專(zhuān)題3.6垂徑定理（專(zhuān)項(xiàng)練習(xí)）

一、單選題

知識(shí)點(diǎn)一、利用垂徑定理求值

1.如圖：AB是。O的直徑，弦CD_LAB于E,若AB=20,CD=16,則線段BE的長(zhǎng)為

（）

A.4B.6C.8D.10

2.AB為00的直徑，弦十點(diǎn)￡已知CD=16,OE=6,則。。的直徑為（）

3.如圖，在半徑為2道的。。中，弦AB,CO互相垂直，垂足為點(diǎn)P.若A8=CZ>8,則

A.4V2B.2&

C.4D.2

4.如圖，在。。中，直徑EF_LCO,垂足為若CD=2,EM=5,則。。的半徑為

E

A.0.2B.2.6C.2.4D.4

知識(shí)點(diǎn)二、利用垂徑定理求平行弦

5.00的半徑是13,弦AB=24,C￡>=10,則A8與CO的距離是（）

A.7B.17C.7或17D.34

6.如圖，A,B,C,D是。0上的四個(gè)點(diǎn)，AD〃BC,那么弧AB與弧CD的數(shù)量關(guān)系是（）

A.弧AB=MCDB.弧AB>弧CDC.弧AB〈弧CDD.無(wú)法確定

7.AB和CD是。。的兩條平行弦，AB=6,CD=8,00的半徑為5,則AB與CD間的

距離為（）

A.1或7B.7C.1D.3或4

8.0。的半徑為10cm,弦AB//CD,AB=\6,CD=\2,則AB、CO間的距離是:

（）

A.14B.2C.14或2D.以上都不對(duì)

知識(shí)點(diǎn)三、利用垂徑定理求小圓問(wèn)題

9.已知△ABC的邊BC=2百，且△ABC內(nèi)接于半徑為2的。O,則NA的度數(shù)是（）

A.60°B.120°C.60°或120°D.90°

10.如圖，在以。為圓心的兩個(gè)同心圓中，大圓的弦AB與小圓相切于C點(diǎn)，AB=12cm,

A0=8cm,則OC氏為（）cm

AB

A.5B.4C.]#D.

11.將一盛有不足半杯水的圓柱形玻璃水杯擰緊杯蓋后放倒，水平放置在桌面上，水杯的底

面如圖所示，已知水杯內(nèi)徑（圖中小圓的直徑）是8cm,水的最大深度是2cm,則杯底有水

面AB的寬度是（）cm.

C.46D.4x/5

知識(shí)點(diǎn)四、利用垂徑定理求其他問(wèn)題

12.如圖，已知00的半徑為5,弦AB=8,則。。上到弦A3期餌直線的距離為2的點(diǎn)

C.2個(gè)D.1個(gè)

13.如圖，已知。。的直徑48_LCD弦于點(diǎn)旦則下列結(jié)論不一定成立的是（）

A.CE—DEB.AE—OEC.NCOA=ZDOAD.AOCE三AODE

14.如圖,。。的半徑為5,弦A8=8,尸是弦AB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（不與4,8重合），下列

符合條件的0P的值是（）

A.C.3.5D.2.5

15.如圖，已知。。的半徑為4,M是。。內(nèi)一點(diǎn)，且0M=2,則過(guò)點(diǎn)M的所有弦中，弦

C.3條D.4條

知識(shí)點(diǎn)五、垂徑定理的推論

16.已知點(diǎn)A仇。在上.則下列命題為直命題的是（）

A.若半徑。3平分弦AC.則四邊形。鉆C是平行四邊形

B.若四邊形Q4BC是平行四邊形.則/43。=120。

C.若NA8C=120。.見(jiàn)弦AC平分半徑。3

D.若弦4c平分半徑。6.則半徑08平分弦AC

17.下列語(yǔ)句，錯(cuò)誤的是（）

A,直徑是弦B.相等的圓心角所對(duì)的弧相等

C.弦的垂直平分線一定經(jīng)過(guò)圓心D.平分弧的半徑垂直于弧所對(duì)的弦

18.如圖，在OO中，AB是直徑，。。是弦，AB1CD,垂足為E，則下列說(shuō)法中正確

的是（）

A.AD=2OBB.點(diǎn)8是劣弧CO的中點(diǎn)C.OE=EBD.D足

A3弧中點(diǎn)

19.下列語(yǔ)句中不正確的有（）

①相等的圓心角所對(duì)的弧相等；②平分弦的直徑垂直于弦；③圓是軸對(duì)稱(chēng)圖形，任何一條

直徑都是它的對(duì)稱(chēng)軸；④長(zhǎng)度相等的兩條弧是等弧

A.3個(gè)B.2個(gè)C.1個(gè)D.4個(gè)

知識(shí)點(diǎn)六、利用垂徑定理的實(shí)陳應(yīng)用

20.往直徑為52c7〃的圓柱形容器內(nèi)裝入一些水以后，截面如圖所示，若水面寬A5=48cm,

則水的最大深度為（）

A.ScmB.10c/7?C.16cmD.20cm

21.如圖，是CO的內(nèi)接三角形，AB=BC,ZBAC=30°,A3是直徑，AO=8,

則AC的長(zhǎng)為（）

22.如圖，A8是OO的弦，OC工AB交OO于點(diǎn)C,點(diǎn)、D是。O上一點(diǎn),ZADC=3（r,

則N8OC的度數(shù)為（）.

A.30°B.40°C.50°D.60°

23.如圖，將半徑為4。k的圓折疊后，圓弧恰好經(jīng)過(guò)圓心，則折痕的長(zhǎng)為（）

A.46cmB.2-73cmC.百cmD.acm

二、填空題

知識(shí)點(diǎn)一、利用垂徑定理求值

24.如圖，一條公路的轉(zhuǎn)彎處是一段圓?。ˋB），點(diǎn)0是這段弧所在圓的圓心，AB=40m,

點(diǎn)。是AB的中點(diǎn)，點(diǎn)。是A8的中點(diǎn)，且CO=10m,則這段彎路所在圓的半徑為

________m.

25.如圖，半徑為5的與），軸交于點(diǎn)”（O,T）,Ar（0,-10）,點(diǎn)尸的坐標(biāo)為

26.如圖，A3是00的直徑，弦于點(diǎn)E,若A5=10,8=6,則鹿的長(zhǎng)為

27.如圖，0M交4軸與民C兩點(diǎn)，交了軸于點(diǎn)4,弦CEJ_43于點(diǎn)的縱坐標(biāo)為

2,B（3jl0）,。卜6,（））.則圓心M的坐標(biāo)為一.

