專題一第6講導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用母題突破2恒成立問題與有解問題內(nèi)容索引母題突破2

專題強(qiáng)化練1母題突破2恒成立問題與有解問題PARTONE母題

(2020·全國(guó)Ⅰ)已知函數(shù)f(x)＝ex＋ax2－x.(1)當(dāng)a＝1時(shí)，討論f(x)的單調(diào)性；解當(dāng)a＝1時(shí)，f(x)＝ex＋x2－x，f′(x)＝ex＋2x－1，令φ(x)＝ex＋2x－1，由于φ′(x)＝ex＋2>0，故f′(x)單調(diào)遞增，注意到f′(0)＝0，故當(dāng)x∈(－∞，0)時(shí)，f′(x)<0，f(x)單調(diào)遞減，當(dāng)x∈(0，＋∞)時(shí)，f′(x)>0，f(x)單調(diào)遞增.思路分析一

↓?分離參數(shù)a≥g(x)↓?a≥g(x)max,

↓?求g(x)max思路分析二

↓?等價(jià)變形

↓?構(gòu)造新函數(shù)

↓?求新函數(shù)的最值①當(dāng)x＝0時(shí)，不等式為1≥1，顯然成立，符合題意；則h′(x)＝ex－x－1，令t(x)＝h′(x)，x≥0，則t′(x)＝ex－1≥0，故h′(x)單調(diào)遞增，h′(x)≥h′(0)＝0，故函數(shù)h(x)單調(diào)遞增，h(x)≥h(0)＝0，故當(dāng)x∈(0,2)時(shí)，g′(x)>0，g(x)單調(diào)遞增；當(dāng)x∈(2，＋∞)時(shí)，g′(x)<0，g(x)單調(diào)遞減；①若2a＋1≤0，即a≤－

，則當(dāng)x∈(0,2)時(shí)，g′(x)>0，所以g(x)在(0,2)上單調(diào)遞增，而g(0)＝1，故當(dāng)x∈(0,2)時(shí)，g(x)>1，不符合題意.當(dāng)x∈(2a＋1,2)時(shí)，g′(x)>0，所以g(x)在(0,2a＋1)，(2，＋∞)上單調(diào)遞減，在(2a＋1,2)上單調(diào)遞增.由于g(0)＝1，所以g(x)≤1當(dāng)且僅當(dāng)g(2)＝(7－4a)e－2≤1，子題1

