壓軸題解題模板03

幾何背景下的線段最值問題

目錄

?題型剖析?精準(zhǔn)提分

題型一垂線段最短問題

題型二將軍飲馬問題

題型三旋轉(zhuǎn)最值問題

好題必刷?強化落實

題型剖析?精準(zhǔn)提分

幾何背景下的線段最值問題

題型三旋轉(zhuǎn)最值問題題型一垂線段最短問題

題型二將軍飲馬問題

下圖為二次函數(shù)圖象性質(zhì)與幾何問題中各題型的

題型解讀：

考查熱度.

線段最值問題在中考中常常以選擇題和填空題的

考試熱度

形式出現(xiàn)，分值較小但難度較高.此類題型多綜合考查

垂線段最短、"將軍飲馬"及旋轉(zhuǎn)最值問題，一般要用到

特殊三角形、特殊四邊形、相似三角形、勾股定理和二

次函數(shù)等相關(guān)知識，以及數(shù)形結(jié)合、分類討論、轉(zhuǎn)化與

化歸等數(shù)學(xué)思想.此類題型常涉及以下問題:①線段和

差最值問題;②尺規(guī)作圖問題;③旋轉(zhuǎn)“費馬點”問題;

④點到直線的距離最值問題等.

題型一垂線段最短問題

解題模板:

根據(jù)條件判斷該題為垂線段最短模型

利用模型技巧構(gòu)造垂線段，確定動點位置

丁垂線f

根據(jù)已知條件或勾股定理列式計算

技巧精講：垂線段最短模型

模型問題情境圖示技巧

已知直線1外一定點A和直線1上A

人過點4作48Jj于點B,AB即為所求距離

垂線段最短一動點3,求4,8之間距離的最小

的最小值

值BfBB”

A

已知4408的內(nèi)部有一定點P,在作點P關(guān)于直線0B的對稱點P',過點P'

作對稱+垂線段最短0A上找一點M,在0B上找一點N,作P'M±0A于點M,與0B相交于點N,

使得的值最小07v\BP'M即為所求的最小值

PN+MNP'

【例1】如圖，在Rt^ABC中，ZBAC=90°且AB=3,AC=4,點。是斜邊BC上的一個動點，過點。

分別作于點M,OVJ_AC于點N,連接MN,則線段的最小值為（）

52

【分析】由勾股定理求出BC的長，再證明四邊形OMAN是矩形，可得MV=AD,根據(jù)垂線段最短和三

角形面積即可解決問題.

【解答】解："：ZBAC=90°,且BA=3,AC=4,

BC=VBA2+AC2=5'

'：DM1AB,DN±AC,

：.ZDMA^ZDNA^ZBAC=90°,

...四邊形。MAN是矩形,

；.MN=AD,

.?.當(dāng)ADLBC時，A。的值最小，

此時，△ABC的面積=1ABXAC=Ji8C><A。，

22

.3ABXAC上,

BC5

MN的最小值為」2；

5

故選：A.

【點評】本題考查了矩形的判定和性質(zhì)、勾股定理、三角形面積、垂線段最短等知識，解題的關(guān)鍵是熟練

掌握基本知識，屬于中考?？碱}型.

【變式1T】如圖，在Rt^ABC中，ZC=90°,是NA4C的平分線，點E是AB上任意一點.若CD

=5,則。E的最小值等于（）

A.2.5B.4C.5D.10

【分析】根據(jù)角平分線的性質(zhì)即可得到即可，

【解答】解：當(dāng)。E_LAB時，OE的值最小，

?.工。是NBAC的平分線，NC=90°,CD=5,

.?.OE的最小值=。=5,

故選：C.

【點評】本題考查的是角平分線性質(zhì)，關(guān)鍵是知道垂線段最短，本題比較典型，難度適中.

【變式1-2］如圖,在AABC中,CACB=90°,AC=BC=4,點D是BC邊的中點，點P是AC邊上一個動點,連接PD,

以PD為邊在PD的下方作等邊三角形PDQ,連接CQ.則CQ的最小值是（）

A-TB.1C.V2D.|

如圖，CD的上方，作等邊ACDM,連接PM,過點M作MHLCB于H.Q

VADPQ,都是等邊三角形

/CDM=/PDQ=60°

.\DP=DQ,DM=DC,

/.ADPM^ADQC(SAS),

/.PM=CQ.

APM的值最小時，CQ的值最小，

當(dāng)PM_LMH時，PM的最小值=CH=#D=1

ACQ的最小值為1故選:B.