知識(shí)點(diǎn)二、利用垂徑定理求平行弦

28.已知圓心到圓的兩條平行弦的距離分別是2和3,則兩條平行弦之間的距離為.

29.已知。0的半徑為10cm,弦48〃CO,且A8=12cm,8=16cm,則弦A8和C。

之間的距離為.

30.已知。O的直徑為20,AB,CD分別是。0的兩條弦，且AB//CD,AB=16,CD=10,

則AB,CD之間的距離是.

31.已知圓的兩條平行弦分別長(zhǎng)6dm和8dm,若這圓的半徑是5dm,則兩條平行弦之間的

距離為.

知識(shí)點(diǎn)三、利用垂徑定理求其他問(wèn)題

32.如圖，A5是圓。的弦，OCJ_AB,垂足為點(diǎn)C,將劣弧沿弦A6折疊交于OC

的中點(diǎn)。，若43=2而，則圓。的半徑為.

33.如圖，在每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)為1的網(wǎng)格中，AABC的頂點(diǎn)A在格點(diǎn)上，B是小正方

形邊的中點(diǎn)，NABC=5O°，NBAC=3O°，經(jīng)過(guò)點(diǎn)A,B的圓的圓心在邊AC上.

（I）線段AB的長(zhǎng)等于；

（II）請(qǐng)用無(wú)強(qiáng)度的直尺，在如圖所示的網(wǎng)格中，畫(huà)出一個(gè)點(diǎn)P,使其滿足

NPAC=NPBC=/PCB,并簡(jiǎn)要說(shuō)明點(diǎn)P的位置是如何找到的（不要求證明）

34.如圖，AR,。。是半徑為5的OO的兩條弦，AB=8,8=6,MV是直徑，

AB_LMN于點(diǎn)、E，CDLMN^^FPC,夕為所上的任意一點(diǎn)，則24+尸C的最小

值為一.

35.如圖，直角坐標(biāo)系中一條圓弧經(jīng)過(guò)網(wǎng)格點(diǎn)A,B,C,其中B點(diǎn)坐標(biāo)為(4,4),則該圓

弧所在圓的圓心坐標(biāo)為.

知識(shí)點(diǎn)四、垂徑定理的推論

36.如圖，點(diǎn)A、B在半徑為3的。O上，以O(shè)A、AB為鄰邊作平行四邊形OCBA,作點(diǎn)B

關(guān)于OA的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)D,連接CD,則CD的最大值為.

37.如圖，是。0的弦，C是A8的中點(diǎn)，連接0C并延長(zhǎng)交0。于點(diǎn)O.若

。。=1,48=4,則0O的半徑是.

38.如圖AB是。0的直徑，NBAO42。，點(diǎn)D是弦AC的中點(diǎn)，則/DOC的度數(shù)是,

度.

39.若。。的一條弦長(zhǎng)為24,弦心距為5,則。。的直徑長(zhǎng)為.

知識(shí)點(diǎn)六、利用垂徑定理的實(shí)際應(yīng)用

40.如圖，一下水管道橫截面為圓形，直徑為100cm,下雨前水面寬為60cm,一場(chǎng)大雨過(guò)

后，水面寬為80cm,則水位上升cm.

41.如圖，量角器的。度刻度線為A8,將一矩形直尺與量角器部分重疊，使直尺一邊與量

角器相切于點(diǎn)C,直尺另一邊交量角器于點(diǎn)A,D，量得=點(diǎn)。在量角器上

的讀數(shù)為60，則該直尺的寬度為cm.

42.《九章算術(shù)》作為古代中國(guó)乃至東方的第一部自成體系的數(shù)學(xué)專(zhuān)著，與古希臘的《幾何

原本》并稱(chēng)現(xiàn)代數(shù)學(xué)的兩大源泉.在《九章算術(shù)》中記載有一問(wèn)題“今有圓材埋在壁中，不

知大小.以鋸鋸之，深一寸，鋸道長(zhǎng)一尺，問(wèn)徑幾何？”小輝同學(xué)根據(jù)原文題意，畫(huà)出圓材

截面圖如圖所示，己知：鋸口深為1寸，鋸道A3=l尺（1尺=10寸），則該圓材的直徑為

A

_J\5/

43.《九章算術(shù)》是我國(guó)古代數(shù)學(xué)成就的杰出代表作，其中《方田》章計(jì)算弧田面積所用的

經(jīng)驗(yàn)公式是：弧田面積=!（弦x矢+矢2）.孤田是由圓弧和其所對(duì)的弦圍成（如圖中的陰

2

影部分），公式中“弦”指圓弧所對(duì)弦長(zhǎng)，“矢”等于半徑長(zhǎng)與圓心到弦的距離之差，運(yùn)用垂徑

定理（當(dāng)半徑OC_L弦AB時(shí)，0C平分人8）可以求解.現(xiàn)己知弦A8=8米，半徑等于

5米的弧田，按照上述公式計(jì)算出弧田的面積為平方米.

三、解答題

知識(shí)點(diǎn)一、利用垂徑定理求值

44.如圖，A3是。。的直徑，E為。。上一點(diǎn)，EFLAB于點(diǎn)F,連接OE,AC//OE,

OD_LAC于點(diǎn)D若BF=2,EF=4,求線段AC長(zhǎng).

知識(shí)點(diǎn)二、利用垂徑定理求平行弦

45.如圖，已知OO的半徑長(zhǎng)為R-5,弦AB與弦CD平行，它們之間距離為5,AB-6,

求弦CD的長(zhǎng).

