第一章e7d195523061f1c01da5a1f0837ac25283df40ff0a16bfd61AE6AB84AD7EB485CA8019BF267F2027DE2BF09650313B56A435BB3664F8B916CA3777391AC088C283181605E184D6D6879568EB73EB808A103F0784C8DFC3E9CDD14B61FDDA6A8A6237D2DFE3BBAEC8979D824A43E015648F6CB3D1F8D3E352A4BDC9925C075CFF312C4A0BE75FDF5CAdvancedmathematics函數(shù)、極限與連續(xù)高等數(shù)學(xué)上海財(cái)經(jīng)大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院

編e7d195523061f1c01da5a1f0837ac25283df40ff0a16bfd61AE6AB84AD7EB485CA8019BF267F2027DE2BF09650313B56A435BB3664F8B916CA3777391AC088C283181605E184D6D6879568EB73EB808A103F0784C8DFC3E9CDD14B61FDDA6A8A6237D2DFE3BBAEC8979D824A43E015648F6CB3D1F8D3E352A4BDC9925C075CFF312C4A0BE75FDF5C二、區(qū)間與鄰域三、函數(shù)的概念四、函數(shù)的幾何特性五、反函數(shù)六、分段函數(shù)七、基本初等函數(shù)八、函數(shù)的運(yùn)算九、常見的經(jīng)濟(jì)函數(shù)一、集合目錄/Contents第一節(jié)函數(shù)e7d195523061f1c01da5a1f0837ac25283df40ff0a16bfd61AE6AB84AD7EB485CA8019BF267F2027DE2BF09650313B56A435BB3664F8B916CA3777391AC088C283181605E184D6D6879568EB73EB808A103F0784C8DFC3E9CDD14B61FDDA6A8A6237D2DFE3BBAEC8979D824A43E015648F6CB3D1F8D3E352A4BDC9925C075CFF312C4A0BE75FDF5C目錄/Contents一、集合1.集合的概念2.集合的運(yùn)算一、集合(1)某校的學(xué)生人數(shù)；(3)不等式的解；(2)一元二次方程的解；(4)平面上所有直角三角形.確定對象的集體，稱為集合，其中組成集合的每個(gè)對象叫做集合的元素.例如:1.集合的概念一、集合對于一個(gè)給定的集合,集合中的元素是確定的.即任何一個(gè)對象要么是這個(gè)給定集合的元素,要么不是它的元素.一般地,集合用大寫的字母A,B,C,X,Y,…表示；如果a是集合A的元素,就說屬于,aA記作；就說a不屬于A,

記作.a,b,c,x,y,…表示.元素用小寫的字母a不是集合A的元素,如果如果集合A中的每一個(gè)元素同時(shí)也是集合B中的元素,則稱A是B的子集或稱A包含于B或B包含A,記作或.如果且,則稱A與B相等,記作.集合一般有兩種表示法:列舉法,一、集合即將集合中所有的元素一一列舉出來.一元二次方程的解集B,表示為；不等式的解集H,表示為.例如表示為；N可表示為.描述法,即通過刻畫集合中元素的性質(zhì)來說明.1,2,3,4,5五個(gè)數(shù)字組成的集合A,由自然數(shù)集12例如一、集合元素為數(shù)的集合稱為數(shù)集,常見的數(shù)集有:自然數(shù)集合N,整數(shù)集合Z,有理數(shù)集合Q,實(shí)數(shù)集合R,復(fù)數(shù)集合C.在這個(gè)次序中,前一個(gè)集合是后一個(gè)集合的子集.由有限個(gè)元素組成的集合,稱為有限集,如某校的學(xué)生人數(shù),一元二次方程的解；稱為無限集,如不等式的解,平面上所有直角三角形.不含任何元素的集合稱為空集,記作,例如由方程的實(shí)根組成的集合,就是一個(gè)空集.空集是任何集合的子集.,由無限個(gè)元素組成的集合一、集合圖1.1,,.圖1.1中所示陰影部分分別表示集合有三種基本運(yùn)算,設(shè)A,B是已知的集合,即交,并,差.則稱為A與B的交集,記作；稱為A與B的并集,

稱為A與B的差集,記作.2.集合的運(yùn)算記作;一、集合含有我們所要研究的全部元素的集合稱為全集,并用I表示,則差集也稱為A的余集或補(bǔ)集,記作,例如,，.在兩個(gè)集合之間還可以定義直積或笛卡爾(Descartes)乘積,設(shè)A,B是任意兩個(gè)集合,則由有序?qū)M成的集合,稱為A與B的直積,記作,即.例如,，常記作.則平面上全體點(diǎn)的集合,即為e7d195523061f1c01da5a1f0837ac25283df40ff0a16bfd61AE6AB84AD7EB485CA8019BF267F2027DE2BF09650313B56A435BB3664F8B916CA3777391AC088C283181605E184D6D6879568EB73EB808A103F0784C8DFC3E9CDD14B61FDDA6A8A6237D2DFE3BBAEC8979D824A43E015648F6CB3D1F8D3E352A4BDC9925C075CFF312C4A0BE75FDF5C目錄/Contents二、區(qū)間與鄰域1.區(qū)間2.鄰域二、區(qū)間與鄰域有限區(qū)間：無窮區(qū)間：若表示實(shí)數(shù)集，，當(dāng)時(shí)，且定義各類區(qū)間如下：1.區(qū)間二、區(qū)間與鄰域定義1.1設(shè)與是兩個(gè)實(shí)數(shù)，的實(shí)數(shù)的全體稱為的鄰域.若用表示的鄰域，其中稱為的中心點(diǎn)，稱為的半徑；而，為的右鄰域.，且滿足不等式,則的去心鄰域，稱為稱為的左鄰域，其中稱2.鄰域的鄰域用數(shù)軸形象地表示為圖1.2所示二、區(qū)間與鄰域δδx0-δx0+δxx0圖1.2e7d195523061f1c01da5a1f0837ac25283df40ff0a16bfd61AE6AB84AD7EB485CA8019BF267F2027DE2BF09650313B56A435BB3664F8B916CA3777391AC088C283181605E184D6D6879568EB73EB808A103F0784C8DFC3E9CDD14B61FDDA6A8A6237D2DFE3BBAEC8979D824A43E015648F6CB3D1F8D3E352A4BDC9925C075CFF312C4A0BE75FDF5C目錄/Contents三、函數(shù)的概念1.函數(shù)的定義2.函數(shù)的表示法三、函數(shù)的概念所謂變量是指在某一過程中不斷變化的量.例如某地的氣溫；的產(chǎn)量、在任何一種自然規(guī)律或任何一個(gè)經(jīng)濟(jì)活動(dòng)中，立的，例如，面積與圓的半徑的關(guān)系為某種產(chǎn)品成本和利潤；.世界人口的總數(shù)等都是變量各個(gè)變量的變化不是孤.而是彼此聯(lián)系并遵循著一定的變化規(guī)律與時(shí)間的關(guān)系為物理學(xué)中自由落體的距離圓的；.1.函數(shù)的定義三、函數(shù)的概念在上面的關(guān)系式，中，變量之間聯(lián)系的表達(dá)式完全不同，但它們卻有著相同的本質(zhì)，即在某個(gè)過程中的兩個(gè)變量是相互聯(lián)系的,當(dāng)其中一個(gè)變量在某一范圍內(nèi)每取一個(gè)值時(shí)，另一個(gè)變量就按照一定的規(guī)律，有唯一確定的值與之對應(yīng).變量之間的這種相互依賴關(guān)系就是函數(shù)的概念，下面給出一元函數(shù)（只含一個(gè)自變量的函數(shù)）的定義.三、函數(shù)的概念在不引起混淆時(shí),函數(shù)的定義域和值域簡記為,.定義1.2設(shè)有兩個(gè)變量和,如果當(dāng)變量在某非空實(shí)數(shù)集合內(nèi)任取一個(gè)數(shù)值時(shí)，變量按照一定的法則（對應(yīng)規(guī)律），都有唯一確定的值與之對應(yīng)，則稱是定義在上的一個(gè)函數(shù).記作，其中變量稱為自變量，它的取值范圍稱為函數(shù)的定義域,記作；因變量，它的取值范圍稱為函數(shù)的值域，記為,即稱為變量三、函數(shù)的概念從函數(shù)的定義中不難看出，定義域與對應(yīng)規(guī)律是構(gòu)成函數(shù)的兩個(gè)基本要素.如果兩個(gè)函數(shù)的定義域與對應(yīng)規(guī)律都分別相同，則稱這兩個(gè)函數(shù)相同.通常函數(shù)的定義域就是使函數(shù)表達(dá)式在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義的自變量的全體.當(dāng)然，如在實(shí)際問題中，還須根據(jù)問題的實(shí)際意義來確定.【例1】(1).由，(2).由，得，故定義域.得，故定義域.三、函數(shù)的概念求下列函數(shù)的定義域：

