專題02數(shù)軸中動點的六種考法

目錄

解題知識必備............................................

壓軸題型講練............................................

類型一、單動點問題（分類討論）.........................................1

類型二、單動點問題（變化規(guī)律）.........................................3

類型三、雙動點問題......................................................5

類型四、雙動點問題（變速）.............................................7

類型五、多動點問題.....................................................11

類型六、新定義問題.....................................................14

壓軸能力測評（12題）...................................

??解題知識必備”

數(shù)軸

（1）概念：規(guī)定了原點、正方向、單位長度的直線叫做數(shù)軸。

三要素：原點、正方向、單位長度

（2）對應關系：數(shù)軸上的點和有理數(shù)是——對應的。

「比較大?。涸跀?shù)軸上，右邊的數(shù)總比左邊的數(shù)大。

（3）應用j求兩點之間的距離：兩點在原點的同側作減法，在原點的兩側作加法。

（注意不帶“+”“一”號）

”壓軸題型講練??

類型一、單動點問題（分類討論）

【典例1】點/為數(shù)軸上一點，距離原點4個單位長度，一只螞蟻從點/出發(fā)，向右爬了3個單位長度到

達點2,則點2表示的數(shù)是（）

A.-1B.7C.-1或7D.-7或1

【答案】C

【分析】平移規(guī)律：向右加，向左減；據此即可求解.

【詳解】解：設點/表示的數(shù)是X,

所以％=±4,

第1頁共27頁

當x=4時，4+3=7；

當x=-4時，—4+3=-1；

所以點8表示的數(shù)-1或7；

故選：C.

【點睛】本題考查了數(shù)軸上點的平移規(guī)律，掌握規(guī)律是解題的關鍵.

【變式1-1]A為數(shù)軸上表示-1的點，將點A在數(shù)軸上平移3個單位長度到點B,則點B所表示的實數(shù)為

（）

A.3B.2C.2或3D.2或一4

【答案】D

【分析】分點4在數(shù)軸上向左移動和向右移動兩種情況，分別分解平移規(guī)律即可解答.

【詳解】解：點N為數(shù)軸上表示的點，

當將點/在數(shù)軸上向右平移3個單位長度到點B,則點B所表示的實數(shù)為2；

當將點A在數(shù)軸上向左平移3個單位長度到點B,則點B所表示的實數(shù)為-4.

故選：D.

【點睛】本題主要考查了實數(shù)與數(shù)軸，掌握利用點的坐標左移減右移加的平移規(guī)律是解題關鍵.

【變式1-2】數(shù)軸上點4表示的數(shù)是-2,將點力沿數(shù)軸移動3單位長度得到點B,則點B表示的數(shù)是（）

A.-5B.1C.-1或5D.-5或1

【答案】D

【分析】本題考查數(shù)軸上點移動后數(shù)字表示，解題關鍵是移動規(guī)律左減右加.根據數(shù)軸上點的移動規(guī)律，

左減右加計算即可.

【詳解】解：根據數(shù)軸上點的移動規(guī)律，左減右加，

可得點力向左移動時：一2-3=-5,

可得點力向右移動時：一2+3=1,

綜上可得點B表示的數(shù)是-5或1,

故選D.

【變式1-3]如圖，圓的直徑為1個單位長度，該圓上的點a與數(shù)軸上表示-1的點重合，將該圓沿數(shù)軸滾動

1周，點力到達點B的位置，則點B表示的數(shù)是（）.

A.7T—1B.—7T—1C.—7T+1或一71—1D.71—1或一7T—1

【答案】D

【分析】本題考查了數(shù)軸上兩點之間的距離，先求出圓的周長為兀，點4沿數(shù)軸滾動1周滾動的路程為圓的

周長，分向左和向右兩種情況討論即可解答，理解點4沿數(shù)軸滾動1周滾動的路程為圓的周長是解題的關鍵.

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【詳解】解：二?圓的直徑為1個單位長度，

...這個圓的周長為兀，

?.?該圓上的點4與數(shù)軸上表示-1的點重合，將該圓沿數(shù)軸滾動1周，點4到達點B的位置，

當圓沿數(shù)軸向左滾動一周時，點B所表示的數(shù)是-兀-1；當圓沿數(shù)軸向右滾動一周時，點B所表示的數(shù)是

—1+兀，即7T—1,

故選：D.

類型二、單動點問題（變化規(guī)律）

【典例2]一只跳蚤在數(shù)軸上從原點。開始沿數(shù)軸左右跳動，第1次向右跳1個單位長度，第2次向左跳2

個單位長度，第3次向右跳3個單位長度，第4次向左跳4個單位長度......依此規(guī)律跳下去，當它第2023

次落下時，落點處對應的數(shù)為（）

A.-1012B.1012C.-2023D.2023

【答案】B

【分析】數(shù)軸上點的移動規(guī)律是"左加右減"，依據規(guī)律計算即可.

【詳解】解：由題可得：

1-2+3-4+5-6+........-2022+2023

=-1x1011+2023

=1012,

故答案選：B.

【點睛】本題考查了數(shù)軸與圖形的變化，數(shù)軸上點的移動規(guī)律是"左加右減"，把數(shù)和點對應起來，數(shù)形結合

是解答本題的關鍵.