知識(shí)點(diǎn)三、利用垂徑定理求小圓問(wèn)題

46.已知在以點(diǎn)0為圓心的兩個(gè)同心圓中，大圓的弦AB交小圓于點(diǎn)C,D(如圖).

(1)求證：AC=BD；

(2)若大圓的半徑R=10,小圓的半徑r=8,且圓O到直線AB的距離為6,求AC的長(zhǎng).

知識(shí)點(diǎn)五、垂徑定理的推論

47.如圖所示，BC是半圓O的直徑，AD1BC,垂足為D,弧長(zhǎng)4B等于弧長(zhǎng)4尸，BF與

AD,AO分別交于點(diǎn)E,G.求證：

(1)ZDAO=ZFBC；

(2)AE=BE.

知識(shí)點(diǎn)六、利用垂徑定理的實(shí)際應(yīng)用

48.好山好水好江山，石拱橋在江山處處可見(jiàn)，小明要幫忙船夫計(jì)算一艘貨船是否能夠安全

通過(guò)一座圓弧形的拱橋，現(xiàn)測(cè)得橋下水面寬度16m時(shí)，拱頂高出水平面4m,貨船寬12m,

船艙頂部為矩形并高出水面3m.

(1)請(qǐng)你幫助小明求此圓弧形拱橋的半徑；

(2)小明在解決這個(gè)問(wèn)題時(shí)遇到困難，請(qǐng)你判斷一下，此貨船能順利通過(guò)這座拱橋嗎？說(shuō)

說(shuō)你的理由.

參考答案

1.A

【分析】連接0C,求出OC,CE,根據(jù)勾股定理求出OE,即可求出答案.

解：連接OC,

VAB=20,

/.OC=OA=OB=W,

VAB1CD,AB過(guò)0,

/.CE=DE=-CD=8,

2

在RsOCE中，由勾股定理得：OE=J］?！?？=6,

.\BE=10-6=4.

故選：A.

【點(diǎn)撥】本題主要考查了垂徑定理，熟練利用垂徑定理是解題的關(guān)鍵.垂徑定理：垂直

于弦的直徑平分弦，并且平分弦所對(duì)的兩條弧.

2.D

【分析】連接OC,日垂徑定理可知，點(diǎn)E為CD的中點(diǎn)，且OE_LCD,在RsOEC

中，根據(jù)勾股定理，即可得出OC,從而得出直徑.

連接OC,???A8為。。的直徑，弦。。_LA3于點(diǎn)E

ACE=—CD=8,

2

V0E=6.

在RSOEC中，由勾股定理得:

OC2=OE2+EC2,即OCJ62+82

解得：oc=io

，直徑AB=2OC=20.

故選D.

【點(diǎn)撥】本題考查垂徑定理，勾股定理.熟練掌握定理是解答關(guān)鍵.

3.B

（分析】作于M,ONLCD于N,連接04,0C,根據(jù)垂徑定理得出BM=AM=4,

DN=CN=4,根據(jù)勾股定理求出0M和0M證明四邊形OMPN是正方形，即可解決問(wèn)題.

解：如圖，作0MJM4于M,ON工CD于N,連接OA,0C.

：.AM=BM=4,CN=DN=4,

?：OA=OC=2?,

???OM=y]OA2-AMz=26『—42=2，

ON=yJoC2-CN2=^（2^）2-42=2-

，OM=ON,

???AB_LC。，

???ZOMP=ZONP=ZMPN=90°,

???四邊形OMPN是矩形，

?：OM=ON,

???四邊形OMP/V是正方形，

JO片血。M=2萬(wàn)

故選：B.

【點(diǎn)撥】本題考杳了垂徑定理，勾股定理，正方形的判定和性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是

學(xué)會(huì)添加常用輔助線，構(gòu)造特殊四邊形解決問(wèn)題，屬于中考?？碱}型.

4.B

【分析】連接0C,設(shè)。。的半徑為R,則OOR,0M=5-R,根據(jù)垂徑定理求出CM,

根據(jù)勾股定理得出方程，求出即可.

解：連接OC,設(shè)。。的半徑為七則。UR,OM=5-R,

???直徑M_LC。，垂足為M,CD=2,

：.CM=DM=\,

在中，由勾股定理得：OC^OW+CM，

R2=(5-R)2+12,

解得R=2.6.

故選：B.

【點(diǎn)撥】本題考查了勾股定理，垂徑定理的應(yīng)用，用了方程思想，題目比較典型，難度

適中.

5.C

【分析】先作出圖象根據(jù)勾股定理分別求出弦AB,CD的弦心距OE,OF,再根據(jù)兩弦在圓

心同側(cè)和在圓心異側(cè)兩種情況討論.

設(shè)E、F為AB、CD的中點(diǎn)，

AE=-AB=-x24=12,

22

11

CF=-CD=-xlO=5,

22

OE=ylAO2-AB2=V132-122=5,

OF=_“=Jl32—52=12,

①當(dāng)兩弦在圓心同側(cè)時(shí)，距離=OF-OE=12-5=7;

②當(dāng)兩弦在圓心異側(cè)對(duì)，距離=OE+OF=12+5=17.

所以距離為7或17.

故選C.

【點(diǎn)撥】本題主要考查勾股定理及垂徑定理的應(yīng)用.

6.A

【解析】因?yàn)樵谕瑘A中，平行弦所夾弧是等弧.故選A.

點(diǎn)撥:本題主要考查I員中平行弦所夾弧，解決本題的關(guān)鍵是要熟練掌握平行弦定理.

7.A

【分析】分兩種情況：①當(dāng)AB、CD在圓心兩側(cè)時(shí)；②當(dāng)AB、CD在圓心同側(cè)時(shí)：利

用垂徑定理及勾股定理求出答案.

