材料成形原理（下）

屈服準(zhǔn)則屈服準(zhǔn)則在復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)下，不能用一個(gè)應(yīng)力分量來判斷材料是否屈服，必須同時(shí)考慮所有分量。當(dāng)各個(gè)應(yīng)力分量之間符合一定的關(guān)系時(shí)，質(zhì)點(diǎn)才能進(jìn)入塑性狀態(tài)，這種關(guān)系叫做屈服準(zhǔn)則（YieldCriterion）。屈服準(zhǔn)則是塑性力學(xué)基本方程之一，它是判斷材料從彈性狀態(tài)進(jìn)入塑性狀態(tài)的判據(jù)，也稱為塑性條件。最常用的兩個(gè)屈服準(zhǔn)則——屈雷斯加(H.Tresca)屈服準(zhǔn)則和密塞斯(vonMises)屈服準(zhǔn)則。

屈服準(zhǔn)則一般形式上式左邊是應(yīng)力分量的函數(shù)，右邊是與材料的力學(xué)性能相關(guān)的常數(shù)，通常用試驗(yàn)方法測(cè)得。對(duì)于各向同性材料，由于屈服準(zhǔn)則與坐標(biāo)變換無關(guān)17.1Tresca準(zhǔn)則當(dāng)材料（質(zhì)點(diǎn)）中的最大剪應(yīng)力達(dá)到某一臨界值時(shí)，則材料發(fā)生屈服；該臨界值取決于材料在變形條件下的性質(zhì)，而與應(yīng)力狀態(tài)無關(guān)，因此，屈雷斯加屈服準(zhǔn)則又稱為最大剪應(yīng)力準(zhǔn)則，其表達(dá)式為：tmax=C

C通過實(shí)驗(yàn)求得。由于C的值與應(yīng)力狀態(tài)無關(guān)，常采用簡單拉伸試驗(yàn)來確定。當(dāng)拉伸試樣屈服時(shí)，s2=s3=0、s1=ss，代入上式得C=1/2ss，屈雷斯加屈服準(zhǔn)則的數(shù)學(xué)表達(dá)式為17.2Mises準(zhǔn)則當(dāng)?shù)刃?yīng)力達(dá)到定值時(shí)，材料質(zhì)點(diǎn)發(fā)生屈服?；蛘哒f，材料處于塑性狀態(tài)時(shí)，其等效應(yīng)力是不變的定值，該定值取決于材料的性質(zhì)，而與應(yīng)力狀態(tài)無關(guān)。定義：常數(shù)C根據(jù)單向拉伸實(shí)驗(yàn)確定為ss，于是Mises屈服準(zhǔn)則可寫成或（4-23）

上式是滿足式（15-14）的另一種形式，可以寫成，將式（15-19）兩邊同乘以常數(shù),（其中E為彈性模量，為泊松比），因此只有應(yīng)力偏張量第二不變量影響屈服。

漢基（H.Henkey）于1924年指出Mises屈服準(zhǔn)則的物理意義是：當(dāng)單位體積的彈性形變能達(dá)到某一常數(shù)時(shí)，質(zhì)點(diǎn)就發(fā)生屈服。故Mises屈服準(zhǔn)則又稱為能量準(zhǔn)則。則（15-20）上式左端表示變形體在三向應(yīng)力作用下單位體積的彈性形變能。Mises準(zhǔn)則Mises屈服準(zhǔn)則考慮了中間應(yīng)力的影響，且不需要事先區(qū)分主應(yīng)力的大小次序。對(duì)塑性金屬材料，這個(gè)準(zhǔn)則較Tresca準(zhǔn)則更符合實(shí)際。17.3兩種屈服準(zhǔn)則的比較屈雷斯加屈服準(zhǔn)則，中間應(yīng)力s2在s1和s3之間任意變化，也不影響材料的屈服，但在密塞斯屈服準(zhǔn)則中，中間應(yīng)力s2是有影響的。為了評(píng)價(jià)其影響，引入羅代應(yīng)力參數(shù)：可得到密塞斯屈服準(zhǔn)則的簡化形式：