解

解

(3).由故定義域即，得，三、函數(shù)的概念

解

.(4).由，.即，得，三、函數(shù)的概念

解

故定義域【例2】設(shè)，解；.三、函數(shù)的概念；求，，.將換成，【例3】設(shè)，

解則，于是，三、函數(shù)的概念用換元法，令，求.即得三、函數(shù)的概念函數(shù)的表示法一般有三種：函數(shù)的三種表示法各有其特點(diǎn)，則簡捷準(zhǔn)確，公式法（解析法）、.表格法與圖示法表格法和圖示法直觀明了，而解析法易于運(yùn)算，便于理論研究.2.函數(shù)的表示法公式法三、函數(shù)的概念顯式的標(biāo)準(zhǔn)形式為，例如，等.隱式的標(biāo)準(zhǔn)形式為，變量的一個(gè)解析式，（）.公式法也稱解析法，常有顯式和隱式兩種.就是用解析表達(dá)式來表示函數(shù)關(guān)系的一種方法，是一個(gè)含自變量的解析式，這里是一個(gè)含自變量與因這里的值和可確定相應(yīng)的值，由例如1表格法月份t

123456789101112銷售量s14416112381845045404590100120三、函數(shù)的概念上表表示了某城市大米銷售量s隨月份t而變化的函數(shù)關(guān)系.在現(xiàn)實(shí)生活中許多函數(shù)關(guān)系難以用公式來表示，例如一天的氣溫作為時(shí)間的函數(shù)，表示這些函數(shù)關(guān)系就用表格法與圖示法.例如某城市一年里每月大米的銷售量（單位：萬噸），如下表所示:2圖示法三、函數(shù)的概念這里深度y與測距x的函數(shù)關(guān)系是用圖形表示的.圖示法是用圖形來表示函數(shù)關(guān)系的方法，它直觀性強(qiáng).隨著計(jì)算機(jī)的發(fā)展，圖示法愈來愈得到廣泛的使用.例如某河道的一個(gè)斷面圖形如圖1.3所示.其深度y與一測岸邊o到測量點(diǎn)的距離x的函數(shù)關(guān)系由下圖所示曲線.3Oyxbyxe7d195523061f1c01da5a1f0837ac25283df40ff0a16bfd61AE6AB84AD7EB485CA8019BF267F2027DE2BF09650313B56A435BB3664F8B916CA3777391AC088C283181605E184D6D6879568EB73EB808A103F0784C8DFC3E9CDD14B61FDDA6A8A6237D2DFE3BBAEC8979D824A43E015648F6CB3D1F8D3E352A4BDC9925C075CFF312C4A0BE75FDF5C目錄/Contents四、函數(shù)的幾何特性1.函數(shù)的有界性2.函數(shù)的奇偶性3.函數(shù)的單調(diào)性4.函數(shù)的周期性四、函數(shù)的幾何特性1.函數(shù)的有界性定義1.3設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)?，得對于上任意點(diǎn)，顯然，直線之間.否則，或稱為區(qū)間上的無界函數(shù).，區(qū)間，若存在正數(shù)使都有成立，在區(qū)間上有界，則稱函數(shù)為區(qū)間上的有界函數(shù)；或稱在區(qū)間上無界，就稱函數(shù)上有界函數(shù)的圖形一定在區(qū)間上介于兩條平行在區(qū)間四、函數(shù)的幾何特性顯然，是有界函數(shù).定義1.4設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)?，若存在?shù)A，在區(qū)間I上有下界.若存在數(shù)B，使得對于區(qū)間I上任意點(diǎn)x，都有成立，則稱在區(qū)間I上有上界；，區(qū)間I上任意點(diǎn)x，使得對于區(qū)間，都有則稱有界函數(shù)必有上界和下界；反之，既有上界又有下界的函數(shù)必1.函數(shù)的有界性而函數(shù)因?yàn)樗挥邢陆缍鵁o上界.例如與在定義域內(nèi)有界，注意函數(shù)的有界性與所選的區(qū)間有關(guān).例如在內(nèi)無界，函數(shù)在定義域上有界，,因?yàn)?.因?yàn)閮?nèi)有界.但在在定義域內(nèi)是無界函數(shù)，2.函數(shù)的奇偶性定義1.5如果函數(shù)的定義域關(guān)于原點(diǎn)對稱則必），若對每一個(gè)，若對每一個(gè)，例如，是奇函數(shù),函數(shù)，，（為非零常數(shù)）既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù).顯然，原點(diǎn)對稱，，（即若成立，都有為奇函數(shù)；則稱成立，都有.為偶函數(shù)則稱，函數(shù)是偶函數(shù)，既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)，函數(shù)而函數(shù)奇函數(shù)的圖形關(guān)于軸（或）對稱.而偶函數(shù)的圖形則關(guān)于因?yàn)椤纠?】判斷下列函數(shù)的奇偶性：（1）.所以是偶函數(shù).2.函數(shù)的奇偶性解

