專題10分類討論思想的三種常見(jiàn)題型

考點(diǎn)導(dǎo)航

題型1:分類討論思想在判定等腰三角形中的應(yīng)用

題型2：分類討論思想在求三角形角的度數(shù)中的應(yīng)用

題型3：分類討論思想在求分式方程的字母系數(shù)中的應(yīng)用

技巧：分類討論思想是一種最基本的解決問(wèn)題的思維策略，就是把要研究的數(shù)學(xué)對(duì)象按照標(biāo)

準(zhǔn)劃分為若干不同的類別，然后逐類進(jìn)行研究、求解的一種數(shù)學(xué)解題思想，它在問(wèn)題不能以

統(tǒng)一的方法處理或不能用同一種形式來(lái)表述、概括時(shí)，根據(jù)數(shù)學(xué)對(duì)象的本質(zhì)屬性，按照一定

的原則或某一確定的標(biāo)準(zhǔn)，將對(duì)象劃分為若干個(gè)既有聯(lián)系又有區(qū)別的部分，進(jìn)行逐類討論,

最后把幾類結(jié)論匯總，從而得出問(wèn)題的答案，分類討論的實(shí)質(zhì)是化繁為簡(jiǎn)，將一個(gè)復(fù)雜的問(wèn)

題分為幾個(gè)簡(jiǎn)單的問(wèn)題，分而解之.

典型例題

題型1:分類討論思想在判定等腰三角形中的應(yīng)用

1.△48。中，NBAC>NB,ZC=40°,將28折疊，使得點(diǎn)8與點(diǎn)4重合.折痕分

別交/8、BC于點(diǎn)、D、P,當(dāng)△/PC是等腰三角形時(shí)，的度數(shù)為.

2.若等腰三角形有一個(gè)角是100。，則它的底角為（）

A.100°B.40°C.100°或40°D.80°

3.若等腰三角形中有兩邊長(zhǎng)分別為3和7,則這個(gè)三角形的周長(zhǎng)為（）

A.17B.13C.10或13D.13或17

4.等腰△4BC中，AB=AC,一邊上的中線8。將這個(gè)三角形的周長(zhǎng)分為18和30兩個(gè)部

試卷第1頁(yè)，共4頁(yè)

分，則這個(gè)等腰三角形的底邊長(zhǎng)為()

A.8B.24C.8或24D.8或12

5.已知等腰△/BC的一個(gè)外角為130。，則//的度數(shù)為.

6.已知a,6滿足|a-7|+(6-3)2=0,則以a,6的值為兩邊長(zhǎng)的等腰三角形的周長(zhǎng)是—.

題型2：分類討論思想在求三角形角的度數(shù)中的應(yīng)用

7.如圖，a4CF為ZUBC的外角，射線CP、分別三等分乙4CF且

NPCB=gZACB,2。。尸=；//。E，點(diǎn)。在邊4B上，過(guò)點(diǎn)。作線段。E〃5C,分別與

AC.CP交于點(diǎn)E、G,射線。P三等分N/DE,且NPDE=；NADE,。尸與CQ相交于點(diǎn)

Q.

(1)若N/=45。，/8=60。,貝!|ZDPC=_。，N0=_。；

(2)若//=4(其中1是固定值)，當(dāng)?shù)亩葦?shù)發(fā)生變化時(shí)，/。的度數(shù)是否發(fā)生變化？若

有變化，說(shuō)明理由；若不變化，求N0的度數(shù)(用a的代數(shù)式表示)；

(3)若△尸C0中存在一個(gè)內(nèi)角等于另一個(gè)內(nèi)角的兩倍，請(qǐng)求出所有符合條件的//的度數(shù).

一.解答題(共4小題)

8.在中，/ABC,//C3的角平分線BE,CD交于點(diǎn)尸.

