PAGEPAGE2第6講離散型隨機變量及其分布列[基礎(chǔ)達標(biāo)]1．設(shè)某項試驗的勝利率是失敗率的2倍，用隨機變量X去描述1次試驗的勝利次數(shù)，則P(X＝0)等于()A．0 B．eq\f(1,2)C．eq\f(1,3) D．eq\f(2,3)解析：選C.設(shè)X的分布列為X01Pp2p即“X＝0”表示試驗失敗，“X＝1”表示試驗勝利．由p＋2p＝1，得p＝eq\f(1,3)，故應(yīng)選C.2．(2024·紹興調(diào)研)在15個村莊中有7個村莊交通不便利，現(xiàn)從中隨意選10個村莊，用X表示這10個村莊中交通不便利的村莊數(shù)，則下列概率中等于eq\f(Ceq\o\al(4,7)Ceq\o\al(6,8),Ceq\o\al(10,15))的是()A．P(X＝2) B．P(X≤2)C．P(X＝4) D．P(X≤4)解析：選C.X聽從超幾何分布，P(X＝k)＝eq\f(Ceq\o\al(k,7)Ceq\o\al(10－k,8),Ceq\o\al(10,15))，故k＝4，故選C.3．設(shè)隨機變量Y的分布列為Y－123Peq\f(1,4)meq\f(1,4)則“eq\f(3,2)≤Y≤eq\f(7,2)”的概率為()A．eq\f(1,4) B．eq\f(1,2)C．eq\f(3,4) D．eq\f(2,3)解析：選C.依題意知，eq\f(1,4)＋m＋eq\f(1,4)＝1，則m＝eq\f(1,2).故Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)≤Y≤\f(7,2)))＝P(Y＝2)＋P(Y＝3)＝eq\f(1,2)＋eq\f(1,4)＝eq\f(3,4).4．設(shè)隨機變量X的概率分布列如下表所示：X012Paeq\f(1,3)eq\f(1,6)若F(x)＝P(X≤x)，則當(dāng)x的取值范圍是[1，2)時，F(xiàn)(x)等于()A．eq\f(1,3) B．eq\f(1,6)C．eq\f(1,2) D．eq\f(5,6)解析：選D.由分布列的性質(zhì)，得a＋eq\f(1,3)＋eq\f(1,6)＝1，所以a＝eq\f(1,2).而x∈[1，2)，所以F(x)＝P(X≤x)＝eq\f(1,2)＋eq\f(1,3)＝eq\f(5,6).5．已知離散型隨機變量X的分布列為X012P0.51－2qeq\f(1,3)q則P(eq\r(X)∈Z)＝()A．0.9 B．0.8C．0.7 D．0.6解析：選A.由分布列性質(zhì)得0.5＋1－2q＋eq\f(1,3)q＝1，解得q＝0.3，所以P(eq\r(X)∈Z)＝P(X＝0)＋P(X＝1)＝0.5＋1－2×0.3＝0.9，故選A.6．拋擲2顆骰子，所得點數(shù)之和X是一個隨機變量，則P(X≤4)＝________．解析：拋擲2顆骰子有36個基本領(lǐng)件，其中X＝2對應(yīng)(1，1)；X＝3對應(yīng)(1，2)，(2，1)；X＝4對應(yīng)(1，3)，(2，2)，(3，1)．所以P(X≤4)＝P(X＝2)＋P(X＝3)＋P(X＝4)＝eq\f(1,36)＋eq\f(2,36)＋eq\f(3,36)＝eq\f(1,6).答案：eq\f(1,6)7．已知隨機變量ξ只能取三個值：x1，x2，x3，其概率依次成等差數(shù)列，則公差d的取值范圍是________．解析：設(shè)ξ取x1，x2，x3時的概率分別為a－d，a，a＋d，則(a－d)＋a＋(a＋d)＝1，所以a＝eq\f(1,3)，由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)－d≥0，,\f(1,3)＋d≥0，))得－eq\f(1,3)≤d≤eq\f(1,3).答案：eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(1,3)，\f(1,3)))8．若離散型隨機變量X的分布列為X01P9c2－c3－8c則常數(shù)c＝________，P(X＝1)＝________．解析：依分布列的性質(zhì)知，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(9c2－c≥0，,3－8c≥0，,9c2－c＋3－8c＝1，))解得c＝eq\f(1,3)，故P(X＝1)＝3－8×eq\f(1,3)＝eq\f(1,3).答案：eq\f(1,3)eq\f(1,3)9．