題型二將軍飲馬問題

解題模板:

根據(jù)條件判斷該題為“將軍飲馬"模型

利用模型技巧作對稱點并連線，確定動點位置

根據(jù)已知條件或勾股定理列式計算

技巧精講:

1、〃將軍飲馬〃模型

模型問題情境圖示技巧

已知直線1異側(cè)的兩定點48,在直A

線/上找一點尸,使得PA+PB的值連接AB與直線l交于點PyAB即為所求的最小值

最小B

“兩定一動”

已知直線/同側(cè)的兩定點4,B,在直A

作點B關(guān)于直線1的對稱點丁，連接4*與直線/

線1上找一點P,使得PA+PB的值

…X-,交于點尸,4*即為所求的最小值

最小B1

P：

已知44。8內(nèi)部有一定點P,在0A分別作點P關(guān)于直線0A,0B的對稱點尸尸，連接

“一定兩動”上找一點M,在0B上找一點N,使PP”,交0A,0B于點此燈,尸'尸'即為4尸時7周長

得的周長最小°A呼的最小值

模型問題情境圖示技巧

上P:/

已知乙408內(nèi)部有兩個定點P,Q,分別作P,Q關(guān)于直線。4,。8的對稱點。，,。，,連

“兩定兩動”在上找一點M,在0B上找一點接尸Q',分別交0A,0B于點M,N,PQ+PQ'的值

M使得四邊形PQNM的周長最小oNNB即為四邊形PQNM周長的最小值

Q,

A

已知之間的距離為d,2/將點4向下平移d個單位長度到點連接交

J"i

在44上分別找兩點，使得d\A'\直線4于點N,過點N作NM_L4于點+

N、“2

MNU],SLAM+MN+NB的值最小MN即為所求的最小值

B

“架橋”問題已知直線1同側(cè)的兩定點4,4在直AAr旦將點4向右平移d個單位長度到點“，作點”關(guān)

線/上找兩點（M在N左側(cè)），弋、B于直線1的對稱點4",連接AftB交直線/于點N,將

使得MN=d,且AM+MN+NB的值就笳I點N向左平移d個單位長度到點M,A”B+MN即

最小A"為所求的最小值

2、線段差最大值問題模型：

模型問題情境圖示技巧

已知直線,同側(cè)的兩定點48,在直A

連接AB并延長,與直線1交于點尸,48即為所求的

同側(cè)線1上找一點P,使得1尸4-PB1的

最大值

值最大

已知直線1異側(cè)的兩定點4潭,在直A

作點B關(guān)于直線1的對稱點*,連接49并延長與

異側(cè)線1上找一點P,使得1以-依1的

141I直線1交于點即為所求的最大值

值最大B

【例2】（德州中考）如圖，正方形ABC。的邊長為6,點E在BC上，CE=2.點M是對角線BD上的一

個動點，則EM+CM的最小值是（)

C.2V13D.4713

【分析】要求ME+MC的最小值，ME、MC不能直接求，可考慮通過作輔助線轉(zhuǎn)化A/E,MC的值，從

而找出其最小值求解.

【解答】解：如圖，連接AE交2。于M點，

C關(guān)于8。對稱，

：.AE就是ME+MC的最小值，

?.,正方形ABC。中，點E是BC上的一定點，S.BE=BC-CE=6-2=4,

?；AB=\$2+42,

?*,AE=J62+42=2yJ13?

：.ME+MC的最小值是2d石.

【點評】本題主要考查的是軸對稱--路徑最短問題、勾股定理的應(yīng)用、正方形的性質(zhì)，明確當(dāng)點A、

M、E在一條直線上時，ME+MA有最小值是解題的關(guān)鍵.

【變式2-1］（荷澤中考）如圖，在菱形ABCD中，AB=2,ZABC=60°,M是對角線8。上的一個動點,

CF=BF,則MA+MF的最小值為（）

【分析】當(dāng)MA+ME的值最小時，A、M、F三點共線，即求AF的長度，根據(jù)題意判斷AABC為等邊三

角形，且P點為BC的中點，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)，求出AP的長度即可.

【解答】解：當(dāng)A、M、尸三點共線時，即當(dāng)M點位于時，K4+MF的值最小，

由菱形的性質(zhì)可知,

AB=BC,

又；NABC=60°,

...△ABC為等邊三角形，

?.?尸點為BC的中點,AB=2,

：.AF±BC,CF=FB=1,

：.在RtAABF中，＞/AB2-BF2=如?

故選：C.

【點評】本題考查最短路線問題、等邊三角形的性質(zhì)和菱形的性質(zhì)，確定K4+M尸的最小值為AF的長度是

關(guān)鍵.