【變式2-1]如圖，一個動點從原點。開始向左運動，每秒運動1個單位長度，并且規(guī)定：每向左運動3

秒就向右運動2秒，則該動點運動到第2023秒時所對應的數(shù)是（）

0

iI-Iii

o12345

-5-4-3-2T

A.-406B.-407C.-1010D.—1011

【答案】B

【分析】根據每向左運動3秒就向右運動2秒，可得每經過5秒就向左移動1個單位，根據2023+5=

404……3可得答案.正確得出數(shù)軸上動點的運動規(guī)律是解題關鍵.

【詳解】解：：動點每向左運動3秒就向右運動2秒，

,每經過5秒就向左移動1個單位，

...2023+5=404……3,即經過404個5秒后，又向左移動3秒，

.".404+3=407個單位，

，動點運動到第2023秒時所對應的數(shù)是-407,

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故選：B.

【變式2-2]若在正方形的四個頂點處依次標上"我""愛""數(shù)""學"四個字，且將正方形放置在數(shù)軸上，其中

"我""愛"對應的數(shù)分別為-2和-1,如圖，現(xiàn)將正方形繞著頂點按順時針方向在數(shù)軸上向右無滑動地翻滾.例

如，第一次翻滾后"數(shù)”所對應的數(shù)為0,則連續(xù)翻滾后數(shù)軸上數(shù)2022對應的字是（）

【答案】A

【分析】根據規(guī)律可知，"我"字是數(shù)字除以4余2的，"愛"是除以4余3的，"數(shù)"是能被4整除的，"學”是

除以4余工的，由此可以推出連續(xù)翻滾后數(shù)軸上數(shù)2022對應的字.

【詳解】由題意得，"我"字是數(shù)字除以4余2的，"愛"是除以4余3的，"數(shù)”是能被4整除的，"學"是除以

4余1的，

-■?2022+4=505-2,

所以數(shù)字對應"我"，

故選：A.

【點睛】本題考查了數(shù)軸及翻轉的性質，根據翻轉變化規(guī)律確定每4次翻轉為一次循環(huán)組是解題的關鍵.

【變式2-3]一個動點P從數(shù)軸上的原點。出發(fā)開始移動，第1次向右移動1個單位長度到達點Pi，第2

次向右移動2個單位長度到達點2,第3次向左移動3個單位長度到達點尸3,第4次向左移動4個單位長

度到達點尸4,第5次向右移動5個單位長度到達點尸5…，點P按此規(guī)律移動，則移動第158次后到達的點

在數(shù)軸上表示的數(shù)為（）

A.159B.-156C.158D.1

【答案】A

【分析】根據數(shù)軸，按題目敘述的移動方法即可得到點前五次移動后在數(shù)軸上表示的數(shù)；根據移動的規(guī)律

即可得移動第158次后到達的點在數(shù)軸上表示的數(shù).

【詳解】解：設向右為正，向左為負，則

P1表示的數(shù)為+1,

P2表示的數(shù)為+3

P3表示的數(shù)為0

P4表示的數(shù)為-4

P5表示的數(shù)為+1….

由以上規(guī)律可得，每移動四次相當于向左移動4個單位長度.所以當移動156次時，156=39x4相當于向左

移動了39次四個單位長度.此時表示的數(shù)為39X（-4）=-156.則第157次向右移動157個單位長度,=

1;第158次還是向右，移動了158個單位長度，所以P158=1+158=159.

故P158在數(shù)軸上表示的數(shù)為159.

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故選A.

【點睛】本題考查了數(shù)軸上點的運動規(guī)律，正確理解題意，找出點在數(shù)軸上的運動次數(shù)與對應點所表示的

數(shù)的規(guī)律是解題的關鍵.

類型三、雙動點問題

【典例3】如圖，已知數(shù)軸上點4表示的數(shù)為6,B是數(shù)軸上在力左側的一點，且4B兩點間的距離為9,動

點P從點4出發(fā)，以每秒3個單位長度的速度沿數(shù)軸向左勻速運動，設運動時間為t(t>0)秒.

<—QB0<-PA

''0'6""

(1)數(shù)軸上點B表示的數(shù)是，點P表示的數(shù)是(用含t的代數(shù)式表示)；

(2)動點Q從點B出發(fā)，以每秒2個單位長度的速度沿數(shù)軸向左勻速運動，若點P、Q同時出發(fā).求：

①當點P運動多少秒時，點P與點Q相遇？

②當點P運動多少秒時，點P與點Q間的距離為8個單位長度？

【答案】⑴-3,6-3t

(2)①當點P運動9秒時，點P與點Q相遇；②當點P運動1秒或17秒時，點P與點Q間的距離為8個單位長

度

【分析】此題考查數(shù)軸上兩點間的距離，一元一次方程的應用，根據數(shù)軸上的動點情況列方程是解題的關

鍵.

(1)根據數(shù)軸上兩點間的距離公式即可求解；

(2)①根據追及問題的等量關系，利用點P的運動距離減去點Q的運動距離，列方程即可；②根據點P與

點Q相遇前和相遇后之間的距離為8個單位長度，分兩種情況列方程即可求解.