⑴【問(wèn)題呈現(xiàn)】如圖1,若乙4=100。，求/BFD的度數(shù)；

(2)【問(wèn)題推廣】如圖2,將△ABC沿折疊，使得點(diǎn)A與點(diǎn)尸重合，若/1+/2=160。，

求N3尸。的度數(shù)；

(3)【問(wèn)題拓展】若P,。分別是線段NC上的點(diǎn)，設(shè)〃0P=a,NACB=0.射線CF

試卷第2頁(yè)，共4頁(yè)

與NN尸0的平分線所在的直線相交于點(diǎn)H(不與點(diǎn)尸重合)，直接寫(xiě)出ZPHC與N8RC之間

的數(shù)量關(guān)系(用含口,4的式子表示).

9.如圖，在△/BC中，點(diǎn)。在4B上，過(guò)點(diǎn)。作DE〃8C,交NC于點(diǎn)E,。尸平分

ZADE,交//CB的平分線于點(diǎn)P,CP與DE相交于點(diǎn)G,//CF的平分線C。與。尸相

交于點(diǎn)。.

AA

//'?/

/

/7^\\/

8/--------------------------■--------->*------------

CFCA-

*川圖

⑴若NN=40。，ZB=60。，則ZDPC=_。，/。=_。；

(2)若//=a,當(dāng)?shù)亩葦?shù)發(fā)生變化時(shí)，/DPC、N。的度數(shù)是否發(fā)生變化?若要變化，說(shuō)

明理由；若不變化，求出/DPC、的度數(shù)(用a的代數(shù)式表示)；

(3)若△PC。中存在一個(gè)內(nèi)角等于另一個(gè)內(nèi)角的三倍，請(qǐng)求出//的度數(shù).

10.(1)在△43C中，AB=20,BC=1,AC=1m-3.求加的取值范圍；

(2)若三角形中有一個(gè)內(nèi)角的度數(shù)是另一個(gè)內(nèi)角度數(shù)的3倍，則這個(gè)三角形叫“三倍角三角

形”.已知△NBC是三倍角三角形，且//=63°,求△4BC中最小內(nèi)角的度數(shù).

11.閱讀理解概念：如果三角形的兩個(gè)內(nèi)角。與"滿足2a+〃=90。，那么我們稱這樣的三

角形為“奇妙互余三角形”.完成以下問(wèn)題：

⑴填空：

①若△4BC是“奇妙互余三角形"，ZC>90°,44=60。，貝U48=；

②若△4BC是“奇妙互余三角形"，ZC>90°,N/=40。，貝|NC=；

(2)在ZUBC中，ZC=90°,/48C=52。，點(diǎn)P是射線上的一點(diǎn)，且“AP是"奇妙互余

三角形”，請(qǐng)求出//PC的度數(shù).

試卷第3頁(yè)，共4頁(yè)

題型3：分類討論思想在求分式方程的字母系數(shù)中的應(yīng)用

12.(1)已知關(guān)于x的分式方程二+」一=1有增根，求?的值.

X-1v-x

(2)關(guān)于x的方程生!■+，一=2有整數(shù)解，求此時(shí)整數(shù)加的值.

一.填空題(共3小題)

13.關(guān)于x的分式方程丹-白=1無(wú)解，則機(jī)的值為_(kāi)__.

x-22-x

14.已知關(guān)于x的分式方程0=3-2無(wú)解，則加的值為_(kāi)____.

1-xx-1

15.關(guān)于％的分式方程二+萼7=一無(wú)解，則加的值為

二.解答題(共1小題)

16.若分式方程2+匕與=」無(wú)解，求人的值.

x-22-x

試卷第4頁(yè)，共4頁(yè)

1.20°或50°或35。

【分析】本題考查折疊的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，解題的關(guān)鍵是注意

分類討論.分NC=NAPC,AC=APAC,NP/C=ZAPC三類討論結(jié)合折疊的性質(zhì)及三角

形內(nèi)角和定理即可得到答案；

【詳解】解：①當(dāng)/C=//PC時(shí)，

ZC=40°,

ZAPC=40°,

=180°-40°=140°,

???將折疊，使得點(diǎn)8與點(diǎn)4重合，

ZB=ZBAP=1(180°-ZAPB)=20°,

此時(shí)ABAC=180°-40°-20°=120°>Z5,符合題意；

②當(dāng)/C=/P/C時(shí)

vZC=40°,

：.NPAC=40°,

ZAPC=180°-40°-40°=100°,

.?.//依=180°-100°=80°

???將折疊，使得點(diǎn)5與點(diǎn)/重合，

ZB=ZBAP=1(180°-ZAPB)=50°,

此時(shí)ABAC=180。-50。-40。=90°>NB,符合題意；

③當(dāng)APAC=NAPC時(shí)