【變式2-2］如圖，等腰三角形ABC的底邊3C長為6,腰AC的垂直平分線EF分別交邊AC,AB于點E,

F,D為BC邊的中點，M為線段E尸上一動點，若△COM的周長的最小值為13,則等腰三角形ABC的面積

為（）

【答案】D

【詳解】如圖，連接A。，交EF于點

:ABC是等腰三角形，。是BC邊的中點，.:AOLBC,CD=^-BC=3.:名/是線段4c的垂直平分線，

2

.:點C關(guān)于直線EF的對稱點為A,AM=CM,.：此時△CDM的周長最小，

.".CM+DM+CD=AM+DM+CD=AD+CD=13,.：AD=13-CD=13-3=10,.：SABC=-BC-AD=-x6x10=30.

Z22

【變式2-3】已知點尸在NMON內(nèi).

⑴如圖①，點尸關(guān)于射線OM、ON的對稱點分別是G、H,連接OG、OH、OP、CH.

①若NMON=30。,則。G8是什么特殊三角形？為什么？

②若NMON=9Q°,試判斷G"與OP的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；

⑵如圖②，若/MON=30。，A、8分別是射線OM、ON上的點，AB1.ON于點8,點P、Q分別為04AB

上的兩個定點，且Q8=1.5,0P=AQ=2,在上有一動點E,試求尸E+QE的最小值.

【答案】（1）①，OG"是等邊三角形，理由見解析；②GH=2OP,理由見解析

⑵尸E+QE的最小值為5.

【分析】（1）①由軸對稱的性質(zhì)可得OP=OG=O",NPOM=NGOM,ZPON=ZHON.根據(jù)“有一個

角是60。的等腰三角形是等邊三角形”即可得出是等邊三角形；②當(dāng)NMON=90°時，ZGOH=180°,

G、0、”在同一直線上，由此可得G"與0P的數(shù)量關(guān)系；

（2）過。作ON的對稱點。'，連接PQ',交ON于點E,連接QE,則PE+QE的最小值為尸Q',由已知條

件可得Na4B=60。，易得AP=5,AQ'=5,由此可得是等邊三角形，即可得PQ'的長，即PE+QE

的最小值.

【詳解】（1）解：①是等邊三角形，

丁點P關(guān)于OM對稱的點為G,

：.OP=OG,ZPOM=Z.GOM,

同理OP=O〃，ZPON=ZHON,

：.OG=OH,

NMON=30。,

：./GOH=60。,

是等邊三角形.

@GH=2OP,

當(dāng)NMON=90°時，ZGOH=180°,

：.G,0、X在同一直線上，OP=OG=OH.

'：GH=OG+OH=2OC,

：.GH=2OP；

（2）解：過。作ON的對稱點Q',連接P。'，交ON于點、E,連接QE,

,:ZMON=30。,ZABO=90°,

：.ZOAB=60°.

；AQ=OP=2,QB=1.5,

AB=3.5,

OA=2AB=1,

：.AP=5.

:點。與Q'關(guān)于ON對稱，

/.QB=Q'B=1.5,

：.AQ'=5,

/.△APQ'是等邊三角形，

PQ'^5,

即PE+QE的最小值為5.

【點睛】本題主要考查了軸對稱-最短路線問題，軸對稱的性質(zhì)和等邊三角形的判定和性質(zhì).熟練掌握軸對

稱的性質(zhì)及等邊三角形的判定和性質(zhì)，熟悉“將軍飲馬”模型是解題的關(guān)鍵.

【變式2-4］（2023?山東日照?統(tǒng)考中考真題）如圖，矩形ABC。中，AB=6,AD=8,點尸在對角線即上，

過點尸作交邊AD,BC于點M,N,過點M作ME,交80于點E,連接￡7V,BM,DN.下

96

列結(jié)論：①EM=EN；②四邊形仆D的面積不變；③當(dāng)所如1:2時，。=發(fā)?BM+MN+ND

的最小值是20.其中所有正確結(jié)論的序號是.

【答案】②③④

【分析】根據(jù)等腰三角形的三線合一可知MP=PN,可以判斷①；利用相似和勾股定理可以得出%>=10,

MN=旦,利用S四妍皿摭二:知心如判斷②；根據(jù)相似可以得到“/"目丫，判斷③；利用將軍飲

22SDAB\BDJ

馬問題求出最小值判斷④.