【詳解】(1)解：???點力表示的數(shù)為6,B是數(shù)軸上在4左側的一點，且4B兩點間的距離為9,

???點B表示的數(shù)是：6-9=-3,

點P表示的數(shù)是：6-3t,

故答案為：—3,6—3t；

(2)①根據題意得：3t-2t=9,

解得：t=9,

答：當點P運動9秒時，點P與點Q相遇；

②當點P與點Q相遇前距離為8個單位長度，

2t+(9-3t)=8,

解得：t=1；

當點P與點Q相遇后距離為8個單位長度，

(3t-9)-2t=8,

解得：t=17,

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答：當點P運動1秒或17秒時，點P與點Q間的距離為8個單位長度.

【變式3-1］如圖，數(shù)軸的原點為。，在數(shù)軸上有4、B兩點，點力對應的數(shù)是-4,點B對應的數(shù)是1,動點M、

N同時從力、B出發(fā),分別以3個單位/秒和1個單位/秒的速度沿著數(shù)軸正方向運動,設運動時間為t秒(t>0).

AB

［ii?i］iii1A

-4-3-2-1012345x

(1)4B兩點間的距離是_；

(2)當t=1時，動點M對應的數(shù)是動點N對應的數(shù)是」

⑶當運動時間為t秒時，用含t的代數(shù)式表示出點M和點N所對應的數(shù)；

⑷當t時，點。是否為線段MN的中點？

【答案】⑴5

(2)-1,2

(3)—4+3t,1+t

(4)是，理由見解析

【分析】本題考查了數(shù)軸上的動點問題，涉及了數(shù)軸上兩點間的距離公式.根據動點的起始位置、運動方

向和運動速度確定動點在數(shù)軸上對應的數(shù)是解題關鍵.

(1)根據4B=4-1］即可求解；

(2)根據動點的起始位置、運動方向和運動速度即可求解；

(3)根據動點的起始位置、運動方向和運動速度即可求解；

(4)表示出線段MN的中點對應的數(shù)即可求解；

【詳解】(1)解：AB=|-4-1|=5,

故答案為：5

(2)解：當t=l時，動點M對應的數(shù)是：—4+1X3=-1；

動點N對應的數(shù)是：1+1=2,

故答案為：—1,2

(3)解：當運動時間為t秒時，動點M對應的數(shù)是：一4+3￡；

動點N對應的數(shù)是：1+t

(4、翩.純居的山占對應的粉皇.T+3t+l+t=-3+4t

22

解得：

...當t=*時，點。是否為線段MN的中點

【變式3-2］如圖，點M、N均在數(shù)軸上,點M所對應的數(shù)是-3,點N在點M的右邊，且距M點4個單位長度,

點P、Q是數(shù)軸上的兩個動點.

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MON

SA▲?

^36

(1)求出點N所對應的數(shù)；

(2)當點P到點M、N的距離之和是5個單位長度時，求出此時點P所對應的數(shù)；

⑶若點P、Q分別從點"、N出發(fā)，均沿數(shù)軸向左運動，點P每秒運動2個單位長度，點Q每秒運動3個單位

長度.若點P先出發(fā)5秒后點Q出發(fā)，當P、Q兩點相距2個單位長度時，直接寫出此時點P、Q分別對應的

數(shù).

【答案】⑴1;

(2)-3.5或1.5；

⑶點P對應的數(shù)是-37,點Q對應的數(shù)是-35或點P對應的數(shù)是-45,點Q對應的數(shù)是一47.

【分析】(1)根據兩點間的距離公式即可求解；

(2)分兩種情況：①點P在點M的左邊,；②點P在點N的右邊，進行討論即可求解；

(3)分兩種情況：①點P在點Q的左邊，②點P在點Q的右邊，進行討論即可求解；

本題考查了兩點間的距離和數(shù)軸，解題的關鍵是熟練掌握數(shù)軸及"分類討論"的數(shù)學思想.

【詳解】(1)-3+4=1,故點N所對應的數(shù)是1；

(2)(5-4)+2=0.5,

①點P在點M的左邊，

—3—0.5=—3.59

②點P在點N的右邊，

1+0.5=1.5,

故點P所對應的數(shù)是-3.5或1.5；

(3)①點P在點Q的左邊，

(4+2X5-2)+(3-2)=12+1=12(秒)，

點P對應的數(shù)是一3-5x2-12x2=-37,點Q對應的數(shù)是一37+2=-35；

②點P在點Q的右邊，

(4+2x5+2)4-(3-2)=164-1=16(秒)，

點P對應的數(shù)是一3-5x2-16x2=-45,點Q對應的數(shù)是一45-2=-47,

綜上可知：點P對應的數(shù)是-37,點Q對應的數(shù)是-35或點P對應的數(shù)是-45,點Q對應的數(shù)是-47.

類型四、雙動點問題(變速)

【典例4］已知a、b為常數(shù),且滿足|a-12|+(6+20)2=0,其中a、6分別為點/、點2在數(shù)軸上表示

的數(shù)，如圖所示，動點E、F分別從/、3同時開始運動，點E以每秒6個單位向左運動，點廠以每秒2個

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單位向右運動，設運動時間為，秒.

