四、根的分布【例1】已知方程，在下列條件下，分別求的范圍．（1）有兩個不同的正根；（2）有兩個不同的負根；（3）一個根在內(nèi)，另一個根在內(nèi)；（4）兩個不同的根都大于；（5）兩個不同的根都小于1；（6）一個根大于1，一個根小于1；（7）兩個不同的根都在內(nèi)；（8）有兩個不同的根，有且僅有一個根在內(nèi)；（9）一個根小于2，一個根大于4；（10）一個根在內(nèi)，另一個根在內(nèi)；（11）一個正根，一個負根，且正根絕對值較大；（12）在內(nèi)無實根．【答案】（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）（8）（9）（10）（11）（12【解析】解法1：利用二次函數(shù)圖解對根進行分類討論，因為太繁，這里從略．解法2：參數(shù)分離法．，其中，由各小題的根的范圍，結(jié)合圖象，可以快速得到答案．變式訓練已知方程，在下列條件下，求的范圍．（1）有兩個不同的正根；（2）有兩個不同的負根；（3）一個根在內(nèi)，另一個根在內(nèi)；（4）兩個不同的根都大于；（5）兩個不同的根都小于1；（6）一個根大于1，一個根小于1；（7）兩個不同的根都在內(nèi)；（8）有兩個不同的根，有且僅有一個根在內(nèi)；（9）一個根小于2，一個根大于4；（10）一個根在內(nèi)，另一個根在內(nèi)；（11）一個正根，一個負根，且正根絕對值較大；（12）在內(nèi)無實根．【例2】已知方程在上：（1）有解，求的范圍；（2）有一解，求的范圍；（3）有兩不同解，求的范圍；（4）無解，求的范圍．【答案】（1）（2）（3）（4）【解析】參數(shù)分離，得，結(jié)合圖象求的范圍．【例3】已知方程在上：（1）有解，求的范圍；（2）有一解，求的范圍；（3）有兩不同解，求的范圍；（4）無解，求的范圍．【答案】（1）（2）（3）（4）【解析】參數(shù)分離，得，結(jié)合圖象求的范．變式訓練1.已知方程在上：（1）有解，求的范圍；（2）有一解，求的范圍（3）有兩不同解，求的范圍；（4）無解，求的范圍．2.已知方程在上：（1）有解，求的范圍；（2）有一解，求的范圍；（3）有兩不同解，求的范圍;（4）無解，求的范圍.【例4】設(shè)為整數(shù)，方程在區(qū)間內(nèi)有兩個不同的根，則的最小值為（）A.B.8C.12D.13【答案】D【解析】分離參數(shù)得，則有，從開始驗證符合題意，故選D.或化為，驗證得，故選D.【例5】已知二次函數(shù)，設(shè)方程的兩個實根為為和.(1)如果設(shè)函數(shù)的對稱軸為直線求證(2)如果求的取值范圍.【解析】(1)設(shè)且.由得且即故得,則有故.(2)由可知所以同號.①若則所以又得負根舍去),代入上式得解得；②若則,所以即同理可求得.故當時當時.【規(guī)律探究】若的解集為，求下列不等式的解集：(1)【答案】(2)(3)【解析】圖象分析即可秒殺.【例6】已知函數(shù)設(shè)方程的根為當時,求證.【解析】解法,所以解法2:由得即得為已知條件,得證.變式訓練已知實系數(shù)一元二次方程的兩個實根為并且則的取值范圍是（）A.B.C.D.【例7】已知二次函數(shù)方程有兩個小于1的不等正根,則的最小值為（）A.2B.3C.4D.5【答案】D【解析】解法1：由條件應有，由，得，所以，可得若當時矛盾；所以的最小值為5，故選D.解法2:極端原理,數(shù)形結(jié)合由得由得從而,此時,方程兩根是等根,所以故選D.解法3:由于方程有兩個小于1的不等正根,故設(shè),又所以即.