???ZC=40°,

...ZPAC=ZAPC=1(180°-50°)=70°

.?/P8=180°-70°=110°

???將折疊，使得點(diǎn)8與點(diǎn)4重合，

...ZB=ZB/P=g(180°-//PB)=35°,

此時(shí)/以。=180。-40。-35。=105。>/8,符合題意；

綜上所述答案為：20。或50。或35。；

2.B

答案第1頁(yè)，共15頁(yè)

【分析】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，熟練掌握等腰三角形的性質(zhì)是解題關(guān)鍵.分兩種情

況：①這個(gè)100°的角是頂角和②這個(gè)100。的角是底角，據(jù)此求解即可得.

【詳解】解：由題意，分以下兩種情況：

①當(dāng)這個(gè)100。的角是頂角時(shí)，

則這個(gè)等腰三角形的底角為gX（180。-100。）=40。；

②當(dāng)這個(gè)100。的角是底角時(shí)，

?■-100°+100°=200°>180°,

，不存在這種情況；

這個(gè)等腰三角形的底角為40。，

故選：B.

3.A

【分析】本題主要考查了等腰三角形的性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，因?yàn)檠L(zhǎng)沒(méi)有明確，所以分①3是腰

長(zhǎng)，②7是腰長(zhǎng)兩種情況求解，熟練掌握①3是腰長(zhǎng)，②7是腰長(zhǎng)兩種情況討論求解是解決

此題的關(guān)鍵.

【詳解】①3是腰長(zhǎng)時(shí)，

???3+3<7

???不能組成三角形，

②7是腰長(zhǎng)時(shí)，能組成三角形，周長(zhǎng)=7+7+3=17,

它的周長(zhǎng)是17,

故選：A.

4.A

【分析】此題考查了等腰三角形的定義，以及構(gòu)成三角形的條件.對(duì)于題中中線分三角形的

周長(zhǎng)為兩部分，在沒(méi)有指明兩部分對(duì)應(yīng)的長(zhǎng)度時(shí)，應(yīng)利用分類討論的思想來(lái)求解，另外求出

。與6后，不要忽略用三角形的兩邊之和大于第三邊來(lái)判定能否構(gòu)成三角形.

根據(jù)題意畫(huà)出圖形，設(shè)等腰三角形的腰長(zhǎng)為底邊為b,根據(jù)中點(diǎn)定義得到/。與。C相

等都等于腰長(zhǎng)。的一半，NC邊上的中線3。將這個(gè)三角形的周長(zhǎng)分為AB+AD和5C+CD兩

部分，分別表示出兩部分，然后分N8+4D=18,BC+CD=3Q^AB+AD=3Q,

3C+C￡>=18兩種情況分別列出方程組，分別求出方程組的解即可得到。與△的兩對(duì)值，根

據(jù)三角形的兩邊之和大于第三邊判定能否構(gòu)成三角形，即可得到滿足題意的等腰三角形的底

答案第2頁(yè)，共15頁(yè)

邊長(zhǎng).

【詳解】解：依題意可得：這一邊上的中線為腰上的中線，畫(huà)出圖形如下:

設(shè)這個(gè)等腰三角形的腰長(zhǎng)為。，底邊長(zhǎng)為6,

QH—a=18QH—a=30

22

根據(jù)題意得:或《

-a+&=30-a+/)=18

122

(7=12、］〃=20

解得:6=24或1=8'

又?.,三邊長(zhǎng)12、12、24不能構(gòu)成三角形，

，底邊長(zhǎng)為8.