在一個口袋中裝有黑、白兩個球，從中隨機取一球，登記它的顏色，然后放回，再取一球，又登記它的顏色，則這兩次取出白球數(shù)X的分布列為________．解析：X的全部可能值為0，1，2.P(X＝0)＝eq\f(Ceq\o\al(1,1)Ceq\o\al(1,1),Ceq\o\al(1,2)Ceq\o\al(1,2))＝eq\f(1,4)，P(X＝1)＝eq\f(Ceq\o\al(1,1)Ceq\o\al(1,1)×2,Ceq\o\al(1,2)Ceq\o\al(1,2))＝eq\f(1,2)，P(X＝2)＝eq\f(Ceq\o\al(1,1)Ceq\o\al(1,1),Ceq\o\al(1,2)Ceq\o\al(1,2))＝eq\f(1,4).所以X的分布列為X012Peq\f(1,4)eq\f(1,2)eq\f(1,4)答案：X012Peq\f(1,4)eq\f(1,2)eq\f(1,4)10.(2024·溫州市高考模擬)袋中有6個編號不同的黑球和3個編號不同的白球，這9個球的大小及質(zhì)地都相同，現(xiàn)從該袋中隨機摸取3個球，則這三個球中恰有兩個黑球和一個白球的方法總數(shù)是________，設(shè)摸取的這三個球中所含的黑球數(shù)為X，則P(X＝k)取最大值時，k的值為________．解析：袋中有6個編號不同的黑球和3個編號不同的白球，這9個球的大小及質(zhì)地都相同，現(xiàn)從該袋中隨機摸取3個球，則這三個球中恰有兩個黑球和一個白球的方法總數(shù)是：n＝Ceq\o\al(2,6)Ceq\o\al(1,3)＝45.設(shè)摸取的這三個球中所含的黑球數(shù)為X，則X的可能取值為0，1，2，3，P(X＝0)＝eq\f(Ceq\o\al(3,3),Ceq\o\al(3,9))＝eq\f(1,84)，P(X＝1)＝eq\f(Ceq\o\al(1,6)Ceq\o\al(2,3),Ceq\o\al(3,9))＝eq\f(18,84)，P(X＝2)＝eq\f(Ceq\o\al(2,6)Ceq\o\al(1,3),Ceq\o\al(3,9))＝eq\f(45,84)，P(X＝3)＝eq\f(Ceq\o\al(3,6),Ceq\o\al(3,9))＝eq\f(20,84)，所以P(X＝k)取最大值時，k的值為2.答案：45211．拋擲一枚質(zhì)地勻稱的硬幣3次．(1)寫出正面對上次數(shù)X的分布列；(2)求至少出現(xiàn)兩次正面對上的概率．解：(1)X的可能取值為0，1，2，3.P(X＝0)＝eq\f(Ceq\o\al(0,3),23)＝eq\f(1,8)；P(X＝1)＝eq\f(Ceq\o\al(1,3),23)＝eq\f(3,8)；P(X＝2)＝eq\f(Ceq\o\al(2,3),23)＝eq\f(3,8)；P(X＝3)＝eq\f(Ceq\o\al(3,3),23)＝eq\f(1,8).所以X的分布列為X0123Peq\f(1,8)eq\f(3,8)eq\f(3,8)eq\f(1,8)(2)至少出現(xiàn)兩次正面對上的概率為P(X≥2)＝P(X＝2)＋P(X＝3)＝eq\f(3,8)＋eq\f(1,8)＝eq\f(1,2).12．(2024·臺州高三質(zhì)檢)在一次購物活動中，假設(shè)每10張券中有一等獎券1張，可獲得價值50元的獎品；有二等獎券3張，每張可獲得價值10元的獎品；其余6張沒有獎．某顧客從這10張券中任取2張．(1)求該顧客中獎的概率；(2)求該顧客獲得的獎品總價值X(元)的分布列．解：(1)該顧客中獎的概率P＝1－eq\f(Ceq\o\al(0,4)Ceq\o\al(2,6),Ceq\o\al(2,10))＝1－eq\f(15,45)＝eq\f(2,3).(2)X的全部可能取值為0，10，20，50，60，且P(X＝0)＝eq\f(Ceq\o\al(0,4)Ceq\o\al(2,6),Ceq\o\al(2,10))＝eq\f(1,3)，P(X＝10)＝eq\f(Ceq\o\al(1,3)Ceq\o\al(1,6),Ceq\o\al(2,10))＝eq\f(2,5)，P(X＝20)＝eq\f(Ceq\o\al(2,3),Ceq\o\al(2,10))＝eq\f(1,15)，P(X＝50)＝eq\f(Ceq\o\al(1,1)Ceq\o\al(1,6),Ceq\o\al(2,10))＝eq\f(2,15)，P(X＝60)＝eq\f(Ceq\o\al(1,1)Ceq\o\al(1,3),Ceq\o\al(2,10))＝eq\f(1,15).