所以是奇函數(shù).（2）.2.函數(shù)的奇偶性因?yàn)榻?/p>

因?yàn)橐膊坏扔?，所以既非偶函?shù)，也非奇函數(shù).（3）.既不等于，2.函數(shù)的奇偶性解

，3.函數(shù)的單調(diào)性定義1.6設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)?，任意兩點(diǎn)及，當(dāng)時(shí)，則稱在該區(qū)間上單調(diào)增加（嚴(yán)格單調(diào)增加）；則稱在該區(qū)間上單調(diào)減少（嚴(yán)格單調(diào)減少）.，區(qū)間上若對于區(qū)間時(shí)，當(dāng)（）成立，恒有（）成立，恒有3.函數(shù)的單調(diào)性若在某區(qū)間給定函數(shù)為單調(diào)的，則稱該區(qū)間為這函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.故為函數(shù)的單調(diào)減少區(qū)間，為函數(shù)的單調(diào)增加區(qū)間.單調(diào)增加函數(shù)或單調(diào)減少函數(shù)統(tǒng)稱為單調(diào)函數(shù).例如在內(nèi)單調(diào)減少函數(shù)，它不是單調(diào)函數(shù).內(nèi)單調(diào)增加函數(shù)，在內(nèi)但在整個(gè)定義域圖1.4yxO【例5】判斷函數(shù)的單調(diào)性.解當(dāng)時(shí)，3.函數(shù)的單調(diào)性，恒有.因此，1.4所示.內(nèi)單調(diào)增加，在函數(shù)它的圖形如圖4.函數(shù)的周期性定義1.7設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)镈，使得對于定義域內(nèi)的任意x，成立，T稱為函數(shù)的周期.如果T是函數(shù)的一個(gè)周期，般說的周期指的是最小正周期.例如與都是周期為的周期函數(shù)，常數(shù)T，如果存在一個(gè)非零都有為周期函數(shù).則稱2T，3T等也是的周期，則一與都是周期為的周期函數(shù).而【例6】求函數(shù)的周期.所以，的周期為.解4.函數(shù)的周期性e7d195523061f1c01da5a1f0837ac25283df40ff0a16bfd61AE6AB84AD7EB485CA8019BF267F2027DE2BF09650313B56A435BB3664F8B916CA3777391AC088C283181605E184D6D6879568EB73EB808A103F0784C8DFC3E9CDD14B61FDDA6A8A6237D2DFE3BBAEC8979D824A43E015648F6CB3D1F8D3E352A4BDC9925C075CFF312C4A0BE75FDF5C目錄/Contents五、反函數(shù)五、反函數(shù)定義1.8設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)?，都有唯一確定的與之對應(yīng)，為自變量的函數(shù)，，注意到函數(shù)，是自變量，是因變量，為.而函數(shù)中，是自變量，是因變量，為.，值域?yàn)椋魧θ魏?，且滿足是定義在上以則，記為的反函數(shù).稱其為，定義域?yàn)橹涤颍x域?yàn)橹涤蛭?、反函?shù)習(xí)慣上，或用表示.顯然與互為反函數(shù)，值域分別是的值域和定義域.函數(shù)與的圖形關(guān)于直線對稱.x表示，自變量用y表示，因變量用可寫為因此的定義域和且五、反函數(shù)求反函數(shù)的步驟是：需要指出，例如，內(nèi)就沒有反函數(shù).只有一一對應(yīng)函數(shù)，一對應(yīng)..并非所有的函數(shù)都存在反函數(shù)在定義域函數(shù)才存在反函數(shù)且反函數(shù)也一中解出，先從y互換，x與然后將.即得到反函數(shù)【例7】求下列函數(shù)的反函數(shù)：（1）；故所求反函數(shù)為.五、反函數(shù)解由得，解之得，（2）【例7】求下列函數(shù)的反函數(shù)：故所求反函數(shù)為.五、反函數(shù)解之得，解由得，e7d195523061f1c01da5a1f0837ac25283df40ff0a16bfd61AE6AB84AD7EB485CA8019BF267F2027DE2BF09650313B56A435BB3664F8B916CA3777391AC088C283181605E184D6D6879568EB73EB808A103F0784C8DFC3E9CDD14B61FDDA6A8A6237D2DFE3BBAEC8979D824A43E015648F6CB3D1F8D3E352A4BDC9925C075CFF312C4A0BE75FDF5C目錄/Contents六、分段函數(shù)六、分段函數(shù)在用解析法表示函數(shù)時(shí)，表示一個(gè)函數(shù)，有時(shí)需要在不同范圍中用不同的數(shù)學(xué)式子來這種函數(shù)稱為.“分段函數(shù)”其圖形如圖1.5所示.【例8】求函數(shù)的定義域及函數(shù)值，

，

，

并作其圖形.六、分段函數(shù)解它是一個(gè)分段函數(shù)，函數(shù)值：，，；定義域是其各段定；即義區(qū)間的并集，圖1.5yx12321-1Oy-1-1-2112323-2Ox圖1.6【例9】求函數(shù)的定義域，并作其圖形.，…六、分段函數(shù)解這個(gè)函數(shù)稱為取整函數(shù)，是一個(gè)分段函數(shù)，即，它的定義域1.6所示.圖形如圖的最大整數(shù)，不超過表示即【例10】已知函數(shù)求.解六、分段函數(shù)六、分段函數(shù)解根據(jù)題意可列出函數(shù)關(guān)系式如下：【例11】從5:00到23:00間，上海出租車起步費(fèi)為14元（不超過3公里），超過3公里不超過10公里時(shí)，每滿1公里，24加價(jià).元，超過10公里時(shí)，每滿1公里，36加價(jià).元，求出租車費(fèi)用y（單位:元）與行駛距離x（單位:公里）的函數(shù)關(guān)系式.e7d195523061f1c01da5a1f0837ac25283df40ff0a16bfd61AE6AB84AD7EB485CA8019BF267F2027DE2BF09650313B56A435BB3664F8B916CA3777391AC088C283181605E184D6D6879568EB73EB808A103F0784C8DFC3E9CDD14B61FDDA6A8A6237D2DFE3BBAEC8979D824A43E015648F6CB3D1F8D3E352A4BDC9925C075CFF312C4A0BE75FDF5C目錄/Contents七、基本初等函數(shù)1.常數(shù)函數(shù)2.冪函數(shù)3.指數(shù)函數(shù)4.對數(shù)函數(shù)5.三角函數(shù)6.反三角函數(shù)1.常數(shù)函數(shù)

y=C(C為任意實(shí)數(shù))，其定義域?yàn)橐磺袑?shí)數(shù)，如圖1.7所示.OxyC圖1.72.冪函數(shù)①線性函數(shù)Oayxb圖1.8冪函數(shù)(為任意實(shí)數(shù))，其定義域隨的不同而不同.但不論取何值，總在內(nèi)有定義，并且圖形均經(jīng)過點(diǎn).它的圖形為一條直線，為其在軸上的截距，（），為直線與軸正向的夾角，如圖1.8所示.2.冪函數(shù)②二次函數(shù)（）其圖形為拋物線，頂點(diǎn)坐標(biāo)為.當(dāng)時(shí)，拋物線開口向上；拋物線開口向下，如圖1.9與1.10所示.時(shí)，當(dāng)圖1.9圖1.10xOyxyO,3.指數(shù)函數(shù)圖1.11，，其定義域?yàn)?當(dāng)時(shí)，為單調(diào)減函數(shù)；當(dāng)時(shí)，為單調(diào)增函數(shù).如圖1.11所示.Oxyy=10xy=exy=2xy=2-xy=e-xy=10-x有理指數(shù)的定義為(其中n,m

