,-3W9+16n:

44

②當〃>1時，C。位于AB的上方，

VA(-2,0),B(2，區(qū))，

24

.Ar_0-3-V9+16n-5+V9+16nRjr-3+V9+16n1-5+V9+16n

44424

：,AE=BF,

當一上V〃V1時，CD位于A8的下方，

16

VA（-2,0）,B（』，區(qū)），

24

?.'AAr_-3-V9+16tn_\z"_Z/_"5-V9+16nr1n5rr_1_-3+V9+16n‘_5-V9+l€n‘，

44244

：,AE=BF,

:.當/?>-A-且1時，AE=BF；

16

（3）方法一：①設(shè)產(chǎn)、。平移前的對應(yīng)點分別為尸'、Q',貝UPQ'//PQ,

:.P'。'//AB,

???平移后點A、B的對應(yīng)點分別為A'、B',

由（2）②及平移的性所可知：A'M=B'N；

②,?WM+38'N=2,

?,*'M=B'N=—,

2

設(shè)點。在原拋物線上的對應(yīng)點為Q',

???二次函數(shù)》=）+21?的圖象的頂點為（?1,-1）,二次函數(shù)y=（x-z）2+2的圖象的

頂點為"，2）,

???新二次函數(shù)的圖象是由原二次函數(shù)的圖象向右平移（什1）個單位，向上平移3個單位

得到的，

???Q'的橫坐標為。或1,

：,Q'（0,0）或（1,3）,

當Q'（0,0）時，Q（什1,3）,

將點。的坐標代入y=]x+L

乙

得：3=—（什I）+1,

2

解得：f=3；

當0（1,3）時，Q（什2,6）,

將點Q的坐標代入y=Av+i,

得：6=—(什2)+1,

2

解得：f=8；

綜上所述，/=3或8；

另解：

TA'M+3B'N=2,

???1M=B'N=工,B(―,—)的對應(yīng)點為"(/+—,—

22424

?:B'N=工,

2

:.點Q的橫坐標為r+1,代入＞,=-.v+1,得產(chǎn)」■(/+1)+1=—/+—,

2222

將點。的坐標代入y=（A--/）2+2中，得（r+1-t）2+2,

22

解得：f=3.

方法二：

①設(shè)點Q的坐標為（X3,”），由），3=小3+1,>3=（A3-/）?+2,得得刈+1=（A3-/）2+2,

乙乙

當也時，解得：.=恥+1±'815,

84

???點Q的橫坐標為恥+1±a515；

4

同理可得點P的橫坐標為4t+l±，8t-15

4

???點P在點。的左側(cè)，

.?.點。的橫坐標為生小二返運，點Q的橫坐標為4t+l+48tjj（/>!§.）.

448

???二次函數(shù)），=7+2x圖象的頂點為（-1,-I）,二次函數(shù)），=（X-/）2+2的圖象的頂

點為（r,2）,

???新二次函數(shù)的圖象是由原二次函數(shù)的圖象向右平移（什1）個單位，向上平移3個單位

得到的，

：.B（―,—）的對應(yīng)點為夕（r+—,—）,A（-2,0）的對應(yīng)點為A'（/-1,3）.

2424

：,B'N=i+±-4t