北京市2025屆高三數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)專題過(guò)關(guān)檢測(cè)

統(tǒng)計(jì)與概率

一、選擇題共10小題，每小題4分，共40分.在每小題列出的四個(gè)選項(xiàng)中，選出符合

題目要求的一項(xiàng).

1.某市6月前10天的空氣質(zhì)量指數(shù)為35,54,80,86,72,85,58,125,111,53,則這組數(shù)據(jù)

的第75百分位數(shù)是（）

A.85B.85.5C.86D.98.5

2、某校學(xué)生科研興趣小組為了解：T12歲兒童的體質(zhì)健康情況，隨機(jī)調(diào)查了20名兒童的相關(guān)數(shù)據(jù),

分別制作了肺活量、視力、肢體柔韌度、BMI指數(shù)和身高之間的散點(diǎn)圖，則與身高之間具有正相關(guān)

關(guān)系的是（）

肺小視八

活力

?？俊Ｉ砀?/p>

肢

BM1A

體指

柔數(shù)

韌??????

度???????

。,°身高

A.肺活量B.視力C.肢體柔韌度D.BMI指數(shù)

3、從20名學(xué)生中隨機(jī)選出2名學(xué)生代表，則甲學(xué)生被選中的概率是（）

1111

A.—B.-C.-D.一

10654

4、袋中有10個(gè)大小相同的小球，其中7個(gè)黃球，3個(gè)紅球.每次從袋子中隨機(jī)摸出一個(gè)球，摸出的

球不再放回，則在第一次摸到黃球的前提下，第二次又摸到黃球的概率為（）

5、小明投籃3次，每次投中的概率為0.8,且每次投籃互不影響，若投中一次得2分，沒(méi)投中得0

分，總得分為X,則（）

A.E（X）=2.4B,￡（X）=4.8C.Z）（X）=0.48D.。（幻=0.96

6、己知一批產(chǎn)品中，A項(xiàng)指標(biāo)合格的比例為80%,B項(xiàng)指標(biāo)合格的比例為90%,A、B兩項(xiàng)指標(biāo)都

合格的比例為60%,從這批產(chǎn)品中隨機(jī)抽取一個(gè)產(chǎn)品，若A項(xiàng)指標(biāo)合格，則該產(chǎn)品的B項(xiàng)指標(biāo)也合

格的概率是()

3235

A.-B.-C.-D.一

7346

7、拋擲一顆質(zhì)地均勻的骰子，有如下隨機(jī)事件：G="點(diǎn)數(shù)不大于3",。2="點(diǎn)數(shù)大于3",c3=

"點(diǎn)數(shù)大于5"；"點(diǎn)數(shù)為奇數(shù)"；耳="點(diǎn)數(shù)為汽其中，=1,2,3,4,5,6.下列結(jié)論正確的是

()

A.B.Z)=￡,U￡3U￡5C.。2與C3互斥D.4與七2互為對(duì)立

8、為了了解居家學(xué)習(xí)期間性別因素是否對(duì)學(xué)生體育鍛煉的經(jīng)常性有影響，某校隨機(jī)抽取了40名學(xué)生

進(jìn)行調(diào)查，按照性別和體育鍛煉情況整理出如下的2x2列聯(lián)表：

鍛煉情況

性別合計(jì)

不經(jīng)常經(jīng)常

女生/人14721

男生/人81119

合計(jì)/人221840

-9n(ad—6cy

汪：Z獨(dú)立性檢驗(yàn)中'”一(°+次+d)(a+c)(b+d)'

常用的小概率值和相應(yīng)的臨界值如下表:

a0.10.050.010.0050.001

X。2.7063.8416.6357.87910.828

根據(jù)這些數(shù)據(jù)，給出下列四個(gè)結(jié)論：

①依據(jù)頻率穩(wěn)定于概率的原理，可以認(rèn)為性別對(duì)體育鍛煉的經(jīng)常性有影響；

②依據(jù)頻率穩(wěn)定于概率的原理，可以認(rèn)為性別對(duì)體育鍛煉的經(jīng)常性沒(méi)有影響；

③根據(jù)小概率值a=0.05的獨(dú)立性檢驗(yàn)，可以認(rèn)為性別對(duì)體育鍛煉的經(jīng)常性有影響，這個(gè)

推斷犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)0.05；

④根據(jù)小概率值a=0.05的獨(dú)立性檢驗(yàn)，沒(méi)有充分證據(jù)推斷性別對(duì)體育鍛煉的經(jīng)常性有影

響，因此可以認(rèn)為性別對(duì)體育鍛煉的經(jīng)常性沒(méi)有影響.