BA

---1--------1-----1----------?

0

(1)求0、6的值；

(2)請用含/的代數(shù)式表示點E在數(shù)軸上對應的數(shù)為：；點/在數(shù)軸上對應的數(shù)為：；

⑶當￡、尸相遇后，點E繼續(xù)保持向左運動，點廠在原地停留4秒后向左運動且速度變?yōu)樵瓉淼?倍，在

整個運動過程中，當E、尸之間的距離為2個單位時，請求出運動時間，的值.

【答案】⑴a=12,6=-20

(2)12-6t,2t-20

..15132729

(~'T

【分析】本題主要考查了一元一次方程的應用，列代數(shù)式，

(1)根據絕對值和平方式的非負性得出。和6的值即可；

(2)根據點的運動得出代數(shù)式即可；

(3)分四種不同情況進行分類討論，根據路程=速度x時間，列方程求解即可.

解題的關鍵是要運用分類討論的思想.

【詳解】(1)解：???|a—12|+(6+20)2=0,|a—12|20,^b+20f>0,

a-12=0,b+20=0,

?1?a—12,b——20；

(2)解:由題意可知，E點對應的數(shù)為：12-6t,

產對應的數(shù)為—20+2t=2t—20,

故答案為：12-6t,2t-20；

(3)解：在相遇前：t=[20—(-12)-2]+(2+6)=上，

設t時E、尸相遇,

即12-6t'=2t-20；

解得t'=4,

①當E點在尸點左側時，且尸點沒動時，

由題意可得，6(t-4)=2,

解得：t=￡,

②當￡點在尸點左側時，且尸點已動時，

6x(t—4)-2x5x(-4—4)=2,

解得：t=合

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③當點￡在點/右側時，

由題意2x5x(t-4-4)-6x(t-4)=2,

解得：1=舄

綜上所述，符合條件的t的值為：與學，V-V

【變式4-1］如下圖，數(shù)軸上，點N表示的數(shù)為-7,點8表示的數(shù)為-1,點C表示的數(shù)為9,點。表示的

數(shù)為13,在點3和點C處各折一下，得到一條"折線數(shù)軸"，我們稱點/和點D在數(shù)軸上相距20個長度單

位，動點尸從點/出發(fā)，沿著“折線數(shù)軸"的正方向運動，同時，動點。從點。出發(fā)，沿著"折線數(shù)軸"的負

方向運動，它們在"水平路線"射線BA和射線CD上的運動速度相同均為2個單位/秒，"上坡路段"從B到C

速度變?yōu)?水平路線"速度的一半，"下坡路段"從C到B速度變?yōu)?水平路線"速度的2倍.設運動的時間為?

秒，問：

AB

⑴動點。從點C運動到點B需要的時間為秒；

(2)動點尸從點/運動至。點需要的時間為多少秒？

⑶當P、。兩點在數(shù)軸上相距的長度與。、。兩點在數(shù)軸上相距的長度相等時，求出動點P在數(shù)軸上所對

應的數(shù).

【答案】⑴2.5

(2)15

碇或］

【分析】(1)求出BC長度，"下坡路段"速度是4個單位/秒，即得動點。從點C運動到點8的時間；

(2)先求出NB,BC,CD的長度，再根據"水平路線"速度是2個單位/秒，從8到。速度變?yōu)?水平路線"

速度的一半，即得動點尸從點A運動至。點需要的時間；

(3)設運動時間為秒，分四種情況：①當0夕42,②當2c仁3,③當3々＜4.5,④當4.5〈仁7.5,列方程

求出t.

【詳解】(1)???點3表示的數(shù)為-1,點。表示的數(shù)為9,

.*.2C=l-(-9)=10(個單位)，

:"下坡路段"從C到B速度變?yōu)椤八铰肪€”速度的2倍，"水平路線”速度是2個單位/秒，

下坡路段"速度是4個單位/秒，

二動點。從點C運動到點B需要的時間為10+4=25(秒)；

第9頁共27頁

(2)根據題意知：43=|-7-(-1)|=6(個單位),BC=l-(-9)=10(個單位),CO=13-9=4(個單位),

水平路線"速度是2個單位/秒，從8到C速度變?yōu)?水平路線"速度的一半，

動點尸從點A運動至。點需要的時間為

6+2+10專■4+2=3+10+2=15(秒)；

(3)設運動時間為f秒，

①當0金52,即尸在N3上，。在C￡>上，顯然尸、。兩點在數(shù)軸上相距的長度與。、。兩點在數(shù)軸上相距

的長度不會相等；

②當2〈江3,即尸在N5上，。在C8上時，尸表示的數(shù)是-7+27,0表示的數(shù)是9-4/2),

0-(-7+2;)=9-4(r-2)-0,

解得仁5,

此時P已不在48上，不符合題意，這種情況不存在；

③當3v<4.5,即P在3C上，0在C8上時，P表示的數(shù)是-1弓/3)"4,。表示的數(shù)是9-4修2)=174,

，|:-4|=|174|,

解得上藍或片?