為正整數(shù))：3.指數(shù)函數(shù)在實(shí)際中，其中…是一個(gè)無理數(shù).，，，，.指數(shù)運(yùn)算的性質(zhì)，，.e為底的指數(shù)函數(shù)常出現(xiàn)以，4.對數(shù)函數(shù)，，以10為底的對數(shù)函數(shù)記為，記為，，義域?yàn)?.12所示.如圖稱為常用對數(shù)，e為底的對數(shù)函數(shù)而以稱為自然對數(shù).其定yOxy=log2xy=lnxy=lgxy=log

x10—1y=log

x2—1y=log

xa—1圖1.12根據(jù)對數(shù)的定義，4.對數(shù)函數(shù)運(yùn)算的性質(zhì)，.可以推出兩個(gè)常用等式：恒等式.換底公式.5.三角函數(shù)三角函數(shù)有以下6個(gè)：切函數(shù)；.余切函數(shù)與余割函數(shù)的定義域?yàn)?正弦函數(shù)與余弦函數(shù)的定義域?yàn)?；定義域?yàn)椋?；正弦函?shù)；余弦函數(shù)正；余切函數(shù)；正割函數(shù)余割函數(shù)正切函數(shù)與正割函數(shù)的圖1.13圖1.145.三角函數(shù)這6個(gè)三角函數(shù)都是周期函數(shù)，的最小正周期為；與的最小正周期為.它們的圖形如圖1.13，1.14所示.yOx

xy=sin-ππxy=cos

-π2—π2—

Oyxπ2πy=tan

xy=cotx-π2—π2—3π2—6.反三角函數(shù)圖1.16由于三角函數(shù)有周期性，因此對應(yīng)于一個(gè)函數(shù)值y的自變量x有無窮多個(gè)，在整個(gè)定義域上三角函數(shù)不存在反函數(shù).但我們可以選取適當(dāng)?shù)膮^(qū)間上考慮反函數(shù).反正弦函數(shù)，它是正弦函數(shù)在上的反函數(shù).其定義域?yàn)?，值域?yàn)?，其圖形如圖1.16所示.y=arcsin

xyxπ2—-π2—-11O圖1.176.反三角函數(shù)反余弦函數(shù)，其定義域?yàn)?，在上的反函?shù).它是余弦函數(shù)，值域?yàn)?.17所示.其圖形如圖y=arccos

xyxπ2—π-11O圖1.18圖1.196.反三角函數(shù)反正切函數(shù)，它是正切函數(shù)在內(nèi)的反函數(shù).其定義域?yàn)椋涤驗(yàn)?，其圖形如圖1.18所示.反余切函數(shù)，它是余切函數(shù)在上的反函數(shù)，其定義域?yàn)?，值域?yàn)?，其圖形如圖1.19所示.y=arctan

xyπ2—xO-π2—y=arccot

xyxπ2—πOe7d195523061f1c01da5a1f0837ac25283df40ff0a16bfd61AE6AB84AD7EB485CA8019BF267F2027DE2BF09650313B56A435BB3664F8B916CA3777391AC088C283181605E184D6D6879568EB73EB808A103F0784C8DFC3E9CDD14B61FDDA6A8A6237D2DFE3BBAEC8979D824A43E015648F6CB3D1F8D3E352A4BDC9925C075CFF312C4A0BE75FDF5C目錄/Contents八、函數(shù)的運(yùn)算1.函數(shù)的四則運(yùn)算2.復(fù)合函數(shù)3.初等函數(shù)1.函數(shù)的四則運(yùn)算定義1.9設(shè)函數(shù)的定義域都為，，則它們進(jìn)行四則運(yùn)算后仍然是一個(gè)函數(shù),且定義域不變(除法運(yùn)算時(shí)除數(shù)為零的點(diǎn)除外),其中等號(hào)左端括號(hào)內(nèi)表示對兩個(gè)函數(shù)進(jìn)行運(yùn)算后所得的函數(shù)，的值等于右端的值.而有理函數(shù)是由兩個(gè)多項(xiàng)式函數(shù)經(jīng)過除法運(yùn)算得到.例如多項(xiàng)式函數(shù)是由冪函數(shù)經(jīng)過數(shù)乘運(yùn)算與加法運(yùn)算得到.函數(shù)值的對應(yīng)定義如下:處它在(1)加法運(yùn)算.(3)乘法運(yùn)算.(2)數(shù)乘運(yùn)算.(4)除法運(yùn)算.2.復(fù)合函數(shù)例如與構(gòu)成復(fù)合函數(shù)；與構(gòu)成復(fù)合函數(shù).定義1.10設(shè)y是u的函數(shù)，而u又是x的函數(shù)，定義域與的值域的交集非空，稱為自變量，y為因變量，u為中間變量.中間變量的個(gè)數(shù)可以多于一個(gè)，例如是由與以及復(fù)合而成，注意并非任何兩個(gè)函數(shù)都可構(gòu)成一個(gè)復(fù)合函數(shù).例如由與就不能構(gòu)成復(fù)合函數(shù)，的如果，y是x的復(fù)合函數(shù)則稱，記作x其中.即可以由兩個(gè)以上的函數(shù)經(jīng)過復(fù)合構(gòu)成一個(gè)函數(shù)u與v都是中間變量.其中的定義域與的值域的交集是空集.這是因?yàn)椋?）；【例12】設(shè),,求的定義域.【例13】分解下列復(fù)合函數(shù)的復(fù)合結(jié)構(gòu)：解

最外層是，得故定義域2.復(fù)合函數(shù)第二層是，內(nèi)層是.解因?yàn)?，，由解最外層是，【?3】分解下列復(fù)合函數(shù)的復(fù)合結(jié)構(gòu)：（2）.2.復(fù)合函數(shù)第二層是，第三層是，內(nèi)層是.3.初等函數(shù)并可用一個(gè)式子表示的函數(shù)稱為初等函數(shù).定義1.11由基本初等函數(shù)經(jīng)過有限次四則運(yùn)算或有限次復(fù)合運(yùn)算所構(gòu)成，3.初等函數(shù)例如，，等等都是初等函數(shù).例如是分段函數(shù)，故也可看作初等函數(shù).形如的函數(shù)，稱之為冪指函數(shù).由于，因此冪指函數(shù)也是初等函數(shù).例如，都是初等函數(shù).通常分段函數(shù)不是初等函數(shù)，但有些分段函數(shù)仍是初等函數(shù).，與都是初等函數(shù)，（其中，但它又可表示為e7d195523061f1c01da5a1f0837ac25283df40ff0a16bfd61AE6AB84AD7EB485CA8019BF267F2027DE2BF09650313B56A435BB3664F8B916CA3777391AC088C283181605E184D6D6879568EB73EB808A103F0784C8DFC3E9CDD14B61FDDA6A8A6237D2DFE3BBAEC8979D824A43E015648F6CB3D1F8D3E352A4BDC9925C075CFF312C4A0BE75FDF5C目錄/Contents九、常見的經(jīng)濟(jì)函數(shù)1.需求函數(shù)2.供給函數(shù)3.成本函數(shù)4.收益函數(shù)5.利潤函數(shù)1.需求函數(shù)市場上某種商品的需求量是指消費(fèi)者愿意購買品的數(shù)量，它與該商品本身的價(jià)格、消費(fèi)者的收入品的價(jià)格等因素有關(guān)，我們暫且只把需求量（或）看作是該商品本身價(jià)格的函數(shù)，即，稱之為需求函數(shù).一般來說,需求函數(shù)是價(jià)格的單調(diào)減函數(shù).商品價(jià)格的上漲會(huì)使需求量減少,商品價(jià)格的下降會(huì)使需求量增加.反過來，需求量也會(huì)影響商品的價(jià)格，價(jià)格也可以表示成需求量（或）的函數(shù)，，稱之為價(jià)格函數(shù).且有能力購買的該商以及與該商品有關(guān)的商常用下面的幾種初等函數(shù)來近似表示需求函數(shù):1.需求函數(shù)冪函數(shù),指數(shù)函數(shù),線性函數(shù),...2.供給函數(shù)類似于需求，響.若不考慮其它因素，看作是該商品本身價(jià)格的函數(shù).供給函數(shù)是對生產(chǎn)者或經(jīng)營者而言的.供給必須具備兩個(gè)條件：售商品的愿望，記作，一般來說，如果商品的價(jià)格下降，反過來，的價(jià)格，.而當(dāng)商品的價(jià)格上升時(shí)，一是有出.二是有可供出售的商品供給也受許多因素的影只考慮價(jià)格因素對供給的影響，（或）這時(shí)供給量供給函數(shù).稱之為是價(jià)格的單調(diào)增函數(shù).供給函數(shù)生產(chǎn)者或經(jīng)營者獲得的利潤就減少，生產(chǎn)量就下降，因而供給量降低；.則會(huì)導(dǎo)致供給量增加供給量也會(huì)影響商品也可以表示成供給量（或）的函數(shù)，價(jià)格常用下面的幾種初等函數(shù)來近似表示供給函數(shù):2.供給函數(shù)線性函數(shù),.冪函數(shù),.指數(shù)函數(shù),.圖1.202.供給函數(shù)在經(jīng)濟(jì)學(xué)中，表示供給函數(shù).常用

