空間點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系及相關(guān)度量問題一、考情分析高頻考點(diǎn)高考預(yù)測(cè)點(diǎn)、線、面、位置關(guān)系判斷以基本幾何體為載體,以小題的形式考查位置關(guān)系及度量問題,多為中檔題平行與垂直的判定空間角與距離的簡(jiǎn)單計(jì)算二、考題展示1.(2024·全國甲卷)設(shè)α,β為兩個(gè)平面,m,n為兩條直線,且α∩β=m,下述四個(gè)命題:①若m∥n,則n∥α或n∥β②若m⊥n,則n⊥α或n⊥β③若n∥α且n∥β,則m∥n④若n與α,β所成的角相等,則m⊥n其中所有真命題的編號(hào)是()A.①③ B.②④ C.①②③ D.①③④2.(2024·新高考Ⅱ卷)已知正三棱臺(tái)ABC-A1B1C1的體積為523,AB=6,A1B1=2,則A1A與平面ABC所成角的正切值為()A.12 B.1 C.2 D.3.(2022·全國乙卷)在正方體ABCD-A1B1C1D1中,E,F分別為AB,BC的中點(diǎn),則()A.平面B1EF⊥平面BDD1B.平面B1EF⊥平面A1BDC.平面B1EF∥平面A1ACD.平面B1EF∥平面A1C1D考向一點(diǎn)、線、面的位置關(guān)系例1(1)如圖,在正方體ABCD-A1B1C1D1中,P是A1C1上的動(dòng)點(diǎn)(含端點(diǎn)),則下列直線中,始終與直線BP異面的是()A.DD1 B.ACC.AD1 D.B1C(2)(2024·東北三省四市二模)正方體ABCD-A1B1C1D1中,P為正方形ABCD內(nèi)一點(diǎn)(不含邊界),記O為正方形ABCD的中心,直線PA1,PB1,PC1,PD1與平面A1B1C1D1所成角分別為θ1,θ2,θ3,θ4.若θ1=θ3,θ2>θ4,則點(diǎn)P在()A.線段OA上 B.線段OB上C.線段OC上 D.線段OD上____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________反思感悟點(diǎn)、線、面的位置關(guān)系,不但包含平行與垂直兩種特殊位置關(guān)系,還包含點(diǎn)共線、線共點(diǎn)、點(diǎn)線共面、異面直線、點(diǎn)在線上、點(diǎn)在面上、線在面內(nèi)、線面或面面相交等.訓(xùn)練1(1)如圖,點(diǎn)N為正方形ABCD的中心,△ECD為正三角形,平面ECD⊥平面ABCD,M是線段ED的中點(diǎn),則()A.BM=EN,且直線BM,EN是相交直線B.BM≠EN,且直線BM,EN是相交直線C.BM=EN,且直線BM,EN是異面直線D.BM≠EN,且直線BM,EN是異面直線(2)在棱長(zhǎng)為10的正方體ABCD-A1B1C1D1中,P為左側(cè)面ADD1A1上一點(diǎn),已知點(diǎn)P到A1D1的距離為3,P到AA1的距離為2,則與過點(diǎn)P且與A1C平行的直線交正方體于P,Q兩點(diǎn),則Q點(diǎn)所在的平面是()A.平面ABCD B.平面BB1C1CC.平面CC1D1D D.平面AA1B1B考向二平行與垂直關(guān)系的判定及應(yīng)用例2(1)(2024·九省聯(lián)考)設(shè)α,β是兩個(gè)平面,m,l是兩條直線,則下列命題為真命題的是()A.若α⊥β,m∥α,l∥β,則m⊥lB.若m?α,l?β,m∥l,則α∥βC.若α∩β=m,l∥α,l∥β,則m∥lD.若m⊥α,l⊥β,m∥l,則α⊥β(2)(2024·湖北八市聯(lián)考)如圖,在正方體ABCD-A1B1C1D1中,P,M,N分別為AB,BB1,DD1的中點(diǎn),則與平面MNP垂直的直線可以是()A.A1B B.A1D C.AC1 D.A1C____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