解：①當(dāng)AB、CD在圓心兩側(cè)時(shí):

過(guò)0作OE_LCD交CD于E點(diǎn)，過(guò)0作OF_LAB交AB于F點(diǎn)，連接OA、0C,如圖

所示：

???半徑r=5,弦AB〃CD,且AB=6,CD=8,

；?0A=0C=5,CE=DE=4,AF=FB=3,E、F、O在-?條直線上，

???EF為AB、CD之間的距離

在RgOEC中，由勾股定理可得：

OE2=OC2-CE2

???OE=752-42=3,

在Rt/kOFA中，由勾股定理可得：

OF2=OA2-AF2

???0F=后_32=%

???EF=OE+OF=3+4=7,

AB與CD的距離為7；

②當(dāng)AB、CD在圓心同側(cè)時(shí)；

同①可得：OE=3,0F=4；

則AB與CD的距離為：OF-OE=I：

綜上所述：AB與CD間的距離為1或7.

故選：A.

【點(diǎn)撥】此題考查圓的垂徑定理、直角三角形的勾股定理，解題中注意運(yùn)用分類(lèi)討論的

思想避免漏解.

8.C

【分析】先根據(jù)勾股定理求出OE=6,0F=8,再分AB、CD在點(diǎn)0的同側(cè)時(shí)，AB、CD

在點(diǎn)O的兩側(cè)時(shí)兩種情況分別計(jì)算求出EF即可.

如圖，過(guò)點(diǎn)O作OF_LCD于F,交AB于點(diǎn)E,

???AB//CD,

/.OEXAB,

在Rtz\AOE中，OA=10,AE=—AB=8,OE=6,

2

在R/COF中，OC=10,CF=—CD=6,/.OF=8,

2

當(dāng)AB、CD在點(diǎn)O的同側(cè)時(shí)，AB、CO間的距離EF=OF-OE=8-6=2；

當(dāng)AB、CD在點(diǎn)O的兩側(cè)時(shí),AB、CD間的距離EF=OE+OF=6+8=14,

【點(diǎn)撥】此題考查門(mén)別的垂徑定理，勾股定理，在I員I中通常利用垂徑定理和勾股定理求

半徑、弦的一半、弦心距三者中的一個(gè)量.

9.C

【分析】連接OB,0C,作OD_LBC,利用垂徑定理和特殊角的三角函數(shù)可求得

ZBOD=60°,從而求得答案.注意弦所對(duì)的圓周角有銳角和鈍角兩種情況.

①當(dāng)△ABC時(shí)銳角三角形時(shí),

連接OB,OC,過(guò)點(diǎn)O作OD_LBC于點(diǎn)D,

???BD^-BC=-x2y/3=y/3，

22

VOB=2

..-BD_6

,,sinN80Z)=----=—

OB2

:.ZBOD=60°

ZBOC=2ZBOD=2x60°=120°,

;BC=BC，

???Z4=-/BOC=-xl20°=60°；

22

②當(dāng)△ABC時(shí)鈍角三角形時(shí)，如圖，

由①可知NE=60。，

???四邊形ABEC是圓內(nèi)接四邊形,

/.ZE+ZA-1800,

???ZA=180°-60°=120°.

故NA的度數(shù)為60。或120。.

故答案為：C

【點(diǎn)撥】本題考查/垂徑定理、圓周角定理和解直角三角形.正確作出輔助線是解題的

關(guān)鍵.

10.D

試題分析：0為圓心的兩個(gè)同心圓的圓心，大圓的弦AB與小圓相切于C點(diǎn)，那么C

點(diǎn)是AB的中點(diǎn)，即AC=BC=l48=6；并且OC_LAB,在心&4OC中，由勾股定理得

222

AO=AC+OCr所以=4。2一4。2；A0=8cm,所以O(shè)C?=8?—6?=28?所

以oc=?「

考點(diǎn)：弦心距，勾股定理

【點(diǎn)撥】本題考查弦心距，勾股定理，解答本題要求考生掌握弦心距的概念和性質(zhì)，熟

悉勾股定理的內(nèi)容

11.C

【分析】作OD_LAB于C,交小圓于D,可得CD=2,AC=BC,由AO、BO為半徑，

貝|JOA=OD=4；然后運(yùn)用勾股定理即可求得AC的長(zhǎng)，即可求得AB的長(zhǎng).

解：作OD_LAB干C交小網(wǎng)干D,則CD=2,AC=BC,

VOA=OD=4,CD=2,

，OC=2,

:?AC7O]_OC2=26，

.*.AB=2AC=4>/3.

故答案為C.

【點(diǎn)撥】本題考查的是垂徑定理的應(yīng)用及勾股定理，作出輔助線、構(gòu)造出直角三角形是

解答本題的關(guān)鍵.

12.B

【分析】作圓的直徑于點(diǎn)。，連接0A,根據(jù)勾股定理求出。E的長(zhǎng)，求得C、

E到弦人8所在的直線距離，與2比較大小，即可判斷.

解：作圓的直徑CE1/1B于點(diǎn)。，連接OA,

???AB=8,

???AO=4.

???O4=5,

??.0￡>=,52—42=3,

???CD=OC-3=5-3=2,即C至lj弦AB所在的直線距離為2,

???在劣弧AB上，到弦AB所在的直線距離為2的點(diǎn)只有。點(diǎn)：

VD/T=5+3=8>2,

???在伏弧AEB上到弦AB所在的直線距離為2的點(diǎn)有2個(gè)，即圓上到弦AB所在的直線

距離為2的點(diǎn)有3個(gè).

故選：B.

【點(diǎn)撥】本題考查了垂徑定理，轉(zhuǎn)化為C、￡到弦A3所在的直線距離，與2比較大小

是關(guān)鍵.

13.B

【分析】根據(jù)垂徑定理得出CE=OE,由此可判斷A,再根據(jù)全等三角形的判定方法

“AAS”即可證明△OC石絲進(jìn)而可判斷C、D,而AE與OE不一定相等，由此可判

斷B.

的直徑AB_LCD于點(diǎn)，

：?CE=DE,故A選項(xiàng)結(jié)論成立；

在A0CE和AODE中,

ZCEO=ZDEO=90°

?ZOCE=ZODE.

0C=0D

???\OCE^ODE,故D選項(xiàng)結(jié)論正確；

AZCOA=ZDOA.故C選項(xiàng)結(jié)論正確；

而AE與OE不一定相等，故B選項(xiàng)結(jié)論不成立；

故選：B.