其中，正確結(jié)論的序號(hào)是

（A）①③（B）①④（C）②③（D）②④

9、設(shè)隨機(jī)變量J的分布列如下：

412345

PQ]a2a3%%

則下列說(shuō)法中不正確的是（）

A.P（^<2）=l-P（^>3）B.當(dāng)％=《（〃=1,2,3,4）時(shí)，%=｝

C.若｛%｝為等差數(shù)列，則%=；D.｛%｝的通項(xiàng)公式可能為%=〃（二+］）

10、在一次考試中有一道4個(gè)選項(xiàng)的雙選題，其中B和C是正確選項(xiàng)，A和D是錯(cuò)誤選項(xiàng)，甲、乙

兩名同學(xué)都完全不會(huì)這道題目，只能在4個(gè)選項(xiàng)中隨機(jī)選取兩個(gè)選項(xiàng).設(shè)事件河="甲、乙兩人

所選選項(xiàng)恰有一個(gè)相同"，事件N="甲、乙兩人所選選項(xiàng)完全不同"，事件X="甲、乙兩人所

選選項(xiàng)完全相同"，事件￥="甲、乙兩人均未選擇B選項(xiàng)”，則（）

A.事件M與事件N相互獨(dú)立B.事件X與事件丫相互獨(dú)立

C.事件M與事件丫相互獨(dú)立D.事件N與事件丫相互獨(dú)立

第二部分（非選擇題共110分）

二、填空題共5小題，每小題5分，共25分.

11.甲、乙兩地降雨的概率分別為60%和80%,兩地同時(shí)降雨的概率為30%.則在甲地降雨的條件

下，乙地也降雨的概率為.

12、A,B,C三個(gè)班共有120名學(xué)生，為調(diào)查他們的體育鍛煉情況，通過(guò)分層抽樣獲得了部分學(xué)生一

周的鍛煉時(shí)間，數(shù)據(jù)如下表（單位：小時(shí)）：

A班66.577.588

B班6789101112

C班46.588.51012.513.5

估計(jì)A班的人數(shù)有人；設(shè)B班體育鍛煉時(shí)間的方差為s；,C班體育鍛煉時(shí)間的方差為s；,

則s；s；（填：>,<,=）.

13、已知線性相關(guān)的兩個(gè)變量x和V的取值如下表，且經(jīng)驗(yàn)回歸方程為》=0.95x+&,則，=

X0134

y2.24.34.86.7

14、袋中有編號(hào)為1,2,3,4,5的5個(gè)球，從中任取3個(gè)球，記X為取出的三個(gè)球的最小號(hào)碼，

則尸（X=2）=.（用數(shù)字作答）

15、甲乙兩人射擊一架進(jìn)入禁飛區(qū)的無(wú)人機(jī).已知甲乙兩人擊中無(wú)人機(jī)的概率分別為0.5,0.4,且

甲乙射擊互不影響，則無(wú)人機(jī)被擊中的概率為.若無(wú)人機(jī)恰好被一人擊中，則被擊落的

概率為0.2；若恰好被兩人擊中，則被擊落的概率為0.6,那么無(wú)人機(jī)被擊落的概率為

三、解答題共6小題，共85分.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，演算步驟或證明過(guò)程.

16.某植物園種植一種觀賞花卉，這種觀賞花卉的高度（單位：cm）介于［15,25］之間，現(xiàn)對(duì)植物

園部分該種觀賞花卉的高度進(jìn)行測(cè)量，所得數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)如下圖所示.

l頻率/組距

0.150-----------］~

a-----------------------I-

0.100-----------------

0.075----n—

0.050—1—

一^^15171921,3高詹/阿

（1）求。的值；

（2）若從高度在［15,17）和［17,19）中分層抽樣抽取5株，在這5株中隨機(jī)抽取3株，記高度在

［15,17）內(nèi)的株數(shù)為X,求X的分布列及數(shù)學(xué)期望E（X）.