反思感悟平行與垂直關(guān)系判斷的4種方法(1)借助空間線面平行、面面平行、線面垂直、面面垂直的判定定理和性質(zhì)定理進(jìn)行判斷;(2)借助于反證法,當(dāng)從正面入手較難時(shí),可利用反證法,推出與題設(shè)或公認(rèn)的結(jié)論相矛盾,進(jìn)而作出判斷;(3)借助典型的空間幾何體模型(如長(zhǎng)方體)判斷;(4)建立空間直角坐標(biāo)系或選定空間的一組基,借助空間向量進(jìn)行判斷.訓(xùn)練2(1)(多選)(2024·泰州調(diào)研)已知正方形ABCD的邊長(zhǎng)為4,點(diǎn)E在線段AB上,BE=1.沿DE將△ADE折起,使點(diǎn)A翻折至平面BCDE外的點(diǎn)P,則()A.存在點(diǎn)P,使得PE⊥DCB.存在點(diǎn)P,使得直線BC∥平面PDEC.不存在點(diǎn)P,使得PC⊥DED.不存在點(diǎn)P,使得四棱錐P-BCDE的體積為8(2)(2024·濟(jì)南模擬)在三棱柱ABC-A1B1C1中,AM=2MB,A1N=mA1C1,且BN∥考向三度量問題(空間角與距離)例3(1)(2024·鎮(zhèn)江測(cè)試)已知AB是圓錐PO的底面直徑,C是底面圓周上的一點(diǎn),PC=AB=2,AC=3,則二面角A-PB-C的余弦值為.

(2)已知∠ACB=90°,P為平面ABC外一點(diǎn),PC=2,點(diǎn)P到∠ACB兩邊AC,BC的距離均為3,那么P到平面ABC的距離為.

____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________反思感悟1.求空間角的常用方法:(1)幾何法:一找二證三計(jì)算;(2)向量法:利用直線的方向向量和平面的法向量(建系)或向量模的性質(zhì).2.求點(diǎn)面距的常用方法:(1)直接法:找到點(diǎn)到面的距離,直接計(jì)算;(2)等積法:轉(zhuǎn)換三棱錐的頂點(diǎn)和底面;(3)向量法:利用平面的法向量(建系).訓(xùn)練3(1)已知△ABC是面積為934的等邊三角形,且其頂點(diǎn)都在球O的球面上.若球O的表面積為16π,則O到平面ABC的距離為(A.3(2)(2024·溫州適考)如圖,在等腰梯形ABCD中,AB=BC=CD=12AD,點(diǎn)E是AD的中點(diǎn).現(xiàn)將△ABE沿BE翻折到△A'BE,將△DCE沿CE翻折到△D'CE,使得二面角A'-BE-C等于60°,D'-CE-B等于90°,則直線A'B與平面D'CE所成角的余弦值等于空間點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系及相關(guān)度量問題考情與考題二、考題展示1.A[α∩β=m,則m?α,m?β,對(duì)于①,若m∥n,則n∥α或n∥β,①正確;對(duì)于②,若m⊥n,則可能n∥α或n與α相交,②錯(cuò)誤;對(duì)于③,若n∥α且n∥β,則n∥m,③正確;對(duì)于④,n與m所成角可以為0,π2內(nèi)的任意角,④錯(cuò)誤.故選A2.B[設(shè)正三棱臺(tái)ABC-A1B1C1的高為h,三條側(cè)棱延長(zhǎng)后交于一點(diǎn)P,作PO⊥平面ABC于點(diǎn)O,PO交平面A1B1C1于點(diǎn)O1,連接OA,O1A1,如圖所示.