【點(diǎn)撥】本題考查了垂徑定理的應(yīng)用，注意：垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦

所對(duì)的兩條弧.

14.C

【分析】連接。氏作與M.根據(jù)垂徑定理和勾股定理，求出O尸的取值范圍

即可判斷.

解：連接。B,作。M_LA8與M.

yOMA.AB,

1

AM=BM=—AB=4,

2

在直角aOBM中，VOB=5,BM=4,

JOM=ylOB2-BM2=V52-42=3?

???3KOP<5,

故選：C.

【點(diǎn)撥】本題考查了垂徑定理、勾股定理，常把半弦長(zhǎng)，半圓心角，圓心到弦距離轉(zhuǎn)換

到同一直角三角形中，然后通過(guò)直角三角形予以求解.

15.C

【分析】過(guò)點(diǎn)M作A8_LOM交。。于點(diǎn)A、B,根據(jù)勾股定理求出AM,根據(jù)垂徑定理

求出AB,進(jìn)而得到答案.

解：過(guò)點(diǎn)M作AB_LOM交。。于點(diǎn)A、B,連接04,

2

在RsAOM中，AM=yJo^-OM2="2-2?=273，

???A8=2AM=4X/L

則4百W過(guò)點(diǎn)M的所有弦W8,

則弦長(zhǎng)是整數(shù)的共有長(zhǎng)度為7的兩條，長(zhǎng)度為8的一條，共三條，

故選：C.

【點(diǎn)撥】本題考查了垂徑定理，勾股定理，掌握垂直于選的直徑平分這條弦，并平分弦

所對(duì)的兩條弧是解題關(guān)鍵.

16.B

【分析】根據(jù)圓的有關(guān)性質(zhì)、垂徑定理及其推論、特殊平行四邊形的判定與性質(zhì)依次對(duì)

各項(xiàng)判斷即可.

A.???半徑08平分弦AC,

???0B_LAC,AB=BC,不能判斷四邊形0ABC是平行四邊形，

假命題；

B.二四邊形。46c是平行四邊形，且OA=OC,

???四邊形。鉆。是菱形，

/.OA=AB=OB,0A/7BC,

???△OAB是等邊三角形，

???ZOAB=60°,

/.ZABC=120°.

真命題；

C.VZ^C=120°,

???NAOO120。，不能判斷出弦4c平分半徑。8,

假命題；

D.只有當(dāng)弦AC垂直平分半徑03時(shí)?，半徑。8平分弦AC,所以是

假命題，

故選：B.

【點(diǎn)撥】本題主要考查命題與證明，涉及垂徑定理及其推論、菱形的判定與性質(zhì)、等邊

三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)，解答的關(guān)鍵是會(huì)利用所學(xué)的知識(shí)進(jìn)行推理證明命題的真假.

17.B

【分析】將每一句話進(jìn)行分析和處理即可得出本題答案.

A.直徑是弦，正確.

B「??在同圓或等圓中，相等的圓心角所對(duì)的弧相等，

???相等的I員I心角所對(duì)的弧相等，錯(cuò)誤.

C.弦的垂直平分線一定經(jīng)過(guò)圓心，正確.

D.平分弧的半徑垂直于弧所對(duì)的弦，正確.

故答案選：B.

【點(diǎn)撥】本題考查了圓中弦、圓心角、弧度之間的美系，熟練掌握該知識(shí)點(diǎn)是本題解題

的關(guān)鍵.

18.B

【解析】

【分析】根據(jù)弦的定義及垂徑定理解答即可.

A.VAD<AB,???AD<20B,故不正確；

B.VARICD.???點(diǎn)8是劣弧C力的中點(diǎn)，故正確：

C.OE與EB不一定相等，故不正確；

D.〈CD不過(guò)圓心，:?。不是A8弧中點(diǎn)，故不正確；

故選B.

【點(diǎn)撥】本題考查了直徑是圓內(nèi)最長(zhǎng)的弦，以及垂徑定理，熟練掌握垂徑定理是解答本

題的關(guān)鍵.垂徑定理是:垂直與弦的直徑平分這條弦，并且平分這條弦所對(duì)的兩段弧.

19.D

【分析】由圓的性質(zhì)以及垂徑定理對(duì)每個(gè)選項(xiàng)一一判斷即可.

同圓或等圓中，相等的圓心角所對(duì)的弧相等，結(jié)論①錯(cuò)誤；平分弦的直徑不一定垂直于

弦，結(jié)論②錯(cuò)誤；圓是軸對(duì)稱(chēng)圖形，任何一條直徑所在的左線都是它的對(duì)稱(chēng)軸，結(jié)論③錯(cuò)誤；

長(zhǎng)度相等的兩條弧不一定是等弧，結(jié)論④錯(cuò)誤.不正確的有①②③④.

故選D.

【點(diǎn)撥】本題主要考臺(tái)圓的性質(zhì)，熟記相關(guān)概念是解題的關(guān)鍵.

20.C

【分析】過(guò)點(diǎn)。作0O_LA8于。，交。。于E,連接根據(jù)垂徑定理即可求得A。

的長(zhǎng)，乂由。。的直徑為52cm.求得。4的長(zhǎng)，然后根據(jù)勾股定理，即可求得。。的長(zhǎng)，

進(jìn)而求得油的最大深度OE的長(zhǎng).

解：過(guò)點(diǎn)。作于。，交。。于E,連接OA,

由垂徑定理得：AD=-AB=-x4S=24cm,

22

V0O的直徑為52?！?，

OA=OE=26cm,

在向必。。中，由勾股定理得：OD=y/OA2-AD2=7262-242=1Ocm

???DE=OE-OD=26-\4=16an,

，油的最大深度為16cm,

【點(diǎn)撥】本題主要考查了垂徑定理的知識(shí).此題難度不大，解題的關(guān)鍵是注意輔助線的

作法，構(gòu)造直角三角形，利用勾股定理解決.

21.B

【分析】連接BO,根據(jù)圓周角定理可得NBOA=60。，再由圓內(nèi)接三角形的性質(zhì)可得

OB垂直平分AC,再根據(jù)正弦的定義求解即可.