故選A.

5.50°或65°或80。

【分析】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理.

等腰三角形的一個(gè)外角等于130。，則等腰三角形的一個(gè)內(nèi)角為50。，但已知沒(méi)有明確此角是

頂角還是底角，所以應(yīng)分三種情況進(jìn)行分類討論即可得.

【詳解】解：???等腰三角形的一個(gè)外角為130。，

???與130。相鄰的內(nèi)角為50。，

則//的度數(shù)可能為50。，

當(dāng)50。為頂角時(shí)，其他兩角都為65。、65°,

則//的度數(shù)可能為65。，

當(dāng)50。為底角時(shí)，其他兩角為50。、80°,

則//的度數(shù)可能為80。，

所以一/的度數(shù)為50。或65。或80。，

故答案為：50?；?5?；?0。.

6.17

答案第3頁(yè)，共15頁(yè)

【分析】本題考查了非負(fù)數(shù)的性質(zhì)，幾個(gè)非負(fù)數(shù)的和為零，則這幾個(gè)數(shù)都為零，三角形三邊

關(guān)系，等腰三角形的性質(zhì)；首先根據(jù)非負(fù)數(shù)的性質(zhì)求出。，6的值，則由等腰三角形及三角

形三邊不等關(guān)系可確定等腰三角形的腰與底邊，從而求得周長(zhǎng).

【詳解】解：-7注0,(6-3)220,且|”7|+3-3)2=0,

tz—7=0,Z?—3=0,

6=3；

?.?3+3<7,

???等腰三角形的腰為7,底邊為3,

二等腰三角形的周長(zhǎng)為：7+7+3=17；

故答案為：17.

7.(1)135,15；

(2)不變，ze=1?,理由見(jiàn)解析；

⑶24的度數(shù)為60?；?20。.

【分析】(1)根據(jù)角度和差、倍分，三角形的內(nèi)角和定理，三角形的外角性質(zhì)即可求解；

(2)根據(jù)角度和差、倍分，三角形的內(nèi)角和定理，三角形的外角性質(zhì)即可求解；

(3)設(shè)4=1,分①當(dāng)12(r=2xga；②當(dāng)120。=2><(60。一；“；③當(dāng)

60°-1?=2x|a,④當(dāng)2x(600_；4=>分析即可；

本題考查了角度和差，三角形的內(nèi)角和定理，三角形的外角性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，熟練掌握

知識(shí)點(diǎn)的應(yīng)用是解題的關(guān)鍵.

【詳解】⑴解：?.?//=45。，々=60。,

ZACB=180°--=75°,

ZPCB=-ZACB=15°,

3

■：DE//BC,

ZADE=ZB=60°,NPGD=NPCB=25。,

■:ZPDE=-ZADE,

3

ZPDE=20°,

ZDPC=180°-ZPDG-APGD=180°-20°-25°=135°,

ZACF=ZA+ZB=450+60°=105°,

答案第4頁(yè)，共15頁(yè)

：,ZQCF=35°,

APCQ=180?！?PCB-ZQCF=180?！?5。—35。=120。，

N。=ZDPC-ZPCQ=135°-120°=15°,

故答案為：135,15；

(2)解：不變，N0=；a,理由：

vDE//BC,

■■ZADE=ZB,ZPGD=ZPCB,

NPCB=-ZACB,ZPDE=-ZADE,

33

...NPDG+ZPGD=1(Z5+ZACB),

?.?/3+//C8=180°-//=180°-a,

ZPDG+ZPGD=1(180°-a)=60°-1tz,

ZQPC=ZPDG+ZPGD=60°-1?,

NPCB=gZACB,ZQCF=jZACF,

...ZPCB+ZQCF=1(NACB+ZACF)=60°,

.?./PC。=120°,

.../Q=180°-/PCQ-/QPC=180°-120°-(60°-；a]=ga；

(3)設(shè)4=a,由(2)得：ZPCQ=120°,=Z0PC=60°-1a,

①當(dāng)120o=2x；a,解得：a=180。，不符合題意，舍去；

②當(dāng)120。=2乂(60。一卜)，無(wú)解；

③當(dāng)6(r-；a=2x；a,解得：夕=60。，符合題意；

④當(dāng)2*卜0。-!“=%，解得：a=120。，符合題意；

綜上可知：//的度數(shù)為60?；?20。.