表在經(jīng)濟(jì)領(lǐng)域中，需求曲線與供給曲線的交點(diǎn)稱為供需平衡點(diǎn).所謂“均衡價(jià)格”對某種商品的需求量與供給量相等時(shí)的價(jià)格.當(dāng)市場價(jià)格時(shí)，供大于求，商品滯銷；供不應(yīng)求，商品短缺.如圖1.20所示.就是指市場上時(shí)，當(dāng)示需求函數(shù)，Qd=fd(P)Qs=fs(P)P0QOP3.成本函數(shù)成本函數(shù)即生產(chǎn)Q單位產(chǎn)品的總成本,包括固定成本和可變成本，即.而稱之為平均成本函數(shù)，即.固定成本是指支付固定生產(chǎn)要素的費(fèi)用,包括廠房、機(jī)器設(shè)備等，它與產(chǎn)量Q無關(guān)；可變成本是指支付可變生產(chǎn)要素的費(fèi)用，包括原材料，工人工資等，它隨著產(chǎn)量Q的變動(dòng)而變化.即單位產(chǎn)品的成本，,記作4.收益函數(shù)收益函數(shù)即銷售Q單位產(chǎn)品的總收益,設(shè)產(chǎn)品的單價(jià)為P，銷售量等于需求量為Q，則收益，這里的P可以是給定的常數(shù)，也可以是需求量Q的函數(shù)，那么.而稱為平均收益，即.即單位產(chǎn)品的收益，,記作5.利潤函數(shù)售量為Q，利潤函數(shù)即生產(chǎn)或銷售Q單位產(chǎn)品的總利潤,設(shè)產(chǎn)銷平衡，而稱為平均利潤，即.即產(chǎn)量等于銷.顯然有利潤即單位產(chǎn)品的利潤，,記作5.利潤函數(shù)解設(shè)，解得,,由題意得于是需求函數(shù)為(臺(tái)).【例14】若某商品的需求量Q是價(jià)格P的線性函數(shù).已知每臺(tái)售價(jià)500元時(shí)，每月可銷售1500臺(tái)，如果每臺(tái)售價(jià)降為450元時(shí)，每月可增銷250臺(tái)，試求線性需求函數(shù).5.利潤函數(shù)解當(dāng)價(jià)格時(shí)，品的需求量為b，b也就是市場對該商品的飽和需求量；【例15】設(shè)某商品的需求量函數(shù)為，，，當(dāng)時(shí)的需求量和當(dāng)時(shí)的價(jià)格.當(dāng)需求量時(shí)，意購買該商品.討論，需求量表示當(dāng)價(jià)格為零時(shí)，消費(fèi)者對商，價(jià)格時(shí)，它表示價(jià)格上漲到?jīng)]有人愿5.利潤函數(shù)【例16】已知某商品的需求函數(shù)和供給函數(shù)分別為，，求該商品的均衡價(jià)格.解由，解得，即，.即均衡價(jià)格5.利潤函數(shù)(1)總成本函數(shù)(元).(4)總利潤函數(shù)(元).【例17】設(shè)生產(chǎn)某種產(chǎn)品，固定成本1000（元)，可變成本4(元)，每件售價(jià)7(元)，求：（1）總成本函數(shù)；（2）單位成本函數(shù)；（3）總收益函數(shù)；（4）總利潤函數(shù).解設(shè)產(chǎn)量為Q（件)，則(2)單位成本函數(shù)(元/件).(3)總收益函數(shù)(元).5.利潤函數(shù)【例18】生產(chǎn)某種產(chǎn)品，固定成本5(萬元)，每多生產(chǎn)1(百臺(tái))，成本增加3(萬元)，已知需求函數(shù)，(其中P表示價(jià)格，單位：萬元；Q表示需求量，單位：百臺(tái))，假設(shè)產(chǎn)銷平衡，試寫出利潤函數(shù)的表達(dá)式.利潤函數(shù)(萬元).解收益函數(shù)(萬元)，成本函數(shù)(萬元)，e7d195523061f1c01da5a1f0837ac25283df40ff0a16bfd61AE6AB84AD7EB485CA8019BF267F2027DE2BF09650313B56A435BB3664F8B916CA3777391AC088C283181605E184D6D6879568EB73EB808A103F0784C8DFC3E9CDD14B61FDDA6A8A6237D2DFE3BBAEC8979D824A43E015648F6CB3D1F8D3E352A4BDC9925C075CFF312C4A0BE75FDF5C內(nèi)容小結(jié)1.集合及映射的概念定義域?qū)?yīng)法則3.函數(shù)的特性有界性,單調(diào)性,奇偶性,周期性4.基本初等函數(shù)2.函數(shù)的定義及函數(shù)的二要素5.函數(shù)的運(yùn)算6.常見經(jīng)濟(jì)函數(shù)e7d195523061f1c01da5a1f0837ac25283df40ff0a16bfd61AE6AB84AD7EB485CA8019BF267F2027DE2BF09650313B56A435BB3664F8B916CA3777391AC088C283181605E184D6D6879568EB73EB808A103F0784C8DFC3E9CDD14B61FDDA6A8A6237D2DFE3BBAEC8979D824A43E015648F6CB3D1F8D3E352A4BDC9925C075CFF312C4A0BE75FDF5CAdvancedmathematics學(xué)海無涯，祝你成功！高等數(shù)學(xué)上海財(cái)經(jīng)大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院

編第一章e7d195523061f1c01da5a1f0837ac25283df40ff0a16bfd61AE6AB84AD7EB485CA8019BF267F2027DE2BF09650313B56A435BB3664F8B916CA3777391AC088C283181605E184D6D6879568EB73EB808A103F0784C8DFC3E9CDD14B61FDDA6A8A6237D2DFE3BBAEC8979D824A43E015648F6CB3D1F8D3E352A4BDC9925C075CFF312C4A0BE75FDF5CAdvancedmathematics函數(shù)、極限與連續(xù)高等數(shù)學(xué)上海財(cái)經(jīng)大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院