兩種屈服準(zhǔn)則的比較對(duì)于密塞斯屈服準(zhǔn)則，當(dāng)σ2由σ1變化至σ3時(shí)，相應(yīng)的β值的變化范圍為1～，而對(duì)于屈雷斯加屈服準(zhǔn)則，不論σ2在σ1和σ3之間如何變化，其β=1。由此得到β隨變化的幾何圖形：當(dāng)σ2=σ1或σ2=σ3（即平面應(yīng)變狀態(tài)）時(shí)，兩個(gè)屈服準(zhǔn)則的差別最大，達(dá)15.5%；而在其余應(yīng)力狀態(tài)下，兩個(gè)屈服準(zhǔn)則的差別小于15.5%，視中間應(yīng)力σ2的相對(duì)大小而定。17.3屈服準(zhǔn)則的幾何表達(dá)一、主應(yīng)力空間中的屈服表面二、平面應(yīng)力狀態(tài)的屈服軌跡三、p平面上的屈服軌跡

圖15-15主應(yīng)力空間一、主應(yīng)力空間中的屈服表面

1、以主應(yīng)力為坐標(biāo)構(gòu)成一個(gè)主應(yīng)力空間，在主應(yīng)力空間中，任一應(yīng)力點(diǎn)用矢量OP來表示。

2、過坐標(biāo)原點(diǎn)O引等傾線ON，其方向余弦，線上任一點(diǎn)的三個(gè)坐標(biāo)分量均相等，即，表示球應(yīng)力狀態(tài)。

3、由P

點(diǎn)引一直線

PM⊥ON，則矢量

OP可分解為OM

和MP，這時(shí)，OM表示應(yīng)力球張量部分，MP表示應(yīng)力偏張量部分。

根據(jù)Mises屈服準(zhǔn)則，當(dāng)時(shí)，材料就屈服，故P點(diǎn)屈服時(shí)有：=主應(yīng)力空間

主應(yīng)力空間中的屈服表面二、平面應(yīng)力狀態(tài)的屈服軌跡

上式是坐標(biāo)平面上的一個(gè)橢圓，如圖15-8。為了清楚起見，把坐標(biāo)軸旋轉(zhuǎn)45°，則新老坐標(biāo)的關(guān)系為將代入Mises屈服準(zhǔn)則的表達(dá)式：得得兩向應(yīng)力狀態(tài)的屈服軌跡

同樣，將代入Tresca屈服準(zhǔn)則的表達(dá)式,可得平面應(yīng)力狀態(tài)的Tresca屈服準(zhǔn)則：（17-22）

任一平面應(yīng)力狀態(tài)都可用平面上一點(diǎn)P表示，并可用矢量

OP來表示。如P

點(diǎn)在屈服軌跡的里面，則材料的質(zhì)點(diǎn)處于彈性狀態(tài)，如P點(diǎn)在軌跡上，該質(zhì)點(diǎn)處于塑性狀態(tài)。對(duì)于理想塑性材料，P點(diǎn)不可能在軌跡的外面。

由圖可知，兩個(gè)屈服軌跡有六個(gè)交點(diǎn)，在六個(gè)交點(diǎn)處兩屈服準(zhǔn)則是一致的。它們都表示兩向主應(yīng)力相等的應(yīng)力狀態(tài)，兩準(zhǔn)則差別最大的有六個(gè)點(diǎn)（B、D、F、H、J、L），兩個(gè)屈服準(zhǔn)則相差達(dá)到15.5％。