（3）以頻率估計(jì)概率，若在所有花卉中隨機(jī)抽取3株，求至少有2株高度在［21,25］的概率.

17、隨著科技的飛速發(fā)展，人工智能已經(jīng)逐漸融人我們的日常生活.在教育領(lǐng)域，4的賦能潛力巨

大.為了解教師對(duì)4大模型使用情況，現(xiàn)從某地區(qū)隨機(jī)抽取了200名教師，對(duì)使用4B、C、。四種

AI大模型的情況統(tǒng)計(jì)如下：

大模型的種

、'、、數(shù)01234

性別

男427231610

女648272415

在上述樣本所有使用3種4大模型的40人中，統(tǒng)計(jì)使用從B、C、。的4大模型人次如下:

AI大模型種

XBCD

類

人次32303028

用頻率估計(jì)概率.

(1)從該地區(qū)教師中隨機(jī)選取一人，估計(jì)至少使用兩種4大模型(4B、C、。中)的概率;

(2)從該地區(qū)使用3種4大模型(A、8,C,。中)的教師中，隨機(jī)選出3人，記使用B的有X

人，求X的分布列及其數(shù)學(xué)期望￡(X)；

(3)從該地區(qū)男，女教師中各隨機(jī)選一人，記他們使用4X模型(A、B、C、。中)的種數(shù)分別

為y,z,比較y,z的數(shù)學(xué)期望￡(y),￡(z)的大小.(結(jié)論不要求證明)

18、為研究某種農(nóng)產(chǎn)品價(jià)格變化的規(guī)律，收集得到了該農(nóng)產(chǎn)品連續(xù)40天的價(jià)格變化數(shù)據(jù)，如下表

所示.在描述價(jià)格變化時(shí)，用“+”表示“上漲”，即當(dāng)天價(jià)格比前一天價(jià)格高；用“-”表示“下

跌”，即當(dāng)天價(jià)格比前一天價(jià)格低；用“0”表示“不變”，即當(dāng)天價(jià)格與前一天價(jià)格相同.

時(shí)段價(jià)格變化

第1天到第

-++0---++0+0--+-+00+

20天

第21天到第

0++0---++0+0+---+0-+

40天

用頻率估計(jì)概率.

(1)試估計(jì)該農(nóng)產(chǎn)品價(jià)格“上漲”的概率；

(2)假設(shè)該農(nóng)產(chǎn)品每天的價(jià)格變化是相互獨(dú)立的.在未來(lái)的日子里任取4天，試估計(jì)該農(nóng)產(chǎn)品價(jià)

格在這4天中2天“上漲”、1天“下跌”、1天“不變”的概率；

(3)假設(shè)該農(nóng)產(chǎn)品每天的價(jià)格變化只受前一天價(jià)格變化的影響.判斷第41天該農(nóng)產(chǎn)品價(jià)格“上

漲”“下跌”和“不變”的概率估計(jì)值哪個(gè)最大.(結(jié)論不要求證明)

19、已知某險(xiǎn)種的保費(fèi)為0.4萬(wàn)元，前3次出險(xiǎn)每次賠付0.8萬(wàn)元，第4次賠付0.6萬(wàn)元

賠償次數(shù)01234

單數(shù)800100603010

在總體中抽樣100單，以頻率估計(jì)概率：

(1)求隨機(jī)抽取一單，賠償不少于2次的概率；

(2)(i)毛利潤(rùn)是保費(fèi)與賠償金額之差.設(shè)毛利潤(rùn)為X,估計(jì)X的數(shù)學(xué)期望；

(ii)若未賠償過(guò)的保單下一保險(xiǎn)期的保費(fèi)下降4%,已賠償過(guò)的增加20%.估計(jì)保單下一保險(xiǎn)期

毛利潤(rùn)的數(shù)學(xué)期望.