編e7d195523061f1c01da5a1f0837ac25283df40ff0a16bfd61AE6AB84AD7EB485CA8019BF267F2027DE2BF09650313B56A435BB3664F8B916CA3777391AC088C283181605E184D6D6879568EB73EB808A103F0784C8DFC3E9CDD14B61FDDA6A8A6237D2DFE3BBAEC8979D824A43E015648F6CB3D1F8D3E352A4BDC9925C075CFF312C4A0BE75FDF5C二、數(shù)列極限的概念三、收斂數(shù)列的主要性質(zhì)一、引例目錄/Contents第二節(jié)數(shù)列的極限或一、引例戰(zhàn)國時(shí)代哲學(xué)家莊周所著的《莊子天下篇》引用過一句話“一尺之棰,日取其半,萬世不竭”.也就是說一根長為一尺的棒頭,每天截去一半,這樣的過程可以無限制地進(jìn)行下去.把每天截剩下部分的長度記錄如下（單位為尺）：第一天剩下；這樣就得到一系列剩下部分的長度：；第二天剩下；第三天剩下天剩下.第即無限制地每天截下去,在這個(gè)過程中,在數(shù)學(xué)上稱這在解決實(shí)際問題時(shí),經(jīng)常用到這種極限方法,極限作為高等數(shù)學(xué)中的一種基本方法,很有必要作進(jìn)一步的詳細(xì)的討論.設(shè)想無限增大（記為,讀作趨于無窮大）,截剩下部分的長度無限接近于.個(gè)確定的數(shù)是數(shù)列當(dāng)時(shí)的極限.一、引例e7d195523061f1c01da5a1f0837ac25283df40ff0a16bfd61AE6AB84AD7EB485CA8019BF267F2027DE2BF09650313B56A435BB3664F8B916CA3777391AC088C283181605E184D6D6879568EB73EB808A103F0784C8DFC3E9CDD14B61FDDA6A8A6237D2DFE3BBAEC8979D824A43E015648F6CB3D1F8D3E352A4BDC9925C075CFF312C4A0BE75FDF5C二、數(shù)列極限的概念三、收斂數(shù)列的主要性質(zhì)一、引例目錄/Contents第二節(jié)數(shù)列的極限二、數(shù)列極限的概念如：（1）:

,

,

,…,

,…；（2）：,

,

,…,

,…；（3）

:

,

,

,…,

,…；（4）

：

,

,

,…

,

,….數(shù)列

可看作是定義在自然數(shù)集上的函數(shù)：=

,

….1.數(shù)列定義1.12按照一定規(guī)律,依次排列而永無終止的一列數(shù)……稱為數(shù)列.簡記為.其中第項(xiàng)稱為數(shù)列的通項(xiàng).不難看出,上面數(shù)列（1）與（2）中,通項(xiàng)無限趨向于某個(gè)確定的數(shù)；而數(shù)列（3）與（4）中,通項(xiàng)不趨向于某個(gè)確定的數(shù).二、數(shù)列極限的概念定義1.13如果數(shù)列滿足條件上面數(shù)列（1）是單調(diào)減少的數(shù)列,數(shù)列（2）（4）是單調(diào)增加的數(shù)列,而數(shù)列（3）則不是單調(diào)的數(shù)列.稱是單調(diào)增加的數(shù)列；如果數(shù)列滿足條件稱是單調(diào)減少的數(shù)列.單調(diào)增加的數(shù)列和單調(diào)減少的數(shù)列統(tǒng)稱為單調(diào)數(shù)列.二、數(shù)列極限的概念定義1.14若存在正數(shù),對所有的都滿足,則稱數(shù)列為有界數(shù)列,否則稱為無界數(shù)列.若存在實(shí)數(shù),對所有的都滿足,則稱數(shù)列為有下界數(shù)列,是數(shù)列的一個(gè)下界.同樣,若存在實(shí)數(shù),對所有的都滿足,則稱數(shù)列為有上界數(shù)列,是數(shù)列的一個(gè)上界.顯然,有界數(shù)列既有上界,又有下界;反之,同時(shí)具有上界,下界的數(shù)列必為有界數(shù)列.上面數(shù)列（1）（2）（3）是有界數(shù)列,而數(shù)列（4）是無界數(shù)列.二、數(shù)列極限的概念2.數(shù)列極限的定義定義1.15（描述性定義）設(shè)數(shù)列,當(dāng)項(xiàng)數(shù)無限增大時(shí),如果通項(xiàng)無限趨近于某個(gè)常數(shù),則稱為數(shù)列的極限,記作否則,稱數(shù)列發(fā)散,或極限不存在.二、數(shù)列極限的概念【例1】（2）.當(dāng)無限增大時(shí),無限趨于,因此.考察下列數(shù)列當(dāng)時(shí)的變化情況,并用極限形式表示其結(jié)果：（1）.當(dāng)無限增大時(shí),無限趨于,因此.（3）.當(dāng)按奇數(shù)增大時(shí),始終為;當(dāng)按偶數(shù)增大時(shí),始終為,因此,當(dāng)時(shí),

沒有明確的趨勢,即（4）.不存在.當(dāng)無限增大時(shí),也無限增大,且的趨勢不是一個(gè)確定的數(shù),即不存在,這種情形可記為.二、數(shù)列極限的概念若要,即,得,這表示從數(shù)列的第項(xiàng)起,以后各項(xiàng)與之差的絕對值都小于.若要,即,得,這表示從數(shù)列的第項(xiàng)起,以后各項(xiàng)與之差的絕對值都小于；所謂無限趨近于,即

無限趨近于零.以數(shù)列（2）為例作如下分析：對于：二、數(shù)列極限的概念若要（其中是任意給定的一個(gè)充分小的正數(shù)）,即,得,這表示對于項(xiàng)數(shù)的以后各項(xiàng),總有成立.由于是任意給定的充分小的正數(shù),不等式就刻劃了無限趨近于這個(gè)事實(shí),這樣的一個(gè)數(shù),稱為數(shù)列的極限.二、數(shù)列極限的概念定義1.16（分析定義）對于任意給定的充分小正數(shù),總存在一個(gè)正整數(shù),當(dāng)項(xiàng)數(shù)時(shí),不等式恒成立,則稱常數(shù)是數(shù)列的極限,記作這里記號(hào)“”表示任意的,“