圖17-18平面上的屈服軌跡在主應(yīng)力空間中，通過坐標(biāo)原點(diǎn)，并垂直于等傾線ON

的平面稱為平面。其方程為三、平面上的屈服軌跡

平面與兩個(gè)屈服表面都垂直，故屈服表面在平面上的投影是半徑為的圓及其內(nèi)接正六邊形，這就是平面上的屈服軌跡，如圖17-18。

在平面上，說明平面上任一點(diǎn)無應(yīng)力球張量的影響，任一點(diǎn)的應(yīng)力矢量均表示偏張量。

4.4塑性變形時(shí)應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系塑性變形時(shí)，應(yīng)力狀態(tài)與應(yīng)變狀態(tài)之間關(guān)系的數(shù)學(xué)表達(dá)式叫做本構(gòu)方程(ConstitutiveEquation)，也叫物理方程。彈性變形時(shí)，應(yīng)力與應(yīng)變呈線性關(guān)系，是可逆的，應(yīng)變由應(yīng)力唯一確定，和應(yīng)力狀態(tài)如何達(dá)到的歷史無關(guān)。由廣義虎克定律描述。塑性變形時(shí)，應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系是非線性關(guān)系的，是不可逆的。外力去除后，塑性變形部分仍然保留下來。此外，最終的應(yīng)變狀態(tài)與加載路徑相關(guān)。4.4.1塑性變形時(shí)s-e關(guān)系的特點(diǎn)設(shè)質(zhì)點(diǎn)先受到某種應(yīng)力狀態(tài)的作用而發(fā)生一定的塑性變形，然后，將應(yīng)力狀態(tài)改變?yōu)榱硪环N塑性應(yīng)力狀態(tài)，這時(shí)質(zhì)點(diǎn)的塑性應(yīng)變既有和新的應(yīng)力狀態(tài)相對(duì)應(yīng)的應(yīng)變，又有應(yīng)力狀態(tài)改變前保留下來的應(yīng)變，最終的應(yīng)變是兩者之和。若該質(zhì)點(diǎn)一直受到后一種應(yīng)力狀態(tài)的作用，相應(yīng)產(chǎn)生的塑性應(yīng)變必然與前種加載情況下的結(jié)果不同。上述兩種情況，盡管質(zhì)點(diǎn)最終的應(yīng)力狀態(tài)一樣，由于加載的歷史過程不同，最終的塑性應(yīng)變狀態(tài)是不同的。塑性變形時(shí)s-e關(guān)系的特點(diǎn)離開加載歷史建立應(yīng)力與全量塑性應(yīng)變的普遍關(guān)系是不可能的。一般只能建立應(yīng)力與應(yīng)變?cè)隽恐g的關(guān)系。對(duì)于某瞬時(shí)的應(yīng)力狀態(tài)，與之相對(duì)應(yīng)的只是塑性應(yīng)變?cè)隽?。要求得塑性?yīng)變?nèi)浚韪鶕?jù)加載過程各段的增量，依次進(jìn)行積分。塑性變形時(shí)s-e關(guān)系的特點(diǎn)描述塑性應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系的理論增量理論：描述塑性狀態(tài)下應(yīng)力與應(yīng)變?cè)隽浚ɑ驊?yīng)變速率）之間的關(guān)系；全量理論：描述塑性狀態(tài)下應(yīng)力與應(yīng)變?nèi)恐g的關(guān)系；簡單加載特例：加載過程中，各應(yīng)力分量始終保持比例關(guān)系，且主軸的方向、順序不變，則塑性應(yīng)變分量也按比例增加。塑性應(yīng)變?nèi)颗c應(yīng)力狀態(tài)，有對(duì)應(yīng)的函數(shù)關(guān)系。簡單加載。4.4.2等效應(yīng)力和等效應(yīng)變的概念內(nèi)容見前節(jié)相應(yīng)部分由單向拉伸建立的應(yīng)力應(yīng)變曲線，便可和復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)下以等效應(yīng)力和等效應(yīng)變表示的曲線聯(lián)系起來。實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，它們可認(rèn)為是同一曲線。4.4.3增量理論增量理論又稱流動(dòng)理論，是描述材料處于塑性狀態(tài)時(shí)，應(yīng)力與應(yīng)變?cè)隽炕驊?yīng)變速率之間關(guān)系的理論，它是針對(duì)加載過程的每一瞬間的應(yīng)力狀態(tài)所確定的該瞬間的應(yīng)變?cè)隽?，這樣就撇開加載歷史的影響。列維-密塞斯方程該方程建立在以下假設(shè)的基礎(chǔ)上：材料為理想剛塑性材料，即彈性應(yīng)變?cè)隽繛榱?，塑性?yīng)變?cè)隽烤褪菓?yīng)變總量；材料服從密塞斯屈服準(zhǔn)則，即塑性變形時(shí)體積不變，即：列維-密塞斯方程方程的表達(dá)式簡記為：該式表示：1）、應(yīng)變?cè)隽恐鬏S與應(yīng)力偏量主軸（即應(yīng)力主軸）重合；2）、應(yīng)變?cè)隽颗c應(yīng)力偏張量成正比。(4-29)利用等比定律有：①①式變化得：②③②③六式相加，整理后得：圣維南塑性流動(dòng)方程如果應(yīng)變?cè)隽吭诤芏痰臅r(shí)間內(nèi)發(fā)生，單位時(shí)間的應(yīng)變?cè)隽考礊閼?yīng)變速率。將(4-29)對(duì)時(shí)間求導(dǎo)，得改寫為其中在采用速度場(chǎng)求解塑性問題時(shí)，用圣維南塑性流動(dòng)方程（4-31）比較方便。(4-31)普朗特-路挨斯方程考慮了總應(yīng)變?cè)隽恐械膹椥詰?yīng)變?cè)隽?，即?.4.4全量理論由每一瞬時(shí)的應(yīng)變?cè)隽糠e分到整個(gè)變形過程的應(yīng)變?nèi)渴抢щy的。人們感興趣的是全量應(yīng)變。伊留申理論：如果加載過程符合簡單加載條件，應(yīng)力偏張量的各個(gè)分量與應(yīng)變偏張量的各個(gè)分量成正比，即：對(duì)于剛塑性材料，塑性變形時(shí)體積不變，只滿足主軸方向不變，主軸次序基本不變，各應(yīng)力分量并不嚴(yán)格按比例增加，實(shí)踐表明，全量理論可近似應(yīng)用。4.5應(yīng)力狀態(tài)對(duì)塑性和變形抗力的影響塑性是指金屬在外力作用下，能穩(wěn)定地發(fā)生永久變形而不破壞其完整性的能力；塑性越高，則預(yù)示著金屬具有更好的塑性成形適應(yīng)能力，允許產(chǎn)生更大的塑形變形量。塑性成形時(shí)，必須對(duì)金屬施加外力，稱為變形力；而金屬抵抗變形的力，則稱為變形抗力，它們大小相等、方向相反。變形抗力反映了材料變形的難易程度。金屬塑性成形時(shí)所表現(xiàn)出來的塑性行為和抗力行為，除與金屬的性質(zhì)、變形時(shí)的溫度、速度條件有關(guān)外，還與變形體的受力狀態(tài)有關(guān)。而變形體受力狀態(tài)的不同，必然反映在其內(nèi)部質(zhì)點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)的不同。例題已知受力體內(nèi)一點(diǎn)的應(yīng)力態(tài)為：求主應(yīng)變?cè)隽康谋取?/p>