???P表示的數(shù)是g或,；

④當4.5<長7.5,即尸在8C上，。在48上時，P表示的數(shù)是介4,。表示的數(shù)是-1-2/45)=8-23

：.t-4-0=0-(8-2t),

解得f=4(不合題意，舍去)，

綜上所述，當尸、。兩點在數(shù)軸上相距的長度與。、。兩點在數(shù)軸上相距的長度相等時，動點尸在數(shù)軸上所

對應的數(shù)是茅片.

【點睛】本題考查數(shù)軸上的動點問題，解題的關鍵是用含f的代數(shù)式表示動點表示的數(shù)，根據運動過程分類

討論.

類型五、多動點問題

【典例5］已知數(shù)軸上兩點/、2對應的數(shù)分別是6,-8,M、N、P為數(shù)軸上三個動點，點M從4點出發(fā),

速度為每秒2個單位，點N從點3出發(fā)，速度為M點的3倍，點尸從原點出發(fā)，速度為每秒1個單位.

⑴若點M向右運動，同時點N向左運動，求多長時間點M與點N相距46個單位？

⑵若點M、N、尸同時都向右運動，求多長時間點P到點N的距離相等？

⑶當時間才滿足ti<tW匕2時，M、N兩點之間，N、尸兩點之間，M、P兩點之間分別有47個、37個、10

個整數(shù)點，請直接寫出〃，B的值.

【答案】(1)4；

⑵春瑪；

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(3)4或名

【分析】(1)利用“、N之間的距離為最初的距離加上各自行駛的路程即可得到一個關于/的方程，解方程

即可得出答案；

(2)先將N,尸三點在數(shù)軸上的位置用含t的代數(shù)式表示出來，然后分點N在點尸左側和點N在點尸

右側兩種情況分別討論即可；

(3)根據N,P之間整數(shù)點的個數(shù)，可以確定出N,P三點的位置，從而找到打，及的值.

【詳解】(1)解：設運動時間為/秒，

由題意可得：6+8++6t=46,

t=4,

，運動4秒點M與點N相距46個單位；

(2)解：設運動時間為，秒，

由題意可知：Af點運動到6+2t,N點運動到-8+63尸點運動到3

由MP=N尸得忙+6|=|5t-8|,

解得上券百

...運動方或為時點P到點跖N的距離相等；

(3)解：由題意可得：M、N、尸三點之間整數(shù)點的多少可看作它們之間距離的大小，

M、N兩點距離最大，M、尸兩點距離最小，可得出M、P兩點向右運動，N點向左運動.

①當G=4s時，P在4,Af在14,N在一32,

再往前一點，MP之間的距離即包含10個整數(shù)點，NP之間有37個整數(shù)點；

②當N繼續(xù)以6個單位每秒的速度向左移動，尸點向右運動，

若N點移動到-33時，此時N、尸之間仍為37個整數(shù)點，

若N點過了-33時，此時N、P之間為38個整數(shù)點

故以=；+4=g，

66

ti=4,to~—?

1,6

【點睛】本題主要結合數(shù)軸考查了點在數(shù)軸上的移動，能夠根據題中信息利用方程的思想建立關于t的方程

是解題的關鍵.

【變式5-1】預備知識：在數(shù)學中，把點4與點B之間的距離用48表示

如圖，在數(shù)軸上力點表示數(shù)a,B點表示數(shù)點表示數(shù)c,已知數(shù)b是最小的正整數(shù)，且a、c滿足|a+2|+(c-

7)2=0.

??，，?

ABC

=

(l)ci=_,b_,c=_；

第11頁共27頁

(2)點A、B、C開始在數(shù)軸上運動，若點A以每秒1個單位長度的速度向左運動，同時，點B和點C分別以每秒

m(m<4)個單位長度和4個單位長度的速度向右運動，運動t秒鐘后，求4,B,C三點在數(shù)軸上所表示的數(shù)(用

含的式子表示)，若在此過程中，8C-的值保持不變，求小的值.

⑶在此數(shù)軸有上一動點Q對應的數(shù)為y,求|y+2|+|y-7|的最小值.

【答案】⑴一2,1,7

(2)點/表示的數(shù)為一2-3點2表示的數(shù)為2+mt；點。表示的數(shù)為7+4t,爪=|

(3)9

【分析】(1)根據數(shù)6是最小的正整數(shù)，得出6=1,根據絕對值和平方的非負性得出a+2=0,c-7=0,

即可得出0和c的值；

(2)根數(shù)兩點之間的距離表示方法，即可得出f秒后4B、C三點表示的數(shù)，得出BC-48關于f的表達

式，根據BC-4B的值保持不變可知，BC-48的值與，無關，即可求出機的值.

(3)根據絕對值的幾何意義，可得|y+2|表示點。和-2的距離，|y-7|表示點。和7的距離，則當點。

在—2和7之間時，|y+2|+|y—7|的值最小，即可求解.