【詳解】解：?.?EM=E7V,MN工BD,

：.MP=PN,

在點尸移動過程中，不一定MP=PN,

相矛盾，

故①不正確；

AMD

延長ME交BC于點H,

則ABHM為矩形，

???BD=A/AB2+AZ)2=A/62+82=10

MEYAD,MNLBD,

???ZMED-^-ZMDE=AMEP+ZEMN=90°,

；?ZMDE=/EMN,

MHNsDAB,

.MHHNMN

915

解得-HN=—，MN=—

22

=-MNxBP+-MNxDP=-MNxBD=-x—xlO=—

22

故②正確；

ME//AB,

ADME^ADAB，

.MEMD_2

**AD-3J

???ME=4,

VZMDE=ZEMN,ZMPE=ZA=90。,

:._MPEs.DAB,

.SMPE(ME^^4

"s刈［BDJ25,

.44196

??SBp。=—Sr>AR=-x—x6x8=—,

MPE25DAB25225

故③正確，

BM+MN+ND=BM+ND+—,

即當(dāng)MB+ND最小時，BM+MN+N。的最小值，作8、。關(guān)于AD、3c的對稱點片、R,

97

把圖1中的C2向上平移到圖2位置,使得CD=5,連接片2，即42為MB+ND的最小值,則AC=BDl=~,

BB}=12,

這時與q=、BD：+BBl

即BM+MN+ND的最小值是20,

故④正確；

故答案為：②③④

【點睛】本題考查矩形的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，軸對稱，掌握相似三角形的判定和性質(zhì)是解題

的關(guān)鍵.

題型三旋轉(zhuǎn)最值問題

解題模板:

根據(jù)條件斷該題為旋轉(zhuǎn)最值模型

利用已知條件尋找共端點的相等線段

根據(jù)模型技巧進(jìn)行旋轉(zhuǎn)作圖

借助幾何關(guān)系或勾股定理列式計算

技巧精講：旋轉(zhuǎn)求最值模型

類別問題情境圖示技巧.

A

已知△NBC內(nèi)部有一點P,連接將△APC繞點C順時針旋轉(zhuǎn)60。,得到△EOC,連接

“費馬點”問題P4,P8,PC,求尸4+P8+尸。的PD,BE,當(dāng)B，P,D,E四點共線時,+P8+PC取

最小值得最小值，最小值為BE

BC

已知在四邊形ABPC中，P8=將△4BP繞點P順時針旋轉(zhuǎn)a得到△4'CP,連接

三角形三邊

PC,AB=a,AC=b,乙BPC=a,4T,當(dāng)4,C,4,三點共線時,44，的值最大，此時4P

關(guān)系問題

求4尸的最大值的值最大

p

【例3】（2023?黑龍江綏化?統(tǒng)考中考真題）如圖，，ASC是邊長為6的等邊三角形，點E為高80上的動點.連

接CE,將CE繞點C順時針旋轉(zhuǎn)60。得到CF.連接AF,EF,DF,貝UCD尸周長的最小值是.

BC

【答案】3+3A/3/3^/3+3

【分析】根據(jù)題意，證明CBE組CAF,進(jìn)而得出廠點在射線"上運動，作點C關(guān)于■的對稱點CL連

接OC,設(shè)CC'交"于點0,則/49C=90°,則當(dāng)三點共線時，尸C+FD取得最小值，即

FC+FD=F'C+F'D=Ciy,進(jìn)而求得C'。，即可求解.

【詳解】解：為高8。上的動點.

???ZCBE=-ZABC=30°

2

???將可繞點。順時針旋轉(zhuǎn)60。得到CF.ABC是邊長為6的等邊三角形，

.?.CE=CF,/ECF=/BCA=60°,BC=AC

：..CBE'CAF

：.ZCAF=ZCBE=30°,

???方點在射線AT上運動，

如圖所示,

作點C關(guān)于AF的對稱點C,連接DC,設(shè)CC交”于點。，則，AOC=90。

在RtAOC中，ZCAO=30°,貝i」CO=gAC=3,

則當(dāng)￡>,RC'三點共線時，PC+FD取得最小值，即產(chǎn)C+ED=FC'+/Z>=CO'

VCC=AC=6,ZACO=ZCCD,CO=CD

,ACO^,CCD

ZC'DC=ZAOC=90°

在二C'DC中，CD=\ICC'2-CD2=-32=3A/3，

/.CDF周長的最小值為CD+FC+CD=CD+DC=3+343,

故答案為：3+373.

【點睛】本題考查了軸對稱求線段和的最值問題，等邊三角形的性質(zhì)與判定，全等三角形的性質(zhì)與判定，

勾股定理，熟練掌握等邊三角形的性質(zhì)與判定以及軸對稱的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

【變式3-1】如圖，在，ABC中，ZC4B=90°,AB=AC=1,P是71BC內(nèi)一點，求上4+PB+PC的最小值

為.

2

（分析】將4APC繞點C順時針旋轉(zhuǎn)60。得乙DFC,可得PC=PF,DF=AP,^PA+PB+PC轉(zhuǎn)化為

FD+BP+PF,此時當(dāng)3、P、F、。四點共線時，24+PB+PC的值最小，最小值為8D的長；根據(jù)勾股

定理求解即可.