例題

4.5.1應(yīng)力狀態(tài)對(duì)塑性的影響應(yīng)力狀態(tài)對(duì)塑性的影響起實(shí)際作用的是應(yīng)力球張量，它反應(yīng)了質(zhì)點(diǎn)三向均等受壓或受拉的程度。當(dāng)sm正值越大時(shí)，材料所受各向等拉作用越強(qiáng)，反之，材料所受各向等壓作用越強(qiáng)。應(yīng)力狀態(tài)對(duì)塑性的影響在受壓情況下，材料的塑性狀態(tài)比前者好。這是因?yàn)椋豪瓚?yīng)力會(huì)促進(jìn)晶間變形，加速晶界的破壞，而壓應(yīng)力則能阻止或減少晶間變形；隨著三向等壓作用的增強(qiáng)，晶間變形愈加困難。三向等壓作用有利于塑性變形過程中形成的各種損傷的愈合；而拉應(yīng)力則相反，會(huì)促進(jìn)損傷的發(fā)展。三向等壓作用能抑制材料中原先存在的各種缺陷的的發(fā)展，部分或全部地消除其危害。三向等壓作用可抵消由于不均勻變形所引起的附加拉應(yīng)力，從而有利于防止裂紋的產(chǎn)生。應(yīng)力狀態(tài)對(duì)塑性的影響在生產(chǎn)實(shí)踐中，通過改變應(yīng)力狀態(tài)（也即改變其中的球應(yīng)力張量）來提高金屬的塑性，從而保證生產(chǎn)順利進(jìn)行，并促進(jìn)工藝的更新：例如加反壓力的擠壓、包套擠壓、帶齒圈壓板的精密沖裁、施加軸向壓力的棒料精密剪切等。應(yīng)力狀態(tài)對(duì)塑性的影響注：塑性加工時(shí)，通過增大變形時(shí)的靜水壓力來提高金屬的塑性。合金鋼在平砧上拔長時(shí)，容易在毛坯心部產(chǎn)生微裂紋；該用V型砧后，由于工具側(cè)面的壓力作用，減小了毛坯心部的拉應(yīng)力作用，可避免中心裂紋的發(fā)生。附加應(yīng)力由于物體內(nèi)各部分的不均勻變形受到整體性的限制，因而在各部分之間將產(chǎn)生相互平衡的應(yīng)力，該應(yīng)力叫附加應(yīng)力，或稱副應(yīng)力。凸形軋輥軋制矩形坯：