如圖，連接0B,

???aASC是CO的同接三角形，

???OB垂直平分AC,

???AM=CM=-AC,OMA.AM,

2

又???AB=BC,ZBAC=30°,

/.ZBCA=30°,

/.ZBCZ4=60o,

又?.?AD=8,

???A0=4,

AM_AM_x/3

???sin60°=

解得：AM=26，

???AC=2AM=473.

故答案選B.

【點(diǎn)撥】本題主要考查了圓的垂徑定理的應(yīng)用，根據(jù)圓周角定理求角度是解題的關(guān)鍵.

22.D

【分析】由垂徑定理、等腰三角形的性質(zhì)和平行線的性質(zhì)證出/OAC=/OCA=/AOC,

得出△OAC是等腰三角形，得出NBOC=NA0060。即可.

解：如圖，:N/VX?=3O°,

...ZAOC=2ZADC=O)°.

〈AB是OO的弦，OC_LA3交OO于點(diǎn)C,

???AC=BC-

???ZAOC=ZBOC=60°.

故選。.

【點(diǎn)撥】本題考查垂徑定理,解題關(guān)鍵證明AC=8C

23.A

【分析】連接AO,過(guò)O作OD_LAB,交A8于點(diǎn)D,交弦AB與點(diǎn)E,根據(jù)折疊的性

質(zhì)及垂徑定理得到AE=BE,再根據(jù)勾股定理即可求解.

如圖所示，連接AO,過(guò)。作OD_LAB,交A8于點(diǎn)D,交弦AB與點(diǎn)E,

A6折疊兀?恰好經(jīng)討圓心，

/.OE=DE,

???半徑為4,

A0E=2,

V0D1AB,

:.AE=-AB，

2

在RSAOE中，AE=J042—O爐=2」

???AB=2AE=46

【點(diǎn)撥】此題主要考查垂徑定理，解題的關(guān)鍵是熟知垂徑定理的應(yīng)用.

24.25

【分析】根據(jù)題意，可以推出人力=4。=20,若設(shè)半徑為r,則O/)=r-I0,OB=r,結(jié)合勾

股定理可推出半徑，?的值，

解：連接OD,：點(diǎn)C是A8的中點(diǎn)，。是A6的4點(diǎn)，

，OC1AB,

.\AD=DB=20m,

在RQA。。中，0AJOZ^+A。?，

設(shè)半徑為r得:，=(r-10)MO2,

解得：r=25m,

???這段彎路的半徑為25m,

故答案為：25.

【點(diǎn)撥】本題主要考查垂徑定理的應(yīng)用、勾股定理的應(yīng)用，關(guān)鍵在于設(shè)出半徑為,?后,

用「表示出。的長(zhǎng)度.

25.(-4,-7)

【分析】過(guò)尸作PQ垂直于)，軸，利用垂徑定理得到。為MN的中點(diǎn)，由M與N的坐

標(biāo)得到0M與ON的長(zhǎng)，由0M-0N求出MN的長(zhǎng)，確定出MQ的長(zhǎng)，在直角三角形尸MQ

中，由PM與MQ的長(zhǎng)，利用勾股定理求出尸。的長(zhǎng)，由。M+MQ求出0Q的長(zhǎng)，進(jìn)而可得

出尸點(diǎn)坐標(biāo).

解：過(guò)戶(hù)作PQ_Ly軸，與)，軸交于Q點(diǎn)，連接PM,

???Q為MN的中點(diǎn)，

?；M(0,-4),N(0,-10),

???OM=4,0210,

A10-4=6.

:.MQ;NQ=3,OQ=OM+MQ=4+3=1,

在Ri^PMQ中，PM=5,

根據(jù)勾股定理得：PQ=y]PM2-MQ2=V52-32=4,

:.P(-4,-7).

故答案為：(-4,-7).

【點(diǎn)撥】木題考查的是垂徑定理，根據(jù)題意作出輔助線，構(gòu)造出直角三角形是解答此題

的關(guān)鍵.

26.I

【分析】由題意易得CE=，CD=3,OC=5,根據(jù)勾股定理可求OE的長(zhǎng)，然后問(wèn)題可

2

求解.

解：:AB是OO的直徑，AB=\0,

J0C=0B=-AB=5,

2

VCD1AB,CD=6,

，CE=-CD=3,ZCEO=90°,

2

?，?0E=yj0C2-CE2=4^

???BE=OB-OE=l

故答案為1.

【點(diǎn)撥】本題主要考查垂徑定理，熟練掌握垂徑定理是解題的關(guān)鍵.

27.（Q,2）

【分析】過(guò)M作MN_LBC于N,連接CM,由垂徑定理可求出CN的長(zhǎng)，即可求出ON

的長(zhǎng)，可得M的坐標(biāo).

解：過(guò)M作MN_LBC于N,連接CM,

V^（373,0）,C（->/3,0）,

***OB=，OC=y/3，

???BC=4百,

VMN±BC,

???CN=JAB=2G

???ON=S

AM（52）,

故答案為：（JJ，2；.

【點(diǎn)撥】本題考查的是垂徑定理、坐標(biāo)與圖形特點(diǎn)，根據(jù)題意作出輔助線是解答此題的

關(guān)鍵.

28.1或5.

【分析】分兩種情況：兩條平行弦在圓心的同側(cè)時(shí)和兩條平行弦在圓心的兩側(cè)時(shí)，分情

況進(jìn)行討論即可.

兩條平行弦在圓心的同側(cè)時(shí)，則兩條平行弦間的距離=3-2=1；

當(dāng)兩條平行弦在圓心的兩側(cè)時(shí)，則兩條平行弦間的距離=3+2=5.

故答案為：1或5.

【點(diǎn)撥】本題主要考查兩條平行弦之間的距離，注意分情況討論.

29.14cm或2cm

【分析】根據(jù)垂徑定理及勾股定理，可求出弦人〃、CO的弦心距；由于兩弦的位置不

確定，因此需要分類(lèi)討論.