20、某旅游景區(qū)為吸引更多游客，計(jì)劃在官方網(wǎng)站平臺(tái)和短視頻平臺(tái)同時(shí)進(jìn)行廣告宣傳，兩平臺(tái)的

瀏覽用戶均可通過(guò)手機(jī)掃描景區(qū)提供的二維碼，網(wǎng)上購(gòu)買該景區(qū)門票，每人限購(gòu)一張.為了解兩平

臺(tái)的售票情況，從兩平臺(tái)的瀏覽用戶中各隨機(jī)抽取了1000人，對(duì)其是否購(gòu)買了該景區(qū)門票進(jìn)行統(tǒng)

計(jì)，獲得數(shù)據(jù)如下:

戶未購(gòu)買景區(qū)門票用戶

購(gòu)買景區(qū)門票用戶（人）

平（人）

官方網(wǎng)站250750

短視頻200800

景區(qū)門票在官方網(wǎng)站平臺(tái)和短視頻平臺(tái)的售價(jià)均為100元/人，其售票利潤(rùn)率分別是5%和

2%.

假設(shè)所有瀏覽用戶是否購(gòu)買景區(qū)門票相互獨(dú)立.用頻率估計(jì)概率.

（I）從短視頻平臺(tái)瀏覽用戶中隨機(jī)選取1人，估計(jì)此人為購(gòu)買景區(qū)門票用戶的概率；

（II）從官方網(wǎng)站平臺(tái)瀏覽用戶中，隨機(jī)選取3人，用X表示這3人的購(gòu)票費(fèi)用總和，求隨機(jī)變量

X的分布列和期望；

（III）經(jīng)統(tǒng)計(jì)，官方網(wǎng)站平臺(tái)和短視頻平臺(tái)的瀏覽用戶分別為15萬(wàn)人和40萬(wàn)人左右.該景區(qū)按瀏

覽用戶的人數(shù)向兩平臺(tái)支付廣告宣傳費(fèi)用，向官方網(wǎng)站平臺(tái)按5元/100人的標(biāo)準(zhǔn)支付，向短

視頻平臺(tái)按4元/100人的標(biāo)準(zhǔn)支付.為了獲得最大的凈利潤(rùn)（凈利潤(rùn)=售票利潤(rùn)-廣告宣傳費(fèi)

用），試分析該景區(qū)應(yīng)選擇在哪個(gè)平臺(tái)繼續(xù)加大廣告宣傳費(fèi)用投入力度，并說(shuō)明理由.

21、近年中國(guó)新能源汽車進(jìn)入高速發(fā)展時(shí)期，2024年中國(guó)新能源汽車銷售量已超過(guò)1100萬(wàn)輛，繼

續(xù)領(lǐng)跑全球.某市場(chǎng)部為了解廣大消費(fèi)者購(gòu)買新能源汽車和燃油汽車的情況，從某市眾多4S店中任

意抽取8個(gè)作為樣本，對(duì)其在12月份的新能源汽車、燃油汽車銷售量（單位：輛）進(jìn)行調(diào)查.統(tǒng)計(jì)

結(jié)果如下：

1店2店3店4店5店6店7店8店

新能源汽車銷售108162320182211

量

燃油汽車銷售量1411131921252326

（1）若從該市眾多門店中隨機(jī)抽取1個(gè)，估計(jì)該門店12月份新能源汽車銷售量超過(guò)燃油汽車銷售

量的概率；

（2）若從樣本門店中隨機(jī)抽取3個(gè)，其中12月份新能源汽車銷售量不低于20輛的門店個(gè)數(shù)記為

X,求X的分布列和數(shù)學(xué)期望；

（3）新能源汽車銷售量和燃油汽車銷售量的樣本方差分別記為S；和Si.試比較S；和S；的大小.

（結(jié)論不要求證明）

參考答案

一、選擇題

1、C2、A3、A4、A5、B6、C7、B8、B9、D10、C

二、填空題

11、50%12、36<13、2.614、15、0.7,0.22.