8.⑴/跳7)=40。

⑵產(chǎn)。=130。

⑶NPHC+NBFC=l80o+la-；/^NPHC-NBFC=g”ga

答案第5頁(yè)，共15頁(yè)

【分析】本題考查角平分線的定義，三角形的內(nèi)角和定理，折疊的性質(zhì)，熟知相關(guān)知識(shí)是解

題的關(guān)鍵.

(1)根據(jù)三角形內(nèi)角和定理和角平分線的定義求解即可；

(2)先由折疊的性質(zhì)和平角的定義得到乙4=80。，進(jìn)而求出N48C+N/C8=100。，同(1)

即可得到答案；

(3)當(dāng)兩種情況畫(huà)圖，討論求解即可.

【詳解】(1)解：???乙4=100。，

ZABC+ZACB=1800-ZA=180°-100°=80°,

又一:BE,CO分別平分ZA8C、ZACB,

ZEBC=-ZABC,ZDCB=-ZACB,

22

ZEBC+ZDCB=-ZABC+-ZACB=-(/ABC+ZACB]=-x80°=40°,

222、72

ZBFD=ZEBC+ZDCB=40°；

(2)解：?，N1+N2=16O°,

...NAMF+ZANF=360°-(N1+N2)=360°-160。=200°,

由折疊可得：ZAMN=-ZAMF,ZANM=-ZANF,

22

ZAMN+ZANM=^(ZAMF+ZANF)=1x200°=100°,

NA=180°-(ZAMN+ZANM)=180。-100。=80°,

ZABC+ZACB=180°-ZA=180°-80°=l00°,

又一BF,CF分別平分ZA8C、ZACB,

ZFBC=-ZABC,ZFCB=-ZACB,

22

...ZFBC+ZFCB=-ZABC+-ZACB=-[ZABC+-Zy4C5I=-xl00°=50°,

222(2)2

：.2BFC=180°-(ZEBC+NDCB)=180°-50°=130°；

(3)解：如圖，設(shè)CH與尸。相交于點(diǎn)G,

...NAPQ=180°-ZA-ZAQP=180°-ZA-a,

又「PH平分4PQ,

ZHPQ=|NAPQ=1(18O0-Zy4-a),

答案第6頁(yè)，共15頁(yè)

???BF,CF分別是//8C和NACB的平分線，

AFBC=-AABC,ZFCB=-ZACB,

22

...ZFBC+ZFCB=1ZABC+；ZACB=^(ZASC+ZACB)=1(180°-ZA),

ZPGH=ZCGQ=ZAQP-ZACF=a-^j3,

ZBFC=180°-(ZraC+ZFCB)=180。-g(180。一//)=90。+；zSl,

NPaC=18O°_ZHP0_NPG〃=18O°_；(18O°—N/_a)—1a-；Aj=9O°+g//-；a+；Q,

ZPHC-ZBFC=-B--a-

22

如圖，設(shè)直線？H交/C于點(diǎn)G,

ZAPQ=180°-ZA-ZAQP=180°-ZA-a,

又"G平分4PQ,

...AGPQ=|NAPQ=1(18O0-Zy4-cc),

...NAGP=ZGPQ+NGQP=1(180°-Z^-?)+a,

vBF,CT是/ABC和NACB的平分線，

ZFBC=-ZABC,ZFCB=-ZACB,

22

...ZFBC+ZFCB=1ZABC+^ZACB=^(ZABC+ZACB)=^(180°-ZA),

ABFC=180°-(ZFBC+ZFCB}=180°-1(l80°-=90°+^ZA,

ZPHC=ZAGH-ZACH=^(180°-ZA-a)+a,

ZPHC+ZBFC=-(1800-ZA-a)+a--/3+900+-ZA=18Q°+-a--J3；

22222

答案第7頁(yè)，共15頁(yè)

綜上所述，NPHC與ZBFC之間的數(shù)量關(guān)系為/PHC+ZBFC=180。+；。-；〃或

ZPHC-ABFC=-B--a.