解：如圖①，連接。4,OC,過(guò)點(diǎn)。作交C。于點(diǎn)F,交AB于點(diǎn)E,

因?yàn)锳8//C。，所以O(shè)E_LCQ,

:?Rt△OAE中,OA=1Ocm,AE=—A8=6cm；

2

OE=y/oA2-AE2=8cm；

同理可得：OF=6cm；

故EF=OE+OF=14cm；

所以AB與CD的距離是14cm或2cm,

故答案為：14cm或2cm.

【點(diǎn)撥】此題主要考杳的是垂徑定理以及勾股定理的應(yīng)用，需注意弦AB、CD的立置

關(guān)系有兩種，需分類(lèi)討論，不要漏解.

30.5百一6或56上6

【分析】分兩種情況考慮:當(dāng)兩條弦位于圓心O一側(cè)時(shí)，如圖1所示，過(guò)。作OE_LCD,

交CD于點(diǎn)E,交AB于點(diǎn)F,連接OA,OC,由AB//CD,得到OFJ_AB,利用垂徑定

埋得到E與卜分別為CD與AB的中點(diǎn)，在直角二角形AO卜中，利用勾股定埋求出。卜的

長(zhǎng)，在三角形COE中，利用勾股定理求出OE的長(zhǎng)，由OE—OF即可求出EF的長(zhǎng)；當(dāng)兩

條弦位于圓心O兩側(cè)時(shí)，如圖2所示，同理由OE+OF求出EF的長(zhǎng)即可.

解：分兩種情況考慮：

當(dāng)兩條弦位于圓心0一側(cè)時(shí)，如圖1所示，

過(guò)0作OEJLAB,交CD于點(diǎn)E,交AB于點(diǎn)F,連接OA,0C,

VAB//CD,/.OE±CD,

???F、E分別為AB、CD的中點(diǎn)，

/.AF=BF=-AB=8,CE=DE=-CD=5,

22

在Rt.COE中，OC=10,CE=5,

根據(jù)勾股定理得：OE=IOC?-CE?=Jl。2-52=56，

在RteAOF中，OA=10,AF=8.

根據(jù)勾股定理得：OF=dOA?-AF?HlO?=6,

則EF=0E-0F=56—6；

當(dāng)兩條弦位于圓心。兩側(cè)時(shí)，如圖2所示，同理可得EF=OE+O尸=5/+6，

綜上，弦AB與CD的距離為5>/5-6或5百+6,

故答案為：5方-6或5百+6.

【點(diǎn)撥】此題考查了垂徑定理，勾股定理，利用了分類(lèi)討論的思想，熟練掌握垂徑定理

是解本題的關(guān)鍵.

31.7dm或1dm

【分析】如圖，AB〃CD,AB=6dm,CD=8dm,過(guò)0點(diǎn)作OE_LAB于E,交CD于

F點(diǎn),連OA、OC,根據(jù)垂徑定理得AE=BE=—AB=3,由于AB〃CD,EFJLAB,則EFlCD,

2

根據(jù)垂徑定理得CF=FD=』CD=4,然后利用勾股定理可計(jì)算出0E=4,0F=3,再進(jìn)行

2

討論：當(dāng)圓心0在AB與CD之間時(shí)，AB與CD的距離=OE+OF；當(dāng)圓心O不在AB與

CD之間時(shí)，AB與CD的距離=OE-OF.

解：如圖，AB〃CD,AB=6dm,CD=8dm,

過(guò)。點(diǎn)作OE_LAB于E,交CD于F點(diǎn)，連OA、OC,

AAE=BE=—AB=3,

2

VAB/7CD,EF_LAB,

AEF1CD,

.*.CF=FD=—CD=4,

2

在RtAOAE中，0A=5dm

OE=y/o^-AE2=452-32=4，

同理可得OF=3,

當(dāng)圓心O在AB與CD之間時(shí)，AB與CD的距離=OE+OF=4+3=7(dm)；

當(dāng)圓心O不在AB與CD之間時(shí),AB與CD的距離=OE?OF=4?3=1(dm).

故答案為7dm或1dm.

【點(diǎn)撥】本題考杳了垂徑定理：垂直于弦的直徑平分弦，并且平分弦所對(duì)的弧.也考杳

了勾股定理.

32.3萬(wàn)

【分析】連接OA,設(shè)半徑為心用x表示OC,根據(jù)勾股定理建立x的方程，便可求得

結(jié)果.

解：解：連接04,設(shè)半徑為樂(lè)

OC=-x,OC1AB,

3

:.AC=-AB=y/w,

2

-OA2-OC2=AC2F

x2-（-x）2=10,

3

解得,x=35/2"

故答案為3.

【點(diǎn)撥】本題主要考查了圓的基本性質(zhì)，垂徑定理，勾股定理，關(guān)鍵是根據(jù)勾股定理列

出半徑的方程.

33.（I）姮；（II）如圖，取圓與網(wǎng)格線的交點(diǎn)E,尸，連接所與AC相交，

2

得圓心0；A8與網(wǎng)格線相交于點(diǎn)。，連接。0并延長(zhǎng)，交C。于點(diǎn)。，連接QC并延長(zhǎng)，

與點(diǎn)3,O的連線3。相交于點(diǎn)P,連接AP,則點(diǎn)P滿足NP4C=NP8C=N尸C5.

【解析】

【分析】（【）根據(jù)勾股定理即可求出AB的長(zhǎng)

（II）先確定圓心，根據(jù)NEAF=90°取格點(diǎn)E、F并連接可得EF為宜徑，與AC相交

即可確定圓心的位置，先在B0上取點(diǎn)P,設(shè)點(diǎn)P滿足條件，再根據(jù)點(diǎn)D為AB的中點(diǎn)，根據(jù)

垂徑定理得出0D_LAB,再結(jié)合已知條件/ABC=50"，NBAC=30°得出

/PAC=/PBC=NPCB=2。，設(shè)PC和DO的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)Q,根據(jù)ASA可得

?OPQ3.OPA,可得OA=OQ,從而確定點(diǎn)Q在圓上，所以連接。。并延長(zhǎng)，交。。于點(diǎn)

Q,連接QC并延長(zhǎng)，與點(diǎn)B0的連線BO相交于點(diǎn)P，連接AP即可找到點(diǎn)P

故答案為：叵

2

(II)取圓勺網(wǎng)格線的交點(diǎn)E,尸，連接后尸,與AC相交于點(diǎn)O,

???/EAF=90°，???EF為直徑，

???圓心在邊AC上.??點(diǎn)O即為圓心

???A3與網(wǎng)格線的交點(diǎn)D是AB中點(diǎn)，連接OD則ODJ_AB,

連接OB,V^BAC=30\OA=OB

AZOAB=ZOBA=30°?ZDOA=ZDOB=60°?