(2021·北京模擬)已知函數(shù)f(x)＝(x－2)ex－

ax2＋ax(a∈R).(1)當(dāng)a＝0時(shí)，求曲線y＝f(x)在點(diǎn)(0，f(0))處的切線方程；解當(dāng)a＝0時(shí)，f(x)＝(x－2)ex，f(0)＝(0－2)e0＝－2，f′(x)＝(x－1)ex，k＝f′(0)＝(0－1)e0＝－1，所以切線方程為y＋2＝－(x－0)，即x＋y＋2＝0.(2)當(dāng)x≥2時(shí)，f(x)≥0恒成立，求a的取值范圍.解方法一f′(x)＝(x－1)(ex－a)，①當(dāng)a≤0時(shí)，因?yàn)閤≥2，所以x－1>0，ex－a>0，所以f′(x)>0，則f(x)在[2，＋∞)上單調(diào)遞增，f(x)≥f(2)＝0成立.②當(dāng)0<a≤e2時(shí)，f′(x)≥0，所以f(x)在[2，＋∞)上單調(diào)遞增，所以f(x)≥f(2)＝0成立.③當(dāng)a>e2時(shí)，在區(qū)間(2，lna)上，f′(x)<0；在區(qū)間(lna，＋∞)上，f′(x)>0，所以f(x)在(2，lna)上單調(diào)遞減，在(lna，＋∞)上單調(diào)遞增，f(x)≥0不恒成立，不符合題意.綜上所述，a的取值范圍是(－∞，e2].當(dāng)x＝2時(shí)，0·a≤0，所以a∈R.因?yàn)閤>2，所以g′(x)>0，所以g(x)在區(qū)間(2，＋∞)上單調(diào)遞增.所以g(x)>g(2)＝e2，所以a≤e2.綜上所述，a的取值范圍是(－∞，e2].因此a＝2.函數(shù)g(x)的導(dǎo)函數(shù)g′(x)＝k(1－x)e－x.①當(dāng)k>0時(shí)，當(dāng)x<1時(shí)，g′(x)>0，g(x)在(－∞，1)上單調(diào)遞增；當(dāng)x>1時(shí)，g′(x)<0，g(x)在(1，＋∞)上單調(diào)遞減，③當(dāng)k<0時(shí)，當(dāng)x<1時(shí)，g′(x)<0，g(x)在(－∞，1)上單調(diào)遞減；當(dāng)x>1時(shí)，g′(x)>0，g(x)在(1，＋∞)上單調(diào)遞增，若對(duì)?x1∈(0，＋∞)，?x2∈R，使得f(x1)－g(x2)≥0，規(guī)律方法(1)由不等式恒成立求參數(shù)的取值范圍問題的策略①求最值法：將恒成立問題轉(zhuǎn)化為利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值問題.②分離參數(shù)法：將參數(shù)分離出來，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為a>f(x)max或a<f(x)min的形式，通過導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用求出f(x)的最值，即得參數(shù)的范圍.(2)不等式有解問題可類比恒成立問題進(jìn)行轉(zhuǎn)化，要理解清楚兩類問題的差別.由f′(x)>0，即1－a－lnx>0，解得0<x<e1－a，由f′(x)<0，即1－a－lnx<0，解得x>e1－a，故f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(0，e1－a)，單調(diào)遞減區(qū)間為(e1－a，＋∞).跟蹤演練1212即a≤xex－1－x－lnx＋1對(duì)x∈(0，＋∞)恒成立，令u(x)＝xex－1－x－lnx＋1，當(dāng)x∈(0,1)時(shí)，u′(x)<0，u(x)在(0,1)上單調(diào)遞減，當(dāng)x∈(1，＋∞)時(shí)，u′(x)>0，u(x)在(1，＋∞)上單調(diào)遞增，故當(dāng)x＝1時(shí)，u(x)取最小值u(1)＝1，所以a≤1，所以實(shí)數(shù)a的取值范圍是(－∞，1].122.(2021·昆明聯(lián)考)已知函數(shù)f(x)＝eax－x.(1)若曲線y＝f(x)在點(diǎn)(0，f(0))處切線的斜率為1，求f(x)的單調(diào)區(qū)間；解f′(x)＝aeax－1，則f′(0)＝a－1＝1，即a＝2.12(2)若不等式f(x)≥eaxlnx－ax2對(duì)x∈(0，e]恒成立，求a的取值范圍.12解由f(x)≥eaxlnx－ax2，即ax2－x≥eax(lnx－1)，∴當(dāng)x∈(0，e]時(shí)，g′(x)>0，則g(x)在(0，e]上單調(diào)遞增，12即h(x)在(0，e]上單調(diào)遞增，122專題強(qiáng)化練PARTTWO1.(2020·新高考全國(guó)Ⅰ)已知函數(shù)f(x)＝aex－1－lnx＋lna.(1)當(dāng)a＝e時(shí)，求曲線y＝f(x)在點(diǎn)(1，f(1))處的切線與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積；12所以f(1)＝e＋1，f′(1)＝e－1，曲線y＝f(x)在點(diǎn)(1，f(1))處的切線方程為y－(e＋1)＝(e－1)(x－1)，即y＝(e－1)x＋2.12(2)若f(x)≥1，求a的取值范圍.12解方法一當(dāng)0<a<1時(shí)，f(1)＝a＋lna<1.12當(dāng)x∈(0,1)時(shí)，f′(x)<0；當(dāng)x∈(1，＋∞)時(shí)，f′(x)>0.所以當(dāng)x＝1時(shí)，f(x)取得最小值，最小值為f(1)＝1，從而f(x)≥1.當(dāng)a>1時(shí)，f(x)＝aex－1－lnx＋lna≥ex－1－lnx≥1.綜上，a的取值范圍是[1，＋∞).方法二∵f(x)≥1恒成立，∴aex－1－lnx＋lna≥1恒成立，即elna·ex－1＋lna－1≥lnx，即elna＋x－1＋lna＋x－1≥lnx＋x，又lnx＋x＝lnx＋elnx，即elna＋x－1＋lna＋x－1≥elnx＋lnx恒成立，令φ(x)＝ex＋x，∴φ(x)在R上單調(diào)遞增，∴φ(lna＋x－1)≥φ(lnx)恒成立，∴l(xiāng)na＋x－1≥lnx恒成立，即lna≥lnx－x＋1恒成立，12令g(x)＝lnx－x＋1(x>0)，12當(dāng)x∈(0,1)時(shí)，g′(x)>0，當(dāng)x∈(1＋∞)時(shí)，g′(x)<0，∴g(x)在(0,1)上單調(diào)遞增，在(1＋∞)上單調(diào)遞減，∴g(x)max＝g(1)＝0，∴l(xiāng)na≥0，即a≥1，綜上，a的取值范圍是[1＋∞).(1)當(dāng)a＝1時(shí)，求證：當(dāng)x≥0時(shí)，f(x)≥0；12∴f′(x)＝ex－x－1，令u(x)＝ex－x－1，則u′(x)＝ex－1≥0在[0，＋∞)上恒成立，故f′(x)在[0，＋∞)上單調(diào)遞增，∴f′(x)≥f′(0)＝0，∴f(x)在[0，＋∞)上單調(diào)遞增，∴f(x)≥f(0)＝0，從而原不等式得證.(2)若f(x)＋g(x)≥0在[0，＋∞)上恒成立，求a的取值范圍.12解∵f(x)＋g(x)＝ex＋cosx－ax－2，令h(x)＝ex＋cosx－ax－2，則h′(x)＝ex－sinx－a，令t(x)＝ex－sinx－a，則t′(x)＝ex－cosx，∵ex≥1，－1≤cosx≤1，故t′(x)≥0，∴h′(x)在[0，＋∞)上單調(diào)遞增，∴h′(x)≥h′(0)＝1－a，①當(dāng)1－a≥0，即a≤1時(shí)，h′(x)≥0，故h(x)