22

9.(1)110；20

⑵90。+9；1

(3)44=45°或60°或120°或135。

【分析】本題考查平行線的性質(zhì)，角平分線的定義，三角形內(nèi)角和定理等知識(shí).利用數(shù)形結(jié)

合和分類討論的思想是解題關(guān)鍵.

(1)由平行線的性質(zhì)，角平分線的定義結(jié)合三角形內(nèi)角和定理即可求解；

(2)同理由平行線的性質(zhì)，角平分線的定義結(jié)合三角形內(nèi)角和定理即可求解；

(3)設(shè)由(2)可知NQPC=90O-ga,NQ=ga.再由/PC。=90。不變，即可

分類討論①當(dāng)/尸。。=3/。。時(shí)，②當(dāng)/PC0=3/0時(shí)，③當(dāng)/CP0=3/。時(shí)和④當(dāng)

3/"。=/。時(shí)，分別列出關(guān)于a的等式，解出a即可.

【詳解】(1)解：ZA=40°,4=60。,

ZACB=180°-ZA-ZB=80°.

???CP平分ZNC8,

ABCP=NACP,ZACB=40°.

2

■■DE//BC,

/ADE=/B=60°,ZPGD=ZBCP=40°.

?：DP平分N4DE,

.-.ZPDG=-ZADE=30°.

2

ZDPC=180°-ZPDG-ZPGD=110°；

.?./QPC=180°—110°=70°.

答案第8頁(yè)，共15頁(yè)

???c尸平分/ZC5,C0平分/4C尸，

：.NACP=gzACB,ZACQ=^ZACF,

-ZACB+ZACF=1SO°,

ZACP+ZACQ=90°,gpZPCQ=90°,

,20=9O?！?Q尸C=20。.

故答案為：HO,20；

(2)解：???//=a,

：,ZACB+ZB=1^0°-a.

-DE//BC,

ZADE=/B,ZPGD=APCB.

,；DP平濟(jì)NADE,CP平分//C5,

ZPDE=-ZADE=-AB,APCB=-ZACB=ZPGD.

222

??.ZDPC=180°-(/PDE+/PGD)

=180°-1(Z5+Z^C5)

1

=180°-—x(180-a)。

2

=90。+'.

2

.■,Z2PC=180°-90°+1arj=90°-1a.

由（1）可知NPCQ=90。不變，

.../。=90。-/0℃=90。一（90。-3“=1.

（3）解：設(shè)乙4=a,

由（2）可知/。尸。=90。一；々，NQ=ga.

■.■ZPCQ=90°,

?河分類討論：①當(dāng)NPCQ=3NCP。時(shí),

...90o--?=-x90°,

23

解得：a=120。，

.-.ZA=120°；

答案第9頁(yè)，共15頁(yè)

②當(dāng)/尸。。=3/0時(shí),

—a=-x90°,

23

解得：a=60°,

ZA=60°；

③當(dāng)NCPQ=3N。時(shí),

90°-—?=3x—a,

22

解得：a=45。，

NA=45°；

④當(dāng)3/。尸。=/0時(shí),

解得：a=135。，

.?.NN=135°.

綜上可知//=45?；?0?；?20?；?35。.

10.(1)8<m<15；(2)21°或29.25°

【分析】此題考查了三角形的三邊關(guān)系、三角形的內(nèi)角和定理、一元一次方程等知識(shí).

(1)根據(jù)三角形三邊關(guān)系得到20-7<2加-3<20+7,解不等式組即可；

(2)求出NB+NC=117。，設(shè)最小角為x,分兩種情況分別列方程并解方程即可.