【詳解】解：將AAPC繞點C順時針旋轉(zhuǎn)60。得△DFC,連接尸尸、AD.DB,過點Z）作。ELBA,交BA的

延長線于點E；

：.AP=DF,ZPCF=ZACD=60°,PC=FC,AC=CD,

：./\PCF.△ACO是等邊三角形，

：.PC=PF,AD=AC=1,ZDAC=6Q0

：.PA+PB+PC=FD+BP+PF,

???當(dāng)3、P、F、。四點共線時，P4+P3+PC的值最小，最小值為3。的長;

VZC4B=90°,ZCAD=60°,

：.ZEAD=30°f

：.DE=-AD=~,

22

AE=YIAD2-ED2=—,

2

???BE=1+—,

2

BD=dBE?+DE2="+后,

2

??.K4+M+PC的值最小值為>+

2

故答案為：.

2

阜、

/

■—****>J

--------------------------0c

【點睛】本題考查費馬點問題，解題的關(guān)鍵在于將△APC繞點C順時針旋轉(zhuǎn)60。得八DFC,將三條線段的長

轉(zhuǎn)化到一條直線上.

【變式3-2］如圖，已知矩形ABC。，A8=4,BC=6,點M為矩形內(nèi)一點，點E為8c邊上任意一點，則

MA+MD+ME的最小值為.

【答案】4+3A/3

【分析】將4AM。繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)60。得到△AM'D',則MD=M'D',△4。。和4AW均為等邊三角形,

推出可得MA+KD+MEuDM+W+ME,共線時最短；由于點E也為動點，可得當(dāng)OE_L8C

時最短，此時易求得。E=DG+GE的值;

【詳解】解：將AAMO繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)60。得到△AAT。,

由性質(zhì)的性質(zhì)可知：MD=M'D',△40。和△AW均為等邊三角形,

：.MA+MD+ME=D'M+MM'+ME,

：.D'M,MM\ME共線時最短，

由于點E也為動點，

當(dāng)OE_L8C時最短，此時易求得DE=DG+GE=4+3有

：.MA+MD+ME的最小值為4+36,

故答案為：4+3A/3

【點睛】本題考查軸對稱、旋轉(zhuǎn)變換、矩形的性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是添加

常用輔助線，構(gòu)造等邊三角形解決問題，用轉(zhuǎn)化的思想思考問題，屬于中考填空題中的壓軸題.

【變式3-3］如圖，正方形ABCD的邊長為4,點P是正方形內(nèi)部一點，求以+2PB+上PC的最小值.

【答案】4比6

［分析］延長DC到H，使得CH=2BC=8,則BH=4下，在ZCBH的內(nèi)部作射線BJ,使得ZPBJ=ZCBH,

使得8/=君8尸，連接PJ，JH,AH.先證明可得PJ=2PB,再證明△PBCSAJBH,可

得：HJ=y/5PC,從而得到P4+2尸8+6P。=尸4+尸_/+田上4?,計算出AW的長度即可.

【詳解】解：延長DC到使得CH=23C=8,則8"=4如，在NCBH的內(nèi)部作射線即，使得

NPBJ=NCBH,使得BJ=J^BP，連接巴，JH,AH.

?PB_BJ

；.JBPs_HBC,

,\ZBPJ=ZBCH=90°,

PJ=飛BJ?-PB?=yl（y/5PB）2-PB2=2PB,

PB_BC

ZPBC=ZJBH,

BJ~BH

...PBCs,JBH,

.PCPB也

a?---------------------------------------,

JHBJ5

:.HJ=45PC

PA+2PB+小PC=PA+PJ+HJ，

PA+PJ+JHNAH,

/.PA+2P5+^PC>742+122=4^0，

.,.PA+2P3+君尸。的值最小，最小值為4a.

【點睛】本題考查相似三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，兩點之間線段最短，正方形的性質(zhì)，，正確理解費

馬點問題，利用相似構(gòu)造2依與正PC,根據(jù)系數(shù)將圖形擴(kuò)大或縮小構(gòu)建圖形是解決問題的關(guān)鍵.

好題必刷?強化落實

一、單選題

1.如圖，YA3CD的面積為12,AC=BD=6,AC與8。交于點O.分別過點C,D作BD,AC的平行線

相交于點尸，點G是8的中點，點尸是四邊形OCED邊上的動點，則PG的最小值是（）

A.1B.3C.-D.3

22

【答案】A

【分析】先證明OC=OO,四邊形OCFD是菱形，如圖，連接OF,GP,而點6是8的中點，可得G為

菱形對角線的交點，OFLCD,當(dāng)GPLCF時，GP最小，再利用等面積法求解最小值即可.