由AB=3A1B1,可得PO1=12hPO=32h又S△S△ABC=12所以正三棱臺(tái)ABC-A1B1C1的體積V=VPABC解得h=433,故PO=由正三棱臺(tái)的性質(zhì)可知,O為底面ABC的中心,則OA=23因?yàn)镻O⊥平面ABC,所以∠PAO是A1A與平面ABC所成的角,在Rt△PAO中,tan∠PAO=POOA=1,故選B.3.A[在正方體ABCD-A1B1C1D1中,AC⊥BD且DD1⊥平面ABCD,又EF?平面ABCD,所以EF⊥DD1,因?yàn)镋,F分別為AB,BC的中點(diǎn),所以EF∥AC,所以EF⊥BD,又BD∩DD1=D,所以EF⊥平面BDD1,又EF?平面B1EF,所以平面B1EF⊥平面BDD1,故A正確;如圖,以點(diǎn)D為原點(diǎn),建立空間直角坐標(biāo)系,設(shè)AB=2,則D(0,0,0),B1(2,2,2),E(2,1,0),F(1,2,0),B(2,2,0),A1(2,0,2),A(2,0,0),C(0,2,0),C1(0,2,2),則EF=(-1,1,0),EB1=(0,1,DB=(2,2,0),DA1=(2,0,AA1=(0,0,2),AC=(-2,2,A1C1=(-2,2,設(shè)平面B1EF的一個(gè)法向量為m=(x1,y1,z1),則有m·可取m=(2,2,-1),同理可得平面A1BD的一個(gè)法向量為n1=(1,-1,-1),平面A1AC的一個(gè)法向量為n2=(1,1,0),平面A1C1D的一個(gè)法向量為n3=(1,1,-1),則m·n1=2-2+1=1≠0,所以平面B1EF與平面A1BD不垂直,故B錯(cuò)誤;因?yàn)閙與n2不平行,所以平面B1EF與平面A1AC不平行,故C錯(cuò)誤;因?yàn)閙與n3不平行,所以平面B1EF與平面A1C1D不平行,故D錯(cuò)誤.]考向與考法例1(1)B(2)B[(1)對(duì)于A,如圖1,當(dāng)點(diǎn)P為A1C1的中點(diǎn)時(shí),連接B1D1,BD,則P在B1D1上,BP?平面BDD1B1,又DD1?平面BDD1B1,所以BP與DD1共面,故A不正確;對(duì)于B,如圖2,連接AC,易知AC?平面ACC1A1,BP?平面ACC1A1,且BP∩平面ACC1A1=P,P不在AC上,所以BP與AC為異面直線,故B正確;當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)C1重合時(shí),連接AD1,B1C(圖2中),由正方體的性質(zhì),易知BP∥AD1,BP與B1C相交,故C,D不正確.故選B.(2)直線PA1,PB1,PC1,PD1與平面A1B1C1D1所成角大小分別為θ1,θ2,θ3,θ4,等價(jià)于直線PA1,PB1,PC1,PD1與直線AA1,BB1,CC1,DD1成角大小分別為π2-θ1,π2-θ2,π2-θ3,π2-θ4,由θ1=θ3,可知P在線段BD上,又θ2>θ4,則π2?θ2<π2-θ4,PB1與BB1所成角更小訓(xùn)練1(1)B(2)A[(1)取CD的中點(diǎn)O,連接ON,EO,因?yàn)椤鱁CD為正三角形,所以EO⊥CD,又平面ECD⊥平面ABCD,平面ECD∩平面ABCD=CD,所以EO⊥平面ABCD.設(shè)正方形ABCD的邊長(zhǎng)為2,則EO=3,ON=1,所以EN2=EO2+ON2=4,得EN=2.過M作CD的垂線,垂足為P,連接BP,則MP=32,CP=32,所以BM2=MP2+BP2=322+322+22=7,得BM=7,所以BM≠EN.