a區(qū)變形小，b區(qū)變形大；作為一個(gè)整體，各部分縱向伸長應(yīng)趨于相等。于是，中間部分b給邊緣部分a施加拉應(yīng)力使其增加伸長；邊緣部分a給中間部分b施以壓應(yīng)力使其減小伸長。附加應(yīng)力是一對(duì)相互平衡的內(nèi)力。4.5.2應(yīng)力狀態(tài)對(duì)變形抗力的影響塑性成形時(shí)材料的變形抗力與應(yīng)力狀態(tài)有著密切的關(guān)系。應(yīng)力狀態(tài)對(duì)變形抗力的影響，可用屈服準(zhǔn)則來解釋：設(shè)有兩個(gè)同材質(zhì)的單元體其應(yīng)力狀態(tài)分別為三向壓縮和兩壓一拉σ1為外力所產(chǎn)生的主應(yīng)力，σ2、σ3為模壁約束作用所產(chǎn)生的主應(yīng)力，并假設(shè)σ2=σ3。根據(jù)屈服準(zhǔn)則可知，為了使該單元體發(fā)生塑性變形，對(duì)于三向壓應(yīng)力狀態(tài)時(shí)應(yīng)滿足：|σ1|-|σ3|=σs即|σ1|=σs+|σ3|對(duì)于二壓一拉應(yīng)力狀態(tài)時(shí)應(yīng)滿足：

即：應(yīng)力狀態(tài)對(duì)變形抗力的影響顯然，第一種情況下σ1的絕對(duì)值（即變形抗力）要比第二種情況下的大。因此，對(duì)第一種情況需要施加更大的外力（即增大σ1），方能使金屬發(fā)生塑性變形。4.6真實(shí)應(yīng)力-應(yīng)變曲線真實(shí)應(yīng)力-應(yīng)變曲線即為金屬在單向應(yīng)力狀態(tài)下真實(shí)應(yīng)力與變形程度（應(yīng)變）之間的關(guān)系曲線。該曲線反映了金屬變形時(shí)的加工硬化情況，故也稱為硬化曲線。材料真實(shí)應(yīng)力-應(yīng)變曲線是建立塑性理論的重要依據(jù)，是研究材料的抗力行為、塑性行為、應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系和求解塑性成形問題不可缺少的基本實(shí)驗(yàn)資料，通常采用單向拉伸或單向壓縮實(shí)驗(yàn)來確定這種曲線。同一材料，由于變形溫度和應(yīng)變速率的不同，其真實(shí)應(yīng)力-應(yīng)變曲線亦不同。4.6.1拉伸試驗(yàn)繪制曲線真實(shí)應(yīng)力：瞬時(shí)變形力與瞬時(shí)截面積的比值名義應(yīng)力（條件應(yīng)力）相對(duì)伸長（條件應(yīng)變）拉伸試驗(yàn)繪制曲線頸縮前：試樣的瞬時(shí)截面面積與原始截面面積有如下關(guān)系于是真實(shí)應(yīng)力真實(shí)應(yīng)變對(duì)數(shù)應(yīng)變(真實(shí)應(yīng)變)為了真實(shí)地反映瞬時(shí)的塑性變形過程，一般用對(duì)數(shù)應(yīng)變來表示塑性變形的程度。設(shè)在單向拉伸時(shí)某試樣的瞬時(shí)長度為l，在下一個(gè)瞬時(shí)試樣長度又伸長了dl，則其應(yīng)變?cè)隽繛槎嚇訌某跏奸L度l0到終了長度l1，如果變形過程中主軸不變，可沿拉伸方向?qū)∈進(jìn)行積分，求出總應(yīng)變上式中∈稱為對(duì)數(shù)應(yīng)變或真實(shí)應(yīng)變，反映了物體變形的實(shí)際情況。對(duì)數(shù)應(yīng)變的特性疊加性設(shè)某物體的原長度為l0，歷經(jīng)變形過程l1、l2到