【詳解】解：；YABCD,AC=BD=6,

YABCD是矩形，

OC=OD,

VOC//DF,DO//CF,

.??四邊形OCED是菱形，

如圖，連接"，GP,而點G是CD的中點，

.?.當(dāng)GPJLCF時，GP最小，

：YABC。即矩形ABC。的面積為12,AC=BD=6,

：.OC=OD=3,SOCD=；X12=3,

D

??S菱形0c尸=2S0CD—6,

.v_1,_3

CGF42

由菱形的性質(zhì)可得：CF=3,

13

/,-x3xGP=-,

22

/.GP=\,即GP的最小值為1.

故選A

【點睛】本題考查的是平行四邊形的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)與判定，菱形的判定與性質(zhì)，垂線段最短的含義，

理解題意，利用數(shù)形結(jié)合的方法解題是關(guān)鍵.

2.已知在比AC3中，/C=90。,/ABC=75。，A5=5.點E為邊AC上的動點，點尸為邊AB上的動點,

則線段正+EB的最小值是（）

A.孚B.1C.&D.73

【答案】B

【分析】作點P關(guān)于直線A8的對稱點尸，如下圖所示，止匕時再由點到直線的距離垂線

段長度最短求解即可.

【詳解】解：作點尸關(guān)于直線A2的對稱點尸‘，連接/尸’，如下圖所示：

由對稱性可知，EF=EF',

止匕時EF+EB=EF'+EB,

由“點到直線的距離垂線段長度最小”可知，

當(dāng)8尸」4尸時，EF+EB有最小值8片，此時E位于上圖中的Eo位置，

由對稱性知，ZCAFo=ZBAC=900-15°=15°,

：.ZBAFo=30°,

由直角三角形中，30。所對直角邊等于斜邊的一半可知，

BFo=—AB=—x5=一,

222

故選：B.

【點睛】本題考查了30。角所對直角邊等于斜邊的一半，垂線段最短求線段最值等，本題的核心思路是作點

廠關(guān)于AC的對稱點，將所線段轉(zhuǎn)移，再由點到直線的距離最短求解.

二、填空題

3.如圖，尸是菱形ABC。對角線8。上一點，PELA8于點E,PE=4cm,

則點尸到的距離是cm.

【答案】4

【分析】利用菱形對角線平分一組對角，得到2。平分NABC,再利用角平分線的性質(zhì)可得P到2C的距離

為4cm.

【詳解】根據(jù)菱形對角線平分一組對角，

.?.2D平分NABC,

P到BC的距離=尸到AB的距離，

?.?尸到A3的距離為PE的長，即為4cm,

到8c的距離為4cm,

故答案為：4.

【點睛】本題考查了菱形的性質(zhì)和角平分線的性質(zhì)，掌握角平分線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

4.如圖，在ABC中，NC=90o,AC=3C=6.P為邊A3上一動點，作如，3c于點。，P￡，47于點￡,

則DE的最小值為.

A

【答案】3拒

【分析】連接CP,利用勾股定理列式求出AB,判斷出四邊形CDPE是矩形，根據(jù)矩形的對角線相等可得

DE=CP,再根據(jù)垂線段最短可得CPLAB時，線段DE的值最小，然后根據(jù)直角三角形的面積公式列出方

程求解即可.

【詳解】解：如圖，連接CP,

?*-AB=7AC2+BC2=A/62+62=6A/2，

PD±3c于點D,PE_LAC于點E,ZACB=90°,

四邊形CDPE是矩形，

DE=CP,

由垂線段最短可得CP時，線段CP的值最小，此時線段DE的值最小，

此時，S&ABC=^AC-BC=^AB-CP,

代入數(shù)據(jù)：；倉右6=g倉歸次CP,

CP=3應(yīng)，

DE的最小值為3亞，

故答案為：3板.

【點睛】本題考查了矩形的判定與性質(zhì)，垂線段最短的性質(zhì)，勾股定理，判斷出CPLAB時，線段DE的值

最小是解題的關(guān)鍵.

5.如圖，在Rt^ABC中，/ACB=90。，ZABC=30°,AC=4,按下列步驟作圖：①在AC和AB上分別

截取AO、AE,使=②分別以點。和點E為圓心，以大于goE的長為半徑作弧，兩弧在NB4C

內(nèi)交于點③作射線AM交BC于點E若點尸是線段"上的一個動點，連接CP,則CP+^AP的最小

值是.

【答案】20

【分析】過點尸作尸。上鉆于點。，過點C作于點打，先利用角平分線和三角形的內(nèi)角和定理求

出/3AF=30。，然后利用含30。的直角三角的性質(zhì)得出尸。=：AP,則CP+gAP=CP+PQNS,當(dāng)C、

P、。三點共線，且與AB垂直時，CP+JA尸最小，C尸+最小值為S,利用含30。的直角三角的性質(zhì)

和勾股定理求出AB,BC,最后利用等面積法求解即可.