【詳解】(1)解：：數(shù)b是最小的正整數(shù)，

b=1,

V|a+2|+(c-7)2=0,

/.a+2=0,c—7=0,

解得：a――2,c=7,

故答案為：—2,1,7；

(2)解：根據題意可得：

*.*a=—2,b=1,c=7,

.."秒中后，點N表示的數(shù)為一2-a點8表示的數(shù)為2+znt；點C表示的數(shù)為7+4t,

'.BC=7+4t—(2+mt)=5+(4—m)t,AB=2+mt—(—2—t)=4+(m+l)t,

BC-AB=5+(4—m)t-[4+(m+l)t]=1+(3—2m)t,

的值保持不變，

一4B的值與t無關，即3-2巾=0,

解得：m--

(3)解：???|y+2|=|y-(-2)|,

\y+2|表示點Q和-2的距離,

：攸一7|表示點。和7的距離,

當點Q在一2和7之間時，|y+2|+|y-7|的值最小,

此時|y+2|+|y-7|=7-(-2)=9.

【點睛】本題主要考查了絕對值和平方的非負性，絕對值的幾何意義，數(shù)軸上兩點之間距離的表示方法，

第12頁共27頁

解題的關鍵是掌握幾個非負數(shù)相加和為0,則這幾個非負數(shù)分別為0,以及數(shù)軸上兩點之間距離的表示方法.

【變式5-2］如圖，一個點從數(shù)軸上的原點開始，先向左移動2cm到達4點，再向右移動3cm到達8點，

然后再向右移動gem到達C點，數(shù)軸上一個單位長度表示1cm.

-6-5-4-3-2-1012345

⑴請你在數(shù)軸上表示出4,B,C三點的位置；

(2)把點C到點A的距離記為C4貝!JCA=cm.

⑶若點/沿數(shù)軸以每秒3cm勻速向右運動，經過多少秒后點/到點C的距離為3cm?

⑷若點/以每秒1cm的速度勻速向左移動，同時點8、點C分別以每秒4cm、9cm的速度勻速向右移動.設

移動時間為/秒，試探索：BA-C8的值是否會隨著1的變化而改變？若變化，請說明理由，若無變化，請

直接寫出BA—CB的值.

【答案】⑴見解析；

(2承

⑶,秒或整秒；

(4)不變化,值為去

【分析】(1)根據題意，在數(shù)軸上表示點/、B、C的位置即可；

(2)利用數(shù)軸上兩點間的距離公式解題；

(3)分兩種情況討論：點/在點C的左側或點4在點。的右側；

(4)表示出B4CB,再相減即可解題.

【詳解】(1)如圖，

5

A4'

????4??1235■

-6-5-4-3-2-10

(2)C4=l+|_(_2)=]

故答案為：?；

(3)①當點/在點C的左側時：(日一3)+3=5

②點A在點C的右側時：管+3)+3=彳

所以，經過，或暫秒后點A到點C的距離為3cm.

(4)移動/秒后，BA=l+4t-(-2-t)=3+5t,CB=(1+^)+9t-(1+4t)=5t+

81

BA-CB=3+St—(St+~

???BA-CB的值不會隨著t的變化而變化，BA—CB=

第13頁共27頁

【點睛】本題考查數(shù)軸、數(shù)軸上兩點間的距離等知識，掌握相關知識是解題關鍵.

類型六、新定義問題

【典例6】定義：數(shù)軸上N、8兩點的距離為。個單位記作=a,根據定義完成下列各題.

兩個長方形4BCD和EFGH的寬都是3個單位長度，長方形4BCD的長力D是6個單位長度，長方形EFGH的長

EH是10個單位長度，其中點/、D、E、X在數(shù)軸上（如圖），點E在數(shù)軸上表示的數(shù)是5,且E、。兩點

之間的距離為14,原點記為0.

B_____CF___________G

,E

AMDO5NH>

⑴求數(shù)軸上點〃、/所表示的數(shù)？

⑵若長方形A8CD以4個單位長度/秒的速度向右勻速運動，同時長方形EFGH以3個單位長度/秒的速度向

左勻速運動，數(shù)軸上有M、N兩點，其中點M在/、。兩點之間，且力M=其中點N在￡、〃兩點之

間，且EN=：EH,設運動時間為x秒.

①經過x秒后，M點表示的數(shù)是N點表示的數(shù)是_（用含x的式子表示，結果需化簡）.

②求MN（用含x的式子表示，結果需化簡）.

⑶若長方形4BCD以2個單位長度/秒的速度向右勻速運動，長方形EFGH固定不動，設長方形4BCD運動的

時間為t（t>0）秒，兩個長方形重疊部分的面積為S,當S=12時，求此時f的值.

【答案】（1）點女在數(shù)軸上表示的數(shù)是15,點/在數(shù)軸上表示的數(shù)是-15

（2）①4x-12,7-3x；②當M點在N點的左側時，MN=19-7x；當點M在N點的右側時，MN=7%-19

（3）9秒或13秒

【分析】（1）根據ED=14,OE=5,EH=10,AD=6,推出。H=15,。。=9,得到。4=15,得到

在數(shù)軸上點〃表示的數(shù)是15,點/表示的數(shù)是-15；

（2）①根據長方形力BCD以4個單位長度/秒的速度向右勻速運動，同時長方形EFGH以3個單位長度/秒的

速度向左勻速運動，AM=^AD=3,EN=（EH=2,得到x秒后，河點表示的數(shù)：4x—12,N點表示的

數(shù)：7—3x；②當M點在N點的左側時，MN=19—7x,當點M在N點的右側時，MN=7x—19；

（3）根據兩個長方形的寬都是3個單位長度，重疊部分的面積為12,得到重疊部分的長為4個單位長度，

當點。運動到E點右邊4個單位時，長方形4BCD運動的時間為9秒；當點/運動到H點左邊4個單位時,

長方形力BCD運動的時間為13秒.