”表示存在.注意定義中的刻劃與常數(shù)的接近程度,刻劃充分大的程度；是任意給定的正數(shù),是隨而確定的正整數(shù).如果一個(gè)數(shù)列有極限,則稱這個(gè)數(shù)列是收斂數(shù)列,否則就稱它是發(fā)散數(shù)列.,,當(dāng)時(shí),有,則.為簡便起見,上述定義可用下列記號(hào)：【例2】用定義驗(yàn)證二、數(shù)列極限的概念可見,,當(dāng)時(shí),有成立,所以解,要使成立,即,取,3.數(shù)列極限的幾何意義二、數(shù)列極限的概念在幾何上表示了凡是下標(biāo)大于的各項(xiàng)所對應(yīng)的無窮多個(gè)點(diǎn)…,全都落在點(diǎn)的鄰域之內(nèi),而在鄰域之外至多只有個(gè)點(diǎn).e7d195523061f1c01da5a1f0837ac25283df40ff0a16bfd61AE6AB84AD7EB485CA8019BF267F2027DE2BF09650313B56A435BB3664F8B916CA3777391AC088C283181605E184D6D6879568EB73EB808A103F0784C8DFC3E9CDD14B61FDDA6A8A6237D2DFE3BBAEC8979D824A43E015648F6CB3D1F8D3E352A4BDC9925C075CFF312C4A0BE75FDF5C二、數(shù)列極限的概念三、收斂數(shù)列的主要性質(zhì)一、引例目錄/Contents第二節(jié)數(shù)列的極限三、收斂數(shù)列的主要性質(zhì)存在正整數(shù),當(dāng)時(shí),有；定理1.1（唯一性）收斂數(shù)列的極限是唯一的.證明用反證法.假設(shè)收斂數(shù)列的極限不唯一,即有,,且,于是對于某個(gè),由可知,同理,由可知,存在正整數(shù),當(dāng)時(shí),有取,當(dāng)時(shí),與都成立,矛盾,這就證明了的假設(shè)不成立,所以唯一性得證.于是三、收斂數(shù)列的主要性質(zhì)于是有成立,取定,,當(dāng)時(shí),有例如,,顯然此數(shù)列是有界的,但它不收斂.因此數(shù)列有界只是數(shù)列收斂的必要條件.定理1.2（有界性）如果數(shù)列收斂,那么數(shù)列必有界.證明由可知,對于任意給定的正數(shù),,當(dāng)時(shí),取,則對一切,有成立.注意根據(jù)上面結(jié)論,如果數(shù)列無界,那么數(shù)列一定發(fā)散；但是,如果數(shù)列有界,卻不能斷定數(shù)列一定收斂.因此收斂數(shù)列必有界.三、收斂數(shù)列的主要性質(zhì)則.利用反證法,根據(jù)保號(hào)性容易得此推論.定理1.3（保號(hào)性）若,且（或）,則存正整數(shù),存在正整數(shù),當(dāng)時(shí),有,即得,從而當(dāng)時(shí),有（或）.證明就的情形給出證明,由于,于是對于,對于的情況類似可證.推論1.1如果數(shù)列從某項(xiàng)起有（或）,且,三、收斂數(shù)列的主要性質(zhì)定理1.4（收斂數(shù)列與其子數(shù)列間的關(guān)系）若數(shù)列收斂于,則它的任一子數(shù)列也收斂于.證明設(shè)是數(shù)列的任一子數(shù)列.由于,故對于任意給定的正數(shù),存在正整數(shù),當(dāng)時(shí),有成立.取,則當(dāng)時(shí),有,于是,得證.定理1.5（夾逼定理）設(shè)有三個(gè)數(shù)列、、,如果,且,則.【例3】求

三、收斂數(shù)列的主要性質(zhì)解因此,由夾逼定理可知由于,且又由于,且三、收斂數(shù)列的主要性質(zhì)定理1.6單調(diào)有界數(shù)列必有極限.顯然,單調(diào)增加有上界或單調(diào)減少有下界的數(shù)列必有極限.【例4】解證明數(shù)列

極限存在.三、收斂數(shù)列的主要性質(zhì)由二項(xiàng)式定理,有同理.三、收斂數(shù)列的主要性質(zhì)比較上面兩個(gè)展開式,容易看出,即說明了數(shù)列是單調(diào)增加的；又因?yàn)楸砻?/p>

有上界；三、收斂數(shù)列的主要性質(zhì)根據(jù)單調(diào)有界數(shù)列必有極限,所以存在,這個(gè)數(shù)是一個(gè)無理數(shù),它的值是.通常用字母來表示它,即e7d195523061f1c01da5a1f0837ac25283df40ff0a16bfd61AE6AB84AD7EB485CA8019BF267F2027DE2BF09650313B56A435BB3664F8B916CA3777391AC088C283181605E184D6D6879568EB73EB808A103F0784C8DFC3E9CDD14B61FDDA6A8A6237D2DFE3BBAEC8979D824A43E015648F6CB3D1F8D3E352A4BDC9925C075CFF312C4A0BE75FDF5C內(nèi)容小結(jié)

2.收斂數(shù)列的性質(zhì):唯一性;有界性;保號(hào)性；任一子數(shù)列收斂于同一極限3.極限存在判定定理:夾逼定理;單調(diào)有界定理.e7d195523061f1c01da5a1f0837ac25283df40ff0a16bfd61AE6AB84AD7EB485CA8019BF267F2027DE2BF09650313B56A435BB3664F8B916CA3777391AC088C283181605E184D6D6879568EB73EB808A103F0784C8DFC3E9CDD14B61FDDA6A8A6237D2DFE3BBAEC8979D824A43E015648F6CB3D1F8D3E352A4BDC9925C075CFF312C4A0BE75FDF5C學(xué)海無涯,祝你成功！高等數(shù)學(xué)上海財(cái)經(jīng)大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院

編Advancedmathematics第一章e7d195523061f1c01da5a1f0837ac25283df40ff0a16bfd61AE6AB84AD7EB485CA8019BF267F2027DE2BF09650313B56A435BB3664F8B916CA3777391AC088C283181605E184D6D6879568EB73EB808A103F0784C8DFC3E9CDD14B61FDDA6A8A6237D2DFE3BBAEC8979D824A43E015648F6CB3D1F8D3E352A4BDC9925C075CFF312C4A0BE75FDF5CAdvancedmathematics函數(shù)、極限與連續(xù)高等數(shù)學(xué)上海財(cái)經(jīng)大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院

編e7d195523061f1c01da5a1f0837ac25283df40ff0a16bfd61AE6AB84AD7EB485CA8019BF267F2027DE2BF09650313B56A435BB3664F8B916CA3777391AC088C283181605E184D6D6879568EB73EB808A103F0784C8DFC3E9CDD14B61FDDA6A8A6237D2DFE3BBAEC8979D824A43E015648F6CB3D1F8D3E352A4BDC9925C075CFF312C4A0BE75FDF5C二、函數(shù)極限的主要性質(zhì)一、函數(shù)極限的概念目錄/Contents第三節(jié)函數(shù)的極限e7d195523061f1c01da5a1f0837ac25283df40ff0a16bfd61AE6AB84AD7EB485CA8019BF267F2027DE2BF09650313B56A435BB3664F8B916CA3777391AC088C283181605E184D6D6879568EB73EB808A103F0784C8DFC3E9CDD14B61FDDA6A8A6237D2DFE3BBAEC8979D824A43E015648F6CB3D1F8D3E352A4BDC9925C075CFF312C4A0BE75FDF5C目錄/Contents一、函數(shù)極限的概念1.當(dāng)自變量

時(shí)，函數(shù)的極限2.當(dāng)自變量

時(shí)，函數(shù)

的極限3.左極限與右極限1.當(dāng)自變量

時(shí)，函數(shù)

的極限觀察函數(shù)和

的圖像.圖1-21一、函數(shù)極限的概念y=arctan

xyπ2—xO-π2—xyO圖1-22一、函數(shù)極限的概念一般地，我們假設(shè)函數(shù)在（為某一正數(shù)）時(shí)有定義，考慮自變量的變化過程為，如果當(dāng)時(shí)，對應(yīng)的函數(shù)值無限接近于某個(gè)確定的數(shù)值，那么叫做函數(shù)當(dāng)時(shí)的極限，精確地說，就有如下定義.定義1.17對于任意給定的充分小正數(shù)，總存在一個(gè)正實(shí)數(shù)，當(dāng)時(shí)，有成立，則稱是函數(shù)當(dāng)時(shí)的極限，記作分析定義)(一、函數(shù)極限的概念注意定義中的刻劃與常數(shù)的接近程度，刻劃充分大的程度；是任意給定的正數(shù)，是隨而確定的正實(shí)數(shù).若討論當(dāng)時(shí)，函數(shù)的極限，只須將定義1.17中的改為；函數(shù)的極限，只須將定義1.17中的改為即可.時(shí)，同樣對于【例1】驗(yàn)證..一、函數(shù)極限的概念解，要成立，可見，，當(dāng)時(shí)，有成立，只要，取，所以圖1.23一、函數(shù)極限的概念下面給出的幾何意義：對于任給，當(dāng)時(shí)，函數(shù)的圖形都落在兩條直線與之間，定理1.7的充要條件是.，存在正數(shù)1.23所示.如圖MA+εA-εA-MyOx2.當(dāng)自變量