10

三、解答題

16.(1)依題意可得(0.05+0.075+a+0.15+0.1)x2=1,解得。=0.125；

（2）由⑴可得高度在［15,17）和［17,19）的頻率分別為0.1和0.15,

所以分層抽取的5株中,高度在［15,17）和［17,19）的株數(shù)分別為2和3,

所以X可取0,1,2,

r31“丫-⑴-CC-3X2_3

所以尸(x=o)=百-m,(一)一C-10~5

尸（'=＞等

所以X的分布列為:

3_6

W-5

（3）從所有花卉中隨機(jī)抽取3株,

記至少有2株高度在［21,25］為事件M,

17、（1）記事件M為"從該地區(qū)教師中隨機(jī)選取一人，至少使用兩種4大模型”,

.,/\50+40+25

則估計(jì)尸(四)=———23

40

（2）記事件N為“從該地區(qū)使用3種4大模型的40名教師中隨機(jī)選1人，該人使用模型B",

尸（T3

根據(jù)題中數(shù)據(jù),

4

X的可能取值為0,1,2,3,

1

尸(X=O)=C：

64

3

尸(X=l)=C；?

27

尸(X=2)=C

64

27

尸(X=3)=C；

64

X的分布列為

X0123

192727

P

64646464

9

192727

E（X）=Ox—+lx—+2x—+3x—4-

64646464

（3）由題意可得該地區(qū)男，女教師人數(shù)分別為：80和120,

e曰廠八八八4127c23cl6.10161

則易求￡(y)=0x---Flx-----F2x---F3x----F4x—

')8080808080~80

廣/八648c27r24.15234遼廠八八廠

E（Z]=Ox-------+1lx----+2x------+3x------+4x------=------,故E（Y）＞￡（Z）.

v7120120120120120120'）v7

18、（1）根據(jù)表格數(shù)據(jù)可以看出，40天里，有16個(gè)+,也就是有16天是上漲的，

根據(jù)古典概型的計(jì)算公式，農(nóng)產(chǎn)品價(jià)格上漲的概率為：—=0.4

40

（2）在這40天里，有16天上漲，14天下跌，10天不變，也就是上漲，下跌，不變的概率分別是

0.4,0.35,0.25,

于是未來(lái)任取4天，2天上漲，1天下跌，1天不變的概率是C：X0.42XC；X0.35X0.25=0.168

（3）由于第40天處于上漲狀態(tài)，從前39次的15次上漲進(jìn)行分析，上漲后下一次仍上漲的有4次,

不變的有9次，下跌的有2次，

因此估計(jì)第41次不變的概率最大.

19、（1）設(shè)A為“隨機(jī)抽取一單，賠償不少于2次”,

60+30+101

由題設(shè)中的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)可得產(chǎn)（幺）=

800+100+60+30+1010

（2）（i）設(shè)，為賠付金額,則，可取0,0.8,1.6,2.4,3,

8001

由題設(shè)中的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)可得尸信=0）==：旌=叫=黑

100010

603303

PC=1.6）=尸（J=2.4）=

W0050WOOWO

101

PC=3）=

1000100

41331

故碓）=0x-+0.8x—+1,6x—+2.4x——+3x——=0.278

51050100100

故￡（X）=0.4-0.278=0.122（萬(wàn)元）.

41

(ii)由題設(shè)保費(fèi)的變化為0.4x—x96%+0.4x—xl.2=0.4032,

55

故E(y)=0.122+0.4032-0.4=0.1252(萬(wàn)元)

20、解：(I)設(shè)“從短視頻平臺(tái)瀏覽用戶中隨機(jī)選取1人，此人為購(gòu)買景區(qū)門票用戶”為事件

A,則用頻率估計(jì)概率，P(A)=^-=~.

10005

(II)設(shè)“從官方網(wǎng)站瀏覽平臺(tái)用戶中隨機(jī)選取1人，此人為購(gòu)買景區(qū)門票用戶”為事件3,

則用頻率估計(jì)概率，/2)=當(dāng)='.

10004

由題意，X的所有可能取值為0,100,200,300,且

尸(X=0)=%)審*，尸(X=100)=%)守*,

139131

P(X=200)=C^(-)2(-)'=—,P(X=300)=C；(/(/。=歹

所以隨機(jī)變量X的分布列為

X0100200300

272791

P

64646464

2727914800

期望為E(X)=0x——+100x——+200x——+300x——==75.