在BO上取點(diǎn)P,并設(shè)點(diǎn)P滿足條件，???/ABC=50"

???APAC=ZPBC=/PCB=20，

.,.ZAPO=ZCPO=40°?

設(shè)PC和DO的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)Q,yiljZDOA=ZDOB=ZPOC=ZQOC=600

???NAOP=NQOP=120°，

???OP=OP,??..CIPQ=*OPAOA=OQ,

???點(diǎn)Q在圓上，，連接。。并延長(zhǎng)，交0O于點(diǎn)。，連接QC并延長(zhǎng)，與點(diǎn)8。的

連線8。相交于點(diǎn)P，連接4。、則點(diǎn)P即為所求

【點(diǎn)撥】本題主要考查了應(yīng)用與設(shè)計(jì)作圖、勾股定理、垂徑定理、三角形的全等的性質(zhì)

與判定、等腰三角形的性質(zhì)等知識(shí)，是一道綜合性較強(qiáng)的題目，解題時(shí)首先要理解題意，弄

清問(wèn)題中對(duì)所作圖形的要求，結(jié)合對(duì)應(yīng)幾何圖形的性質(zhì)和基本作圖的方法作圖.

34.7萬(wàn)

【分析】A、B兩點(diǎn)關(guān)于MN對(duì)稱(chēng)，因而PA+PC=PB+PC,即當(dāng)B、C、P在一條直線上

時(shí)，PA+PC的最小，即BC的值就是PA+PC的最小值

連接UA,OB,OC,作CH垂直于AB于H.

根據(jù)垂徑定理，得到BE=BE=-AB=^CF=-CD=3

22

:.0E=ylOB2-BE2=V52-42=3

OF=y]0C2-CF2=752-32=4

，CH=OE+OF=3+4=7,

BH=BE+EH=BE+CF=4+3=7,

在直角△BCH中根據(jù)勾股定理得到BC=7&，

則PA+PC的最小值為7&.

【點(diǎn)撥】正確理解BC的長(zhǎng)是PA+PC的最小值，是解決本題的關(guān)鍵.

35.(2,0)

根據(jù)垂徑定理的推論：弦的垂直平分線必過(guò)圓心，

可以作弦AB和BC的垂直平分線，交點(diǎn)即為圓心.

36.375.

【分析】根據(jù)點(diǎn)B、D關(guān)于OA對(duì)稱(chēng)得出BD_LOA,進(jìn)而得到BD_LCB,得出△CBD

是直角三角形，CB是固定值，只有當(dāng)BD最大時(shí)CD就最大，轉(zhuǎn)換成求BD的最大值?BD

都在圓上，所以BD的最大值就是直徑，最后用勾股定理就能求出CD的最大值.

;平行四邊形OCBA,

.??OA〃CB,OA=CB

又???D是B點(diǎn)關(guān)于OA的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，

ADB1OA,

/.DB1CB,

AACBD是直角三角形

CD2-CB2+DB2

VCB=OA=r=3是固定值

???DB最大時(shí)就是CD最大

而B(niǎo)是圓上的點(diǎn)，D是B對(duì)稱(chēng)點(diǎn)且也在圓上

???當(dāng)BD經(jīng)過(guò)原點(diǎn)O是直徑時(shí)最大，即BD=2r=6

，CD2=CB2+DB2=32+62=45

解得：CD=3逐，即CD的最大值是3逐.

【點(diǎn)撥】本題主要考查圓的性質(zhì)、垂徑定理、平行囚邊形性質(zhì)、勾股定理，找出ACBD

是直角三角形和BD的最大值是直徑是解題的關(guān)鍵.

【分析】連接OA,根據(jù)垂徑定理推論得出OC_LAB,由勾股定理可得出OA的長(zhǎng).

???C是AB的中點(diǎn),OA=OB,AB=4

AAC=—AB=2,OC±AB,

2

.,.OA12=OC2+AC2,

VCD=I

AOA2=(OA-1)2+22,

解得，OA=J

2

故答案為：一

2

【點(diǎn)撥】題考查的是垂徑定理及勾股定理，根據(jù)垂徑定理推論判斷出OC垂直平分AB

是解答此題的關(guān)鍵.

38.48

試題分析：根據(jù)點(diǎn)D是弦AC的中點(diǎn)，得至IJOD_LAC,然后根據(jù)/DOC二NDOA即可

求得答案：

?；AB是(DO的直徑，，OA=OC.

,:ZA=42°,JZACO=ZA=42°.

???D為AC的中點(diǎn)，.??OD_LAC.

二ZDOC=90°-ZDCO=90°-42°=48°.

39.26

【解析】

【分析】根據(jù)題意畫(huà)出相應(yīng)的圖形，如圖所示，由OC垂直于AB，利用垂徑定理得到C為

AB的中點(diǎn)，由AB的長(zhǎng)求出AC的長(zhǎng),在直角三角形AOC中，由AC與0C的長(zhǎng)，利用勾股

定理求出OA的長(zhǎng),即可確定出圓O的直徑長(zhǎng).

解:根據(jù)題意畫(huà)出相應(yīng)的圖形，如圖所示，

1

.\AC=BC=-AB=12

2

在RSAOC中,AC=120C=5,,

根據(jù)勾股定理得:A0=〃02+0。2=［3,

則圓。的直徑長(zhǎng)為26.

故答案為：26

【點(diǎn)撥】此題考查勾股定理，垂徑定理及其推論，解題關(guān)鍵在于畫(huà)出圖形

40.10或70

【分析】分水位在圓心