時(shí)，函數(shù)

的極限一、函數(shù)極限的概念觀察函數(shù)和的圖像.對于函數(shù)的圖像(圖1-24所示)，當(dāng)越來越接近時(shí)，無限接近于常數(shù)，對于函數(shù)的圖像(圖1-25所示)，盡管在處無定義，但當(dāng)從的左側(cè)或右側(cè)趨向于時(shí)，仍無限接近于常數(shù)，越來越接近于零.從的左側(cè)或右側(cè)趨向于時(shí)，即當(dāng).一、函數(shù)極限的概念定義1.18（分析定義）對于任意給定的充分小正數(shù)，總存在一個(gè)小正數(shù)，當(dāng)時(shí)，有不等式成立，從上面例子我們看到，自變量是指無限接近于，但，因此在考慮當(dāng)，函數(shù)的變化趨勢時(shí)，只要在點(diǎn)的某一個(gè)鄰域（可以除外）內(nèi)考慮就可以了.一般地，我們考慮自變量的變化過程為，如果當(dāng)時(shí)，對應(yīng)的函數(shù)值無限接近于某個(gè)確定的數(shù)值，那么叫做函數(shù)當(dāng)時(shí)的極限，精確地說，就有如下定義：則稱為函數(shù)當(dāng)時(shí)的極限，記作一、函數(shù)極限的概念注意：（1）定義中的刻劃與常數(shù)的接近程度，刻劃與的接近程度；是任意給定的正數(shù)，.是隨而確定的正數(shù)（2）表示，的極限是否存在與在點(diǎn)處是否有定義以及取什么值都無關(guān).時(shí)，即當(dāng)【例2】.

用定義驗(yàn)證.所以

.一、函數(shù)極限的概念解，只要，，當(dāng)時(shí)，有成立，取，，要使可見一、函數(shù)極限的概念下面給出的幾何意義：對于任給，存在正數(shù)，當(dāng)x落在的鄰域內(nèi)(點(diǎn)可除外)時(shí)，函數(shù)的圖形都落在兩條直線與之間，如圖所示.yOxA+εA-εx0-δx0+δx0Ay=f(x)3.左極限與右極限一、函數(shù)極限的概念如果當(dāng)時(shí)，數(shù)當(dāng)時(shí)的右極限.根據(jù)左右極限的定義，定理1.8的充要條件是定義1.19（分析定義）對于任意給定的充分小的正數(shù)，存在正數(shù)，則稱為函數(shù)當(dāng)時(shí)的左極限；時(shí)，如果當(dāng)成立，有成立，有為函則稱顯然有下述定理..一、函數(shù)極限的概念由上述定理可知，存在但不相等，【例3】解由于在左右兩側(cè)的表達(dá)式不同，故不存在.設(shè)，由如果左右極限中至少有一個(gè)不存在或者它們雖然都就不存在了.那么，所以考慮左右極限.求.一、函數(shù)極限的概念【例4】解由于在左右兩側(cè)的表達(dá)式不同，故.設(shè)，.與求，由所以考慮左右極限e7d195523061f1c01da5a1f0837ac25283df40ff0a16bfd61AE6AB84AD7EB485CA8019BF267F2027DE2BF09650313B56A435BB3664F8B916CA3777391AC088C283181605E184D6D6879568EB73EB808A103F0784C8DFC3E9CDD14B61FDDA6A8A6237D2DFE3BBAEC8979D824A43E015648F6CB3D1F8D3E352A4BDC9925C075CFF312C4A0BE75FDF5C二、函數(shù)極限的主要性質(zhì)一、函數(shù)極限的概念目錄/Contents第三節(jié)函數(shù)的極限二、函數(shù)極限的主要性質(zhì)定理1.9(唯一性)若當(dāng)時(shí)，函數(shù)有極限，定理1.10(局部有界性)若，則在的某鄰域內(nèi)（點(diǎn)可除外），函數(shù)有界..則極限值是唯一的二、函數(shù)極限的主要性質(zhì)定理1.11(局部保號(hào)性)若，鄰域（點(diǎn)可除外），證明就的情形給出證明：由于，，即得，，且的某則存在(或).在此鄰域內(nèi)有，于是對于時(shí)，當(dāng)有得證.可見二、函數(shù)極限的主要性質(zhì).推論1.2若，(或)，則必有.利用反證法，下面介紹函數(shù)極限存在的一個(gè)判定定理：定理1.12（函數(shù)極限的夾逼定理）設(shè)在點(diǎn)的某去心鄰域內(nèi)，，且，的某鄰域內(nèi)（點(diǎn)可除外）有且在.根據(jù)保號(hào)性容易得此推論有則e7d195523061f1c01da5a1f0837ac25283df40ff0a16bfd61AE6AB84AD7EB485CA8019BF267F2027DE2BF09650313B56A435BB3664F8B916CA3777391AC088C283181605E184D6D6879568EB73EB808A103F0784C8DFC3E9CDD14B61FDDA6A8A6237D2DFE3BBAEC8979D824A43E015648F6CB3D1F8D3E352A4BDC9925C075CFF312C4A0BE75FDF5C內(nèi)容小結(jié)1.函數(shù)極限的或定義2.函數(shù)極限的性質(zhì).e7d195523061f1c01da5a1f0837ac25283df40ff0a16bfd61AE6AB84AD7EB485CA8019BF267F2027DE2BF09650313B56A435BB3664F8B916CA3777391AC088C283181605E184D6D6879568EB73EB808A103F0784C8DFC3E9CDD14B61FDDA6A8A6237D2DFE3BBAEC8979D824A43E015648F6CB3D1F8D3E352A4BDC9925C075CFF312C4A0BE75FDF5C學(xué)海無涯,祝你成功！高等數(shù)學(xué)上海財(cái)經(jīng)大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院

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編e7d195523061f1c01da5a1f0837ac25283df40ff0a16bfd61AE6AB84AD7EB485CA8019BF267F2027DE2BF09650313B56A435BB3664F8B916CA3777391AC088C283181605E184D6D6879568EB73EB808A103F0784C8DFC3E9CDD14B61FDDA6A8A6237D2DFE3BBAEC8979D824A43E015648F6CB3D1F8D3E352A4BDC9925C075CFF312C4A0BE75FDF5C目錄/Contents第四節(jié)極限的運(yùn)算第四節(jié)極限的運(yùn)算定理1.13設(shè),,則有特別（為常數(shù)）（1）（3）（2）（）.【例1】解

求

【例2】解...

求

.第四節(jié)極限的運(yùn)算【例3】解

求

【例4】解..

求

.第四節(jié)極限的運(yùn)算令