故所以故選【例8】已知為正整數(shù),方程的兩實根為且，則的最小值為.【答案】11【解析】解法1:依題意,可知從而可知，所以有，即又為正整數(shù),取則所以.從而所以又所以因此有最小值為11.下面可證時從而所以.又所以所以綜上可得,的最小估為11.解法2:用極端原理設(shè)由得所以故.若，則與兩根位置矛盾.故的最小值為$11.$【例9】已知函數(shù)且的最大值是$3,$求實數(shù)的范圍.【解析】根據(jù)題意,得,令則結(jié)合數(shù)軸即得變式訓練1.已知求實數(shù)的值.2.已知,求實數(shù)的值.【例10】若有實數(shù)根,求證.【解析】設(shè)的一個實效根為則令則所以.若則矛盾.所以.變式訓練若有實數(shù)根,則不可能是（）A.B.C.D.五、系數(shù)之放縮【例1】若求證:(1)且(2)方程在(0,1)內(nèi)有兩個實根.【解析】（1）因為所以消去，得消去得故.(2)執(zhí)物線的頂點坐標為,在的兩邊同乘以得.又因為而,所以方程在區(qū)間與內(nèi)分別有一實根.故方程在(0,1)內(nèi)有兩個實根.變式訓練已知二次函數(shù)和一次函數(shù)且（1）求證:兩函數(shù)有兩個不同的交點；（2）求線段在軸上的投影的長度的取值范圍.【例2】已知，且在上單調(diào)遞增，，求的最小值.【解析】由題意知恒成立,所以即,，故所求最小值為18.【例3】設(shè)函數(shù)，其圖象在點，處的切線的斜率分別為.(1)求證;(2)若函數(shù)的遞增區(qū)間為求的取值范圍；(2)當時是與無關(guān)的常數(shù)），恒有求的最小值.【解析】（1）,由題意及導數(shù)的幾何意義得①，②，又可得,即,故,由①得，代入，再由，得③，將代入②得即方程有實根.故由其判別式得或④，由③④得(2)由的判別式,知方程有兩個不等實根,設(shè)為又由知為方程的一個實根,則早根與系教的關(guān)系得當或時當時,故函數(shù)的遞增區(qū)間為由題設(shè)知.因此由(1)知得的取值范圍為[2,4).(3)由得即,因為則整理得，設(shè)可以看作是關(guān)于的一次函教，早題意知對于恒成立，故即得或,由題意知,故因此的最小做為.【例4】設(shè)，，，，若都為正整數(shù)，求的最小值.【解析】①②③，由①③得即④由②③得即⑤由④⑤得⑥由題意知代入②得所以,由⑤得,因為對稱軸,又且故方程在內(nèi)有兩個不等實根.因為都為正整數(shù),則都是正整數(shù),即設(shè)是的兩根,則有又且則,所以又為正整數(shù),所以,若取由⑥式得,因為為正整數(shù),所以,即的兩根都在區(qū)間內(nèi)，故的最小值為6.【評注】上述兩例都有對系數(shù)放縮的動作,破解秘招在于把等式分別代入兩個不等式中，從而得到系數(shù)的大小關(guān)系及的正負值,達到左右平衡，體現(xiàn)了對稱之美.六、可變之區(qū)間【例1】設(shè)函數(shù)，對于給定的負數(shù)，有一個最大的正數(shù)，使得在整個區(qū)間上，不等式恒成立.則為何值時,最大?證明你的結(jié)論.【解析】所以.（?。┊敿磿r,是方程的較小根,.（ⅱ）當即時,是方程的較大根,即,當且僅當時，等號成立.由于因此當且帆當時取最大值.【例2】集合是由符合下列性質(zhì)的函數(shù)構(gòu)成的:對于任意的且.都有設(shè)函數(shù).(1)試求的取值范圍；（2）若，且對于滿足（1）的一切實數(shù)，存在最小的實數(shù)使得當時恒成立,試用表示.【解析】(1)因為屬于集合，所以任取且,則即①.設(shè)則上式化為②因為所以.①式對任意