故X的分布列為X010205060Peq\f(1,3)eq\f(2,5)eq\f(1,15)eq\f(2,15)eq\f(1,15)[實力提升]1．(2024·浙江中學(xué)學(xué)科基礎(chǔ)測試)一個袋子裝有大小形態(tài)完全相同的9個球，其中5個紅球編號分別為1，2，3，4，5；4個白球編號分別為1，2，3，4，從袋中隨意取出3個球．(1)求取出的3個球編號都不相同的概率；(2)記X為取出的3個球中編號的最小值，求X的分布列．解：(1)設(shè)“取出的3個球編號都不相同”為事務(wù)A，“取出的3個球中恰有兩個球編號相同”為事務(wù)B，則P(B)＝eq\f(Ceq\o\al(1,4)Ceq\o\al(1,7),Ceq\o\al(3,9))＝eq\f(28,84)＝eq\f(1,3)，所以P(A)＝1－P(B)＝eq\f(2,3).(2)X的取值為1，2，3，4，P(X＝1)＝eq\f(Ceq\o\al(1,2)Ceq\o\al(2,7)＋Ceq\o\al(2,2)Ceq\o\al(1,7),Ceq\o\al(3,9))＝eq\f(49,84)，P(X＝2)＝eq\f(Ceq\o\al(1,2)Ceq\o\al(2,5)＋Ceq\o\al(2,2)Ceq\o\al(1,5),Ceq\o\al(3,9))＝eq\f(25,84)，P(X＝3)＝eq\f(Ceq\o\al(1,2)Ceq\o\al(2,3)＋Ceq\o\al(2,2)Ceq\o\al(1,3),Ceq\o\al(3,9))＝eq\f(9,84)，P(X＝4)＝eq\f(1,Ceq\o\al(3,9))＝eq\f(1,84).所以X的分布列為X1234Peq\f(7,12)eq\f(25,84)eq\f(3,28)eq\f(1,84)2.(2024·惠州市第三次調(diào)研考試)某高校志愿者協(xié)會有6名男同學(xué)，4名女同學(xué)．在這10名同學(xué)中，3名同學(xué)來自數(shù)學(xué)學(xué)院，其余7名同學(xué)來自物理、化學(xué)等其他互不相同的七個學(xué)院．現(xiàn)從這10名同學(xué)中隨機選取3名同學(xué)，到希望小學(xué)進行支教活動(每位同學(xué)被選到的可能性相同)．(1)求選出的3名同學(xué)是來自互不相同學(xué)院的概率；(2)設(shè)X為選出的3名同學(xué)中女同學(xué)的人數(shù)，求隨機變量X的分布列．解：(1)設(shè)“選出的3名同學(xué)是來自互不相同的學(xué)院”為事務(wù)A，則P(A)＝eq\f(Ceq\o\al(1,3)·Ceq\o\al(2,7)＋Ceq\o\al(0,3)·Ceq\o\al(3,7),Ceq\o\al(3,10))＝eq\f(49,60).所以選出的3名同學(xué)是來自互不相同學(xué)院的概率為eq\f(49,60).(2)隨機變量X的全部可能值為0，1，2，3.P(X＝k)＝eq\f(Ceq\o\al(k,4)·Ceq\o\al(3－k,6),Ceq\o\al(3,10))(k＝0，1，2，3)．所以隨機變量X的分布列為X0123Peq\f(1,6)eq\f(1,2)eq\f(3,10)eq\f(1,30)3.小波以嬉戲方式確定是參與學(xué)校合唱團還是參與學(xué)校排球隊．嬉戲規(guī)則為：以O(shè)為起點，再從A1，A2，A3，A4，A5，A6，A7，A8(如圖)，這8個點中任取兩點分別為終點得到兩個向量，記這兩個向量的數(shù)量積為X.若X＝0就參與學(xué)校合唱團，否則就參與學(xué)校排球隊．(1)求小波參與學(xué)校合唱團的概率；(2)求X的分布列．解：(1)從8個點中任取兩點為向量終點的不同取法共有Ceq\o\al(2,8)＝28(種)，當(dāng)X＝0時，兩向量夾角為直角，共有8種情形，所以小波參與學(xué)校合唱團的概率為P(X＝0)＝eq\f(8,28)＝eq\f(2,7).(2)兩向量數(shù)量積X的全部可能取值為－2，－1，0，1，X＝－2時，有2種情形；X＝1時，有8種情形；X＝－1時，有10種情形．所以X的分布列為X－2－101Peq\f(1,14)eq\f(5,14)eq\f(2,7)eq\f(2,7)4.袋中裝有黑球和白球共7個，從中任取2個球都是白球的概率為eq\f(1,7).現(xiàn)在甲、乙兩人從袋中輪番摸取1球，甲先取，乙后取，然后甲再取……取后不放回，直到兩人中有一人取到白球為止，每個球在每一次被取出的機會是相等的，用X表示終止時所須要的取球次數(shù)．(1)求袋中原有白球