連接BD,BE,因?yàn)樗倪呅蜛BCD為正方形,所以N為BD的中點(diǎn),即EN,MB均在平面BDE內(nèi),所以直線(2)法一連接A1P并延長(zhǎng)交AD于點(diǎn)E,連接CE,則過點(diǎn)P且與A1C平行的直線PQ必在平面A1EC內(nèi),因?yàn)槠矫鍭1EC∩平面ABCD=EC,所以點(diǎn)Q必在直線EC上,即在平面ABCD內(nèi),故選A.法二如圖,分別延長(zhǎng)BC,C1C到點(diǎn)M,N,使得CM=2,CN=3.以C,M,N為頂點(diǎn)作矩形CMHN,連接A1P,PH,HC,則易知四邊形A1PHC為平行四邊形,PH∥A1C.因?yàn)辄c(diǎn)P在平面ADD1A1內(nèi),點(diǎn)H在平面BCC1B1內(nèi),且點(diǎn)P,H分別在平面ABCD的兩側(cè),所以線段PH必與平面ABCD相交,設(shè)交點(diǎn)為Q,即點(diǎn)Q必在平面ABCD內(nèi),故選A.]例2(1)C(2)D[(1)對(duì)于A,m,l可能平行,相交或異面,故A錯(cuò)誤;對(duì)于B,α,β可能相交或平行,故B錯(cuò)誤;對(duì)于D,α,β平行,不可能垂直,故D錯(cuò)誤;由線面平行性質(zhì)得C正確,故選C.(2)連接AB1,B1D1,AD1,A1C1,A1C,如圖所示:因?yàn)镻,M,N分別為AB,BB1,DD1的中點(diǎn),故MP∥AB1,B1D1∥MN,又MP?平面AB1D1,AB1?平面AB1D1,故MP∥平面AB1D1.又MN?平面AB1D1,B1D1?平面AB1D1,故MN∥平面AB1D1.又MP∩MN=M,MP,MN?平面MNP,故平面MNP∥平面AB1D1.則垂直于平面MNP的直線一定垂直于平面AB1D1.顯然CC1⊥平面A1B1C1D,B1D1?平面A1B1C1D1,故B1D1⊥CC1,又B1D1⊥A1C1,A1C1∩CC1=C1,A1C1,CC1?平面A1C1C,故B1D1⊥平面A1C1C,又A1C?平面A1C1C,故A1C⊥B1D1.同理可得A1C⊥AB1,又AB1∩B1D1=B1,AB1,B1D1?平面AB1D1,故A1C⊥平面AB1D1,也即A1C⊥平面MNP,若其它選項(xiàng)的直線垂直于平面MNP,則要與A1C平行,顯然都不平行.故選D.]訓(xùn)練2(1)AC(2)12[(1)若PE⊥DC,又PE⊥PD,DC∩PD=D,DC?平面PCD,PD?平面PCD,則PE⊥平面PCD,PC?平面PCD,則PE⊥PC,而CE=17,PE=3,PC=22有解,A對(duì)若BC∥平面PDE,BC?平面BCDE,平面BCDE∩平面PDE=DE,∴BC∥DE,矛盾,故B錯(cuò)誤;取PC中點(diǎn)N,∵PD=DC,則DN⊥PC,若PC⊥DE,又DE∩DN=D,且DE?平面DEN,DN?平面DEN,則PC⊥平面DEN,又NE?平面DEN,則PC⊥NE,則EP=EC矛盾,∴不存在P使得PC⊥DE,C對(duì);SBCDE=12(1+4)·4=10,A到DE距離d=3×45=125,(VPBCDE)max=13×125(2)如圖,不妨設(shè)AB=a,AC=b,AA1=c,依題意,AM=23a,MA1=MA+AA1=?23AB+AA1=c-23a,MC=AC?AM=b-23a,因A1N=mA1C1=mb,則BN=BA1+A1N=c-a+m例3(1)55(2)2[(1)如圖以點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn),OB,OP分別為y,z軸,在底面圓所在平面內(nèi),以過點(diǎn)O且垂直AB的直線為x軸,建立空間直角坐標(biāo)系,點(diǎn)C為底面圓周上一點(diǎn),則∠ACB=90°,又AC=3,AB=PC=2,∴BC=1,PO=3,