【詳解】（1）由題意得：ED=14,OE=5,EH=10,AD=6,

：.OH=OE+EH=5+10=15,：.OD=ED-OF=14-5=9,

：.OA=OD+AD=9+6=15,

...點X在數(shù)軸上表示的數(shù)是15,點/在數(shù)軸上表示的數(shù)是-15；

第14頁共27頁

(2)(1),：AD=6,EH=10,

：.AM=-AD=3,EN=-EH=2,

25

\"OA=15,OE=5,

：.OMOA-AM12,ON=OE+EN=7,

?.?長方形力BCD以4個單位長度/秒的速度向右勻速運動，同時長方形EFGH以3個單位長度/秒的速度向左

勻速運動，

點表示的數(shù)為：4%-12,N點表示的數(shù)為：7-3羽

故答案為：4%-12,7-3%；

②當M點在N點的左側時，MN=(7-3%)-(4%-12)=19-7%,

當點M在N點的右側時，MN=(4%-12)-(7-3%)=7x-19；

(3)?.?兩個長方形的寬都是3個單位長度，重疊部分的面積為12,

...重疊部分的長為4個單位長度，

當點。運動到E點右邊4個單位時，

t=(14+4)+2=9；

當點A運動到，點左邊4個單位時，

t=(6+14+6)4-2=13,

綜上，長方形4BCD運動的時間為9秒或13秒時，兩個長方形重疊部分的面積為12.

【點睛】本題主要考查了數(shù)軸動點問題，熟練掌握數(shù)軸上的點表示的數(shù)，數(shù)軸上兩點間的距離，路程、速

度和時間的關系，長方形面積公式等知識點，求數(shù)軸上兩點間的距離用右邊點對應的數(shù)減左邊對應的數(shù)；

路程等于速度乘時間；熟記長方形的面積是長乘寬是解題的關鍵.

【變式6-1】數(shù)軸上有B,C三個不同的點，給出如下定義：若其中一個點到其他兩個點之間的距離相等

時，則稱該點是其他兩個點的"中點"，這三個點為“中點關聯(lián)點”.例如在圖中的數(shù)軸上，點4B,C所表示

的數(shù)分別為1,3,5,此時點B是點N,C的"中點

1aAaBaCt1w.

0I2345

(1)若點/表示數(shù)-2,點B表示數(shù)1,當點B是點/與點C的"中點”時，求點C表示的數(shù)；

(2)點/表示數(shù)-10,點8表示數(shù)15,點P為數(shù)軸上一個動點，若點B,P是"中點關聯(lián)點"，求此時點P表

示的數(shù).

【答案】(1)4

(2)40或2.5或一35

【分析】(1)根據題意求得C4與BC的關系，得出答案；

(2)分點尸為/、3的中點關聯(lián)點，A為P、2的中點關聯(lián)點，B為4、P的中點關聯(lián)點列式解答即可.

【詳解】(1)解：因為點/表示數(shù)-2,點B表示數(shù)1,且點B是點力與點C的中點，

第15頁共27頁

所以BC=AB=1-(-2)=3,

所以點C表示的數(shù)為1+3=4；

(2)解：分三種情況：

①若點B是點4P的"中點"則點P表示的數(shù)是：15+[15-(-10)]=40；

②若點P是點4B的"中點"則點P表示的數(shù)是：15-1[15-(-10)]=2.5；

③若點4是點BP的"中點"則點P表示的數(shù)是：-10-[15-(-10)]=-35.

故點P表示的數(shù)為40或2.5或一35.

【點睛】本題考查了數(shù)軸及數(shù)軸上兩點的距離，理解新定義，分類討論是解題關鍵.

【變式6-2】數(shù)軸上有4B,C三點，給出如下定義：若其中一個點與其它兩個點的距離恰好滿足2倍的

數(shù)量關系，則稱該點是其它兩個點的"關聯(lián)點".

例：如圖1所示，數(shù)軸上點4,3,。所表示的數(shù)分別為1,3,4,因為48=3—1=2,8c=4—3=1,AB=

2BC,所以稱點8是點N,C的"關聯(lián)點".

ABC

‘'AAA'A.

-1012345

圖1

⑴如圖2所示，點/表示數(shù)-2,點2表示數(shù)1,下列各數(shù)2,4,6所對應的點分別是C/,C2,其中是

點4,B的"關聯(lián)點”的是一

AB

4-3-210123456789

圖2

(2)如圖3所示，點/表示數(shù)-10,點2表示數(shù)15,P為數(shù)軸上一個動點：

①若點P在點2的左側，且P是點4B的"關聯(lián)點"，求此時點P表示的數(shù)；

②若點P在點2的右側，點P,/,B中，有一個點恰好是其它兩個點的“關聯(lián)點"，請求出此時點尸表

示的數(shù).