【詳解】解：過點尸作PQ上鉆于點。，過點C作于點X,

A

由題意知：AF平分，B4C,

VZACB=90°,ZABC=30°,

：.ZBAC=60°,

：.ABAF=-ABAC=3Q°,

2

/.PQ=^AP,

：.CP+^AP=CP+PQ>CH,

...當(dāng)C、P、。三點共線，且與AB垂直時，CP+；AP最小，CP+：A尸最小值為CH,

VZACB=9Q°,ZABC=30°,AC=4,

AB=2AC=8,

BC=VAB2-AC2=4A/3，

,/S=-ACBC=-ABCH,

MARCr22

.?.S=型匹=3=26

AB8

即CP+g"最小值為26.

故答案為：2乖!.

【點睛】本題考查了尺規(guī)作圖-作角平分線，含30。的直角三角形的性質(zhì)，勾股定理等知識，注意掌握利用

等積法求三角形的高或點的線的距離的方法.

6.菱形A5CD的邊長為2,ZABC=45°,點尸、。分別是BC、上的動點，CQ+PQ的最小值為

【答案】V2

【分析】過點C作CE，A2于E,交2。于G,根據(jù)軸對稱確定最短路線問題以及垂線段最短可知CE為FG+CG

的最小值，當(dāng)尸與點尸重合，。與G重合時，PQ+QC最小，在直角三角形BEC中，勾股定理即可求解.

【詳解】解：如圖，過點C作CELA8于E,交BD于G,根據(jù)軸對稱確定最短路線問題以及垂線段最短可

知CE為BG+CG的最小值，當(dāng)尸與點尸重合，。與G重合時，PQ+QC最小，

..RtBEC中,EC=—BC=y/2

2

.?.PQ+QC的最小值為近

故答案為：6

【點睛】本題考查了菱形的性質(zhì)，勾股定理，軸對稱的性質(zhì)，掌握軸對稱的性質(zhì)求線段和的最小值是解題

的關(guān)鍵.

7.如圖，在Rt^ABC中，NAC3=90,AC=3C,點C在直線腦V上，NBCN=6。，點、P為MN上一動

點，連接AP,BP.

(I)使AP+BP取最小值的動點P的位置在點C的側(cè).(填“左”或“右”).

(II)當(dāng)AP+BP的值最小時，請直接寫出NCBP的度數(shù)..

【答案】左15。/15度

【分析】本題考查了求將軍飲馬問題，軸對稱的性質(zhì)，等腰三角形的判定與性質(zhì)等知識.

(I)作點8關(guān)于直線對稱的點。，連接AD,交直線于點P,此時AP+3尸有最小值，即可得到

點P的位置在點C的左側(cè)；

(II)當(dāng)AP+3P的值最小時，根據(jù)軸對稱的性質(zhì)得到/BCD=120。，進(jìn)而得到NACO=150。，再證明

AC=DC,得到NC4Z)=NO=15。，即可得到NCBP=15。.

【詳解】解：(I)如圖，作點8關(guān)于直線肱V對稱的點。，連接AD,交直線跖V于點P,此時AP+解有

最小值，止匕時點尸的位置在點。的左側(cè);

(II)當(dāng)AP+族的值最小時，

??,點B和點D關(guān)于直線對稱，

ZBCN=ZDCN=60°,BC=DC,ZCBP=ZD,

：.ZBCD=ZBCN+ZDCN=120°,

??ZC3=90，

???ZACD=360°-ZACB-Z.BCD=150。，

VAC=BC,BC=DC,

：.AC=DC,

：.ZCAD=ZD=15°f

：.NCBP=ND=15。.

故答案為：左，15。.

三、解答題

8.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，每個小正方形的邊長均為1,點A的坐標(biāo)為(-2,3).點3的坐標(biāo)為(-3,1),

點。的坐標(biāo)為(L-2).

⑴作出，ABC關(guān)于y軸對稱的AfBfC,其中4,B'，C分別是A,B,。的對應(yīng)點;

⑵寫出。的坐標(biāo)；

(3)在尤軸上找一點P,使得尸B+R4的值最小.(保留作圖痕跡)

【答案】⑴見詳解

⑵(T-2)

(3)見詳解

【分析】(1)先做出A,B,C三點關(guān)于y軸的對稱點4,,C,再順次連接4,小，。即可；

(2)。點的坐標(biāo)為(—-2)；

(3)做8點關(guān)于x軸的對稱點連接AB〃，與x軸的交點即為所求作的P點.