【詳解】(1)20-7<2m-3<20+7,

即13<2h-3<27,

8<m<15

(2)???//=63。，

ZB+ZC=117°,

設(shè)最小角為x,

①63°=3x,解得x=21。

②x+3x=117。，解得x=29.25°

即ZUBC中最小內(nèi)角的度數(shù)為21?；?9.25。.

11.(1)①15。；②115°或130°

(2)71?；?8°或14。

【分析】(1)①根據(jù)"準(zhǔn)互余三角形”的定義，由于三角形內(nèi)角和是180。，ZC>90°,

答案第10頁(yè)，共15頁(yè)

ZA=60°,只能是//+2Z8=90。；

②由“奇妙互余三角形”的定義得ZA+2ZB=90°或2/4+ZB=90°,即可求解；

（3）分為2種情況，當(dāng)尸在線段2C上時(shí)和當(dāng)P在C3延長(zhǎng)線上時(shí)，根據(jù)尸是“奇妙互

余三角形”分別可解得答案.

【詳解】（1）①???△/2C是“奇妙互余三角形"，ZC>90°,44=60。，

ZA+2ZB=90°,

.-.ZB=15°,

故答案為：15。；

②ZUBC是“奇妙互余三角形"，ZC>90°,44=40。，

當(dāng)乙4+2/8=90。時(shí)，

.?.40°+2/8=90°

/B=25°,

.?.ZC=180°-40o-25o=115°

當(dāng)2/4+/8=90。時(shí)，

.?.80°+/5=90°

.?./8=10°,

.?.NC=180°-40°-10°=130°.

故答案為：115。或130。；

（2）解：當(dāng)尸在線段5c上時(shí)，如圖：

ZC=90°,ZABC=52°,是“奇妙互余三角形”,

當(dāng)2/尸/2+52°=90°時(shí),

ZPAB=19°,

.,.24PC=52°+19°=71°；

當(dāng)尸在C8延長(zhǎng)線上，是“奇妙互余三角形"，如圖:

答案第11頁(yè)，共15頁(yè)

VAABC=52°,

ZABP=128°.

當(dāng)2NAPB+NBAP=90°時(shí),

ZAPB+ZBAP=52°,

；.NAPB=38°；

當(dāng)ZAPB+2/BAP=90。時(shí)，

vZAPB+ABAP=52°,貝！|N3/P=38。，

???NAPB=14°.

綜上所述，/NPC的度數(shù)為71?；?8。或14。.

【點(diǎn)睛】本題考查三角形內(nèi)角和定理，三角形外角的性質(zhì)，數(shù)形結(jié)合與分類討論數(shù)學(xué)思想的

運(yùn)用、新定義問(wèn)題的求解等知識(shí)與方法，準(zhǔn)確地把握新定義的內(nèi)涵并且正確地畫(huà)出圖形是解

題的關(guān)鍵.

12.(1)3；(2)加的值為3或0或4

【分析】此題考查了分式方程的解法、增根問(wèn)題、整數(shù)解問(wèn)題等知識(shí)，熟練掌握分式方程的

解法和增根問(wèn)題是解題的關(guān)鍵.

(1)解分式方程得到x=a-2,求出增根x=l,貝=即可求得。的值；

2

(2)解方程得到x=^—,根據(jù)分式方程有整數(shù)解得到2-加=±1或2-加=±2且

2-m

2

--去2,進(jìn)一步求解即可得到整數(shù)m的值.

2-m

【詳解】解：(1)V+J-=1，

x—lL-X

去分母得到,

解得：x=a-2,

由題意得：x-1=0,

解得：x=\,

a—2=1,

解得：。=3,

答案第12頁(yè)，共15頁(yè)

■■a的值為3；

/、mx-11-

(2)--+--=2,

x—22—x

去分母得至I」加X(jué)-1—l=2（x—2）,

2

解得

2-m

???方程有整數(shù)解,

2

???2一加=±1或2一加=±2且----w2,

2-m

解得：加=1或3或0或4且m#1,

.,.機(jī)=3或0或4,

此時(shí)整數(shù)m的值為3或0或4.

13.-|或1

【分析】本題考查的是分式方程無(wú)解問(wèn)題.