11.4.2平面與平面垂直第十一章1.理解二面角、二面角的平面角的概念.2.理解兩個平面垂直的定義.3.理解平面與平面垂直的判定定理.4.能運用定理證明一些平面與平面垂直的問題.5.理解平面與平面垂直的性質(zhì)定理，并能夠證明.6.能運用性質(zhì)定理證明一些空間位置關(guān)系的簡單命題.重點：通過直觀感知、操作確認，概括出面面垂直的判定定理、性質(zhì)定理.難點：面面垂直判定定理的應用及二面角的求法，性質(zhì)定理的證明.學習目標1.二面角定義一般地，平面內(nèi)的一條直線把一個平面分成兩部分，其中的每一部分都稱為一個半平面.從一條直線出發(fā)的兩個半平面所組成的圖形稱為二面角，這條直線稱為二面角的

，這兩個半平面稱為二面角的

.一、二面角棱面新知學習2.二面角的平面角如圖所示，在二面角α-l-β的棱上任取一點O，以O為垂足，分別在半平面α和β內(nèi)作垂直于棱的射線OA和OB，則射線OA和OB所成的角稱為二面角的平面角.二面角的大小用它的平面角的大小來度量，即二面角大小等于它的平面角大小.特別地，平面角是直角的二面角稱為

.直二面角一般地，兩個平面相交時，它們所成角的大小，指的是它們所形成的4個二面角中，不大于90°的角的大小.

二、平面與平面垂直

例1一二面角<1>辨析二面角、二面角的平面角下列說法中正確的是（??）A.二面角是兩個平面相交所組成的圖形B.二面角是指角的兩邊分別在兩個平面內(nèi)的角C.二面角是兩個平面所夾的不大于90°的角D.二面角是一條直線和由這條直線出發(fā)的兩個半平面所組成的圖形D下列說法正確的是

（填序號）.①二面角的平面角是從二面角的棱上一點出發(fā)，分別在兩個面內(nèi)作射線所成的最小的角；②二面角的平面角所在的平面垂直于二面角的棱；③如果兩個二面角的平面角的對應邊平行，則這兩個二面角的平面角相等；④異面直線a，b分別和一個二面角的兩個半平面垂直，則a，b所成的角與這個二面角的平面角互補；⑤一個二面角的兩個半平面分別垂直于另一個二面角的兩個半平面，則這兩個二面角的平面角間的關(guān)系是互補.例2②例3<2>求二面角的大小

過正方形ABCD的頂點A作線段AP⊥平面ABCD，且AP＝AB，求平面ABP與平面CDP所成的二面角的大小.例4【解】如圖，構(gòu)造正方體ABCD-PQRS，連接CQ，則平面PQBA與平面PQCD所成的二面角就是平面ABP與平面CDP所成的二面角.因為PA⊥PQ，PD⊥PQ，所以∠APD就是平面ABP與平面CDP所成二面角的平面角，由于構(gòu)造的幾何體是一個正方體，易得∠APD＝45°，故二面角的大小是45°.例5二兩平面垂直<1>利用面面垂直的定義，證明面面垂直

例6<2>利用面面垂直的判定定理，證明面面垂直如圖，AB是⊙O的直徑，C是圓周上不同于A，B兩點的任意一點，PA⊥平面ABC.（1）求證：平面PBC⊥平面PAC.（2）若AE⊥PC，E為垂足，F(xiàn)為PB上任意一點.求證：平面AEF⊥平面PBC.

解題歸納

變式訓練1.如圖所示，已知ABCD是平行四邊形，且PA＝PC，PD＝PB.求證：平面PAC⊥平面ABCD.

變式訓練2.

如圖所示，在長方體ABCD-A1B1C1D1中，AB＝AD＝1，AA1＝2，M是棱CC1的中點.證明：平面ABM⊥平面A1B1M.例7

<3>利用面面垂直的性質(zhì)定理，證明線面垂直已知：如圖，平面PAB⊥平面ABC，平面PAC⊥平面ABC.求證：PA⊥平面ABC.【解題提示】由面面垂直向線面垂直轉(zhuǎn)化，一般要作一條垂直于交線的直線，才能應用性質(zhì)定理.【證明】如圖，在平面ABC內(nèi)取一點D，作DF⊥AC于點F，∵平面PAC⊥平面ABC，且交線為AC，∴DF⊥平面PAC.又∵PA平面PAC，∴DF⊥PA.作DG⊥AB于點G，同理可證DG⊥PA.∵DG∩DF＝D，DG，DF平面ABC，∴PA⊥平面ABC.變式訓練

三空間三種垂直關(guān)系的轉(zhuǎn)化例8如圖，△ABC為正三角形，EC⊥平面ABC，BD∥CE，且CE＝CA＝2BD，M是EA的中點.求證：（1）DE＝DA；（2）平面BDM⊥平面ECA；（3）平面DEA⊥平面ECA.

變式訓練如圖所示，在四棱錐P-ABCD中，平面PAB⊥平面ABCD，△PAB為銳角三角形，∠PBC＝90°.求證：平面PBC⊥平面PAB.1.

變式訓練如圖，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，平面A1BC⊥側(cè)面ABB1A1.求證：AB⊥BC.2.證明：如圖，過點A在平面A1ABB1內(nèi)作AD⊥A1B于點D，則由平面A1BC⊥側(cè)面A1ABB1及平面A1BC∩平面A1ABB1＝A1B，得AD⊥平面A1BC.又BC平面A1BC，所以AD⊥BC.在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1⊥底面ABC，所以AA1⊥BC.又AA1∩AD＝A，從而BC⊥側(cè)面A1ABB1.又AB側(cè)面A1ABB1，故AB⊥BC.四翻折與探索性問題<1>翻折問題中的垂直關(guān)系例9

解題歸納解決折疊問題的方法（1）解決與折疊有關(guān)的問題的關(guān)鍵是搞清折疊前后的變化量和不變量，一般情況下，折線同側(cè)的量不變，抓住不變量是解決問題的突破口.（2）綜合折疊前后的圖形，既要分析折疊后的圖形，也要分析折疊前的圖形.【方法技巧】不論是翻折還是展開，均要注意平面圖形與立體圖形中各個對應元素的相應變化，元素間的大小與位置關(guān)系，哪些不變，哪些變化.<2>垂直關(guān)系中的探索性問題例10如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是∠DAB＝60°且邊長為a的菱形，側(cè)面PAD為正三角形，其所在平面垂直于底面ABCD.（1）求證：AD⊥PB.（2）若E為BC的中點，能否在棱PC上找到一點F，使平面DEF⊥平面ABCD？證明你的結(jié)論.

解題歸納【點評】垂直關(guān)系中的探索性問題一般是探索某點在什么位置滿足垂直關(guān)系，解題時要充分借助圖形特征，利用重要的判定定理與性質(zhì)定理，先大膽猜想，再仔細論證.探索性問題的兩種主要類型一是結(jié)論型：從承認結(jié)論入手，探索出命題成立的條件.二是存在型：先假定“存在”，若經(jīng)推理無矛盾，則“存在”成立；若推出矛盾，則結(jié)論為“不存在”.一、二面角1.二面角定義一般地，平面內(nèi)的一條直線把一個平面分成兩部分，其中的每一部分都稱為一個半平面.從一條直線出發(fā)的兩個半平