此題考查關(guān)于坐標(biāo)軸成軸對稱的點的坐標(biāo)特點及將軍飲馬的作圖問題.其關(guān)鍵是要理解會運用：關(guān)于無軸對

稱的點縱坐標(biāo)相同，橫坐標(biāo)互為相反數(shù)；關(guān)于y軸對稱的點橫坐標(biāo)相同，縱坐標(biāo)互為相反數(shù).

【詳解】(1)如圖AEC'即為所求；

(2)。點的坐標(biāo)為(T-2)；

(3)如圖，點P即為所求作.

9.如圖1：正方形A3CD的邊長為3,E是直線AD上一動點，連接CE,在CE的右側(cè)以C為直角頂點作等

腰直角三角形ECT,連接BE,DF.

圖1圖2

(1)當(dāng)點E在線段AD上運動時，試判斷8E與D尸的數(shù)量關(guān)系，并說明理由.

(2)當(dāng)AE=2EE＞時，求DF的長.

(3)如圖2,連接BE,則3E+赦的最小值為

【答案】⑴BE=DF,理由見解析

⑵。P=抽或世=3若

(3)3710

【分析】⑴根據(jù)“邊角邊”證明海山絲△DCF,即可得到助=止；

(2)分當(dāng)點E在線段AD上和點E在線段AD延長線上兩種情況分類討論，根據(jù)勾股定理即可求解；

(3)作用_LA￡＞于H,先證明VABE四VHDF得到AB="/=3,再在。歸延長線上截取=3,

連接萬M,證明。尸=血尸，從而得到座+臺產(chǎn)=叱+臺尸，即可得到當(dāng)點3、F、M在同一直線上時，

BE+BF=BM,此時BE+3產(chǎn)值最小，根據(jù)勾股定理求出=34而，問題得解.

【詳解】(1)解：BE=DF.

證明：：四邊形ABC。為正方形，

BC=DC,ZBCD=ZBAE=90°,

???三角形ECR為以C為直角頂點的等腰直角三角形，

CE=CF,ZECF=90°,

：.ZBCD-ZECD=ZECF-ZECD,

即NBCE=/DCF,

：.ABCE沿ADCF,

，BE=DF；

(2)解：如圖3,當(dāng)點E在線段A。上時，

,/AE=2ED,

：.AE=-AD^2,

3

.?.在RtZYBAE中，BE=ylAB2+AE2=732+22=^3-

/.DF=BE=A；

圖3

如圖4,當(dāng)點E在線段AD延長線上時，

,:AE=2ED,

：.AE=2AD=6f

???在RtZ\5AE中，BE=^AB2-^-AE2=732+62=375，

JDF=BE=35

綜上所述，。尸或。尸=3百；

(3)解：如圖5,作FH1AD于H,

???四邊形ABCD為正方形，

/.ZABC=ZBAE=ZHDC=90°,

：.ZBAE=ZDHF=90°

:ABCE^ADCF,

：.ZEBC=ZFDC,

：.ZABC-ZEBC=ZHDC-ZFDC,

???ZABE=ZHDFf

又*：BE=DF,

：.VABE^VHDF,

：.AB=DH=3,

在DH延長線上截取HM=OH=3,連接E以,

：.AM=AD+DH+HM=9,

,:FH工MD,

JDF=MF,

:.BE+BF=DF+BF=MF+BF,

J當(dāng)點5、F、M在同一直線上時，BE+BF=MF+BF=BM,此時6E+BF的值最小,

在RtABA/中，BM=yjAB2+AM2=732+92=3A/10-

故答案為：3^/10

圖5

【點睛】本題考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，將軍飲馬問題，根據(jù)已知條件

證明或構(gòu)造三角形全等進(jìn)行線段的轉(zhuǎn)移與代換是解題關(guān)鍵，第（3）步解題時要借助將軍飲馬模型轉(zhuǎn)化為兩

點之間線段最短，從而解決問題.

10.

ABC中，4=60°.

⑵如圖2,若AC<3C,取AC中點E,將CE繞點C逆時針旋轉(zhuǎn)60。至CE,連接B尸并延長至G,使3/=FG,

猜想線段AB、BC、CG之間存在的數(shù)量關(guān)系，并證明你的猜想；

（3）如圖3,若AC=3C,P為平面內(nèi)一點，將一尸沿直線翻折至.AB。，當(dāng)3AQ+2BQ+JFCQ取得

BP

最小值時，直接寫出萬方的值.

【答案】（1）見解析

⑵8C=AB+CG,理由見解析

2VB+3A/39

,13

【分析】（1）過點。分別作BC,AC的垂線，垂足為E,F,易得DE=DF，由/8=60。，可得

/aDEi

DE=DF=—BD,由AZ)=A/IB￡),求得sinA=—