AB

------1-----1----------1?

-10015

圖3

【答案】⑴

(2)①點P表示的數(shù)為—35,-|,y；②點尸表示的數(shù)為40,y,65

【分析】(1)分別求出點Q,C到4B兩點間的距離，再進行驗證即可；

(2)①分類討論點P在之間和點P在4點左側時的情況即可；②分類討論點P為點4B的"關聯(lián)點"、點B

為點4P的"關聯(lián)點"、點4為點B,P的"關聯(lián)點"即可求解.

【詳解】(1)解：：力的=2-(-2)=4,SCi=2-1=1

第16頁共27頁

...點Cl不是點A,B的"關聯(lián)點"

'：AC2=4-(-2)=6,BC2=4-1=3

：.AC2=2BC2

即：點C2是點3的“關聯(lián)點"

'：ACj,=6-(-2)=8,BC3=6-1=5

二點C3不是點/，3的"關聯(lián)點"

故答案為：C2

(2)解：解：設點尸在數(shù)軸上表示的數(shù)為p

①(i)當點P在4B之間時，

若4P=2BP,貝加+10=2(15—p)

解得：P=與

若BP=2AP,貝IJ15-p=2(p+10)

解得：P=_'

(ii)當點P在a點左側時，

則BP=24P,即：15-p=2(-10-p)

解得：p=-35

故：點尸表不的數(shù)為—35,—p'y；

②(i)當點P為點48的"關聯(lián)點"時，

則P4=2PB,即：p+10=2(p-15)

解得：p=40

(ii)當點B為點4P的“關聯(lián)點"時，

則4B=2PB,即：15+10=20-15)

解得：p=y

或BP=24B,即：p—15=2(15+10)

解得：p—65

(iii)當點4為點B,P的"關聯(lián)點”時,

貝U4P=24B,即：p+10=2(15+10)

解得：p=40

故：點尸表示的數(shù)為40,y,65

【點睛】本題以新定義題型為背景，考查了數(shù)軸上兩點間的距離公式.掌握相關結論，進行分類討論是解

題關鍵.

第17頁共27頁

??壓軸能力測評??

1.A為數(shù)軸上表示-2的點，將點A沿著數(shù)軸向右移8個單位長度后，再向左移動4個單位長度到點B,

則點B表示的數(shù)為()

A.2B.3C.4D.5

【答案】A

【分析】題目主要考查數(shù)軸上點的移動規(guī)律：左減右加，有理數(shù)的加減法則，熟記規(guī)律是解題的關鍵.

【詳解】解：一2+8—4=2.

故點B表示的數(shù)為2.

故選：A.

2.點/在數(shù)軸上對應的數(shù)為-1,點2在數(shù)軸上對應的數(shù)為3,點P在數(shù)軸上對應的數(shù)為x,若點P到點4的

距離是點P到點B的距離3倍，則%=.

【答案】2或5

【分析】本題考查了數(shù)軸，本題考查了數(shù)軸，由題意得4P=|%-(一1)|=|%+1|,BP=再根據AP=

3BP,列出式子|x+l|=3|x—3],然后根據絕對值的性質化簡即可.

【詳解】解：由題意得，AP=|x-(-1)|=|x+1|,8P=|x—3|,

AP=3BP,

|x+1|=3\x-3|,

當x>3時，x+1=3(%—3),解得x=5；

當時，x+1=3(3-x),解得x=2；

當X<一1時，一x—1=3(3—x),解得尤=5；

綜上，x的值為2或5,

故答案為：2或5.

3.如圖，有一根木棒MN放置在數(shù)軸上，它的兩端M、N分別落在點力、B.將木棒在數(shù)軸上水平移動，當

點M移動到點B時，點N所對應的數(shù)為17,當點N移動到點4時，點M所對應的數(shù)為5,則點力在數(shù)軸上表示

的數(shù)為.

MN

0SABIT*

【答案】9

【分析】由數(shù)軸觀察知三根木棒長是17-5=12,則此木棒長為4,然后結合圖形即可求解.

本題考查了數(shù)軸，數(shù)形結合是解決本題的關鍵.

【詳解】解：由數(shù)軸觀察知三根木棒長是17-5=12,

此木棒長為12+3=4,

二點4在數(shù)軸上表示的數(shù)為5+4=9,

第18頁共27頁

故答案為9.

4.點P從原點向距離原點左側1個單位的4點處跳動,第一次跳動到（M的中點4處,第二次從4點跳動到

的中點42處，第三次從4點跳動到力&的中點心處，如此不斷跳動下去，則第4次跳動后，尸點（即人表示

的數(shù)）為.

——------------------------->

0

AAJ3/Z/1

【答案】

【分析】解：根據題意可得第一次跳動到。4的中點4處時，AA1=^OA=~第二次從4點跳動到力&的中

點4處時，442="&=G）；第三次從人2點跳動到力4的中點&處口寸，443="4=G）,第四次從43

點跳動到力4的中點44處時，^4=|x^