l3，則總的對(duì)數(shù)應(yīng)變?yōu)楦鞣至繉?duì)數(shù)應(yīng)變之和，即:=顯然，這表明，對(duì)數(shù)應(yīng)變具有可疊加性，而相對(duì)應(yīng)變不具有可疊加性。

對(duì)應(yīng)的各階段的相對(duì)應(yīng)變?yōu)椤省?

＋∈2＋∈3對(duì)數(shù)應(yīng)變的特性負(fù)號(hào)表示應(yīng)變方向相反。而用相對(duì)應(yīng)變時(shí)，以上情況分別為可比性

對(duì)數(shù)應(yīng)變?yōu)榭杀葢?yīng)變，相對(duì)應(yīng)變?yōu)椴豢杀葢?yīng)變。假設(shè)將試樣拉長一倍，再壓縮一半，則物體的變形程度相同。拉長一倍時(shí)∈+壓縮一半時(shí)∈-因而，相對(duì)應(yīng)變?yōu)椴豢杀葢?yīng)變。

拉伸試驗(yàn)繪制曲線頸縮后：所記錄的F由于三向拉應(yīng)力的存在必然有一額外的附加值，叫做“形狀硬化”。為了消除形狀硬化的影響，以獲得此時(shí)單向應(yīng)力狀態(tài)下的真實(shí)應(yīng)力拉伸試驗(yàn)繪制曲線拉伸試樣的變形程度（應(yīng)變），有三種表達(dá)方法：伸長率斷面收縮率對(duì)數(shù)應(yīng)變以真實(shí)應(yīng)力S為縱坐標(biāo)，以δ(或Ψ或∈)為橫坐標(biāo)，將拉伸試驗(yàn)所得結(jié)果進(jìn)行整理計(jì)算，即可繪出真實(shí)應(yīng)力-應(yīng)變曲線。曲線可分為三類：第一類為S-δ曲線，第二類為S-Ψ曲線，第三類為S-∈曲線。拉伸試驗(yàn)繪制曲線第三類曲線的變形程度用對(duì)數(shù)表示，它是由試樣瞬時(shí)變形程度積分求得，具有可加性、可比性，因此最能真實(shí)地反映試樣的變形程度，更具有普遍意義，應(yīng)用最為廣泛。4.6.2近似數(shù)學(xué)表達(dá)式為了計(jì)算上的方便，需要將試驗(yàn)所得的真實(shí)應(yīng)力-應(yīng)變曲線，用某一數(shù)學(xué)表達(dá)式來近似描述。研究表明，很多金屬材料的真實(shí)應(yīng)力-應(yīng)變曲線可以簡化成冪強(qiáng)化模型，用冪次式來表示為：S=B∈n

。B為與材料有關(guān)的常數(shù)；n為硬化指數(shù)。為了使理論曲線能較好地?cái)M合實(shí)際曲線，必須合理確定B和n的值。S∈∈bsb∈=1由S=B∈n又①②在失穩(wěn)點(diǎn)b點(diǎn)，F(xiàn)有極大值，③由①③得：近似數(shù)學(xué)表達(dá)式又由于Sb=σb(1+δb)，∈b=㏑